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Mat1162   2016.2 - Provas - Maple

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Mat1162 - 2016.2/P1/01_nocoes_topologia.pdf
Noc¸o˜es Topolo´gicas do Plano
Americo Cunha
Andre´ Zaccur
De´bora Mondaini
Luana Azevedo
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Distaˆncia entre dois pontos do plano
Um sistema de coordenadas cartesiano em R2 (no plano) e´ definido por um par
de eixos perpendiculares (eixo x e eixo y) que possuem uma mesma origem O. Num
sistema de coordenadas desse tipo, um ponto P ∈ R2 e´ representado por um par
ordenado da forma (xp, yp), como ilustrado na Figura 1.
x
y
P
xp
yp
Figura 1: Representac¸a˜o cartesiana de um ponto do plano.
A distaˆncia entre A = (xa, ya) e B = (xb, yb), dois pontos do plano, e´ dada por
d(A,B) =
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2. (1)
Para verificar a origem da fo´rmula acima, assumindo que a distaˆncia entre dois
pontos na reta e´ dada pelo mo´dulo da diferenc¸as entre eles, vamos considerar o
triaˆngulo retaˆngulo ilustrado na Figura 2.
1
x
y
A
xa
ya
B
xb
yb
Figura 2: Distaˆncia entre dois pontos do plano.
A distaˆncia entre os pontos A e B, denotada por d(A,B), corresponde a` hipote-
nusa desse triaˆngulo retaˆngulo, enquanto que os catetos tem comprimentos |xb−xa|
e |yb − ya|. Logo, pelo teorema de Pitagoras[
d(A,B)
]2
= (xb − xa)2 + (yb − ya)2, (2)
que equivale a
d(A,B) = ±
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2. (3)
Como a distaˆncia entre dois pontos e´ sempre na˜o negativa, podemos descartar a
fo´rmula com sinal negativo antes da raiz. Com isso mostramos que a distaˆncia entre
os pontos A e B e´ dada pela Eq.(1).
Exerc´ıcio 1.1 Mostre que a func¸a˜o distaˆncia satisfaz as seguintes propriedades:
• d(A,B) ≥ 0
• d(A,B) = 0 se e somente se A = B
• d(A,B) = d(B,A)
• d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) onde C = (xc, yc)
2
2 Sequeˆncia de pontos no plano
Uma sequeˆncia em R2 e´ uma lista ordenada de pontos da forma Pn = (xn, yn)
onde n = 1, 2, 3, · · · . Logo, xn e yn sa˜o sequeˆncias de nu´meros reais (que voceˆ
estudou em Ca´lculo 1).
Exemplos
• Pn = (n, n2)
• Pn = (2, (−1)n)
• Pn = (n, pi)
• Pn =
(
3n3 + n2 + 7
2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8
7n4 + 1
)
• Pn =
(
sin
(
1
n
+
pi
2
)
,
1
n
cos
(
n3 + n+ 1
))
Uma sequeˆncia de pontos Pn = (xn, yn) converge a um ponto P∞ = (x∞, y∞) do
plano, se a distaˆncia d(Pn, P∞) converge a zero, i.e., lim
n→∞
d(Pn, P∞) = 0. Nesse caso
dizemos que P∞ e´ o limite de Pn quando n→∞ e escrevemos
lim
n→∞
Pn = P∞. (4)
A quantidade d(Pn, P∞) define uma sequeˆncia de nu´meros reais. A convergeˆncia
dessa sequeˆncia pode ser analisada pelos resultados estudados em Ca´lculo 1.
Considere a sequeˆncia Pn = (e
−n/4 cosn, e−n/4 sinn). Vamos mostrar que essa
sequeˆncia converge ao ponto P∞ = (0, 0).
De fato,
d(Pn, P∞) =
√
(e−n/4 cosn− 0)2 + (e−n/4 sinn− 0)2
=
√
e−n/2
(
cos2 n+ sin2 n
)
= e−n/4,
donde
lim
n→∞
d(Pn, P∞) = lim
n→∞
e−n/4 = 0.
Se uma sequeˆncia Pn = (xn, yn) na˜o tem limite, dizemos que ela diverge. Um
caso especial de divergeˆncia ocorre quando a distaˆncia de Pn a` origem O = (0, 0)
for para o infinito, i.e., lim
n→∞
d(Pn, O) = ∞. Nesse caso dizemos que Pn vai para o
infinito.
3
Exerc´ıcio 2.1 Calcule o limite (caso exista) de cada uma das sequeˆncias abaixo:
• Pn = (n, n2)
• Pn = (2, (−1)n)
• Pn = (n, pi)
• Pn =
(
3n3 + n2 + 7
2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8
7n4 + 1
)
• Pn =
(
sin
(
1
n
+
pi
2
)
,
1
n
cos
(
n3 + n+ 1
))
• Pn =
(
pi + 1/n, 1− 1/n)
• Pn =
(
n, (−1)n)
• Pn =
(
cos (e−n), sin (e−n)
)
• Pn =
(
cos (2pin), sin (2pin+ pi/2)
)
Exerc´ıcio 2.2 Considere Pn =
(
xn, f(xn)
)
, onde f : R → R e´ uma func¸a˜o cont´ı-
nua e xn sequeˆncia de nu´meros reais que converge a 1.
(a) Calcule (caso exista) o limite de Pn quando n→∞.
(b) Explicite treˆs exemplos de Pn como acima.
4
3 Abertos e Fechados
O disco aberto de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que
d(C,P ) < r, (5)
ou seja √
(x− xc)2 + (y − yc)2 < r. (6)
A u´ltima inequac¸a˜o equivale a
(x− xc)2 + (y − yc)2 < r2, (7)
cuja interpretac¸a˜o geome´trica e´ apresentada na Figura 3. O referido conjunto esta´
na cor cinza (a linha tracejada na˜o faz parte do conjunto).
x
y
C
xc
yc
r
Figura 3: Disco aberto de centro C e raio r > 0.
O disco fechado de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que
d(C,P ) ≤ r, (8)
ou seja √
(x− xc)2 + (y − yc)2 ≤ r, (9)
ou, ainda,
(x− xc)2 + (y − yc)2 ≤ r2. (10)
Agora o c´ırculo de centro C e raio r faz parte do conjunto, como ilustrado na
Figura 4.
5
x
y
C
xc
yc
r
Figura 4: Disco fechado de centro C e raio r > 0.
Dado um conjuntoD ⊆ R2, dizemos que um ponto P ∈ D e´ um ponto de fronteira
de D se todo disco aberto de centro P e raio r > 0 contiver pontos que esta˜o em D
e pontos que na˜o esta˜o em D.
Se P na˜o for ponto de fronteira de D existem duas possibilidades:
1. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
de D;
2. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
que na˜o pertencem a D.
No primeiro caso P e´ dito um ponto interior de D, enquanto que no segundo
caso P e´ dito um ponto exterior de D.
Como exemplo, considere o conjunto
D =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d} ,
e os pontos A, B, C e D, todos ilustrados na Figura 5.
x
y
a b
c
d
A
B
C
D
Figura 5: Um exemplo de classificac¸a˜o de pontos do plano.
6
Claramente, o conjunto D e´ um retaˆngulo. Os pontos B e C, que esta˜o respec-
tivamente numa aresta e num ve´rtice de D, sa˜o pontos de fronteira, pois qualquer
disco aberto centrado num desses pontos possui elementos de D e elementos que na˜o
esta˜o em D. Note que A e´ ponto interior, pois existe um disco aberto centrado em
A que possui somente elementos de D. Finalmente, o ponto D e´ exterior, pois existe
um disco aberto centrado nele que na˜o conte´m elementos de D.
A partir das caracterizac¸o˜es acima definimos as noc¸o˜es de aberto e fechado no
plano.
Um conjunto D ⊆ R2 e´ aberto se conte´m somente pontos interiores, i.e., na˜o
conte´m nenhum ponto de fronteira. Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 6):
• D1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1}
• D2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x > y2}
1−1 2−2 x
y
(a) D1
x
y
(b) D2
Figura 6: Exemplos de abertos.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y) > 0, ..., fk(x, y) > 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais cont´ı-
nuas definidas num aberto D ⊆ R2, obtemos um aberto A ⊆ R2 (que pode ser um
conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k abertos. Idem se uma das desigualdades > 0
e´ trocada por < 0.
Vejamos como exemplos as condic¸o˜es:
• f1(x, y) = x2 + y2 − 1 < 0, f2(x, y) = x+ y − 1 > 0 e f3(x, y) = x− 1
2
< 0.
• g1(x, y) = x2 + y2 − 1 < 0, g2(x, y) = x+ y − 1 > 0 e g3(x, y) = x− 2 > 0.
Os conjuntos R1 e R2 sa˜o abertos do plano obtidos pela intersec¸a˜o de abertos,
ou seja,
7
R1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 < 1, x+ y > 1, x < 1
2
}
e
R2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 < 1, x+ y > 1, x > 2}.
O aberto R1 e´ ilustrado na Figura 7.
Figura 7: Exemplo de intersec¸a˜o de abertos.
Ja´ as condic¸o˜es g1(x, y) < 0, g2(x, y) > 0 e g3(x, y) > 0 na˜o possuem interse-
c¸a˜o, logo R2 e´ um conjunto