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Mat1162 2016.2 - Provas - Maple

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Mat1162 - 2016.2/P1/01_nocoes_topologia.pdf
Noc¸o˜es Topolo´gicas do Plano
Americo Cunha
Andre´ Zaccur
De´bora Mondaini
Luana Azevedo
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Distaˆncia entre dois pontos do plano
Um sistema de coordenadas cartesiano em R2 (no plano) e´ definido por um par
de eixos perpendiculares (eixo x e eixo y) que possuem uma mesma origem O. Num
sistema de coordenadas desse tipo, um ponto P ∈ R2 e´ representado por um par
ordenado da forma (xp, yp), como ilustrado na Figura 1.
x
y
P
xp
yp
Figura 1: Representac¸a˜o cartesiana de um ponto do plano.
A distaˆncia entre A = (xa, ya) e B = (xb, yb), dois pontos do plano, e´ dada por
d(A,B) =
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2. (1)
Para verificar a origem da fo´rmula acima, assumindo que a distaˆncia entre dois
pontos na reta e´ dada pelo mo´dulo da diferenc¸as entre eles, vamos considerar o
triaˆngulo retaˆngulo ilustrado na Figura 2.
1
x
y
A
xa
ya
B
xb
yb
Figura 2: Distaˆncia entre dois pontos do plano.
A distaˆncia entre os pontos A e B, denotada por d(A,B), corresponde a` hipote-
nusa desse triaˆngulo retaˆngulo, enquanto que os catetos tem comprimentos |xb−xa|
e |yb − ya|. Logo, pelo teorema de Pitagoras[
d(A,B)
]2
= (xb − xa)2 + (yb − ya)2, (2)
que equivale a
d(A,B) = ±
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2. (3)
Como a distaˆncia entre dois pontos e´ sempre na˜o negativa, podemos descartar a
fo´rmula com sinal negativo antes da raiz. Com isso mostramos que a distaˆncia entre
os pontos A e B e´ dada pela Eq.(1).
Exerc´ıcio 1.1 Mostre que a func¸a˜o distaˆncia satisfaz as seguintes propriedades:
• d(A,B) ≥ 0
• d(A,B) = 0 se e somente se A = B
• d(A,B) = d(B,A)
• d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) onde C = (xc, yc)
2
2 Sequeˆncia de pontos no plano
Uma sequeˆncia em R2 e´ uma lista ordenada de pontos da forma Pn = (xn, yn)
onde n = 1, 2, 3, · · · . Logo, xn e yn sa˜o sequeˆncias de nu´meros reais (que voceˆ
estudou em Ca´lculo 1).
Exemplos
• Pn = (n, n2)
• Pn = (2, (−1)n)
• Pn = (n, pi)
• Pn =
(
3n3 + n2 + 7
2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8
7n4 + 1
)
• Pn =
(
sin
(
1
n
+
pi
2
)
,
1
n
cos
(
n3 + n+ 1
))
Uma sequeˆncia de pontos Pn = (xn, yn) converge a um ponto P∞ = (x∞, y∞) do
plano, se a distaˆncia d(Pn, P∞) converge a zero, i.e., lim
n→∞
d(Pn, P∞) = 0. Nesse caso
dizemos que P∞ e´ o limite de Pn quando n→∞ e escrevemos
lim
n→∞
Pn = P∞. (4)
A quantidade d(Pn, P∞) define uma sequeˆncia de nu´meros reais. A convergeˆncia
dessa sequeˆncia pode ser analisada pelos resultados estudados em Ca´lculo 1.
Considere a sequeˆncia Pn = (e
−n/4 cosn, e−n/4 sinn). Vamos mostrar que essa
sequeˆncia converge ao ponto P∞ = (0, 0).
De fato,
d(Pn, P∞) =
√
(e−n/4 cosn− 0)2 + (e−n/4 sinn− 0)2
=
√
e−n/2
(
cos2 n+ sin2 n
)
= e−n/4,
donde
lim
n→∞
d(Pn, P∞) = lim
n→∞
e−n/4 = 0.
Se uma sequeˆncia Pn = (xn, yn) na˜o tem limite, dizemos que ela diverge. Um
caso especial de divergeˆncia ocorre quando a distaˆncia de Pn a` origem O = (0, 0)
for para o infinito, i.e., lim
n→∞
d(Pn, O) = ∞. Nesse caso dizemos que Pn vai para o
infinito.
3
Exerc´ıcio 2.1 Calcule o limite (caso exista) de cada uma das sequeˆncias abaixo:
• Pn = (n, n2)
• Pn = (2, (−1)n)
• Pn = (n, pi)
• Pn =
(
3n3 + n2 + 7
2n3 + n+ 1
,
4n3 + 8
7n4 + 1
)
• Pn =
(
sin
(
1
n
+
pi
2
)
,
1
n
cos
(
n3 + n+ 1
))
• Pn =
(
pi + 1/n, 1− 1/n)
• Pn =
(
n, (−1)n)
• Pn =
(
cos (e−n), sin (e−n)
)
• Pn =
(
cos (2pin), sin (2pin+ pi/2)
)
Exerc´ıcio 2.2 Considere Pn =
(
xn, f(xn)
)
, onde f : R → R e´ uma func¸a˜o cont´ı-
nua e xn sequeˆncia de nu´meros reais que converge a 1.
(a) Calcule (caso exista) o limite de Pn quando n→∞.
(b) Explicite treˆs exemplos de Pn como acima.
4
3 Abertos e Fechados
O disco aberto de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que
d(C,P ) < r, (5)
ou seja √
(x− xc)2 + (y − yc)2 < r. (6)
A u´ltima inequac¸a˜o equivale a
(x− xc)2 + (y − yc)2 < r2, (7)
cuja interpretac¸a˜o geome´trica e´ apresentada na Figura 3. O referido conjunto esta´
na cor cinza (a linha tracejada na˜o faz parte do conjunto).
x
y
C
xc
yc
r
Figura 3: Disco aberto de centro C e raio r > 0.
O disco fechado de centro C = (xc, yc) e raio r > 0 e´ o conjunto dos pontos
P = (x, y) em R2 tais que
d(C,P ) ≤ r, (8)
ou seja √
(x− xc)2 + (y − yc)2 ≤ r, (9)
ou, ainda,
(x− xc)2 + (y − yc)2 ≤ r2. (10)
Agora o c´ırculo de centro C e raio r faz parte do conjunto, como ilustrado na
Figura 4.
5
x
y
C
xc
yc
r
Figura 4: Disco fechado de centro C e raio r > 0.
Dado um conjuntoD ⊆ R2, dizemos que um ponto P ∈ D e´ um ponto de fronteira
de D se todo disco aberto de centro P e raio r > 0 contiver pontos que esta˜o em D
e pontos que na˜o esta˜o em D.
Se P na˜o for ponto de fronteira de D existem duas possibilidades:
1. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
de D;
2. existe um disco aberto de centro P e raio r > 0 que conte´m somente pontos
que na˜o pertencem a D.
No primeiro caso P e´ dito um ponto interior de D, enquanto que no segundo
caso P e´ dito um ponto exterior de D.
Como exemplo, considere o conjunto
D =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d} ,
e os pontos A, B, C e D, todos ilustrados na Figura 5.
x
y
a b
c
d
A
B
C
D
Figura 5: Um exemplo de classificac¸a˜o de pontos do plano.
6
Claramente, o conjunto D e´ um retaˆngulo. Os pontos B e C, que esta˜o respec-
tivamente numa aresta e num ve´rtice de D, sa˜o pontos de fronteira, pois qualquer
disco aberto centrado num desses pontos possui elementos de D e elementos que na˜o
esta˜o em D. Note que A e´ ponto interior, pois existe um disco aberto centrado em
A que possui somente elementos de D. Finalmente, o ponto D e´ exterior, pois existe
um disco aberto centrado nele que na˜o conte´m elementos de D.
A partir das caracterizac¸o˜es acima definimos as noc¸o˜es de aberto e fechado no
plano.
Um conjunto D ⊆ R2 e´ aberto se conte´m somente pontos interiores, i.e., na˜o
conte´m nenhum ponto de fronteira. Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 6):
• D1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1}
• D2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x > y2}
1−1 2−2 x
y
(a) D1
x
y
(b) D2
Figura 6: Exemplos de abertos.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y) > 0, ..., fk(x, y) > 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais cont´ı-
nuas definidas num aberto D ⊆ R2, obtemos um aberto A ⊆ R2 (que pode ser um
conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k abertos. Idem se uma das desigualdades > 0
e´ trocada por < 0.
Vejamos como exemplos as condic¸o˜es:
• f1(x, y) = x2 + y2 − 1 < 0, f2(x, y) = x+ y − 1 > 0 e f3(x, y) = x− 1
2
< 0.
• g1(x, y) = x2 + y2 − 1 < 0, g2(x, y) = x+ y − 1 > 0 e g3(x, y) = x− 2 > 0.
Os conjuntos R1 e R2 sa˜o abertos do plano obtidos pela intersec¸a˜o de abertos,
ou seja,
7
R1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 < 1, x+ y > 1, x < 1
2
}
e
R2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 < 1, x+ y > 1, x > 2}.
O aberto R1 e´ ilustrado na Figura 7.
Figura 7: Exemplo de intersec¸a˜o de abertos.
Ja´ as condic¸o˜es g1(x, y) < 0, g2(x, y) > 0 e g3(x, y) > 0 na˜o possuem interse-
c¸a˜o, logo R2 e´ um conjunto
vazio.
Se um conjunto D ⊆ R2 contiver todos os seus pontos de fronteira ele e´ chamado
de fechado.
Um fechado D e´ tambe´m chamado de regia˜o.
Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 8):
• D3 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}
• D4 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = x}
8
1−1 2−2 x
y
(a) D3
1
1
x
y
(b) D4
Figura 8: Exemplos de regio˜es fechadas.
Note que a regia˜o D3 possui pontos interiores e de fronteira, enquanto que D4
possui somente pontos de fronteira.
O interior e a fronteira das regio˜es acima podem ser caracterizados pelas equac¸o˜es
e/ou inequac¸o˜es que os definem. Por exemplo, o interior de D1 e´ definido pelas
inequac¸o˜es |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1.
Ja´ a fronteira de D1, que na˜o faz parte deste conjunto, e´ caracterizada pela unia˜o
das curvas
• L1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x = 2 e − 2 ≤ y ≤ 2},
• L2 =
{
(−2, y) ∈ R2
∣∣∣ − 2 ≤ y ≤ 2},
• L3 =
{
(x, 2) ∈ R2
∣∣∣ − 2 ≤ x ≤ 2},
• L4 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = −2 e − 2 ≤ x ≤ 2},
• L5 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = √1− x2 e − 1 ≤ x ≤ 1},
• L6 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = −√1− x2 e − 1 ≤ x ≤ 1},
onde cada uma dessas curvas e´ definida em termos de gra´ficos de func¸o˜es (na varia´vel
x ou na varia´vel y), i.e., a fronteira de D1 e´ L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4 ∪ L5 ∪ L6.
No caso do conjunto D3, a fronteira e´ definida por C1 ∪ C2 onde
• C1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 = 1},
9
• C2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 = 4}.
Ja´ o interior de D3 e´ definido pelas inequac¸o˜es 1 < x2 + y2 e x2 + y2 < 4. Em
geral, um conjunto definido por uma inequac¸a˜o da forma g(x, y) ≤ 0 tem interior
caracterizado por g(x, y) < 0 e fronteira por g(x, y) = 0.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y) ≥ 0, ..., fk(x, y) ≥ 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais cont´ı-
nuas definidas num aberto D ⊆ R2, obtemos um fechado A ⊆ R2 (que pode ser um
conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k fechados. Idem se uma das desigualdades ≥ 0
e´ trocada por ≤ 0.
Atenc¸a˜o: existem regio˜es que na˜o sa˜o abertas nem fechadas (pense em alguns exem-
plos).
Se um conjunto D ⊆ R2 esta´ contido num disco de raio r, suficientemente grande,
enta˜o ele e´ dito limitado. Nos exemplos acima sa˜o limitadas as regio˜es D1 e D3. Ja´
as regio˜es D2 e D4 sa˜o ilimitadas, pois nenhum disco as conte´m.
Chama-se de compacta uma regia˜o que e´ fechada e limitada. A u´nica regia˜o
compacta entre os exemplos acima e´ D3.
Vejamos agora um u´ltimo exemplo. Considere a regia˜o do plano definida por
D5 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x ≥ 0 e x ≤ y ≤ ecosx} ,
ilustrada na Figura 9.
x
y
x0
y0
Figura 9: Regia˜o D5.
Essa regia˜o pode ser escrita como um conjunto onde x varia num intervalo nu-
me´rico e y varia entre duas func¸o˜es de x, i.e.,
D5 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 0 ≤ x ≤ x0 e x ≤ y ≤ ecosx} ,
10
onde x0 e´ a soluc¸a˜o de x = e
cosx. Tambe´m e´ poss´ıvel descrever D5 como a unia˜o de
dois conjuntos onde y varia num intervalo nume´rico e x varia entre duas func¸o˜es de
y, i.e., D5 = R1 ∪R2 onde
R1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 0 ≤ y ≤ y0 e 0 ≤ x ≤ y} ,
e
R2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y0 ≤ y ≤ e e 0 ≤ x ≤ cos−1 (ln y)} .
sendo y0 = x0 e e = exp (1) = 2, 718281828459045 · · · .
Exerc´ıcio 3.1 Considere os conjuntos exibidos na Figura 10.
(a) Explicite os conjuntos que as definem.
(b) Classifique-as quanto a`s noc¸o˜es de: aberto, fechado, limitado.
Lembre-se: fechado e limitado e´ dito compacto.
x
y
2 x
y
4−4
2
−2
x
y
x
y
Figura 10: Regio˜es do exerc´ıcio 4.1.
Exerc´ıcio 3.2 Descreva as regio˜es abaixo na forma
D =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x)} ,
explicitando a, b, f e g. Fac¸a um esboc¸o dessas regio˜es e encontre a projec¸a˜o orto-
gonal no eixo x.
11
• D =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| ≤ y ≤ 1− x2}
• D =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| ≤ y ≤ √1− x2}
Exerc´ıcio 3.3 Escreva a fronteira de cada uma das regio˜es acima como a unia˜o
de duas curvas C1 e C2, C1 ∪ C2, onde cada curva dessas curvas e´ dada por{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = f(x) e a ≤ x ≤ b} .
Em cada caso explicite a, b e f .
4 Topologia no espac¸o
As noc¸o˜es definidas acima (aberto, fechado e limitado) podem ser generalizadas
para regio˜es no espac¸o considerando que a distaˆncia entre os pontos A = (xa, ya, za)
e B = (xb, yb, zb) e´ dada por
d(A,B) =
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2. (11)
Consequentemente, a noc¸a˜o de disco e´ naturalmente estendida para a noc¸a˜o de
bola. Assim, definimos a bola fechada de centro C = (xc, yc, zc) e raio r > 0 como o
conjunto dos pontos P = (x, y, z) em R3 tais que
d(C,P ) ≤ r, (12)
ou seja
(x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 ≤ r2. (13)
Uma ilustrac¸a˜o dessa bola pode ser vista na Figura 11.
Assim como no plano, no espac¸o a intersec¸a˜o de conjuntos abertos e´ um aberto
ou um conjunto vazio e a intersec¸a˜o de conjuntos fechados e´ um conjunto fechado
ou vazio. Portanto, valem as definic¸o˜es abaixo.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y, z) > 0, ..., fk(x, y, z) > 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais
cont´ınuas definidas num aberto D ⊆ R3, obtemos um aberto A ⊆ R2 (que pode ser
um conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k abertos. Idem se uma das desigualdades
> 0 e´ trocada por < 0.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y, z) ≥ 0, ..., fk(x, y, z) ≥ 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais
cont´ınuas definidas num aberto D ⊆ R3, obtemos um fechado A ⊆ R2 (que pode ser
um conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k fechados. Idem se uma das desigualdades
≥ 0 e´ trocada por ≤ 0.
Vejamos como exemplos as condic¸o˜es:
12
x
y
z
C
xc
yc
zc
Figura 11: Bola fechada de centro C e raio r > 0.
• f1(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 < 0, f2(x, y, z) = y + z − 1 > 0 e f3(x, y, z) =
y − 1
2
< 0.
• g1(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 < 0, g2(x, y, z) = y + z − 1 > 0 e g3(x, y, z) =
z − 2 > 0.
Os conjuntos U1 e U2 sa˜o abertos do espac¸o obtidos pela intersec¸a˜o de abertos,
ou seja,
U1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 + z2 < 1, y + z > 1, y < 1
2
}
e
U2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 + z2 < 1, y + z > 1, z > 2}.
O aberto U1 e´ ilustrado na Figura 12.
Ja´ as condic¸o˜es g1(x, y, z) < 0, g2(x, y, z) > 0 e g3(x, y, z) > 0 na˜o possuem
intersec¸a˜o, logo U2 e´ um conjunto vazio.
Exerc´ıcio: Refac¸a os exemplos acima utilizando as desigualdades ≥ 0 e ≤ 0.
13
Figura 12: Exemplo de intersec¸a˜o de abertos no espac¸o.
14
Mat1162 - 2016.2/P1/01a_Monitoria.pdf
MAT1162 – Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I - 2014.1 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios 1a – Monitoria
1. Calcule:
(a)
(3, 1)2 + 0, 39
42 − 2× 5, 5 =
(b) (−8)(−1
4
)− (−1, 1)2 =
(c) −3, 8 + (−6)5 ÷ 100÷ 4, 8 + 20, 1 =
(d) [100, 1÷ (−0, 7)]3 ÷ 100 + 29200 =
(e) (−2
3
)3 − (−1
2
) + 3
5
÷ 3
10
=
(f)
1
5
− [(1
5
)2 ÷ 1
5
]
1− 3
2
=
(g)
(7× 5)20
719(59)2
=
(h) 0, 310 × 0, 3−5 × 0, 37 ÷ 0, 310 =
(i)
√
3−2 =
(j)
4
√
10−4 =
(k) −
√
16
25
+
2
5
+
(
1
2
)−3
− 8 =
2. Simplifique:
(a) 5x− x + 2
3
(b)
√
3
2
+
2
√
27
3
−
(√
3
4
+
√
12
)
3. Em cada item abaixo, encontre todas as soluc¸o˜es da(s) equac¸a˜o(o˜es) do item:
(a) 5x =
x
2
(b) 1− x + 2
3
=
x
2
(c)
{
2x + 5 = y + 10
y − 3 = x− 4 (d)

3y
2
+ 5x = 4x + y − 6
1− y + x
2
=
x
4
(e)
y2 − 4y + 4
6y2 − 12y = 0 (f) x
3 − 25x = 0
(g) 3x2 − 18x = 0 (h) 9x2 − 6x + 1 = 0
(i) 9x2 − 6x
+ 1 = 9 (j) 9x2 − 6x + 6 = 0
(k) x3 + x2 + 20 = (x + 4)(x + 5) (l) (x + 3)2 = (2x + 1)2
4. Em cada item abaixo, encontre todos os valores de x que satisfazem a equac¸a˜o do item:
(a) 10x + 100x2 = −2 (f) 2x/3
9
+ 8x =
2
5/4
(b)
√
x2 + 9 = x + 2 (g) x2 = 7
(c)
7x + 3
7
= 3 (h) x2 + 9 = 0
(d)
1
5− x −
5
x(5− x) =
23
7x
(i)
x2 + 1
x2 − x −
2
x− 1 =
x− 2
x
(e)
2x
5
· 7x + 3
7
= 3 (j)
√
x2 = 5
5. Em cada item abaixo, encontre todos os valores de x que satisfazem a equac¸a˜o do item:
(a) (x− a)(x− b)(x− c) = 0
(b) (x− 5
√√
32)(x2 − 9)(x− 2
√
18) = 0
6. Decida se as proposic¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique.
(a) Se a, b ∈ [0,∞), enta˜o √a + b = √a +√b.
(b) Se a, b ∈ R, enta˜o √a · b = √a · √b.
7. Determine o conjunto de nu´meros reais x que satisfazem cada equac¸a˜o ou desigualdade
abaixo.
(a) 3(1− x) + 7x < 33− 4(5− 2x) (j) x
2 + 1
x4 + 2
+ 1 ≤ 0
(b) − 4 < 2− 3x ≤ 17 (k) (x +√3).(x− 5)2 = 0
(c) (2x− 5).(−x + 4) ≤ 0 (l) (x− 4).(x + 4).(x +√2) < 0
(d) x + 37 < x (m)
(x−√2)2.(x− 0, 1).(x +√17)
x4 + 2x2 + 1
= 0
(e) 1− 5− x
4
≤ 2− 3x ≤ 3
2
(n)
(x− 4)2.(x + 7)
(x2 + 1).(x + 2)4
> 0
(f)
5x− 16
x− 2 ≤ 0 (o)
(x2 + 7) (x2 − 7) (x +√7) (x + 5)
x2 − 25 = 0
(g)
x + 1
x2 + 1
≤ 0
8. Repita cada item do exerc´ıcio anterior trocando no enunciado, por exemplo, ”<”por
”>”, ”≤”e ”≥”, e assim por diante.
Mat1162 - 2016.2/P1/01b_Monitoria.pdf
> > 
Monitoria - Descrição de regiões planas
--------------------------------------------------------------------------------------------
1. Sejam duas constantes reais. 
A) Mostre que a curva 
(elipse de semi-eixos e centrada na origem)
é igual a onde
B) Usando as técnicas de Cálculo I, desenhe os gráficos e das funções 
C) Note que a elipse é simétrica com respeito aos eixos e , ou seja,
--------------------------------------------------------------------------------------------
2. Sejam duas constantes reais. 
Considere a hipérbole de assíntotas 
A) Nos moldes do exercício anterior, trace os dois ramos desta hipérbole.
Dica: (cada um dos ramos da hipérbole é um gráfico horizontal sobre todo o eixo ).
B) Discutir "intuitivamente" a existência das duas assíntotas.
Dica: Verifique o que acontece quando é muito grande nas equações 
--------------------------------------------------------------------------------------------
3. Seja 
A) Esboce a fronteira e o interior de separadamente.
B) Descreva a fronteira de através de equações e inequações cartesianas.
C) Descreva a região nos dois formatos a seguir:
(Tipo I)
(Tipo II)
explicitando 
D) Forneça a equação de uma elipse de centro que esteja inteiramente contida no interior da 
região (é necessário explicitar , assim como os semi-eixos da elipse). Verifique sua resposta 
com o Maple (esboçando a região e a elipse em uma mesma janela). 
E) Descreva através de inequações o conjunto obtido quando retiramos de a elipse cheia do item (D).
Obs.: Uma "elipse cheia" é um conjunto limitado e fechado do plano que tem como curva de fronteira 
uma elipse e que possui interior não-vazio.
Resp.: Se a elipse do item (D) tiver equação , então, ao retirarmos da 
região a elipse cheia, o conjunto restante pode ser descrito da seguinte forma:
F) Forneça a equação de uma elipse de centro que esteja inteiramente contida no exterior da 
região (é necessário explicitar , assim como os semi-eixos da elipse). Verifique sua resposta 
com o Maple (esboçando a região e a elipse em uma mesma janela).
--------------------------------------------------------------------------------------------
4. Exemplo 1.4 - Notas de aula "Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano"
--------------------------------------------------------------------------------------------
5. Seja 
A) Esboce a região 
B) Esboce a fronteira e o interior de separadamente.
C) Descreva a região nos dois formatos a seguir:
(Tipo I)
(Tipo II)
explicitando 
(Dica: Em qualquer um dos dois formatos, será necessário dividir a região em 3 sub-regiões.)
B) Descreva a fronteira de como uma união de 4 curvas, cada uma delas descrita no seguinte formato:
explicitando 
--------------------------------------------------------------------------------------------
6. Seja 
A) Esboce a região 
B) Esboce a fronteira e o interior de separadamente.
C) Descreva a região no seguinte formato:
(Tipo I)
explicitando 
(Dica: Será necessário dividir a região em 4 sub-regiões.)
B) Descreva a fronteira de como uma união de 4 curvas, cada uma delas descrita no seguinte formato:
explicitando 
--------------------------------------------------------------------------------------------
Mat1162 - 2016.2/P1/02_Monitoria.pdf
> > 
Monitoria - Descrição de regiões espaciais
--------------------------------------------------------------------------------------------
1. Exercício 2.5 (itens A e B) - Notas de aula "Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço 
Euclidiano"
--------------------------------------------------------------------------------------------
2. Considere a região do espaço 
A) Esboce a seção de no plano 
B) Descrever a fronteira de como união de 3 superfícies da forma
,
determinando 
--------------------------------------------------------------------------------------------
3. Desenhar e explicar os conjuntos abaixo, contidos no espaço 
A) (Cilindro que tem como base uma semielipse fechada)
Dizer se o conjunto é fechado
Dizer se o conjunto é limitado
Determinar a fronteira do conjunto
Escrever o conjunto na forma 
(determinando D e G)
B) Idem para 
--------------------------------------------------------------------------------------------
4. Considere a região do espaço 
A) Escrever na forma 
,
onde devem ser determinados.
B) Idem para 
C) Variação: Troque (da definição de ) por etc.
--------------------------------------------------------------------------------------------
5. Considere a região do espaço 
A) Escrever na forma 
,
onde devem ser determinados.
B) Idem para 
C) Variação: Troque (da definição de ) por 
--------------------------------------------------------------------------------------------
6. Considere a região determinada por
A) Escreva a fronteira de como a união , explicitando fórmulas para cada uma das 
superfícies 
B) Escreva na forma 
C) Determine a fronteira de D, exibindo equações.
--------------------------------------------------------------------------------------------
7. Seja Desenhe o conjunto 
e escreva 
, determinando Exiba a 
fronteira de via equações.
Mat1162 - 2016.2/P1/02_regioes_planas_espaciais.pdf
Descrevendo Regio˜es no Plano Cartesiano
e no Espac¸o Euclidiano
Americo Cunha
De´bora Mondaini
Ricardo Sa´ Earp
Departamento de Matema´tica
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro
1 Regio˜es no Plano
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es como unio˜es de regio˜es, onde
cada uma destas sera´ descrita em um dos dois formatos padro˜es:
“Tipo I”: R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x)} ,
ou
“Tipo II”: R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ c ≤ y ≤ d e h(y) ≤ x ≤ j(y)} ,
explicitando o intervalo [a, b] ou [c, d] e as func¸o˜es f e g ou h e j.
Exemplo 1.1 Considere a regia˜o do plano definida por
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ 1− x2} .
Para descrever R1 como uma regia˜o de “Tipo I”,
tomaremos f(x) = x
2 e g(x) =
1−x2. Os gra´ficos dessas func¸o˜es se intersectam nos pontos do plano cujas abscissas
satisfazem a equac¸a˜o x2 = 1− x2, i.e., x =
√
2
2
ou x = −
√
2
2
. Assim, temos que
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
e x2 ≤ y ≤ 1− x2
}
.
Um esboc¸o da regia˜o R1 pode ser visto na Figura 1.
A fronteira de R1 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1− x2 e − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = x2 e − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
}
.
1
−
√
2
2
√
2
2
1
2
1
x
y
Figura 1: Esboc¸o da regia˜o R1.
Vamos agora descrever R1 como uma regia˜o de “Tipo II”. Para isso, sera´ neces-
sa´rio escrever as curvas de sua fronteira atrave´s de equac¸o˜es da forma x = h(y):
y = x2 ⇔ x = ±√y
y = 1− x2 ⇔ x = ±
√
1− y .
Devemos dividir R1 em duas sub-regio˜es para poder descreveˆ-la no formato de-
sejado, como indicado na Figura 2.
x
y
R′′1
R′1
Figura 2: Divisa˜o horizontal da regia˜o R1.
Enta˜o R1 = R
′
1 ∪R′′1, onde
R′1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 1
2
e −√y ≤ x ≤ √y
}
,
R′′1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1
2
≤ y ≤ 1 e −
√
1− y ≤ x ≤
√
1− y
}
.
Exemplo 1.2 Agora vejamos a regia˜o
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ |x| ≤ y ≤ 1− x2} .
Observe que a regia˜o R2 esta´ definida por duas inequac¸o˜es. Nessas inequac¸o˜es, a
varia´vel y e´ limitada inferiormente por |x| e superiormente por 1− x2. Assim, para
descreveˆ-la como uma regia˜o de “Tipo I”, tomaremos f(x) = |x| e g(x) = 1−x2. Os
limites do intervalo [a, b] sa˜o determinados pelas abscissas dos pontos de intersec¸a˜o
das curvas y = |x| e y = 1− x2, i.e., pelos valores de x que satisfazem |x| = 1− x2.
2
Se x ≥ 0, a u´ltima equac¸a˜o equivale a x2+x−1 = 0, a qual possui duas soluc¸o˜es:
x1 =
√
5− 1
2
e x2 =
−√5− 1
2
.
Sendo x na˜o negativo, a u´nica soluc¸a˜o va´lida e´ x1.
Se x < 0, a equac¸a˜o de interesse se torna x2 − x− 1 = 0, cujas soluc¸o˜es sa˜o:
x3 =
1 +
√
5
2
e x4 =
1−√5
2
.
Como x e´ negativo, a u´nica soluc¸a˜o va´lida e´ x4.
Logo, a regia˜o R2 (esboc¸ada na Figura 3) pode ser escrita como
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
e |x| ≤ y ≤ 1− x2
}
.
1−√5
2
√
5−1
2
1
x
y
Figura 3: Esboc¸o da regia˜o R2.
A fronteira de R2 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1− x2 e 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = |x| e 1−√5
2
≤ x ≤
√
5− 1
2
}
.
Podemos ainda descrever a regia˜o R2 como uma regia˜o de “Tipo II”. Para isto,
e´ importante saber expressar sua fronteira atrave´s de equac¸o˜es do tipo x = h(y).
Observe que:
y = x ⇔ x = y
y = −x ⇔ x = −y
y = 1− x2 ⇔ x = ±
√
1− y .
Verifique que R2 = R
′
2 ∪R′′2 (Figura 4), onde
3
R′2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ √5− 1
2
e − y ≤ x ≤ y
}
,
R′′2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √5− 1
2
≤ y ≤ 1 e −
√
1− y ≤ x ≤
√
1− y
}
.
x
y
R′′2
R′2
Figura 4: Divisa˜o horizontal da regia˜o R2
Exemplo 1.3 Considere agora a seguinte regia˜o do plano:
R3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ y ≤ 1 e √1− y2 ≤ x ≤√2− y2} .
Observe que R3 ja´ esta´ descrita como uma regia˜o do “Tipo II” (pois y varia
entre duas constantes e x varia entre duas func¸o˜es de y). Um esboc¸o desta regia˜o e´
apresentado na Figura 5
1
−1
1
√
2
x
y
Figura 5: Esboc¸o da regia˜o R3.
A fronteira de R3 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = 1 e 0 ≤ x ≤ 1} ,
4
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = −1 e 0 ≤ x ≤ 1} ,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = √1− y2 e − 1 ≤ y ≤ 1} ,
C4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = √2− y2 e − 1 ≤ y ≤ 1} .
Para descrever R3 como uma regia˜o de “Tipo I”, vamos estudar sua fronteira
(lembrando que agora queremos expressa´-la atrave´s de equac¸o˜es da forma y = f(x)):
x =
√
1− y2 ⇔ y = ±
√
1− x2
x =
√
2− y2 ⇔ y = ±
√
2− x2 .
Este exemplo e´ um pouco mais complicado do que os que vimos ate´ agora, pois
sera´ necessa´rio dividir R3 em treˆs sub-regio˜es: R
′
3 ∪R′′3 ∪R′′′3 (Figura 6), onde
R′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ −√1− x2} ,
R′′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ 1} ,
R′′′3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 1 ≤ x ≤ √2 e −√2− x2 ≤ y ≤ √2− x2} .
x
y
R′3
R′′3
R′′′3
Figura 6: Divisa˜o vertical da regia˜o R3.
Vamos agora considerar um exerc´ıcio interessante: descrever a regia˜o R3 como
unia˜o de regio˜es escritas na forma {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β e f(θ) ≤ r ≤ g(θ)} (ou
seja, descrever R3 em coordenadas polares). Lembrando que a relac¸a˜o entre as
coordenadas cartesianas e polares e´ dada por x = r cos(θ) e y = r sin(θ), temos que
a equac¸a˜o da reta y = 1 em coordenadas polares e´ r = 1/ sin(θ). Analogamente,
y = −1 e´ reescrita como r = −1/ sin(θ). Logo, verifique que R3 e´ dada como unia˜o
das seguintes sub-regio˜es:{
(r, θ)
∣∣ − pi
2
≤ θ ≤ −pi
4
e 1 ≤ r ≤ − 1
sin(θ)
}
,
5
{
(r, θ)
∣∣ − pi
4
≤ θ ≤ pi
4
e 1 ≤ r ≤
√
2
}
,{
(r, θ)
∣∣ pi
4
≤ θ ≤ pi
2
e 1 ≤ r ≤ 1
sin(θ)
}
.
Exemplo 1.4 Considere a seguinte regia˜o do plano:
R4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − ln(x+ 1) ≤ y ≤ ln(x) e 0 < x ≤ 3} .
O limite inferior para a varia´vel x e´ a abscissa do ponto de intersec¸a˜o entre as
curvas y = − ln(x+1) e y = ln(x), ou seja, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o − ln(x+1) = ln(x):
− ln(x+ 1) = ln(x)
⇔ ln
(
1
x+ 1
)
= ln(x)
⇔ 1
x+ 1
= x
⇔ x2 + x− 1 = 0
⇔ x = −1±
√
5
2
.
Como x > 0, consideraremos apenas a soluc¸a˜o positiva da equac¸a˜o acima. Logo,
R4 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √5− 1
2
≤ x ≤ 3 e − ln(x+ 1) ≤ y ≤ ln(x)
}
.
Um esboc¸o desta regia˜o e´ dado pela Figura 7.
√
5−1
2 3
ln 3
− ln 4
ln
√
5−1
2
x
y
Figura 7: Esboc¸o da regia˜o R4.
6
A fronteira de R4 e´ a unia˜o das seguintes curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = ln(x) e √5− 1
2
≤ x ≤ 3
}
,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = − ln(x+ 1) e √5− 1
2
≤ x ≤ 3
}
,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = 3 e − ln(4) ≤ y ≤ ln(3)} ,
Para descreveˆ-la como uma regia˜o de “Tipo II”, devemos expressar suas fronteiras
atrave´s de equac¸o˜es da forma x = h(y):
y = ln(x) ⇔ x = ey
y = − ln(x+ 1) ⇔ y = ln
(
1
x+ 1
)
⇔ ey = 1
x+ 1
⇔ x = 1
ey
− 1
Para encontrar os extremos do intervalo [c, d], basta procurar pelas ordenadas
dos pontos de intersec¸a˜o das curvas y = − ln(x+ 1) e y = ln(x) com a reta vertical
x = 3. Logo, c = − ln(4) e d = ln(3). Entretanto, sera´ ainda necessa´rio dividir
horizontalmente a regia˜o R4 em duas sub-regio˜es, como ilustrado na Figura 8.
x
y
R′′4
R′4
Figura 8: Divisa˜o horizontal da regia˜o R4.
E enta˜o R4 = R
′
4 ∪R′′4, onde
R′4 =
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − ln(4) ≤ y ≤ ln
(
−1 +√5
2
)
e
1
ey
− 1 ≤ x ≤ 3
 ,
R′′4 =
(x, y) ∈ R2 ∣∣ ln
(
−1 +√5
2
)
≤ y ≤ ln(3) e ey ≤ x ≤ 3
 .
7
Exemplo 1.5 Considere a seguinte regia˜o do plano:
R5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ pi
2
, sen(x) ≤ y ≤ cos(x)
}
.
As curvas y = sen(x) e y = cos(x) intersectam-se em x =
pi
4
. Logo, a regia˜o R5
pode ser descrita como
R5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ x ≤ pi
4
, sen(x) ≤ y ≤ cos(x)
}
.
A fronteira de R5 e´ composta por treˆs curvas:
C1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1} ,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = sen(x) , 0 ≤ x ≤ pi
4
}
,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = cos(x) , 0 ≤ x ≤ pi
4
}
.
Para descrever R5 como uma regia˜o do “Tipo II”, devemos dividi-la em duas
sub-regio˜es: R5 = R
′
5 ∪R′′5.
Observando que
y = sen(x)⇔ x = arcsen(y)
y = cos(x)⇔ x = arccos(y)
sen
(
pi
4
)
= cos
(
pi
4
)
=
√
2
2
,
temos:
R′5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ √2
2
, 0 ≤ x ≤ arcsen(y)
}
,
R′′5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √2
2
≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ arccos(y)
}
.
8
Exerc´ıcio 1.1 Calcule os centro´ides das regio˜es planas estudadas nos Exemplos
1.1 a 1.4.
Exerc´ıcio 1.2 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ √1− x2}. Esboce esta regia˜o
e calcule seu centro´ide.
Exerc´ıcio 1.3 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ √2− x2}.
Descreva esta regia˜o em coordenadas polares e calcule seu centro´ide.
2 Regio˜es no Espac¸o
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es do espac¸o no formato padra˜o
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, y) ≤ z ≤ G(x, y) e (x, y) ∈ R} ,
explicitando a regia˜o R e as func¸o˜es F e G.
Exemplo 2.1 Considere a regia˜o
U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2} .
Nesse exemplo temos que F (x, y) =
√
x2 + y2 e G(x, y) =
√
1− x2 − y2. Os gra´-
ficos dessas func¸o˜es se intersectam ao longo de uma curva no espac¸o, cuja represen-
tac¸a˜o cartesiana e´ dada pelas equac¸o˜es z =
√
x2 + y2 e z =
√
1− x2 − y2. Ao eli-
minarmos a varia´vel z das equac¸o˜es anteriores, obtemos
√
x2 + y2 =
√
1− x2 − y2,
a equac¸a˜o que define a fronteira da projec¸a˜o ortogonal de U no plano xy. A u´ltima
equac¸a˜o equivale a x2 + y2 = 1/2. Logo, a projec¸a˜o ortogonal U no plano xy e´ um
disco centrado na origem de raio
√
2/2.
Assim, temos que
U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R1} ,
onde
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
e −
√
1
2
− x2 ≤ y ≤
√
1
2
− x2
}
.
A fronteira de U1 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1
2
}
,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 1
2
}
.
Um esboc¸o da regia˜o U1 pode ser visto na Figura 9.
9
−
√
2
2
√
2
2
y
z
x
Figura 9: Esboc¸o da regia˜o U1.
Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
∫ √2
2
x=−
√
2
2
∫ √ 1
2
−x2
y=−
√
1
2
−x2
(√
1− x2 − y2 −
√
x2 + y2
)
dy dx .
Esta e´ uma integral muito dif´ıcil de ser calculada, mas podemos simplificar nossa
tarefa se usarmos o fato de que a regia˜o de integrac¸a˜o, R1, e´ um c´ırculo centrado na
origem de raio
√
2/2. Em coordenadas polares, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
∫ 2pi
θ=0
∫ √2
2
r=0
(√
1− r2 − r
)
rdr dθ =
pi(2−√2)
3
.
Como exerc´ıcio, calcule o volume do seguinte so´lido:
U˜1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + z2 ≤ y ≤ √1− x2 − z2} .
Exemplo 2.2 Observe a regia˜o
U2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≤ 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} ,
que corresponde ao so´lido contido no cilindro x2 + y2 ≤ 1, delimitado pelos planos
z = −2 e z = 7− y (veja Figura 10).
A projec¸a˜o ortogonal de U2 no plano xy e´ obviamente um c´ırculo centrado na
origem de raio 1. Logo, no formato padra˜o, esta regia˜o e´ descrita como
U2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 2 ≤ z ≤ 7− y e (x, y) ∈ R2} ,
onde
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} .
10
−2
y
z
x
Figura 10: Esboc¸o da regia˜o U2.
A fronteira de U2 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = −2 e x2 + y2 ≤ 1} ,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 7− y e x2 + y2 ≤ 1} ,
S3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 = 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} .
O volume do so´lido U2 e´ dado por:
Vol(U2) =
∫ 1
x=−1
∫ √1−x2
y=−√1−x2
(
7− y − (−2)) dy dx = 9pi .
Assim como no exemplo anterior, tambe´m seria conveniente aqui usar coordena-
das polares para descrever a regia˜o de integrac¸a˜o, R2. O volume de U2 seria enta˜o
dado por:
Vol(U2) =
∫ 2pi
θ=0
∫ 1
r=0
(
9− r sin(θ)) rdr dθ = 9pi .
Exemplo 2.3 Considere as regio˜es
U ′3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2
4
≤ 1
}
,
e
U ′′3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 4
3
(
x2 + y2
) ≤ z2} .
11
−
√
3
2
√
3
2
y
z
x
Figura 11: Esboc¸o da regia˜o U3.
Seja U3 = U
′
3 ∩ U ′′3 ∩ {z ≥ 0}. Na Figura 11 vemos um esboc¸o desta regia˜o.
Como z ≥ 0, para encontrar a equac¸a˜o da curva no espac¸o onde o elipso´ide U ′3
e o cone U ′′3 se interceptam, basta igualar a parte de cima do elipso´ide a` parte de
cima do cone:
2
√
1− x2 − y2 = 2
√
3
3
√
x2 + y2 .
A projec¸a˜o ortogonal de U3 no plano xy e´ obtida simplificando-se a equac¸a˜o
acima: x2 + y2 = 3/4 (um c´ırculo centrado na origem, de raio
√
3/2). Logo, des-
crevemos a regia˜o U3 da seguinte forma:
U3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 2√3
3
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2
√
1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R3
}
,
onde
R3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √3
2
≤ x ≤
√
3
2
e −
√
3
4
− x2 ≤ y ≤
√
3
4
− x2
}
.
A fronteira de U3 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√3
3
√
x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 3
4
}
,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 3
4
}
,
O volume do so´lido U3 e´ dado por:
Vol(U3) =
∫ √3
2
x=−
√
3
2
∫ √ 3
4
−x2
y=−
√
3
4
−x2
(
2
√
1− x2 − y2 − 2
√
3
3
√
x2 + y2
)
dy dx =
2pi
3
.
12
Usando coordenadas polares, o ca´lculo da integral acima e´ bem mais simples:
Vol(U3) =
∫ 2pi
θ=0
∫ √3
2
r=0
(
2
√
1− r2 − 2
√
3
3
r
)
rdr dθ =
2pi
3
.
Exemplo 2.4 Considere U4 a regia˜o do espac¸o delimitada pelos planos y = 0, z = 0
e y+ z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = 4−|x|. Um esboc¸o de U4 pode ser visto
na Figura 12.
4
4
5 y
z
x
Figura 12: Esboc¸o da regia˜o U4.
A maneira mais fa´cil de descrever esta regia˜o e´ no seguinte formato:
U4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, z) ≤ y ≤ G(x, z) e (x, z) ∈ R} ,
onde R e´ uma regia˜o do plano xz.
A projec¸a˜o ortogonal de U4 no plano xz e´ a regia˜o delimitada pelas retas z = 4−x,
z = 4 + x e z = 0. Logo,
U4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 5− z e (x, y) ∈ R4} ,
onde
R4 =
{
(x, z) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ z ≤ 4 e − 4 + z ≤ x ≤ 4− z} .
A fronteira de U4 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 0 , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5} ,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 0 , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} ,
13
S3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 4− |x| , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5− z} ,
S4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 5− z , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} .
O volume do so´lido U4 e´ dado por:
Vol(U4) =
∫ 4
z=0
∫ 4−z
x=−4+z
(5− z) dx dz = 176
3
.
Como exerc´ıcio, calcule ∫∫
R4
xz dx dz .
Exemplo 2.5 Considere a regia˜o U5 de R3 dada por
U5 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 1 ≤ z ≤ x2 − y2 + 10 , x2 + y2 ≤ 1} .
A projec¸a˜o ortogonal de U5 sobre o plano xy e´ o disco centrado na origem de
raio 1. Logo,
U5 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 1 ≤ z ≤ x2 − y2 + 10 , (x, y) ∈ R5} ,
onde
R5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 , −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} .
A fronteira de U5 e´ a
unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = −1 , x2 + y2 ≤ 1} ,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = x2 − y2 + 10 , x2 + y2 ≤ 1} ,
S3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 = 1 , −1 ≤ z ≤ x2 − y2 + 10} .
Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U5 e´ dado por
Vol(U5) =
∫∫
R5
(
(x2 − y2 + 10)− (−1)) dxdy
=
∫ 1
−1
∫ √1−x2
−√1−x2
(
x2 − y2 + 11) dydx
= 11pi .
Para facilitar o ca´lculo da integral acima, podemos descrever a regia˜o R5 em
coordenadas polares: 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2pi. Usando ainda que x = rcos(θ) e
14
y = rsen(θ), o volume de U5 pode ser reescrito como:
Vol(U5) =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(
r2cos2(θ)− r2sen2(θ) + 11) r drdθ
=
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(
r2cos(2θ) + 11
)
r drdθ
=
(∫ 1
0
r3 dr
)(∫ 2pi
0
cos(2θ) dθ
)
+ 11pi
=
1
4
. 0 + 11pi
= 11pi .
Exerc´ıcio 2.1 Seja
R =
{
(y, z) ∈ R2 ∣∣ |y| ≤ z ≤ 1− y2} .
Considere a regia˜o U ⊂ R3, obtida girando-se R em torno do eixo z. Descreva U
usando desigualdades.
Exerc´ıcio 2.2 Seja U a regia˜o do espac¸o delimitada pelo parabolo´ide z = x2 + y2
e pelo plano z = y + 2.
a) Escreva U usando desigualdades.
b) Explicite R, regia˜o do plano xy, obtida pela projec¸a˜o ortogonal de U nesse plano.
Exerc´ıcio 2.3 Considere a seguinte regia˜o
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≥ 1 + z2, x2 + y2 + z2 ≤ 5 e z ≥ 0} .
Descreva essa regia˜o como a unia˜o de duas regio˜es U1 e U2 escritas no formato
padra˜o.
Exerc´ıcio 2.4 Esboce as regio˜es do espac¸o a seguir e determine suas respectivas
projec¸o˜es no plano xy.
a) U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2 ≤ 4 e z ≥√x2 + y2}
b) U2 = U1 ∩ {z ≥ 1}
c) U3 = U2 ∩ {x ≥ 0 e y ≥ 0}
Exerc´ıcio 2.5 Considere U a regia˜o do espac¸o delimitada pelos planos y = 0,
z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro sobre uma para´bola dado por z = 4− x2. Seja R a
projec¸a˜o ortogonal de U no plano xz.
a) Esboce U , explicitando sua fronteira por equac¸o˜es.
b) Descreva R atrave´s de equac¸o˜es ou inequac¸o˜es cartesianas.
c) Calcule o volume de U .
15
Mat1162 - 2016.2/P1/03_Monitoria.pdf
> > 
Monitoria MAT1162 - Integração Dupla
1) Escreva a integral iterada que dá o volume do sólido que está acima do plano abaixo do plano 
, e no interior do cilindro 
Resposta: Vol = .
_____________________________________________________________
2) Considere a região cuja fronteira está esboçada abaixo
A) Note que a fronteira de é a união de três curvas. Exiba a equação cartesiana de cada 
uma destas curvas (estão sendo pedidas as equações dos "segmentos" e do "arco"; não basta exibir, se 
for o caso, a equação da reta ou do círculo).
B) Escreva a integral dupla na forma de soma de integrais iteradas, integrando 
primeiro com respeito a e em seguida com respeito a .
C) Escreva na forma de integral iterada, integrando primeiramente com respeito a .
_____________________________________________________________
3) Considere as regiões do espaço:
A) Escreva o volume de na forma de integral dupla
explicitando , e .
B) Escreva o volume de na forma de integral iterada.
C) Escreva o volume de na forma de integral iterada.
Obs.: O cálculo dos volumes descritos acima deverá ser feito utilizando coordenadas polares.
_____________________________________________________________
4) Considere as regiões planas
A) Seja . Considere a integral dupla . Escreva usando obrigatoriamente 
integrais iteradas, integrando primeiro com respeito a e depois com respeito a .
B) Calcule a área e as coordenadas , do centróide de onde 
e .
Resposta: 
(Obs.: O resultado já era previsto? Por quê?)
_____________________________________________________________
5) Considere a região do espaço delimitada pelos planos , e pelo cilindro sobre 
uma parábola dado por Seja a projeção ortogonal de no plano 
A) Desenhe , explicitando sua fronteira por equações.
B) Determine por equações ou inequações cartesianas.
C) Calcule 
Resposta: 
D) Calcule o volume de 
_____________________________________________________________
6) Calcule o volume do seguinte sólido:
.
Descreva a fronteira do sólido acima, através de desigualdades ou igualdades.
Mat1162 - 2016.2/P1/04_Monitoria.pdf
> > 
Monitoria MAT1162 - Coordenadas Polares
________________________________________________
1) Calcule a área da região definida por:
Resp.: 
________________________________________________
2) Considere a região plana
A) Descreva a região como união de 3 regiões da forma 
B) Calcule o centroide de 
________________________________________________
3) Sejam
,
Calcule o volume de 
Resp.: 
________________________________________________
4) Calcule o volume do sólido
________________________________________________
5) Considere a seguinte região do espaço:
A) Esboce .
B) Calcule o volume de .
Solução: Em coordenadas polares, a calota superior da esfera centrada na origem de raio 2 se escreve
como Já o cone se escreve como A curva de interseção entre a esfera e o cone é 
, ou seja, 
 (logo, a projeção ortogonal é um círculo centrado na origem de raio ). Já a interseção 
entre o plano e o cone é (e então a projeção ortogonal é um círculo centrado na origem de 
raio 1). Para calcular o volume de , dividiremos o sólido em duas partes:
________________________________________________
6) Calcule o volume do sólido compreendido entre o gráfico de e a região (do plano
) 
________________________________________________
7) Seja a região do plano dada em coordenadas polares por .
Considere 
A) Desenhe a fronteira de 
B) Desenhe a fronteira de 
C) Usando coordenadas polares, calcule a área de 
Solução: 
C) 
Utilizando que temos:
 
Mat1162 - 2016.2/P1/aula 01a_revisao.mw
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pontif\303\255cia Universidade Cat\303\263lica do Rio de Janeiro
 
 
 
 MAT1162 - C\303\241lculo a V\303\241rias Vari\303\241veis I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkjbWlHRiQ2JVEocmVzdGFydEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JI21vR0YkNi1RIjpGJy9GM1Enbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRj0vJSlzdHJldGNoeUdGPS8lKnN5bW1ldHJpY0dGPS8lKGxhcmdlb3BHRj0vJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y9LyUnYWNjZW50R0Y9LyUnbHNwYWNlR1EsMC4yNzc3Nzc4ZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGTA==
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 
 QyQtSSV3aXRoRzYiNiNJJnBsb3RzRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliR0YlISIi
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 
 
 
 
 1 - Representa\303\247\303\243o de N\303\272meros Reais 
 
 
 
 O Maple possui um pacote de computa\303\247\303\243o simb\303\263lica que permite representar e fazer contas com n\303\272meros reais de maneira exata. Isso n\303\243o \303\251 usual em linguagens de programa\303\247\303\243o, que, em geral, representam um n\303\272mero real atrav\303\251s de uma aproxima\303\247\303\243o decimal e, consequentemente, fazem contas aproximadas com esses n\303\272meros. 
 
 
 
 
 Vejamos como definir
um n\303\272mero real no Maple.
 
 
 
 
 
 
 
 QyQ+SSJhRzYiLCRJI1BpRyUqcHJvdGVjdGVkRyMiIiIiIiNGKg==
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 LCRJI1BpRyUqcHJvdGVjdGVkRyMiIiIiIiM=
 
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 
 Observe que a vari\303\241vel LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkjbWlHRiQ2JVEiYUYnLyUnaXRhbGljR1EmZmFsc2VGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1Enbm9ybWFsRidGMg== armazena uma express\303\243o simb\303\263lica para LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkmbWZyYWNHRiQ2KC1JI21pR0YkNiVRJyYjOTYwO0YnLyUnaXRhbGljR1EmZmFsc2VGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1Enbm9ybWFsRictRiM2JS1JI21uR0YkNiRRIjJGJ0Y1L0YzUSV0cnVlRicvRjZRJ2l0YWxpY0YnLyUubGluZXRoaWNrbmVzc0dRIjFGJy8lK2Rlbm9tYWxpZ25HUSdjZW50ZXJGJy8lKW51bWFsaWduR0ZHLyUpYmV2ZWxsZWRHRjRGNQ== . 
 Se quisermos uma aproxima\303\247\303\243o decimal de LUkmbWZyYWNHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2KC1JI21pR0YkNiVRJSZwaTtGJy8lJ2l0YWxpY0dRJmZhbHNlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ25vcm1hbEYnLUklbXJvd0dGJDYkLUkjbW5HRiQ2JFEiMkYnRjJGMi8lLmxpbmV0aGlja25lc3NHUSIxRicvJStkZW5vbWFsaWduR1EnY2VudGVyRicvJSludW1hbGlnbkdGQS8lKWJldmVsbGVkR0Yx , podemos utilizar o comando evalf.
 
 
 
 QyQtSSZldmFsZkclKnByb3RlY3RlZEc2I0kiYUc2IiIiIg==
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 JCIrRmp6cTohIio=
 
 
 
 Por padr\303\243o esse comando exibe 10 d\303\255gitos. 
Para aumentar esse n\303\272mero usamos o comando Digits.
 
 
 
 QyQ+SSdEaWdpdHNHNiIiIz8iIiI=
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 IiM/
 
 
 
 QyQtSSZldmFsZkclKnByb3RlY3RlZEc2I0kiYUc2IiIiIg==
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 JCI1Iz5tKlt6RWp6cTohIz4=
 
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 
 %;
 
 
 
 
 
 
 
 Dica: Relembre as propriedades dos n\303\272meros reais. Cuidado para n\303\243o cometer erros como:
 
 
 
 
 
 
 
 (i)
 
 
 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
 
 
 
 
 
 
 
 (ii) 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
 
 
 
 
 
 
 
 (iii) JSFH 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
 
 
 
 
 
 2 - Fun\303\247\303\265es a uma Vari\303\241vel 
 
 
 JSFH
 
 
 
 JSFH
 
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic= LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 
 Agora vamos representar uma fun\303\247\303\243o real 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 no Maple. 
 
 
 
 Para definirmos LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVEiZkYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJw== precisamos seguir a seguinte sintaxe:
 
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 
 QyQ+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiY5JCIiIi1JJGV4cEdGJTYjLCRGLSEiIkYuRiVGJUYlRi4=
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 Zio2I0kieEc2IkYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiY5JCIiIi1JJGV4cEdGJTYjLCRGKiEiIkYrRiVGJUYl
 
 
 
 
 
 
 
 Definindo uma fun\303\247\303\243o dessa forma, podemos avaliar seu valor em LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkjbWlHRiQ2JVEieEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy9GM1Enbm9ybWFsRic= usando a nota\303\247\303\243o cl\303\241ssica LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2JVEiZkYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JKG1mZW5jZWRHRiQ2JC1GIzYkLUYsNiVRInhGJ0YvRjIvRjNRJ25vcm1hbEYnRj1GPQ== .
 
 
 
 QyQtSSJmRzYiNiMiIiEiIiI=
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 IiIh
 
 
 
 QyQtSSJmRzYiNiMiIiJGJw==
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 LUkkZXhwRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiNiMhIiI=
LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 
 Outros exemplos:
 
 
 
 
 
 
 
 QyQ+SSJnRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIkIiIiRi4hIiJGJUYlRiVGMA==
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 Zio2I0kieEc2IkYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIkIiIiRishIiJGJUYlRiU=
 
 
 
 
 
 
 QyQ+SSJoRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLUkkc2luR0YlNiMqJDkkISIiRiVGJUYlIiIi
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 Zio2I0kieEc2IkYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLUkkc2luR0YlNiMqJDkkISIiRiVGJUYl
 
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic= LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 3 - Gr\303\241ficos de Fun\303\247\303\265es a uma Vari\303\241vel 
 
 
 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
 
 
 
 O gr\303\241fico de uma fun\303\247\303\243o 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 \303\251 o conjunto de pontos de LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1cEdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEoJiM4NDc3O0YnLyUnaXRhbGljR1EmZmFsc2VGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1Enbm9ybWFsRictRiM2JS1JI21uR0YkNiRRIjJGJ0Y1L0YzUSV0cnVlRicvRjZRJ2l0YWxpY0YnLyUxc3VwZXJzY3JpcHRzaGlmdEdRIjBGJ0Y1 da forma LUkobWZlbmNlZEc2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXJvd0dGJDYnLUkjbWlHRiQ2JVEieEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JI21vR0YkNi1RIixGJy9GNlEnbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRjQvJSlzdHJldGNoeUdGQC8lKnN5bW1ldHJpY0dGQC8lKGxhcmdlb3BHRkAvJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0ZALyUnYWNjZW50R0ZALyUnbHNwYWNlR1EmMC4wZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdRLDAuMzMzMzMzM2VtRictRi82JVEiZkYnRjJGNS1GIzYkLUYsNiRGLkY8RjxGPEY8 , onde LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JVEieEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JI21vR0YkNi1RJSZpbjtGJy9GM1Enbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRj0vJSlzdHJldGNoeUdGPS8lKnN5bW1ldHJpY0dGPS8lKGxhcmdlb3BHRj0vJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y9LyUnYWNjZW50R0Y9LyUnbHNwYWNlR1EsMC4yNzc3Nzc4ZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGTC1GLDYlUSJERidGL0YyRjk= . 
 
 
 
 Para visualizar o gr\303\241fico de uma fun\303\247\303\243o a uma vari\303\241vel utilizamos o comando plot.
 
 
 
 
 
 
 
 No caso da fun\303\247\303\243o LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVEiZkYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJw== definida na se\303\247\303\243o 2, o dom\303\255nio \303\251 todo o conjunto dos n\303\272meros reais.
Como n\303\243o podemos visualizar toda a reta real na tela de um computador, precisamos definir 
uma "janela" de interesse no dom\303\255nio. Esse \303\251 o procedimento geral que deve ser adotado 
sempre que desejarmos desenhar o gr\303\241fico de uma fun\303\247\303\243o com o Maple. No caso da fun\303\247\303\243o LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVEiZkYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJw== , 
 a "janela" de interesse \303\251 o intervalo LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkobWZlbmNlZEdGJDYmLUYjNictSSNtbkdGJDYkUSIwRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ25vcm1hbEYnLUkjbW9HRiQ2LVEiLEYnRjQvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHUSV0cnVlRicvJSlzdHJldGNoeUdGPS8lKnN5bW1ldHJpY0dGPS8lKGxhcmdlb3BHRj0vJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y9LyUnYWNjZW50R0Y9LyUnbHNwYWNlR1EmMC4wZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdRLDAuMzMzMzMzM2VtRictRjE2JFEiNUYnRjQvJSdpdGFsaWNHRkAvRjVRJ2l0YWxpY0YnRjQvJSVvcGVuR1EiW0YnLyUmY2xvc2VHUSJdRidGVEZW .
 
 
 
 QyY+SSN4MEc2IiIiISIiIj5JI3gxR0YlIiImRic=
 
 LUkjbWlHNiMvSSttb2R1bGVuYW1lRzYiSSxUeXBlc2V0dGluZ0dJKF9zeXNsaWJHRic2JVE1b3V0cHV0fnJlZGlyZWN0ZWQuLi5GJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic=
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 IiIh
 
 IiIm
 
 
 JSFH
 
 
 print( ); # input placeholder
 
 
 
 QyQtSSVwbG90RzYiNiQtSSJmR0YlNiNJInhHRiUvRio7SSN4MEdGJUkjeDFHRiUiIiI=
 
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 Observe que os eixos tem escalas diferentes.
 
 
 
 Podemos corrigir isso usando o comando plot com as seguintes op\303\247\303\265es:
 
 
 
 JSFH
 
 
 
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