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{ (x, y) ∈ R2 ∣∣ x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1} , C2 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ y = sen(x) , 0 ≤ x ≤ pi 4 } , C3 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ y = cos(x) , 0 ≤ x ≤ pi 4 } . Para descrever R5 como uma regia˜o do “Tipo II”, devemos dividi-la em duas sub-regio˜es: R5 = R ′ 5 ∪R′′5. Observando que y = sen(x)⇔ x = arcsen(y) y = cos(x)⇔ x = arccos(y) sen ( pi 4 ) = cos ( pi 4 ) = √ 2 2 , temos: R′5 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ √2 2 , 0 ≤ x ≤ arcsen(y) } , R′′5 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ √2 2 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ arccos(y) } . 8 Exerc´ıcio 1.1 Calcule os centro´ides das regio˜es planas estudadas nos Exemplos 1.1 a 1.4. Exerc´ıcio 1.2 Seja R = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ √1− x2}. Esboce esta regia˜o e calcule seu centro´ide. Exerc´ıcio 1.3 Seja R = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ √2− x2}. Descreva esta regia˜o em coordenadas polares e calcule seu centro´ide. 2 Regio˜es no Espac¸o Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es do espac¸o no formato padra˜o U = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, y) ≤ z ≤ G(x, y) e (x, y) ∈ R} , explicitando a regia˜o R e as func¸o˜es F e G. Exemplo 2.1 Considere a regia˜o U1 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2} . Nesse exemplo temos que F (x, y) = √ x2 + y2 e G(x, y) = √ 1− x2 − y2. Os gra´- ficos dessas func¸o˜es se intersectam ao longo de uma curva no espac¸o, cuja represen- tac¸a˜o cartesiana e´ dada pelas equac¸o˜es z = √ x2 + y2 e z = √ 1− x2 − y2. Ao eli- minarmos a varia´vel z das equac¸o˜es anteriores, obtemos √ x2 + y2 = √ 1− x2 − y2, a equac¸a˜o que define a fronteira da projec¸a˜o ortogonal de U no plano xy. A u´ltima equac¸a˜o equivale a x2 + y2 = 1/2. Logo, a projec¸a˜o ortogonal U no plano xy e´ um disco centrado na origem de raio √ 2/2. Assim, temos que U1 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R1} , onde R1 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2 2 ≤ x ≤ √ 2 2 e − √ 1 2 − x2 ≤ y ≤ √ 1 2 − x2 } . A fronteira de U1 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies: S1 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1 2 } , S2 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 1 2 } . Um esboc¸o da regia˜o U1 pode ser visto na Figura 9. 9 − √ 2 2 √ 2 2 y z x Figura 9: Esboc¸o da regia˜o U1. Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U1 e´ dado por: Vol(U1) = ∫ √2 2 x=− √ 2 2 ∫ √ 1 2 −x2 y=− √ 1 2 −x2 (√ 1− x2 − y2 − √ x2 + y2 ) dy dx . Esta e´ uma integral muito dif´ıcil de ser calculada, mas podemos simplificar nossa tarefa se usarmos o fato de que a regia˜o de integrac¸a˜o, R1, e´ um c´ırculo centrado na origem de raio √ 2/2. Em coordenadas polares, o volume do so´lido U1 e´ dado por: Vol(U1) = ∫ 2pi θ=0 ∫ √2 2 r=0 (√ 1− r2 − r ) rdr dθ = pi(2−√2) 3 . Como exerc´ıcio, calcule o volume do seguinte so´lido: U˜1 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + z2 ≤ y ≤ √1− x2 − z2} . Exemplo 2.2 Observe a regia˜o U2 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≤ 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} , que corresponde ao so´lido contido no cilindro x2 + y2 ≤ 1, delimitado pelos planos z = −2 e z = 7− y (veja Figura 10). A projec¸a˜o ortogonal de U2 no plano xy e´ obviamente um c´ırculo centrado na origem de raio 1. Logo, no formato padra˜o, esta regia˜o e´ descrita como U2 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 2 ≤ z ≤ 7− y e (x, y) ∈ R2} , onde R2 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} . 10 −2 y z x Figura 10: Esboc¸o da regia˜o U2. A fronteira de U2 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies: S1 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = −2 e x2 + y2 ≤ 1} , S2 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 7− y e x2 + y2 ≤ 1} , S3 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 = 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} . O volume do so´lido U2 e´ dado por: Vol(U2) = ∫ 1 x=−1 ∫ √1−x2 y=−√1−x2 ( 7− y − (−2)) dy dx = 9pi . Assim como no exemplo anterior, tambe´m seria conveniente aqui usar coordena- das polares para descrever a regia˜o de integrac¸a˜o, R2. O volume de U2 seria enta˜o dado por: Vol(U2) = ∫ 2pi θ=0 ∫ 1 r=0 ( 9− r sin(θ)) rdr dθ = 9pi . Exemplo 2.3 Considere as regio˜es U ′3 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2 4 ≤ 1 } , e U ′′3 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 4 3 ( x2 + y2 ) ≤ z2} . 11 − √ 3 2 √ 3 2 y z x Figura 11: Esboc¸o da regia˜o U3. Seja U3 = U ′ 3 ∩ U ′′3 ∩ {z ≥ 0}. Na Figura 11 vemos um esboc¸o desta regia˜o. Como z ≥ 0, para encontrar a equac¸a˜o da curva no espac¸o onde o elipso´ide U ′3 e o cone U ′′3 se interceptam, basta igualar a parte de cima do elipso´ide a` parte de cima do cone: 2 √ 1− x2 − y2 = 2 √ 3 3 √ x2 + y2 . A projec¸a˜o ortogonal de U3 no plano xy e´ obtida simplificando-se a equac¸a˜o acima: x2 + y2 = 3/4 (um c´ırculo centrado na origem, de raio √ 3/2). Logo, des- crevemos a regia˜o U3 da seguinte forma: U3 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 2√3 3 √ x2 + y2 ≤ z ≤ 2 √ 1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R3 } , onde R3 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ − √3 2 ≤ x ≤ √ 3 2 e − √ 3 4 − x2 ≤ y ≤ √ 3 4 − x2 } . A fronteira de U3 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies: S1 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√3 3 √ x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 3 4 } , S2 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 3 4 } , O volume do so´lido U3 e´ dado por: Vol(U3) = ∫ √3 2 x=− √ 3 2 ∫ √ 3 4 −x2 y=− √ 3 4 −x2 ( 2 √ 1− x2 − y2 − 2 √ 3 3 √ x2 + y2 ) dy dx = 2pi 3 . 12 Usando coordenadas polares, o ca´lculo da integral acima e´ bem mais simples: Vol(U3) = ∫ 2pi θ=0 ∫ √3 2 r=0 ( 2 √ 1− r2 − 2 √ 3 3 r ) rdr dθ = 2pi 3 . Exemplo 2.4 Considere U4 a regia˜o do espac¸o delimitada pelos planos y = 0, z = 0 e y+ z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = 4−|x|. Um esboc¸o de U4 pode ser visto na Figura 12. 4 4 5 y z x Figura 12: Esboc¸o da regia˜o U4. A maneira mais fa´cil de descrever esta regia˜o e´ no seguinte formato: U4 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, z) ≤ y ≤ G(x, z) e (x, z) ∈ R} , onde R e´ uma regia˜o do plano xz. A projec¸a˜o ortogonal de U4 no plano xz e´ a regia˜o delimitada pelas retas z = 4−x, z = 4 + x e z = 0. Logo, U4 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 5− z e (x, y) ∈ R4} , onde R4 = { (x, z) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ z ≤ 4 e − 4 + z ≤ x ≤ 4− z} . A fronteira de U4 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies: S1 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 0 , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5} , S2 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 0 , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} , 13 S3 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 4− |x| , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5− z} , S4 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 5− z , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} . O volume do so´lido U4 e´ dado por: Vol(U4) = ∫ 4 z=0 ∫ 4−z x=−4+z (5− z) dx dz = 176 3 . Como exerc´ıcio, calcule ∫∫ R4 xz dx dz . Exemplo 2.5 Considere a regia˜o U5 de R3 dada por U5 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 1 ≤ z ≤ x2 − y2 + 10 , x2 + y2 ≤ 1} . A projec¸a˜o ortogonal de U5 sobre o plano xy e´ o disco centrado na origem de raio 1. Logo, U5 = { (x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 1 ≤ z ≤ x2 − y2 + 10 , (x, y) ∈ R5} , onde R5 = { (x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 , −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} . A fronteira de U5 e´ a