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{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1} ,
C2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = sen(x) , 0 ≤ x ≤ pi
4
}
,
C3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ y = cos(x) , 0 ≤ x ≤ pi
4
}
.
Para descrever R5 como uma regia˜o do “Tipo II”, devemos dividi-la em duas
sub-regio˜es: R5 = R
′
5 ∪R′′5.
Observando que
y = sen(x)⇔ x = arcsen(y)
y = cos(x)⇔ x = arccos(y)
sen
(
pi
4
)
= cos
(
pi
4
)
=
√
2
2
,
temos:
R′5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ y ≤ √2
2
, 0 ≤ x ≤ arcsen(y)
}
,
R′′5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ √2
2
≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ arccos(y)
}
.
8
Exerc´ıcio 1.1 Calcule os centro´ides das regio˜es planas estudadas nos Exemplos
1.1 a 1.4.
Exerc´ıcio 1.2 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ x2 ≤ y ≤ √1− x2}. Esboce esta regia˜o
e calcule seu centro´ide.
Exerc´ıcio 1.3 Seja R =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e √1− x2 ≤ y ≤ √2− x2}.
Descreva esta regia˜o em coordenadas polares e calcule seu centro´ide.
2 Regio˜es no Espac¸o
Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio˜es do espac¸o no formato padra˜o
U =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, y) ≤ z ≤ G(x, y) e (x, y) ∈ R} ,
explicitando a regia˜o R e as func¸o˜es F e G.
Exemplo 2.1 Considere a regia˜o
U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2} .
Nesse exemplo temos que F (x, y) =
√
x2 + y2 e G(x, y) =
√
1− x2 − y2. Os gra´-
ficos dessas func¸o˜es se intersectam ao longo de uma curva no espac¸o, cuja represen-
tac¸a˜o cartesiana e´ dada pelas equac¸o˜es z =
√
x2 + y2 e z =
√
1− x2 − y2. Ao eli-
minarmos a varia´vel z das equac¸o˜es anteriores, obtemos
√
x2 + y2 =
√
1− x2 − y2,
a equac¸a˜o que define a fronteira da projec¸a˜o ortogonal de U no plano xy. A u´ltima
equac¸a˜o equivale a x2 + y2 = 1/2. Logo, a projec¸a˜o ortogonal U no plano xy e´ um
disco centrado na origem de raio
√
2/2.
Assim, temos que
U1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + y2 ≤ z ≤√1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R1} ,
onde
R1 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √2
2
≤ x ≤
√
2
2
e −
√
1
2
− x2 ≤ y ≤
√
1
2
− x2
}
.
A fronteira de U1 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1
2
}
,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = √1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 1
2
}
.
Um esboc¸o da regia˜o U1 pode ser visto na Figura 9.
9
−
√
2
2
√
2
2
y
z
x
Figura 9: Esboc¸o da regia˜o U1.
Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
∫ √2
2
x=−
√
2
2
∫ √ 1
2
−x2
y=−
√
1
2
−x2
(√
1− x2 − y2 −
√
x2 + y2
)
dy dx .
Esta e´ uma integral muito dif´ıcil de ser calculada, mas podemos simplificar nossa
tarefa se usarmos o fato de que a regia˜o de integrac¸a˜o, R1, e´ um c´ırculo centrado na
origem de raio
√
2/2. Em coordenadas polares, o volume do so´lido U1 e´ dado por:
Vol(U1) =
∫ 2pi
θ=0
∫ √2
2
r=0
(√
1− r2 − r
)
rdr dθ =
pi(2−√2)
3
.
Como exerc´ıcio, calcule o volume do seguinte so´lido:
U˜1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ √x2 + z2 ≤ y ≤ √1− x2 − z2} .
Exemplo 2.2 Observe a regia˜o
U2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 ≤ 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} ,
que corresponde ao so´lido contido no cilindro x2 + y2 ≤ 1, delimitado pelos planos
z = −2 e z = 7− y (veja Figura 10).
A projec¸a˜o ortogonal de U2 no plano xy e´ obviamente um c´ırculo centrado na
origem de raio 1. Logo, no formato padra˜o, esta regia˜o e´ descrita como
U2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 2 ≤ z ≤ 7− y e (x, y) ∈ R2} ,
onde
R2 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 e −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} .
10
−2
y
z
x
Figura 10: Esboc¸o da regia˜o U2.
A fronteira de U2 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = −2 e x2 + y2 ≤ 1} ,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 7− y e x2 + y2 ≤ 1} ,
S3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 = 1 e − 2 ≤ z ≤ 7− y} .
O volume do so´lido U2 e´ dado por:
Vol(U2) =
∫ 1
x=−1
∫ √1−x2
y=−√1−x2
(
7− y − (−2)) dy dx = 9pi .
Assim como no exemplo anterior, tambe´m seria conveniente aqui usar coordena-
das polares para descrever a regia˜o de integrac¸a˜o, R2. O volume de U2 seria enta˜o
dado por:
Vol(U2) =
∫ 2pi
θ=0
∫ 1
r=0
(
9− r sin(θ)) rdr dθ = 9pi .
Exemplo 2.3 Considere as regio˜es
U ′3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ x2 + y2 + z2
4
≤ 1
}
,
e
U ′′3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 4
3
(
x2 + y2
) ≤ z2} .
11
−
√
3
2
√
3
2
y
z
x
Figura 11: Esboc¸o da regia˜o U3.
Seja U3 = U
′
3 ∩ U ′′3 ∩ {z ≥ 0}. Na Figura 11 vemos um esboc¸o desta regia˜o.
Como z ≥ 0, para encontrar a equac¸a˜o da curva no espac¸o onde o elipso´ide U ′3
e o cone U ′′3 se interceptam, basta igualar a parte de cima do elipso´ide a` parte de
cima do cone:
2
√
1− x2 − y2 = 2
√
3
3
√
x2 + y2 .
A projec¸a˜o ortogonal de U3 no plano xy e´ obtida simplificando-se a equac¸a˜o
acima: x2 + y2 = 3/4 (um c´ırculo centrado na origem, de raio
√
3/2). Logo, des-
crevemos a regia˜o U3 da seguinte forma:
U3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 2√3
3
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2
√
1− x2 − y2 e (x, y) ∈ R3
}
,
onde
R3 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − √3
2
≤ x ≤
√
3
2
e −
√
3
4
− x2 ≤ y ≤
√
3
4
− x2
}
.
A fronteira de U3 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√3
3
√
x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 3
4
}
,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 2√1− x2 − y2 , x2 + y2 ≤ 3
4
}
,
O volume do so´lido U3 e´ dado por:
Vol(U3) =
∫ √3
2
x=−
√
3
2
∫ √ 3
4
−x2
y=−
√
3
4
−x2
(
2
√
1− x2 − y2 − 2
√
3
3
√
x2 + y2
)
dy dx =
2pi
3
.
12
Usando coordenadas polares, o ca´lculo da integral acima e´ bem mais simples:
Vol(U3) =
∫ 2pi
θ=0
∫ √3
2
r=0
(
2
√
1− r2 − 2
√
3
3
r
)
rdr dθ =
2pi
3
.
Exemplo 2.4 Considere U4 a regia˜o do espac¸o delimitada pelos planos y = 0, z = 0
e y+ z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = 4−|x|. Um esboc¸o de U4 pode ser visto
na Figura 12.
4
4
5 y
z
x
Figura 12: Esboc¸o da regia˜o U4.
A maneira mais fa´cil de descrever esta regia˜o e´ no seguinte formato:
U4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ F (x, z) ≤ y ≤ G(x, z) e (x, z) ∈ R} ,
onde R e´ uma regia˜o do plano xz.
A projec¸a˜o ortogonal de U4 no plano xz e´ a regia˜o delimitada pelas retas z = 4−x,
z = 4 + x e z = 0. Logo,
U4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ 0 ≤ y ≤ 5− z e (x, y) ∈ R4} ,
onde
R4 =
{
(x, z) ∈ R2 ∣∣ 0 ≤ z ≤ 4 e − 4 + z ≤ x ≤ 4− z} .
A fronteira de U4 e´ a unia˜o das seguintes superf´ıcies:
S1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 0 , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5} ,
S2 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 0 , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} ,
13
S3 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ z = 4− |x| , −4 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 5− z} ,
S4 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ y = 5− z , 0 ≤ z ≤ 4− |x|} .
O volume do so´lido U4 e´ dado por:
Vol(U4) =
∫ 4
z=0
∫ 4−z
x=−4+z
(5− z) dx dz = 176
3
.
Como exerc´ıcio, calcule ∫∫
R4
xz dx dz .
Exemplo 2.5 Considere a regia˜o U5 de R3 dada por
U5 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 1 ≤ z ≤ x2 − y2 + 10 , x2 + y2 ≤ 1} .
A projec¸a˜o ortogonal de U5 sobre o plano xy e´ o disco centrado na origem de
raio 1. Logo,
U5 =
{
(x, y, z) ∈ R3 ∣∣ − 1 ≤ z ≤ x2 − y2 + 10 , (x, y) ∈ R5} ,
onde
R5 =
{
(x, y) ∈ R2 ∣∣ − 1 ≤ x ≤ 1 , −√1− x2 ≤ y ≤ √1− x2} .
A fronteira de U5 e´ a