Mat1162   2016.2 - Provas - Maple
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{

(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 x = 0 , 0 \u2264 y \u2264 1} ,
C2 =

{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = sen(x) , 0 \u2264 x \u2264 pi

4

}
,

C3 =

{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 y = cos(x) , 0 \u2264 x \u2264 pi

4

}
.

Para descrever R5 como uma regia\u2dco do \u201cTipo II\u201d, devemos dividi-la em duas
sub-regio\u2dces: R5 = R

\u2032
5 \u222aR\u2032\u20325.

Observando que

y = sen(x)\u21d4 x = arcsen(y)
y = cos(x)\u21d4 x = arccos(y)
sen

(
pi

4

)
= cos

(
pi

4

)
=

\u221a
2

2
,

temos:

R\u20325 =

{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 0 \u2264 y \u2264 \u221a2

2
, 0 \u2264 x \u2264 arcsen(y)

}
,

R\u2032\u20325 =

{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u221a2

2
\u2264 y \u2264 1 , 0 \u2264 x \u2264 arccos(y)

}
.

8

Exerc´\u131cio 1.1 Calcule os centro´ides das regio\u2dces planas estudadas nos Exemplos
1.1 a 1.4.

Exerc´\u131cio 1.2 Seja R =
{

(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 x2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2}. Esboce esta regia\u2dco
e calcule seu centro´ide.

Exerc´\u131cio 1.3 Seja R =
{

(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 x \u2264 1 e \u221a1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a2\u2212 x2}.
Descreva esta regia\u2dco em coordenadas polares e calcule seu centro´ide.

2 Regio\u2dces no Espac¸o

Nos exemplos a seguir desejamos descrever regio\u2dces do espac¸o no formato padra\u2dco

U =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 F (x, y) \u2264 z \u2264 G(x, y) e (x, y) \u2208 R} ,
explicitando a regia\u2dco R e as func¸o\u2dces F e G.

Exemplo 2.1 Considere a regia\u2dco

U1 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u221ax2 + y2 \u2264 z \u2264\u221a1\u2212 x2 \u2212 y2} .
Nesse exemplo temos que F (x, y) =

\u221a
x2 + y2 e G(x, y) =

\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2. Os gra´-

ficos dessas func¸o\u2dces se intersectam ao longo de uma curva no espac¸o, cuja represen-
tac¸a\u2dco cartesiana e´ dada pelas equac¸o\u2dces z =

\u221a
x2 + y2 e z =

\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2. Ao eli-

minarmos a varia´vel z das equac¸o\u2dces anteriores, obtemos
\u221a
x2 + y2 =

\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2,

a equac¸a\u2dco que define a fronteira da projec¸a\u2dco ortogonal de U no plano xy. A u´ltima
equac¸a\u2dco equivale a x2 + y2 = 1/2. Logo, a projec¸a\u2dco ortogonal U no plano xy e´ um
disco centrado na origem de raio

\u221a
2/2.

Assim, temos que

U1 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u221ax2 + y2 \u2264 z \u2264\u221a1\u2212 x2 \u2212 y2 e (x, y) \u2208 R1} ,
onde

R1 =

{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 \u221a2

2
\u2264 x \u2264

\u221a
2

2
e \u2212

\u221a
1

2
\u2212 x2 \u2264 y \u2264

\u221a
1

2
\u2212 x2

}
.

A fronteira de U1 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:

S1 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = \u221ax2 + y2 , x2 + y2 \u2264 1

2

}
,

S2 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = \u221a1\u2212 x2 \u2212 y2 , x2 + y2 \u2264 1

2

}
.

Um esboc¸o da regia\u2dco U1 pode ser visto na Figura 9.

9

\u2212
\u221a
2
2

\u221a
2
2

y

z

x

Figura 9: Esboc¸o da regia\u2dco U1.

Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U1 e´ dado por:

Vol(U1) =

\u222b \u221a2
2

x=\u2212
\u221a
2
2

\u222b \u221a 1
2
\u2212x2

y=\u2212
\u221a

1
2
\u2212x2

(\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2 \u2212

\u221a
x2 + y2

)
dy dx .

Esta e´ uma integral muito dif´\u131cil de ser calculada, mas podemos simplificar nossa
tarefa se usarmos o fato de que a regia\u2dco de integrac¸a\u2dco, R1, e´ um c´\u131rculo centrado na
origem de raio

\u221a
2/2. Em coordenadas polares, o volume do so´lido U1 e´ dado por:

Vol(U1) =

\u222b 2pi
\u3b8=0

\u222b \u221a2
2

r=0

(\u221a
1\u2212 r2 \u2212 r

)
rdr d\u3b8 =

pi(2\u2212\u221a2)
3

.

Como exerc´\u131cio, calcule o volume do seguinte so´lido:

U\u2dc1 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u221ax2 + z2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2 \u2212 z2} .
Exemplo 2.2 Observe a regia\u2dco

U2 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 \u2264 1 e \u2212 2 \u2264 z \u2264 7\u2212 y} ,
que corresponde ao so´lido contido no cilindro x2 + y2 \u2264 1, delimitado pelos planos
z = \u22122 e z = 7\u2212 y (veja Figura 10).

A projec¸a\u2dco ortogonal de U2 no plano xy e´ obviamente um c´\u131rculo centrado na
origem de raio 1. Logo, no formato padra\u2dco, esta regia\u2dco e´ descrita como

U2 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u2212 2 \u2264 z \u2264 7\u2212 y e (x, y) \u2208 R2} ,
onde

R2 =
{

(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 x \u2264 1 e \u2212\u221a1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2} .

10

\u22122

y

z

x

Figura 10: Esboc¸o da regia\u2dco U2.

A fronteira de U2 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:

S1 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = \u22122 e x2 + y2 \u2264 1} ,
S2 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 7\u2212 y e x2 + y2 \u2264 1} ,

S3 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 = 1 e \u2212 2 \u2264 z \u2264 7\u2212 y} .
O volume do so´lido U2 e´ dado por:

Vol(U2) =

\u222b 1
x=\u22121

\u222b \u221a1\u2212x2
y=\u2212\u221a1\u2212x2

(
7\u2212 y \u2212 (\u22122)) dy dx = 9pi .

Assim como no exemplo anterior, tambe´m seria conveniente aqui usar coordena-
das polares para descrever a regia\u2dco de integrac¸a\u2dco, R2. O volume de U2 seria enta\u2dco
dado por:

Vol(U2) =

\u222b 2pi
\u3b8=0

\u222b 1
r=0

(
9\u2212 r sin(\u3b8)) rdr d\u3b8 = 9pi .

Exemplo 2.3 Considere as regio\u2dces

U \u20323 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 + z2

4
\u2264 1
}
,

e

U \u2032\u20323 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 4
3

(
x2 + y2

) \u2264 z2} .
11

\u2212
\u221a
3
2

\u221a
3
2

y

z

x

Figura 11: Esboc¸o da regia\u2dco U3.

Seja U3 = U
\u2032
3 \u2229 U \u2032\u20323 \u2229 {z \u2265 0}. Na Figura 11 vemos um esboc¸o desta regia\u2dco.

Como z \u2265 0, para encontrar a equac¸a\u2dco da curva no espac¸o onde o elipso´ide U \u20323
e o cone U \u2032\u20323 se interceptam, basta igualar a parte de cima do elipso´ide a` parte de
cima do cone:

2
\u221a

1\u2212 x2 \u2212 y2 = 2
\u221a

3

3

\u221a
x2 + y2 .

A projec¸a\u2dco ortogonal de U3 no plano xy e´ obtida simplificando-se a equac¸a\u2dco
acima: x2 + y2 = 3/4 (um c´\u131rculo centrado na origem, de raio

\u221a
3/2). Logo, des-

crevemos a regia\u2dco U3 da seguinte forma:

U3 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 2\u221a3

3

\u221a
x2 + y2 \u2264 z \u2264 2

\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2 e (x, y) \u2208 R3

}
,

onde

R3 =

{
(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 \u221a3

2
\u2264 x \u2264

\u221a
3

2
e \u2212

\u221a
3

4
\u2212 x2 \u2264 y \u2264

\u221a
3

4
\u2212 x2

}
.

A fronteira de U3 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:

S1 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 2\u221a3

3

\u221a
x2 + y2 , x2 + y2 \u2264 3

4

}
,

S2 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 2\u221a1\u2212 x2 \u2212 y2 , x2 + y2 \u2264 3

4

}
,

O volume do so´lido U3 e´ dado por:

Vol(U3) =

\u222b \u221a3
2

x=\u2212
\u221a
3
2

\u222b \u221a 3
4
\u2212x2

y=\u2212
\u221a

3
4
\u2212x2

(
2
\u221a

1\u2212 x2 \u2212 y2 \u2212 2
\u221a

3

3

\u221a
x2 + y2

)
dy dx =

2pi

3
.

12

Usando coordenadas polares, o ca´lculo da integral acima e´ bem mais simples:

Vol(U3) =

\u222b 2pi
\u3b8=0

\u222b \u221a3
2

r=0

(
2
\u221a

1\u2212 r2 \u2212 2
\u221a

3

3
r

)
rdr d\u3b8 =

2pi

3
.

Exemplo 2.4 Considere U4 a regia\u2dco do espac¸o delimitada pelos planos y = 0, z = 0
e y+ z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = 4\u2212|x|. Um esboc¸o de U4 pode ser visto
na Figura 12.

4

4

5 y

z

x

Figura 12: Esboc¸o da regia\u2dco U4.

A maneira mais fa´cil de descrever esta regia\u2dco e´ no seguinte formato:

U4 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 F (x, z) \u2264 y \u2264 G(x, z) e (x, z) \u2208 R} ,
onde R e´ uma regia\u2dco do plano xz.

A projec¸a\u2dco ortogonal de U4 no plano xz e´ a regia\u2dco delimitada pelas retas z = 4\u2212x,
z = 4 + x e z = 0. Logo,

U4 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 0 \u2264 y \u2264 5\u2212 z e (x, y) \u2208 R4} ,
onde

R4 =
{

(x, z) \u2208 R2 \u2223\u2223 0 \u2264 z \u2264 4 e \u2212 4 + z \u2264 x \u2264 4\u2212 z} .
A fronteira de U4 e´ a unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:

S1 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 0 , \u22124 \u2264 x \u2264 4 , 0 \u2264 y \u2264 5} ,
S2 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 y = 0 , 0 \u2264 z \u2264 4\u2212 |x|} ,

13

S3 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = 4\u2212 |x| , \u22124 \u2264 x \u2264 4 , 0 \u2264 y \u2264 5\u2212 z} ,
S4 =

{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 y = 5\u2212 z , 0 \u2264 z \u2264 4\u2212 |x|} .

O volume do so´lido U4 e´ dado por:

Vol(U4) =

\u222b 4
z=0

\u222b 4\u2212z
x=\u22124+z

(5\u2212 z) dx dz = 176
3
.

Como exerc´\u131cio, calcule \u222b\u222b
R4

xz dx dz .

Exemplo 2.5 Considere a regia\u2dco U5 de R3 dada por

U5 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 z \u2264 x2 \u2212 y2 + 10 , x2 + y2 \u2264 1} .
A projec¸a\u2dco ortogonal de U5 sobre o plano xy e´ o disco centrado na origem de

raio 1. Logo,

U5 =
{

(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 z \u2264 x2 \u2212 y2 + 10 , (x, y) \u2208 R5} ,
onde

R5 =
{

(x, y) \u2208 R2 \u2223\u2223 \u2212 1 \u2264 x \u2264 1 , \u2212\u221a1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2} .
A fronteira de U5 e´ a