Mat1162   2016.2 - Provas - Maple

Mat1162 2016.2 - Provas - Maple


DisciplinaCálculo II24.120 materiais700.237 seguidores
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unia\u2dco das seguintes superf´\u131cies:
S1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = \u22121 , x2 + y2 \u2264 1} ,
S2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 z = x2 \u2212 y2 + 10 , x2 + y2 \u2264 1} ,
S3 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 = 1 , \u22121 \u2264 z \u2264 x2 \u2212 y2 + 10} .
Em coordenadas cartesianas, o volume do so´lido U5 e´ dado por
Vol(U5) =
\u222b\u222b
R5
(
(x2 \u2212 y2 + 10)\u2212 (\u22121)) dxdy
=
\u222b 1
\u22121
\u222b \u221a1\u2212x2
\u2212\u221a1\u2212x2
(
x2 \u2212 y2 + 11) dydx
= 11pi .
Para facilitar o ca´lculo da integral acima, podemos descrever a regia\u2dco R5 em
coordenadas polares: 0 \u2264 r \u2264 1 e 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi. Usando ainda que x = rcos(\u3b8) e
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y = rsen(\u3b8), o volume de U5 pode ser reescrito como:
Vol(U5) =
\u222b 2pi
0
\u222b 1
0
(
r2cos2(\u3b8)\u2212 r2sen2(\u3b8) + 11) r drd\u3b8
=
\u222b 2pi
0
\u222b 1
0
(
r2cos(2\u3b8) + 11
)
r drd\u3b8
=
(\u222b 1
0
r3 dr
)(\u222b 2pi
0
cos(2\u3b8) d\u3b8
)
+ 11pi
=
1
4
. 0 + 11pi
= 11pi .
Exerc´\u131cio 2.1 Seja
R =
{
(y, z) \u2208 R2 \u2223\u2223 |y| \u2264 z \u2264 1\u2212 y2} .
Considere a regia\u2dco U \u2282 R3, obtida girando-se R em torno do eixo z. Descreva U
usando desigualdades.
Exerc´\u131cio 2.2 Seja U a regia\u2dco do espac¸o delimitada pelo parabolo´ide z = x2 + y2
e pelo plano z = y + 2.
a) Escreva U usando desigualdades.
b) Explicite R, regia\u2dco do plano xy, obtida pela projec¸a\u2dco ortogonal de U nesse plano.
Exerc´\u131cio 2.3 Considere a seguinte regia\u2dco
U =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 \u2265 1 + z2, x2 + y2 + z2 \u2264 5 e z \u2265 0} .
Descreva essa regia\u2dco como a unia\u2dco de duas regio\u2dces U1 e U2 escritas no formato
padra\u2dco.
Exerc´\u131cio 2.4 Esboce as regio\u2dces do espac¸o a seguir e determine suas respectivas
projec¸o\u2dces no plano xy.
a) U1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3 \u2223\u2223 x2 + y2 + z2 \u2264 4 e z \u2265\u221ax2 + y2}
b) U2 = U1 \u2229 {z \u2265 1}
c) U3 = U2 \u2229 {x \u2265 0 e y \u2265 0}
Exerc´\u131cio 2.5 Considere U a regia\u2dco do espac¸o delimitada pelos planos y = 0,
z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro sobre uma para´bola dado por z = 4\u2212 x2. Seja R a
projec¸a\u2dco ortogonal de U no plano xz.
a) Esboce U , explicitando sua fronteira por equac¸o\u2dces.
b) Descreva R atrave´s de equac¸o\u2dces ou inequac¸o\u2dces cartesianas.
c) Calcule o volume de U .
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Mat1162 - 2016.2/P1/03_Monitoria.pdf
> > 
Monitoria MAT1162 - Integração Dupla
1) Escreva a integral iterada que dá o volume do sólido que está acima do plano abaixo do plano 
, e no interior do cilindro 
Resposta: Vol = .
_____________________________________________________________
2) Considere a região cuja fronteira está esboçada abaixo
A) Note que a fronteira de é a união de três curvas. Exiba a equação cartesiana de cada 
uma destas curvas (estão sendo pedidas as equações dos "segmentos" e do "arco"; não basta exibir, se 
for o caso, a equação da reta ou do círculo).
B) Escreva a integral dupla na forma de soma de integrais iteradas, integrando 
primeiro com respeito a e em seguida com respeito a .
C) Escreva na forma de integral iterada, integrando primeiramente com respeito a .
_____________________________________________________________
3) Considere as regiões do espaço:
A) Escreva o volume de na forma de integral dupla
explicitando , e .
B) Escreva o volume de na forma de integral iterada.
C) Escreva o volume de na forma de integral iterada.
Obs.: O cálculo dos volumes descritos acima deverá ser feito utilizando coordenadas polares.
_____________________________________________________________
4) Considere as regiões planas
A) Seja . Considere a integral dupla . Escreva usando obrigatoriamente 
integrais iteradas, integrando primeiro com respeito a e depois com respeito a .
B) Calcule a área e as coordenadas , do centróide de onde 
e .
Resposta: 
(Obs.: O resultado já era previsto? Por quê?)
_____________________________________________________________
5) Considere a região do espaço delimitada pelos planos , e pelo cilindro sobre 
uma parábola dado por Seja a projeção ortogonal de no plano 
A) Desenhe , explicitando sua fronteira por equações.
B) Determine por equações ou inequações cartesianas.
C) Calcule 
Resposta: 
D) Calcule o volume de 
_____________________________________________________________
6) Calcule o volume do seguinte sólido:
.
Descreva a fronteira do sólido acima, através de desigualdades ou igualdades.
Mat1162 - 2016.2/P1/04_Monitoria.pdf
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Monitoria MAT1162 - Coordenadas Polares
________________________________________________
1) Calcule a área da região definida por:
Resp.: 
________________________________________________
2) Considere a região plana
A) Descreva a região como união de 3 regiões da forma 
B) Calcule o centroide de 
________________________________________________
3) Sejam
,
Calcule o volume de 
Resp.: 
________________________________________________
4) Calcule o volume do sólido
________________________________________________
5) Considere a seguinte região do espaço:
A) Esboce .
B) Calcule o volume de .
Solução: Em coordenadas polares, a calota superior da esfera centrada na origem de raio 2 se escreve
como Já o cone se escreve como A curva de interseção entre a esfera e o cone é 
, ou seja, 
 (logo, a projeção ortogonal é um círculo centrado na origem de raio ). Já a interseção 
entre o plano e o cone é (e então a projeção ortogonal é um círculo centrado na origem de 
raio 1). Para calcular o volume de , dividiremos o sólido em duas partes:
________________________________________________
6) Calcule o volume do sólido compreendido entre o gráfico de e a região (do plano
) 
________________________________________________
7) Seja a região do plano dada em coordenadas polares por .
Considere 
A) Desenhe a fronteira de 
B) Desenhe a fronteira de 
C) Usando coordenadas polares, calcule a área de 
Solução: 
C) 
Utilizando que temos:
 
Mat1162 - 2016.2/P1/aula 01a_revisao.mw
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pontif\303\255cia Universidade Cat\303\263lica do Rio de Janeiro
 
 
 
 MAT1162 - C\303\241lculo a V\303\241rias Vari\303\241veis I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 1 - Representa\303\247\303\243o de N\303\272meros Reais 
 
 
 
 O Maple possui um pacote de computa\303\247\303\243o simb\303\263lica que permite representar e fazer contas com n\303\272meros reais de maneira exata. Isso n\303\243o \303\251 usual em linguagens de programa\303\247\303\243o, que, em geral, representam um n\303\272mero real atrav\303\251s de uma aproxima\303\247\303\243o decimal e, consequentemente, fazem contas aproximadas com esses n\303\272meros. 
 
 
 
 
 Vejamos como definir