Portfólios02 CD2 soluções

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CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 01 
Francisco Genival Beserra da Silva 
AULA 02 
Tópico 01 
Q01a⤇2. Verifique se a função dada é contínua no valor indicado: 
(c) 
 
3
t 1 t 1, t 1, se t 1
t 1t 1h(t) e t 1;
1 , 0, 0 se t 1
3
      
 

 
i)
31
3 2
21
1 0
lim
1 0
( 1) 1
( 1) 3
1 1
lim
3 3
t
t
t
t
t
t
D t
D t t
t









 
ii) 
1
lim 1 0
t
t

 
 
iii) 
1
1 0
lim 0
1 2t
t
t

 

Logo é contínua. 
Q01b⤇ (d) 
 
 
2sen v , v n v,1 v se v 0
r(v) e v 0.v
1 v, v, 1 v se v 0
  
 
   
i) 
0
( ) 0
lim
0v
sen v
v

 
0
( )
lim 1
v
sen v
v

 
ii) 
0
lim ln 0
v
v v


 
iii) 
2
0
lim1 1
v
v

 
 
iv) Onde o ponto 
(1 , ,1 )v v v 
, 
para v=0, (1,0,1), 
mostrando a 
continuidade. 
Q01c⤇3. Seja C a curva dada pela 
função
 f (t) 2cos2t,2sen 2t
 e 
oP
 o ponto em que 
2
t :
 
(b) Verifique que 
f '(t)
 é constante e encontre o vetor normal a C em 
oP
; 
| '( ) | ( 4 (2 ))² (4cos(2 ))²
| '( ) | 16( ²(2 ) cos ²(2 ))
| '( ) | 16 4
f t sen t t
f t sen t t
f t
  
 
 
 
Veja que para quaisquer valores de t 
| '( ) |f t
 será sempre 4, ou seja constante. 
O vetor normal a C é dado pela derivada segunda de f(t). 
Em processo semelhante ao aplicado para o calculo da derivada primeira obtemos a segunda: 
4 (2 ) 8cos(2 )
4cos(2 ) 8 (2 )
t
t
D sen t t
D t sen t
  
 
 
Daí, segue que 
''( ) ( 8cos(2 ), 8 (2 ))f t t sen t  
 
O vetor normal no ponto 
0P
 é dado por: 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 01 
Francisco Genival Beserra da Silva 
''( ) ( 8cos(2 ), 8 (2 ))
2 2 2
''( ) ( 8cos( ), 8 ( ))
2
''( ) ( 8( 1), 8(0))
2
''( ) (8,0)
2
f sen
f sen
f
f
  

 


  
  
   

 
Tópico 02 
Q02a⤇5. O arco da hélice cilíndrica, definido por 
 h u u u u( ) cos , sen , 2 2 2
 com 
3
0 u ;
4
  
| '( ) |L h u du 
 
I) 
( ) (2cos ,2 , ²)
'( ) ( 2 ,2cos ,2 )
h u u senu u
h u senu u u

 
 
II) 
| '( ) | ( 2 )² (2cos )² (2 )²
| '( ) | 4( ² cos ² ) 4 ²
| '( ) | 4(1 ²)
| '( ) | 2 1 ²
h u senu u u
h u sen u u u
h u u
h u u
   
  
 
 
 
3 3
4 4
0 0
2 1 ² 2 1 ²u du u du   
 
2 2 2 2 2 2² ln( )
2 2
u a
a u du a u u a u C      
, substituindo temos: 
3
4
2 2 2 2
0
3
1
2 1 ² 2[ 1 ln( 1 )] 4
2 2
0
u
u du u u u     
 3
4
2 2 2 2 2 2
0
3
4
2 2 2
0
3
3 1 3 3 0 142 1 ² 2[ 1 ( ) ln( 1 ( ) )] 2[ 1 (0) ln(0 1 (0) )]
2 4 2 4 4 2 2
3
3 1 3 342 1 ² 2[ 1 ( ) ln( 1 ( ) )]
2 4 2 4 4
u du
u du
          
     


 
3
4
0
3
4
0
3 9 1 3 9
2 1 ² 2[ 1 ln( 1 )]
8 16 2 4 16
3 25 1 3 25
2 1 ² 2[ ln( )]
8 16 2 4 16
u du
u du
     
   


 
3
4
0
3
4
0
3
4
0
3 5 1 3 5
2 1 ² 2[ . ln( )]
8 4 2 4 4
15 1
2 1 ² 2[ ln(2)]
32 2
15
2 1 ² ln 2
16
u du
u du
u du
   
  
  



 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 01 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Nos exercícios 8 a 16, calcule o comprimento do arco da curva dada, correspondente a x no intervalo 
indicado: 
Q02b⤇13. 
2 8y x n x 
 e 
21, e ;  
Considere 
 : 1, ² ²g e R
 e 
8( ) ( , ² ln )t g t t t t  
. 
| '( ) |
b
a
L g t 
. 1
2 8 8 1y x n x x² ln x x² ln x
8
[1,e²]
1g(t) (t, t² ln t)
8
1 1 1g '(t) (1, 2t * ) (1, 2t )
8 t 8t
     
 
   
 
1
'( ) (1,2 )
8
g t t
t
 
 
O módulo de g’(t) é: 
2
2
1
| '( ) | 1² (2 )²
8
1 1
| '( ) | 1 4 ²
2 64
1 1 1 1
| '( ) | 4 ² (2 )² 2
2 8 864
g t t
t
g t t
t
g t t t t
t tt
  
   
      
 
Finalmente 
²
1
4 4
²
4
1
² ²1 2 ² 1 1
2 .ln | | ² .ln | |
1 18 2 8 8
²1 1 1 1
² .ln | | .ln ² (1² .ln1) .2 1
18 8 8 8
1 3
2
8 4
e
e
e et
t dt t t t
t
e
t t e e e
t dt e
t
    
       
  


 
Nos exercícios 18 a 20, determine o comprimento da curva dada: 
Q02c⤇19. 
r  4cos ; 
2cos
( )
2
x
f x
y sen



 

 
f(x)=(2cos , 2sen ) ⤇ f’(x)=( -2sen , 2cos ) 
2
0
2
0
2 2
0 0
( 2 ( ))² (2cos( ))²
4(cos ²( ) ²( ))
2
4.1 2 2 2.2 2.0 4
0
L sen d
L sen d
L d d


 
  
  

    
  
 
     


 
 
Nos exercícios 21 a 24, determine a parametrização pelo comprimento de arco para a curva definida pela 
função dada: 
Q03a⤇21. 
 f (t) 2t 1, 2t 1 ;    
'( ) (2, 2)f t   e | '( ) | 2² 2² 8 2 2f t    . O comprimento do arco é 
0
2 2 2 2 2 2
0
t t
s dt t t  
. 
2 2s t então 
2 2
s
t  . Daí a curva parametrizada pelo comprimento de arco dada por f(s)=f(h(s)) com h(s)=t é: 
( ) (2. 1, 2 1)
2 2 2 2
( ) ( 1, 1)
2 2
s s
f s
s s
f s
   
   
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 01 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Q03b⤇23. 
 h u a u a u bu( ) cos , sen , ; 
'( ) ( , cos , )h u asenu a u b 
 , assim: 
 
2 2
| '( ) | ² ² ² cos ² ²
| '( ) | ²( ² cos ² ) ²
h u a sen u a u b
h u a sen u u b a b
  
    
 
2 2 2 2 2 2
0
0
t t
a b dt a b t a b t    
 
2 2s a b t 
 então 
2 2
s
t
a b


, como podemos considerar 
2 2a b c 
, temos que 
s
t
c

. 
Daí a curva parametrizada pelo comprimento de arco dada por h(s)=h(g(s)) com g(s)=t é: ( ) ( cos( ), ( ), )s s bsh s a asen
c c c
 . 
Tópico 03 
Q04a⤇3. Encontre a equação cartesiana da circunferência osculatriz de cada uma das curvas definidas pelas 
funções dadas, no ponto indicado. Represente geometricamente a curva e a circunferência osculatriz: 
(b) 
 g(u) 2 cos u, 1 2sen u e Q(3, 1).     
O vetor tangente unitário é 
'( )
( )
| '( ) |
g u
T u
g u

. O vetor curvatura 
( )
( )
| '( ) |
T u
K u
g u

. Curvatura
( ) | ( ) |k u K u
 
Raio de curvatura
1
( )
( )
u
k u
 
. Normal 
'( )
( )
| '( ) |
T u
N u
g u

. Por parte temos:
'( ) ( ( ),2cos( ))g u sen u u 
 
g '(u) ( senu,2cosu)
| g '(u) | (senu)² (2cosu)² sen²u 4cos ²u sen²u cos ²u 3cos ²u 1 3cos ²u
 
        
 
1 1 senu 2cosuT(u) *g '(u) *( senu,2cosu) ( , )
| g '(u) | 1 3cos ²u 1 3cos ²u 1 3cos ²u
3( senu)(cosu) 1T '(u) *( senu,2cosu) *( cosu, 2senu)
(3cos ²u 1) 3cos ²u 1 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²
,
(3cos ²u 1) 3cos ²u 1
   
  

     
  

 
 
u) cosu 2senu,
(3cos ²u 1) 3cos ²u 1 3cos ²u 1 3cos ²u 1
       
     
 
T'(u) 1K(u) *T '(u)
| g '(u) | | g '(u) |
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)1 cosu 2senu* , ,
1 3cos ²u (3cos ²u 1) 3cos ²u 1 (3cos ²u 1) 3cos ²u 1 3cos ²u 1 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)
,
(3cos ²u 1)² (3c
  
          
        

 
  
cosu 2senu,
os ²u 1)² 3cos ²u 1 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)cosu 2senu,
(3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1
        
                 
 
2 2
2
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)cosu 2senuk(u) | K(u) |
(3cos ²u1)² 3cos ²u 1 (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3(sen²u)(cosu) cosu cosu2 *
(3cos ²u 1)² (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 3c
                    
                
 
   
22
2
4 2
4 3
3( senu)(2cos ²u)
os ²u 1 (3cos ²u 1)²
3( senu)(2cos ²u) 2senu 2senu2 *
(3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 3cos ²u 1
9(sen u)(cos u) 6(sen²u)(cos ²u) cos ²u
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
 
     
        
    
             
4
4
4 2 4
4 3
9(sen²u)(4cos u)
(3cos ²u 1)
12(sen²u)(2cos ²u) 4sen²u
(3cos ²u 1)³ (3cos ²u 1)²
9(sen u)(cos u) 9(sen²u)(4cos u) 6(sen²u)(cos ²u) 12(sen²u)(2cos ²u) cos ²u 4sen²
(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
 
      
   
        
    
 
4 3
3 3
3
u
(3cos ²u 1)²
9sen²u cos ²u(1 3cos ²u) 18sen²u cos ²u 3sen²u 1
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
9sen²u cos ²u 18sen²u cos ²u 3sen²u 1
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
9sen²u cos ²u 3sen²u 1
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1)


   
 
  
 
 
 3
²
9sen²u cos ²u 3sen²u 1(3cos ²u 1)
(3cos ²u 1)
9sen²u cos ²u 3sen²u 1 1 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
3cos ²u 1(3cos ²u 1)
   
 

      
 
1 1 1 1k(0) 9sen²ucos²u 3sen²u 1 9*0*1 3*0 1 1
(3cos²u 1) 3*1 1 4 4
         
 . Aqui era para dar ½.
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 01 
Francisco Genival Beserra da Silva 
1 1(0) 2
k(u) 1
2
   
 
 
1N(u) * K(u)
k(u)
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)1 cosu 2senu* , ,
1 (3cos ²u 1)² (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 3cos ²u 19sen²u cos ²u 3sen²u 1
3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²
(3cos ²u 1) 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
 
             


 
   
u)
,
(3cos ²u 1) 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
cosu 2senu
9sen²u cos ²u 3sen²u 1 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
3*0*1 3*0*1 (0,0)
(3*1 1) 9*0*1 3*0 1 9*0*1 3*0 1
1 2*0
(3*1 1) 9*0*1 3*0 1 9*0*1 3*0 1
 
 
    
    
      
 
   
       
   
       
( 1,0)
(0,0) ( 1,0) ( 1,0)
 
   
 
C Q 2N
C (3, 1) 2( 1,0) (3, 1) ( 2,0) (1, 1)
 
          
C=(1,-1) e raio 2 e equação (x-1)²+(y+1)²=2². Tente descobrir onde estar o erro. 
3 3
2 2
3
2
2 cos ' " cos ( ')² ²
1 2 ' cos " 2sen (y')² cos ²
.( 2 ) 2cos .( 2cos ) 2 ² 4cos ²
( )
[ ² 4cos ² ] [1 3cos ² ]
2 2cos ²0 1 1
(0) 2 (3,
12
[1 3cos ²0]
2
x u x senu x u x sen u
y senu y u y u u
senu senu u u sen u u
K u
sen u u u
K C
         
         
    
   
 

        

1) 2( 1,0) (1, 1)   
 
Considerarei a as duas soluções corretas. 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 01 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Q04b⤇9. Seja C o gráfico da equação dada no plano XY. Determine o ponto em que C tem curvatura 
máxima e encontre uma equação da circunferência osculatriz de C no ponto indicado. Represente 
geometricamente a curva e a circunferência osculatriz: 
(c) 
xy e
 e 
(0,1); 
 = ⤇ y”= 
3 3
02 2
3 0
2
3
2
| e | 1 1 [1 ( )²] [1 ( )²]
2 2
| e | | | | |
[1 ( )²]
[1 ( )²]
X x
X x
x
x
e e
K
K e e
e
e
        


 
 
Q05a⤇16. Seja C a curva definida por 
,dt)t(fsen,dt)t(fcos)s(g
s
0
s
0






 
 onde s é o parâmetro 
comprimento de arco, mostre que a curvatura de C é igual a 
f '(s) . 
'( ) (cos ( ), ( ))g s f s senf s
 segue que : 
| '( ) | cos² ( ) ² ( )
| '( ) | 1 1
g s f s sen f s
g s
 
 
 
O vetor tangente unitário 
'( )
( ) (cos ( ), ( ))
| '( ) |
g s
T s f s senf s
g s
 
. 
'( ) ( ( ). '( ),cos ( ). '( ))T s senf s f s f s f s 
 
Daí o vetor curvatura é dado por: 
'( )
( ) ( ( ). '( ),cos ( ). '( ))
| '( ) |
T s
K s senf s f s f s f s
g s
  
 
Logo a curvatura de C é: 
( ) | ( ) | ² ( ).( '( ))² cos ² ( ).( '( ))²
( ) ( '( ))²( ² ( ) cos ² ( ))
( ) ( '( ))²
( ) | '( ) |
k s K s sen f s f s f s f s
k s f s sen f s f s
k s f s
k s f s
  
 


 
Q05b⤇17. Use o exercício anterior, para mostrar que as curvas em 2R com curvatura constante, são retas 
ou circunferências. 
cos ( )
( )
x f s
y senf s


 Usando a identidade trigonométrica 
cos ² ( ) ² ( ) 1f s sen f s 
 
Segue: 
² ² 1x y 
, circunferência. 
Observe que para qualquer valor de s 
| '( ) |f s
 é uma constante independente, portanto retas.