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CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 05 
Francisco Genival Beserra da Silva 
AULA 05 
Tópico 01 
Q01⤇03. Mostre que a função 
yx
y
yxh

),(
 é diferenciável no seu domínio: 
Temos que: 
0 0( , )h x ya
x



, 
0 0( , )h x yb
y



 e 
0 0( , )x y
 é qualquer ponto do domínio de h(x, y). 
Dh = {(x, y) ℎ(𝑥, 𝑦) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 + 𝑦 ≠ 0. 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝐷ℎ = *(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2/ 𝑥 ≠ −𝑦+. | x ≠ – y}. 
 
Vamos calcular as derivadas parciais de h(x, y) num ponto qualquer do seu domínio: 
Temos então: 
0
0 0( )²
y
a
x y
 

 e 
0
0 0( )²
x
b
x y


. 
Fazendo u = x – x0 e v = y – y0 temos: 
0 0
0 0 0 0
( , ) ( , )
0 0
( , ) [ ( , ) ( ) ( )]
lim
( )² ( )²x y x y
h x y h x y a x x b y y
x x y y
    
  
 daí: 
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) (0,0)
. .
( )² ( )²
lim
² ²u v
y v y y u x v
x y v u x y x y x y
u v

   
     

 
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2( , ) (0,0)
0 0 0 0 0 0
( )( )² ( )( ) . ( ) . ( ) ( ²)
lim
( )( 2 ) ² ²u v
y v x y y x y v u x y y u x y v u x v x y v u vx x vy x vu x v
x y v u x x y y u v
                  
     
 
2 2 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2( , ) (0,0)
0 0 0 0 0 0
2 2 ( ² ² ² ² ³ ² ²)
lim
( )( 2 ) ² ²u v
y x x y y vx vx y vy x y x y y x y uy x y u uy x vy
x y v u x x y y u v
            
     
 
+ 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
0 0 0 0 0 0
( ²)
( )( 2 ) ² ²
y ux y u y uv vx vx y x vu x v
x y v u x x y y u v
     
     
 
2
0 0 0 0
2 2( , ) (0,0)
0 0 0 0 0 0
²
lim
( )( 2 ) ² ²u v
y u y uv x vu x v
x y v u x x y y u v
  
     
=
0 0
( , ) (0,0)
0 0 0 0
( )( )
lim
[( )³ ( )( )²] ² ²u v
y u x v u v
x y v u x y u v
 
    
 
Veja que: 
| | ² ²u u u v  
 e 
| | ² ²v v u v  
, Daí segue: 
| |
1
² ² ² ²
u u
u v u v
 
 
 e 
| |
1
² ² ² ²
v v
u v u v
 
 
 
Então: 
| | | |
2
² ² ² ²
u v u v
u v u v
 
 
 
, que é limitada. Logo, 
² ²
u v
u v


 é limitada. 
Quando (u,v) tende a zero o limite também tende a zero. Portanto a função é diferenciável em seu domínio. 
Q02⤇13. Verifique se a função dada é diferenciável na origem: 
 
2 2
2 2
xy
se x y 0
G x, y ;x y
0 se x y 0

 
  
  
 
 
Temos 0 0
0 0
(0 ,0) (0,0) 0 0
(0,0) lim lim 0
(0,0 ) (0,0) 0 0
(0,0) lim lim 0
x
t t
y
t t
G t G
G
t t
G t G
G
t t
 
 
  
  
  
  
. 
Logo, 
(0,0)xG
 e 
(0,0)yG
 existem. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 05 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Entretanto do teorema, se 
(0,0)xG
 e 
(0,0)yG
 existem, além disso: 
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , )
0 0
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )
lim
( )² ( )²
x y
x y x y
f x y f x y f x y x x f x y y y
x x y y
    
  
, então: 
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
( , ) (0,0) (0,0)( 0) (0,0)( 0) ( , ) (0,0) (0,0)( 0) (0,0)( 0)
lim lim
( 0)² ( 0)² ² ²
x y x y
x y x y
G x y G G x G y G x y G G x G y
x y x y 
         

   
 
Da função, 0 se (x,y)=(0,0) pois x=y=0. 
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
0 0. 0.
² ² 1
lim lim .
² ² ² ² ² ²x y x y
xy
x y
x y xy
x y x y x y 
  


  
=
( , ) (0,0)
lim
² ²x y
xy
x y 
 
 
Porém: 
( , ) (0,0) 0
0
( , ) (0,0) 0 0
.0
lim lim 0
² ² ²
. 1 1
lim lim lim
² ² 2 ² 2 2
x y x
y
x y x x
y x
xy x
x y x
xy x x
x y x
 

  

 

  

 Se o limite não existe a função não é contínua no ponto. 
 
Portanto G não é diferenciável em (0,0) de acordo com o teorema 1, pois verificamos que a mesma não é 
contínua em (0,0). 
Tópico 02 
Q03⤇18. Use o vetor gradiente para encontrar a equação do plano tangente à superfície de equação dada, no 
ponto indicado: 
2 2
2 3
4 9
x y
z  
 e 
0 ( 2,3, 1)P  
. 
Se 2 2
2 3
4 9
x y
z  
 e P0 (–2, 3, –1) 
O vetor gradiente de f(x, y) no ponto P0 é: 
2
( , )
4 2
x
x x
f x y  
 , 
2 2
( , )
9 9
y
y
f x y y 
, 
(( , ) ) 2zf x y z z 
, pois: 
 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
3
4 9 4 9
3
4 9
3
4 9
2 3
4 9
3
34 9
2 4 16 36
3 3
4 16 36 16 36 4
3
(( , ) )
16 36 4
(( , ) ) 2z
x y x y
z z
x y
z
x y
z z
x y
z
x y
x y
z z
x y x y
z z
x y
f x y z z
f x y z z
     
   
    
   
  
     
      
    
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 05 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Daí o vetor gradiente; 
        0 x 0 y 0 z
2
P f P , f P , f ( x, y z) ( 1, , 2)
3
f     
 
 
Então a equação do plano tangente à z é o produto do vetor gradiente pela equação: 
 (P0).[(x – x0)i + (y – y0)j + (z – z0)k] = 0      
2
( 1, , 2) x 2 y – 3 z 1 0
3
2
2 2 2 2 0
3
2
2 6 0
3
x y z
x y z
        
      
    
 
 
 Logo, a equação do plano tangente é: 
2
2 6 0
3
x y z    
 ou 
3
2 3
x y
z    
. 
 
Q04⤇24. Mostre que a função dada possui derivada direcional no ponto (0,0) em todas as direções, mas não 
é diferenciável em (0,0): 
2 2
| | .
( , )
x y
g x y
x y

 

, se 
( , ) (0,0)x y 
 e 0 se (x,y)=(0,0) 
 
1 2
0
1 2
2 2 2 2
0
2 2 2 2
0
2 2 2 2
0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
| | . | | .
( , ) lim
| .0 | . .0 | | .
( , ) lim
| | . | | .
( , ) lim
0
( , ) lim 0
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
g x tu y tu g x y
g x y
t
x tu y tu x y
x y x y
g x y
t
x t y t x y
x y x y
g x y
t
x y x y
x y x y
g x y
t
g x y
t





  

 

 

 

 


 

 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 05 
Francisco Genival Beserra da Silva 
 Se o limite existe, a função possui derivadas direcionais em (0,0) em todas as direções. 
 
Porém: 
Vamos verificar se a função 
2 2
| | .x y
x y
é contínua em (0,0), ou seja: 
2 2( , ) (0,0)
2 2
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
( , ) (0,0) (0,0)( 0) (0,0)( 0)
lim
| | .
0 0 0
| | .
lim lim
² ²
x y
x y
x y x y
g x y g g x g y
x y
x y
x y x y
x yx y

 
    


  



 
 
Temos: 
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
0
| | . 0
lim lim 0
² ² ²x y x y
y
x y
x y x 

 

 
 
Por outro lado: 
( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
| | . | | . | |
lim lim lim
² ² 2 ² 2x y x y x y
y x
x x x x x
x x x x  

 

 
 
( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
| | ² 1 1
lim lim lim lim
2 2 2 2 2x y x y x y x y
x x x
x x x   

     
 
 
O limite não existe. 
Então a função não é contínua em (0,0). 
Logo, pela consequência do teorema 1, se a função não é contínua em (0,0), ela não é diferenciável em (0,0). 
 
Q05⤇26. Se um tanque cônico invertido está recebendo água com uma velocidade de 
3v m /s,
 mostre que a 
velocidade com que está aumentando a área da superfície da água no instante em que o raio e a altura da 
superfície estão variando com a mesma velocidade é 
6 V 2
r 2h
m /s

 onde r e h são o raio e altura da superfície 
nesse instante.Não consegui uma resolução plausível. Caso alguém consiga entre em contato comigo. Obrigado.