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CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 07 
Francisco Genival Beserra da Silva 
AULA 06 
Tópico 01 
Nos exercícios 1 a 6, encontrar os vetores tangentes às curvas paramétricas da imagem da função dada no ponto indicado. E faça 
uma figura mostrando as curvas que contém o ponto e os vetores tangentes: 
 Q01⤇a03. 
H(u, v) (2 cos u, 2sen u, v) e Q( 2, 2, 2);
 
2cos 2
2
cos
2
u
u


 
4
u


. 
O ponto 
( 2, 2,2)
 na imagem de H, corresponde ao ponto 
( ,2)
4

 no domínio de H. 
( , ) ( 2 ,2cos ,0)uH u v senu u 
. 
O vetor tangente à curva u-parâmetro em 
( 2, 2,2)
 é 
( , 2) ( 2, 2,0)
4
uH

 
. 
( , ) (0,0,1)
( , 2) (0,0,1)
4
v
v
H u v
H



 
Daí o vetor tangente à curva v-parâmetro em 
( 2, 2,2)
 é 
( , 2) (0,0,1)
4
vH


. 
As curvas u-parâmetro e v-parâmetro são dadas por: 
( ,2) (2cos ,2 ,2)H u u senu
 e 
( , ) ( 2, 2, )
4
H v v


. 
Gráfico: 
 
( , ) ( 2, 2, )
4
H v v


 é uma reta variando em relação a Z e fixo em relação a x e y. 
Q01⤇b05. 
J(u, v, w) (u cos v, u sen v, w) e Q( 2, 2, 2);
 
cos 2
2
cos
. 2
2
u v
v
u
u senv
senv
u




 então, 
2
cos
4
senv v
u
v

 

 
Segue que 
2
cos
4
2 2
2
u
u



, daí temos que 
2u 
 e podemos observar que w=2. 
Para 
( , , )J u v w
; 
O ponto 
( 2, 2,2)
na imagem de J corresponde ao ponto 
(2, ,2)
4

 no domínio de J. 
Temos: 
( , , ) (cos , ,0)uJ u v w v senv
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 07 
Francisco Genival Beserra da Silva 
O vetor tangente à curva u-parâmetro em 
( 2, 2,2)
 é 
2 2
(2, ,2) ( , ,0)
4 2 2
uJ


. 
Se; 
( , , ) ( . , cos ,0)vJ u v w u senv u v 
 
O vetor tangente à curva v-parâmetro em 
( 2, 2,2)
 é 
(2, , 2) ( 2, 2,0)
4
vJ

 
 
Por outro lado: 
( , , ) (0,0,1)wJ u v w 
 
O vetor tangente à curva w-parâmetro em 
( 2, 2,2)
 é 
(2, , 2) (0,0,1)
4
wJ


. 
As curvas u-parâmetro, v-parâmetro e w-parâmetro são dadas por: 
2 2
( , , 2) ( , , 2)
4 2 2
J u u u


 
(2, ,2) (2cos ,2 ,2)J v v senv
 
(2, , ) ( 2, 2, )
4
J w w


 
 
Gráfico: 
 
Se 
F : A  m nR R
 
( , , )m e n com m n   3 4 2 3 1
 representa o fluxo (bidimensional se n = 2 e 
tridimensional se n = 3) de um fluido, então para cada t fixo, o campo vetorial 
F
t


 é chamado de campo velocidade do fluxo 
no tempo t; o fluxo é dito estacionário ou variável conforme tal campo seja independente ou dependente de t, respectivamente. 
Nos exercícios 7 a 9, se a função dada define o fluxo de um fluido, ache o campo velocidade V do fluxo e verifique que o fluxo 
é estacionário: 
Q02⤇07. 
F x y t xe yet t( , , ) ( , );
 
( , , ) ( , )
( , ) .1.( , )
.( , )
t t
t t
t
F x y t xe ye
F
e x y e x y
t t
F
e x y
t

 
 
 



 
Considerando t
t
u xe
v ye


, obtemos: '
'
t
t
t
t
u xe
v ye


. 
Daí considerando V(u,v), 
( , ) ( , )
V
u v u v
t t
 
 
 
 
Logo 
( , ) ( , )V u v u v
, como o campo independe de t este é estacionário. 
Tópico 02 
Nos exercícios 10 e 11, verifique se existe uma função cuja matriz da diferencial, num ponto qualquer é dada pela matriz 
indicada: 
Q03⤇10. 
y y
x
ny
y ;
e xe
 
 
 
 
 
A matriz Jacobiana foi obtida a partir da transformação. 
Supomos a função f(x,y), tal que a matriz Jacobiana obtida seja: 
ln
y y
x
y
y
e xe
 
 
 
 
 
 
Antiderivando a primeira coluna em relação a x e a segunda em relação a y, temos: 
ln ln
y y
ydx x y
e dx xe




 e 1 ln
y y y
x
dy x dy x y
y y
xe dx x e dx xe
 
 
 
 
 
Logo, a função cuja matriz da diferencial, num ponto qualquer é dada pela matriz 
ln
y y
x
y
y
e xe
 
 
 
 
 
 é 
( , ) ( ln , )yf x y x y xe
. 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 07 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Q04⤇16. Se F é uma função diferenciável tal que 
1 2
F'' ( 1,1) 1 0
0 1
 
     
 e 
 2 2G(x, y) F x 2y, 2y x ,  
 calcule 
G' (1, 1).
 
h(x,y)= temos que: G(x, y)= F(h(x, y)). 
Assim percebe-se que h é de classe c1 (contínuas), assim diferenciável. 
Logo: 
G´(1,-1)= f´(h(1,-1)), h´(1,-1) 
h(1,-1)= (-1,1) .h´(1,-1)= 
( , ) (1, 1)
( ² 2 ) ( ² 2 )
(2 y ² x) (2 y ² )
x y
x y x y
x y
x
x y
 
    
  
 
    
   
= 
= 
( , ) (1, 1)
2 2
3 2 3 2
2 2 2 2
 
1 4 1 4
1 2 0 6
2 2
daí, G'(1,-1)= 1 0 * 2 2
1 4
0 -1 1 4
x y
x
x x
x
y
 
   
   
     
   
    
         
   
 
 
Q05⤇22. Se 
u f (x, y)
 e 
v g(x, y)
 são diferenciáveis, além disso 
x r cos 
 e 
y rsen , 
 mostre que: 
(a) 
   x x r r
1
u v u v cos u v sen ;
r  
      
Veja que podemos usar: 
( , ) ( cos , )u f f x y f r rsen    
( , ) ( cos , )v g g x y g r rsen    
Daí, temos:
 
. . .cos .
. . .cos .
. . .( ) .( cos ) . cos .
. . .( ) .( cos ) . cos .
r x r y r x y
r x r y r x y
x y x y x y
x y x y x y
u f x f y u u sen
v g x g y v v sen
u f x f y u rsen u r rsen u r u
v g x g y v rsen v r rsen v r v
  
  
 
 
   
   
   
   
       
       
 
Vamos partir do segundo membro para chegar no primeiro:    
 
r r
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x
1
u v cos u v sen
r
1
u .cos u .sen v .cos v .sen cos [ rsen .u r cos .u rsen .v r cos .v )]sen
r
u .cos ² u .sen cos v .cos ² v .sen cos sen² .u sen cos .u sen² .v sen cos .v
u (cos ² sen
     
                  
                   
  x x x² ) v (cos ² sen² ) u v      
 
 
 (b) 
   y y r r
1
u v u v sen u v cos .
r  
      
Análogo ao item a temos:    
 
r r
x y x y x y x y
x y x y x y x y
y
1
u v sen u v cos
r
1
u .cos u .sen v .cos v .sen sen [ rsen .u r cos .u rsen .v r cos .v )]cos
r
u .cos sen u .sen² v .cos sen v .sen² cos sen .u cos ² .u cos sen .v cos ² .v
u (sen² cos
      
                  
                   
  y y y² ) v (sen² cos ² ) u v      