Respostas dos exercícios do caderno didático métodos determinísticos 1

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Respostas
Aula 1
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 1.1
a) F b) V c) F
d) V e) V
Exercı´cio 1.2
Resposta: item c)
Respostas dos Exercı´cios
1.1. A−B = {−1,13/3}
A× (A−B) = {(−1,−1),(−1, 133 ),(1,−1),(1, 133 ),( 23 ,−1),( 23 , 133 ),( 13
3 ,−1
)
,
( 13
3 ,
13
3
)}
1.2. B× (B−A) = {(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}
A× (A−B) = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
1.3. a) (A∪C)−B
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A B
C
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
b) (B∩C)−A
A B
C
Aula 2
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 2.1
−10 −6 −2 3 9
Exercı´cio 2.2
a) −1 b) −7 c) Na˜o
Exercı´cio 2.3
F V V
Exercı´cio 2.4
a) 14
15 b) −
10
21
c) −25
21
212 C E D E R J
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Exercı´cio 2.5
-2 -1 0 1
...
18 19
-3
2
1
2
73
4
73
4
= 18+ 1
4
,
−3
2
=−2+ 1
2
Exercı´cio 2.6
a) 36 =
1
2
,
−12
5 =−3+
3
5 e
19
−5 =−4+
1
5
-4 -3 -2 -1 0 1 R
−195 −125
3
6
9
13
b) 19−5 <
−12
5 <
3
6 <
9
13
c) Basta mostrar que 4
20 <
13
64 ⇔
1
5 <
13
64 ⇔ 64 < 65
Respostas dos Exercı´cios
2.1. a) 18a b) 11x c) −27m d) 3x+4y e) 14x+11
2.2. 33
Aula 3
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 3.1
• Proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Na˜o e´ proposic¸a˜o
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
• Proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Na˜o e´ proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Na˜o e´ proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Na˜o e´ proposic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Na˜o e´ proposic¸a˜o
Exercı´cio 3.2
• A peˆra na˜o e´ uma fruta.
• Todas as peˆras na˜o sa˜o longas.
• Algumas pessoas na˜o gostam de danc¸ar.
• Todas as pessoas teˆm carro.
• Algumas pessoas na˜o teˆm televisores ou na˜o teˆm apare-
lhos de vı´deo.
• O dinheiro traz a felicidade.
• Ha´ desfiles de escola de samba sem mestre-sala ou sem
porta-bandeira.
• Dom Quixote na˜o e´ um personagem criado por Miguel de
Cervantes.
• Existe amor que na˜o e´ forte.
• Ha´ amor fraco.
214 C E D E R J
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Exercı´cio 3.3
• Qualquer que seja o nu´mero inteiro inteiro x, x2 ≤ 0.
• Para todo nu´mero real α , tg2α e´ igual a sec2α menos um.
• Existe um nu´mero real x cuja raiz quadrada e´ 4.
• Existe um nu´mero natural x tal que 2 divide x ou 3 divide
x.
Soluc¸a˜o alternativa: existe um nu´mero natural x divisı´vel
por 2 ou divisı´vel por 3.
• Existe nu´mero real x, tal que senx e´ igual a metade da raiz
quadrada de 3.
• Para todo nu´mero racional x, existem nu´meros inteiros p
e q, tais que x e´ igual a p dividido por q.
• Existe nu´mero racional x, tal que x elevado ao quadrado e´
igual a nove vinte cinco avos.
• Para todo nu´mero real r, r maior que zero, existe nu´mero
natural k, tal que, se n e´ maior do que k, enta˜o 1 dividido
por n e´ menor do que r.
Aula 4
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 4.1
a) p∨ ∼ q
p q ∼ q p∨ ∼ q
V V F V
V F V V
F V F F
F F V V
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
b) (∼ p)∨ (∼ q)
p q ∼ p ∼ q (∼ p) ∨ (∼ q)
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
c) (∼ p) ∧ (∼ q)
p q ∼ p ∼ q (∼ p) ∧ (∼ q)
V V F F F
V F F V F
F V V F F
F F V V V
d) ∼ (∼ p ∧ q)
p q ∼ p ∼ p ∧ q ∼ (∼ p∧q)
V V F F V
V F F F V
F V V V F
F F V F V
e) (p∨ ∼ q)∧ ∼ p
p q ∼ p ∼ q p∨ ∼ q (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p)
V V F F V F
V F F V V F
F V V F F F
F F V V V V
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f) p ∧ (q∨ ∼ q)
p q ∼ q (q∨ ∼ q) p ∧ (q∨ ∼ q)
V V F V V
V F V V V
F V F V F
F F V V F
g) (p∧ ∼ q) ∨ r
p q r ∼ q p∧ ∼ q (p∧ ∼ q) ∨ r
V V V F F V
V V F F F F
V F V V V V
V F F V V V
F V V F F V
F V F F F F
F F V V F V
F F F V F F
h) (∼ p ∨ q)∨ ∼ r
p q r ∼ p ∼ p ∨ q ∼ r (∼ p ∨ q)∧ ∼ r
V V V F V F F
V V F F V V V
V F V F F F F
V F F F F V F
F V V V V F F
F V F V V V V
F F V V V F F
F F F V V V V
Exercı´cio 4.2
p q r q∧ r p∨q p∨ r p∨ (q∧ r) (p∨q)∧ (p∨ r)
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V F V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F F V F F F
F F V F F V F F
F F F F F F F F
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
Exercı´cio 4.3
Mostrar as leis de Absorc¸a˜o atrave´s de tabelas-verdade
p ∨ (p ∧ q)≡ p
p q p ∧ q p ∨ (p ∧ q) p
V V V V V
V F F V V
F V F F F
F F F F F
p ∧ (p ∨ q)≡ p
p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q) p
V V V V V
V F V V V
F V V F F
F F F F F
Exercı´cio 4.4
a) ∼ (p∧∼ p)
p ∼ p p∧ ∼ p ∼ (p∧ ∼ p)
V F F V
F V F V
b) ((p⇒ q) ∧ p)⇒ q
p q p⇒ q (p⇒ q) ∧ p ((p⇒ q) ∧ p)⇒ q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
c) p⇒ (p ∨ q)
p q p ∨ q p⇒ p ∨ q
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
218 C E D E R J
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d) ∼ (p ∨ q)⇔∼ p∧ ∼ q
p q p ∨ q ∼ (p ∨ q) ∼ p ∼ q ∼ p∧ ∼ q ∼ (p ∨ q)⇔∼ p∧ ∼ q
V V V F F F F V
V F V F F V F V
F V V F V F F V
F F F V V V V V
Aula 5
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 5.1
p = Alfredo come lagosta
q = Alfredo fica feliz
premissas: conclusa˜o:
p⇒ q q
p
Este argumento e´ va´lido.
Exercı´cio 5.2
p = Eu trabalho com afinco
q = Eu fico batendo papo com os amigos
r = Eu termino de pintar minha cerca
premissas: conclusa˜o:
p⇒ r q
∼ q⇒ p
∼ r
Verificar que (p⇒ r)︸ ︷︷ ︸
a
∧ (∼ q⇒ p)︸ ︷︷ ︸
b
∧ (∼ r)︸ ︷︷ ︸
c
⇒ q
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
p q r ∼ q ∼ r a b a ∧ b (a ∧ b) ∧ c a ∧ b ∧ c⇒ q
V V V F F V V V F V
V V F F V F V F F V
V F V V F V V V F V
V F F V V F V F F V
F V V F F V V V F V
F V F F V V V V V V
F F V V F V F F F V
F F F V V V F F F V
O argumento e´ va´lido.
Exercı´cio 5.3
p = Eu como agria˜o todos os dias
q = Eu viverei mais do que 80 anos
premissas: conclusa˜o:
p⇒ q ∼ q
∼ q
Verificar p⇒ q︸ ︷︷ ︸
a
∧(∼ p)⇒∼ q
p q ∼ p a a ∧ (∼ p) a ∧ (∼ p)⇒∼ q
V V F V F V
V F F F F V
F V V V V F
F F V V V V
O argumento na˜o e´ va´lido.
Exercı´cio 5.4
p = Eu dirijo meu carro
q = Eu ultrapasso os 80 km/h
r = Eu provocarei acidentes
premissas: conclusa˜o:
(p∧ ∼ q)⇒∼ r r
p ∧ q
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Verificar: (((p∧ ∼ q)⇒∼ r)︸ ︷︷ ︸
a
∧ (p ∧ q)︸ ︷︷ ︸
b
)⇒ r
p q r ∼ q p∧ ∼ q ∼ r a b a ∧ b a ∧ b⇒ r
V V V F F F V V V V
V V F F F V V V V F
V F V V V F F F F V
V F F V V V V F F V
F V V F F F V F F V
F V F F F V V F F V
F F V V F F V F F V
F F F V F V V F F V
O argumento na˜o e´ va´lido.
Exercı´cio 5.5
p = Faz bom tempo
q = Da´ praia
r = Eu levo minha bola de voˆlei
s = Mariana fica super feliz
premissas: conclusa˜o:
p⇒ q ∼ r
r ⇒ s
q∧ ∼ s
Verificar: ((p⇒ q)︸ ︷︷ ︸
a
∧ (r⇒ s)︸ ︷︷ ︸
b
∧ (q∧ ∼ s)︸ ︷︷ ︸
c
⇒∼ r
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
p q r s ∼ s a b c a ∧ b a ∧ b ∧ c ∼ r a ∧ b ∧ c⇒∼ r
V V V V F V V F V F F V
V V V F V V F V F F F V
V V F V F V V F V F V V
V V F F V V V V V V V V
V F V V F F V F F F F V
V F V F V F F F F F F V
V F F V F F V F F F V V
V F F F V F V F F F V V
F V V V F V V F V F F V
F V V F V V F V F F F V
F V F V F V V F V F V V
F V F F V V V V V V V V
F F V V F V V F V F F V
F F V F V V F F F F F V
F F F V F V V F V F V V
F F F F V V V F V F V V
O argumento e´ va´lido.Exercı´cio 5.6
p = Maria vem
q = Joana vem
r Carla vem
premissas: conclusa˜o:
p⇒ q p⇒ q
∼ r ⇒∼ q
Verificar: ((p⇒ q)︸ ︷︷ ︸
a
∧ (∼ r ⇒∼ q)︸ ︷︷ ︸
b
⇒ (p⇒ r)︸ ︷︷ ︸
c
p q r (p⇒ q) ∼ r ∼ q ∼ r ⇒∼ q a ∧ b p⇒ r a ∧b⇒ c
V V V V F F V V V V
V V F V V F F F F V
V F V F F V V F V V
V F F F V V V F F V
F V V V F F V V V V
F V F V V F F F V V
F F V V F V V V V V
F F F V V V V V V V
222 C E D E R J
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O argumento e´ va´lido.
Exercı´cio 5.7
p = Luiz sabe poupar dinheiro
q = Luiz fica rico
r = Luiz compra um carro novo
premissas: conclusa˜o:
p⇒ q q
q⇒ r
r
Verificar: (p⇒ q)︸ ︷︷ ︸
a
∧ (q⇒ r)︸ ︷︷ ︸
b
∧r ⇒ p
p q r a b a ∧ b a ∧ b ∧ r a ∧ b ∧ r ⇒ p
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F F V
V F F F V F F V
F V V V V V V F
F V F V F F F V
F F V V V V V F
F F F V V V F V
O argumento na˜o e´ va´lido.
Aula 6
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 6.1
a) 0,334 = 334
1000
>
1
3
, uma vez que 3×334 > 1000
b) 0,334− 13 =
334
1000−
1
3 =
1002−1000
3000 =
2
3000 <
1
1000
c) Basta examinar o resultado em b).
C E D E R J 223
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i
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
Exercı´cio 6.2
a) −187
13
=−15+ 8
13
⇒ q =−15
Exercı´cio 6.3
A resposta e´ 24,8%.
Exercı´cio 6.4
Considere que C e´ o total de clientes. Logo, C corresponde
a 100% dos clientes. Enta˜o, (100− 32)% = 68% corresponde
ao percentual de pessoas fı´sicas. Segundo o enunciado do exer-
cı´cio, 2040 constitui o total de pessoas fı´sicas, ou seja, 68% do
total C de clientes. Essas informac¸o˜es permitem escrever
68%×C = 2040⇔ 68
100
×C = 2040⇔C = 3000 .
Enfim, a ageˆncia possui 3000 clientes.
Exercı´cio 6.5
Seja M o valor obtido apo´s o aumento percentual. Enta˜o,
(100+3,4)% = 103,4% = 103,4
100 = 1,034 .
Logo,
M = 400×1,034 = 413,6 .
Exercı´cio 6.6
O total correspondente ao servic¸o sera´ de 10% de R$ 26,00,
ou seja, o acre´scimo e´ de 0,10×26,00 = 2,60. Logo, o total da
despesa corresponde a
26,00+2,60 = 28,60⇔ Total de R$28,60 .
224 C E D E R J
i i
i
i
i
i
Exercı´cio 6.7
Denominando por M o valor final, enta˜o
M = 0,90×0,80×0,70×2000 = 1008⇒M = R$1.008,00 .
Exercı´cio 6.8
Representaremos os prec¸os dos produtos A, B e C por a, b e
c, respectivamente. Os dados do exercı´cio implicam que
a = 1,3b ; b = 0,8c⇒ a = 1,3×0,8c⇔ a = 1,04c .
Ale´m disso, tambe´m,
a+b+c = 28,40⇔ 1,04c+0,8c+c = 28,40⇔ 2,84c = 28,40 .
Portanto,
c =
28,4
2,84
⇒ c = R$ 10,00 .
Usando esse u´ltimo dado e as equac¸o˜es anteriores, encon-
tramos
a = 1,04×10,00⇔ a = R$ 10,40 e b = 0,8×10,00⇔ b = R$8,00 .
Portanto, os prec¸os sa˜o: a = R$10,40, b = R$8,00 e c =
R$10,00.
Exercı´cio 6.9
O prec¸o final de venda V do carro pode ser calculado atrave´s
de
V = (1−0,05)× (1−0,1)×40000⇔V = R$34.200,00 .
Exercı´cio 6.10
Primeiro, temos que calcular o sala´rio bruto S do vendedor.
Como o sala´rio bruto, com um decre´scimo de 10%, resulta em
R$ 4.500,00, enta˜o
(1−0,1) ·S = 4500⇔ 0,9 ·S = 4500⇔ S = R$5.000,00 .
C E D E R J 225
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Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
Como a parte fixa do sala´rio bruto e´ de R$ 2.300,00, o valor
correspondente ao ganho atrave´s de comisso˜es sera´ de R$ 2.700,00.
Com estes dados, se o valor das vendas for representado por V ,
enta˜o a aplicac¸a˜o de 3% sobre a parte de V que excede R$ 10.000,00
representa R$ 2.700,00 (a parte da comissa˜o). Logo,
3%·(V−10000) = 2700⇔ 3V−30000 = 270000⇔V = 100000 .
Portanto, o total de vendas correspondeu a R$ 100.000,00.
Respostas dos Exercı´cios
6.1. a) −2,25 b) −6,428571 c) 4,46 d) 65,8
e) 0,7
6.2. −3,22 <−3,217 < 0,272 < 13
29
6.3. −0,03
Aula 7
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 7.1
a) 125 b) 625 c) 1000
d) 1
Exercı´cio 7.2
a) 310 b) 22 c) 34 d) 612
Exercı´cio 7.3
a) (√2÷√3)−4 =
(√
2√
3
)−4
=
(√
3√
2
)4
=
√
3 ·√3 ·√3 ·√3√
2 ·√2 ·√2 ·√2 =
9
4
b) ((√2)−2)−3 = [( 1√
2
)2]−3
=
(
1
2
)−3
= 23 = 8226 C E D E R J
i i
i
i
i
i
c) (
√
2−5)2 = (√2)2 +2 ·√2 · (−5)+(−5)2 =
= 2−10√2+25 = 27−10√2
Exercı´cio 7.4
a) 3√−250 = 3
√
−2 ·53 = 3
√
2 · (−5)3 =−5 3√2
b) 4√48 = 4
√
24×3 = 2 4√3
c) 5√−512 = 5
√
−29 = 5
√
(−2)5 ·24 =−2 5
√
24 =−2 5√16
Exercı´cio 7.5
a) (−500)
1
3 =(−4·53)
1
3 = [4·(−5)3]
1
3 = 4
1
3 ·(−5)
3
3 =−5 3√4
b) (−32)−
1
5
=(−25)−
1
5
= [(−2)5]−
1
5
=(−2)−1=
(
1
−2
)1
=−1
2
Exercı´cio 7.6
a) 26 b) -37 c) 7 d) -32 e) 0
Respostas dos Exercı´cios
7.1. Observe que:
E =
√
3
3
[(√
2−√3
2−3 −3
)
· 1√
3
−2
(√
3−
√
6
6
)]
=
=
√
3
3
[
− (
√
2−
√
3+3)
√
3
3
−2
√
3+
√
6
3
]
=
=
√
3
3
(
−
√
6
3 +1−
√
3−2
√
3+
√
6
3
)
=
√
3−9
3
7.2. a) (
√
2−1)3 = (√2−1)2 · (√2−1) = (2−2√2+1)(√2−1) =
= (3−2√2)(√2−1) = 5√2−7
b)
(√
2
4
−1
)
· 2√
2−2 =
√
2−4
4
· 2(
√
2+2)
(
√
2−2)(√2+2) =
=
√
2−4
4
· (−
√
2−2) = 3+
√
2
2
C E D E R J 227
i i
i
i
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
7.3. a) 53x−2 = 50 ⇒ 3x−2 = 0 ⇒ x = 2
3
b) x =−9
c) x = 0 ou x = 1
7.4. d
7.5. Verificac¸a˜o.
7.6. Observe que:(√
1− 3√a
)6
= (1− 3√a)3 = (1− 3√a)2 · (1− 3√a) =
= (1−2 3√a+ 3
√
a2)(1− 3√a) = 1−3 3√a+ 3 3
√
a2−a =
= 1+ 3 3
√
a( 3
√
a−1)−a
7.7. a) Veja que
(3−2
√
3)(3+2
√
3) = 32− (2
√
3)2 = 9−12 =−3
e´ um nu´mero negativo. Examine cada um dos fatores
do produto anterior. Como 3 + 2
√
3 > 0 enta˜o 3−
2
√
3 e´ negativo.
b) Veja que(√
3+
√
3−
√
3
√
3
)(√
3+
√
3+
√
3
√
3
)
=
= 3+
√
3−3
√
3 = 3−2
√
3 ,
e´ um nu´mero negativo (use o item a) ). Como
√
3+
√
3+√
3
√
3 e´ positivo, enta˜o
√
3+
√
3−
√
3
√
3 e´ nega-
tivo.
Aula 8
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 8.1
A tecla acima de CH e a tecla a` direita de VOL.
228 C E D E R J
i i
i
i
i
i
Exercı´cio 8.2
a) Se x ∈ (−1,√2)⇒−1 < x <√2. Em particular, x < 3.
Logo, x ∈ (−∞,3). Isto prova a).
b) Se x∈ (−√3,10), enta˜o−√3 < x < 10. Se x∈ [0,10√2),
enta˜o 0≤ x < 10√2. Como 10 < 10√2, um nu´mero real x,
para estar simultaneamente em ambos os conjuntos, deve
satisfazer 0≤ x < 10.
Exercı´cio 8.3
a) Encontramos que
2x <−7⇒ 1
2
·2x < 1
2
· (−7)⇒ x <−7
2
.
Logo, todos os nu´meros reais menores que−7/2 sa˜o soluc¸o˜es.
Deste modo, o conjunto soluc¸a˜o S e´ dado por S = (−∞,−72).
b) Encontramos que
−13x <−5⇔ 13x > 5⇔ x > 5
13 .
Logo, S =
( 5
13 ,∞
)
e´ o conjunto soluc¸a˜o.
Respostas dos Exercı´cios
8.1. Note que
−13
12
=−13×17
12×17 =−
221
12×17 e −
18
17
=
−18×12
17×12 =
−216
17×12 .
Sendo −221 <−216, enta˜o −13
12
<
−18
17
.
Do mesmo modo, aproveitando as contas ja´ feitas, vem
que, 216 < 221 e, enta˜o, 18
17
<
13
12
. Logo,
−13
12
<
−18
17
<
18
17
<
13
12
.
C E D E R J 229
i i
i
i
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
8.2. Note que
−1
2
=
−3
2×3 e −
√
3
3
=
−2√3
3×2 .
Agora, −2√3 <−3. Portanto, −
√
3
3 <−
1
2
.
Do mesmo modo 75 <
√
2, uma vez que
(
7
5
)2
<
(√
2
)2
.
Ou seja, 49
25 < 2. Portanto,
−
√
3
3
<−1
2
<
7
5 <
√
2 .
8.3. Mostrar que 3 <
√
10 e´ equivalente a 32 <
(√
10
)2
e isto
e´ verdade, pois 9 < 10.
Por outro lado,
√
10 < 3,2 e´ equivalente a
(√
10
)2
< (3,2)2 =
10,24. Portanto,
3 <
√
10 < 3,2 .
8.4. Veja que
√
5
n
>
1√
5
⇔
√
5
n
·
√
5 >
√
5√
5
⇔ 5n
> 1 .
Ou seja, 5 > n. Portanto, n = 1, 2, 3 e 4, satisfazem a
desigualdade original.
8.5. a) A regia˜o da reta e´:
IR
0 1 2−1−2
2−
b) A regia˜o da reta e´:
IR
10 2 3
7
8 4
10
230 C E D E R J
i i
i
i
i
i
c) A regia˜o da reta e´:
IR
3210
8.6. a) [−2,0), b) (−1,1), c) (−∞,1], d) [−√22 ,∞)
8.7. a) √2( x√2 − 1) < √2(√2x− 1) ⇒ x−√2 < 2x−√
2 ⇒−x < 0 ⇒ x > 0.
Conjunto soluc¸a˜o: S = {x ∈R;x > 0}= (0,∞).
b) Em primeiro lugar, e´ obrigato´rio x 6= 0. Temos que
1
x
−1 > 0 ⇔ 1− x
x
> 0 .
As soluc¸o˜es, portanto, ocorrem quando x e (1− x)
possuem o mesmo sinal. Vamos fazer a tabela de
sinais.
10−
1−x
x
x
1−x + +
+
+
+
−
−
−
−
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = {x ∈ R;−1 < x < 1} =
(−1,1).
8.8. a) Falso. Note que −2 /∈ (−2,∞)∪ (−∞,−2).
b) Falso. Note que 3
2
∈ [1,∞) e 3
2
/∈N.
c) Verdadeiro. O nu´mero 1 pertence a ambos os con-
juntos.
8.9. Note que
− 1√
5
+n <
5√
2
⇐⇒ n < 5√
2
+
1√
5
⇐⇒
n2 <
(
5√
2
+
1√
5
)2
=
25
2
+
10√
10
+
1
5 =
25
2
+
1
5 +
√
10 .
C E D E R J 231
i i
i
i
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
Ou seja, e´ preciso encontrar o maior n natural tal que
n2 <
127
10
+
√
10 (∗)
Para avaliar o segundo membro da desigualdade, usamos
o fato de que 3,2 >
√
10 > 3 para encontrar que
12,7+3 < 127
10 +
√
10 < 12,7+3,2 ⇔ 15,7 < 127
10 +
√
10 < 15,9 .
Com estes dados e usando a desigualdade (∗), concluı´mos
que n = 3 e´ o maior nu´mero natural tal que − 1√
5
+ n <
5√
2
.
8.10. a) Como os nu´meros envolvidos sa˜o positivos, multi-
plicando ambos os membros por
√
5 +
√
3, a de-
sigualdade fica equivalente a
1 < 2
√
2
(√
5+
√
3
)
= 2
(√
10+
√
6
)
.
´E claro que a desigualdade e´ verdadeira.
b)
√
3
√
3 < 73 ⇔ 3
√
3 <
(
7
3
)2
=
49
9 . Ou ainda,
27
√
3 < 49 ⇔ (27√3)2 < 492 ⇔ 272×3 < 492.
A u´ltima desigualdade sendo verdadeira, em vista
das equivaleˆncias, tambe´m e´ verdadeiro que
√
3
√
3 <
7
3
.
8.11. a) V. Como os nu´meros sa˜o positivos, e´ suficiente mostrar
que (a+b)2 ≥ (2√a ·b)2 ou, equivalentemente, que
a2 +2ab+b2 ≥ 4ab. Ou ainda, que a2−2ab+b2 ≥
0. Ou seja, (a− b)2 ≥ 0. Esta desigualdade vale
sempre.
b) F. Tome a =−1 e b = 0.
c) V. Veja que a3−1 = (a2 +a+1)(a−1)≥ a2 +a+1.
232 C E D E R J
i i
i
i
i
i
Aula 9
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 9.1
Note que
c−a = a+b
2
−a = b−a
2
= r e b−c = b− a+b
2
=
b−a
2
= r
Exercı´cio 9.2
r =
1
2
(
36
25−
√
2
)
=
36−25√2
50
Respostas dos Exercı´cios
9.1. A igualdade significa que a esta´ igualmente distante dos
pontos (nu´meros) 2 e −1.
Se a≤−1, a igualdade e´ equivalente a −(a−2) =−(a+
1)⇒ 2 =−1, sem soluc¸a˜o.
Se −1 < a ≤ 2, a igualdade e´ equivalente a −(a− 2) =
a+1⇒ a = 1
2
.
Se a > 2, a igualdade e´ equivalente a a− 2 = a + 1 ⇒
−2 = 1, sem soluc¸a˜o.
Logo, a =
1
2
e´ a u´nica soluc¸a˜o.
9.2. x =−6 e x = 0
9.3. a) I =
(
− 1
2
− 5
2
,−1
2
+
5
2
)
b) I =
(
1
12
− 31
12
,
1
12
+
31
12
)
c)
(
4+
√
3−√2
2
−
√
3+
√
2
2
,
4+
√
3−√2
2
+
√
3+
√
2
2
)
9.4. a) 5, b) 316 , c)
√
3+
√
2
C E D E R J 233
i i
i
i
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
9.5. a) x+ 15 = 2⇒ x =
9
5 ou −
(
x+
1
5
)
= 2⇒ x =−115
b) x−3 =−1⇒ x = 2 ou −(x−3) =−1⇒ x = 4
c) x +6 < 3 ⇒ x < −3 ou −(x +6) < 3 ⇒ x > −9.
Logo, x ∈ (−9,−3).
Aula 10
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 10.1
a) A representac¸a˜o dos pontos e´:
A
D
-3 -1
-2
C
B
5
3
b) 1- F, 2- F, 3- F, 4- V, 5- V
c) H+∩H− = {(x,y) ∈ R2; y = 0} e´ o eixo x.
Exercı´cio 10.2
a) Observe que:
x
y
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
234 C E D E R J
i i
i
i
i
i
b) (i)
x
y
Q
2
Q
3
Q2∩Q3 = {(x,y) ∈R2; y = 0 e x≤ 0}, representa o eixo
x na˜o positivo.
ii)
x
y
Q
3
Q
4
Q3∩Q4 = {(x,y) ∈R2; x = 0 e y≤ 0}, representa o eixo
y na˜o positivo.
iii)
x
y
Q
4
Q
1
Q4∩Q1 = {(x,y) ∈R2; y = 0 e x≥ 0}, representa o eixo
x na˜o negativo.
Respostas dos Exercı´cios
10.1. (−2,8) e (3,8)
10.2. (−2,3) e (2,7)
10.3. P = (1,−1)
C E D E R J 235
i i
i
i
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
10.4. Temos que:
A M B
0 1 2
√
2
m =
1
2
(−2+2√2+2)=√2
10.5. A regia˜o e´:
A
2
2
10.6. a = 3, D = (3,2)
10.7. A regia˜o e´:
1
F
1
Aula 11
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 11.1
A reta perpendicular ao eixo x e que passa pelo ponto A =
(−2,3) encontra o eixo x no ponto P = (−2,0). Enta˜o,
d(A,P) =
√
[−2− (−2)]2 +(3−0)2 = 3 .
236 C E D E R J
i i
i
i
i
i
Exercı´cio 11.2
Os pontos do eixo y sa˜o do tipo P = (0,a) onde a ∈ R.
A distaˆncia do ponto P procurado ate´ o ponto
(
− 1
2
,1
)
vale
1. Enta˜o (
0+ 1
2
)2
+(a−1)2 = 12 ⇒ a = 1±
√
3
2
.
Logo
(
0,1+
√
3
2
)
e
(
0,1−
√
3
2
)
sa˜o os pontos procurados.
Exercı´cio 11.3
Temos que
(x+2)2 +(y−1)2 = 22 ⇒ x2 + y2 +4x−2y+1 = 0 .
Respostas dos Exercı´cios
11.1. (a) x = 1; (b) x = 3
2
; (c) x≥ 7
2
; (d) x =−1
11.2. (a) 3√2; (b) B = (2,0), (c) D = (−1,−3)
11.3. P =
(
0, 2
3
)
11.4. x2 + y2 +4x+6y+9 = 0
11.5. C = (−1,0), r = 2
11.6. a) C = (0,2) e r = 4 b) A = (2√3 , 0) e B = (−2√3 , 0)
C E D E R J 237
i i
i
i
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
Aula 12
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 12.1
a) x = 49
b) −13
c) x = 19
d) 23
Exercı´cio 12.2
x =−3 e y = 0
Exercı´cio 12.3
x = 3 e y =−1
Exercı´cio 12.4
a) x1 =
√
3 e x2 =−
√
3
b) x = 0
c) x1 = 0 e x2 =−83
d) x1 =
√
15 e x2 =−
√
15
e) x1 = 1 e x2 =−9
f) x1 =−1 e x2 =−2
Exercı´cio 12.5
−3
√
10
10 < x <
3
√
10
10
238 C E D E R J
i i
i
i
i
i
Exercı´cio 12.6
x ∈ (−∞,−2)∪ (5,+∞)
Exercı´cio 12.7
a) x = 1 e y =−2
b) x = 12 e y = 8
c) x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 2
d) x = 4 e y = 3 ou x =−4 e y =−3
Exercı´cio 12.8
a) x = 9 c) x =−45
b) x1 = 5 e x2 =−52 d) x1 =−1 e x2 =−2
Aula 13
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 13.1
a) D( f ) =
(
0,
√
6
)
∪
(√
6,∞
)
b) D(g) = R
c) D(h) = (−∞,−1)∪ (3,∞)
d) D(q) =
(
2
3 ,3
]
C E D E R J 239
i i
i
i
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
Aula 14
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 14.1
A intercessa˜o com o eixo Ox ocorre quando y = 0, logo A =
(−2,0).
Exercı´cio 14.2
a) O gra´fico e´ uma reta que passa pelos pontos (0,10) e
(10,0).
b) O gra´fico e´ uma reta para x ≤ 1 e uma hipe´rbole voltada
para cima para x > 1. A medida que x aumenta, os valores
de y se aproximam de 0, e o gra´fico se aproxima do eixo
Ox.
x y = 2
x+1
1 1
2 23
3 12
99 0,02
999 0,002
Exercı´cio 14.3
a) O gra´fico e´ uma para´bola voltada para baixo. Para trac¸ar o
gra´fico, devemos calcular o ve´rtice e as raı´zes. Identifica-
se da equac¸a˜o:
a =−1, b = 1 e c = 6
∆ = 1−4 · (−1) ·6 = 25
240 C E D E R J
i i
i
i
i
i
V =
(
− 1−2 ,−
25
−4
)
=
(
1
2
,
25
4
)
, o ve´rtice e´ o ponto de
ma´ximo, as raı´zes:
x =
−1±5
−2 ⇔ x1 =−2, x2 = 3
x y
−2 0
−1 4
0 6
1
2
25
4
1 6
3 0
b) O gra´fico e´ uma para´bola voltada para cima:
∆ = 9−4 ·1 ·3 = 9−12 =−3
V =
(
−(−3)
2
,−(−3)
4
)
=
(
3
2
,
3
4
)
O ve´rtice e´ o ponto de mı´nimo, e o gra´fico na˜o intercepta
o eixo Ox porque a func¸a˜o na˜o possui raı´zes.
C E D E R J 241
i i
ii
i
i
Me´todos Determinı´sticos I | Respostas
Aula 15
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 15.1
a) y≤−x+3 e −1 < x < 1
x y
−1 1
0 3
1 2 1−1
2
3
4
b) −2≤ y≤−x+3
x y
−1 4
0 3
1 2
3
−2
242 C E D E R J
i i
i
i
i
i
Aula 16
Respostas dos Exercı´cios
Exercı´cio 16.1
Para determinar o ponto de equilı´brio temos que igualar a
demanda e a oferta.
D = Q⇒ 136−2P = 10P−80⇒ 12P = 216⇒ P = 18.
Portanto, PE = 18 e QE = 180−80 = 100 ponto de equilı´brio
E(18,100).
Exercı´cio 16.2
Considere a demanda de mercado D = P2 − 18P + 10 e a
oferta Q = 12P−72.
Fac¸a os gra´ficos das curvas de demanda e oferta e determine
PE e QE, respectivamente, o prec¸o e a quantidade de equilı´brio.
Para determinar o ponto de equilı´brio temos que igualar a
demanda e a oferta.
D = Q⇒ P2−18P+10 = 12P−72⇒ P1 = 3,04 ou P2 = 26,95.
Fazendo-se o estudo da func¸a˜o demanda, a demanda e´ posi-
tiva no intervalo 0 < P < 0,57 ou P > 17,43, portanto, o ponto
de equilı´brio e´ E(26,95 , 251,40).
C E D E R J 243