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INSTITUTO FEDERAL DO CEARÁ - IFCE CAMPUS QUIXADÁ PROF. ISAAC RICARTE EVANGELISTA CÁLCULO 1 – ENGENHARIA AMBIENTAL LISTA DE LIMITES E CONTINUIDADE 01. Calcule o limite, se existir. a) 5lim 2x −→ b) 12xxlim 2 2x −− → c) x3xlim 2 1x + → d) 5x xx3lim 3 2 2x + − −→ e) 3x 12xxlim 2 3x + −− −→ f) 2x3x 2xxlim 2 2 1x +− −+ → g) h 25)5h(lim 2 0h −− → h) h 1)h1(lim 3 0h −+ → i) t 2t2lim 0t −− → j) t3 t9lim 9t − − → k) 2x 16xlim 4 2x − − → l) 3x 81xlim 2 9x − − → m) h 2 1 h4 1 lim 0x − + → n) 2x 2 1 x 1 lim 2x − − → o) − +→ t 1 t1t 1lim 0t p) x1 xxlim 2 1x − − → q) 1x3 2x6lim 2x −− −− → r) x |1x2||1x2|lim 0x +−− → 02. Calcule x 1cx1lim 3 0x −+ → , onde c é uma constante. 03. Existe um número a tal que 2xx 3aaxx3lim 2 2 2x −+ +++ −→ exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite. 04. Encontre números a e b tais que 1 x 2baxlim 0x = −+ → . 05. Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. a) |4x|lim 4x + −→ b) 4x |4x|lim 4x + + − −→ c) 2x |2x|lim 2x − − → d) |1x| 1xlim 2 1x − − +→ e) |1x| 1xlim 2 1x − − −→ f) |3x2| x3x2lim 2 2 3 x − − → g) − −→ |x| 1 x 1lim 0x h) − +→ |x| 1 x 1lim 0x i) x3xx9 xlim 42 3 0x −− +→ j) x3xx9 xlim 42 3 0x −− −→ 06. Se x x |x|)x(f −= , calcule: (a) )x(flim 0x −→ (b) )x(flim 0x +→ (c) )x(flim 0x→ . 07. Determine os limites infinitos. a) 5x 6lim 5x − +→ b) 5x 6lim 5x − −→ c) 83x )3x( 1lim − → d) )2x(x 1xlim 20x + − → e) )2x(x 1xlim 22x + − + −→ 08. Calcule os limites. a) xxx 1xxlim 35 24 x −+ +− +∞→ b) )3x2)(x1( x5x6lim 2 x −− + ∞−→ c) 41 32 x xx xxlim −− −− +∞→ + + d) 2x3x2 2xxlim 2 2 x +− −+ ∞+→ e) 1x4 x4xlim 2 x + + ∞−→ f) x4 x41lim 2 x + + ∞+→ g) ( )x1x3xlim 2 x −++ ∞+→ h) ( )1x1xlim 22 x −−+ ∞+→ i) −+ +∞→ x3xx9lim 2 x 09. A resolução abaixo está incorreta. Onde está o erro? Calcule (corretamente) o limite: ( ) { ( ) 00xlim1 x 11xlim x x 11xlimxxxlim x 0 0 x 2 x 2 x =⋅= −+⋅= − +=−+ ∞+→ → → ∞+→ ∞+→∞+→ 44 344 21 10. Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais de cada curva. a) 4x xy + = b) 1x 4xy 2 2 − + = c) 2xx xy 2 −− = d) 9x x4y 2 2 + = e) 1x 2xy 2 − + = e) 2x 3x2y + + = 11. Seja f definida em R e tal que, para todo x, 2x33f(x)1x2 32 −≤−≤− . Calcule f(x) lim 1x → e justifique. 12. Use o Teorema do Confronto de limites para mostrar que 0 x senxxlim 23 0x = pi ⋅+ → . 13. Sejam a, b, c reais fixos e suponha que, para todo x, | a + bx + cx2 | ≤ | x3 |. Mostre que a = b = c = 0. Sugestão: Desenvolva a desigualdade modular e use o Teorema do Confronto de Limites (ou Teorema do Sanduíche). 14. Calcule x )x(flim 3 0x→ , sabendo que |x|2)x(f ≤ , para todo x ∈ R. 15. Calcule os limites trigonométricos abaixo. a) xsen xlim 0x → b) x )x3(senlim 0x → c) )x4(sen )x(senlim 0x → d) pi−pi→ x xsenlim x Amande Highlight e) px )px(senlim 22 px − − → f) 2 3 0x x )x(senlim → g) x tgx x tgxlim 0x + − → h) )x4(sen )x3(tglim 0x → i) xsenxtg x3lim 2 0x → j) pipi→ 2-x xsen-1 lim 2x k) 2 2 x )-(2x xsen-1 lim pipi→ l) +∞→ 2 2 x x 4 sen 2 xlim 16. Calcule 20x x xsenxlim − → . Sugestão: use a seguinte desigualdade 01 x xsen1xcos <−<− . 17. Para cada uma das funções abaixo, verifique a continuidade no ponto dado. Caso seja descontínua, a descontinuidade da função nesse ponto é removível ou essencial/infinita? Se removível, modifique a função de modo a torná-la contínua no ponto dado. a) f : R → R dada por >− =− <− = 1xse,2x3 1xse,1x 1xse,x )x(f 3 é contínua em x = 1? b) f : R → R dada por = ≠− = 0xse,1 0xse,|x| 1 x 1 )x(f é contínua em x = 0? c) f : R → R dada por = ≠ − = 0xse, 2 1 0xse, x xcos1 )x(f 2 é contínua em x = 0? 18. Seja f : R → R uma função contínua tal que (5x2 – 35x)⋅⋅⋅⋅f(x) = 7 – x , para todo x ∈ R. Calcule o valor de f(7). 19. (a) Se 5 x )x(flim 0x −= → , calcule 2x )4x(flim 2 2x − − → . (b) Se 3 x )x(flim 22x =→ , calcule x )x(flim 2x→ . 20. Seja f definida em R e seja a um real dado. Suponha que .L ax )a(f)x(flim ax = − − → Calcule: (a) h )ha(f)ha(flim 0h −−+ → . Sugestão: Note que h )a(f)ha(f h )a(f)ha(f h )ha(f)ha(f −− − −+ = −−+ . (b) h )a(f)h3a(flim 0h −+ → . Sugestão: faça x = a + 3h.
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