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PROVA REGULAR - ESTRUTURA ALGÉBRICA Disciplina(s): Estrutura AlgébricaJONAS RAFAEL ALBOLEIA - RU: 1282557 Nota: 40 PROTOCOLO: 201611041282557D2B58C Data de início: 04/11/2016 17:35 Prazo máximo entrega: 04/11/2016 19:05 Data de entrega: 04/11/2016 18:38 Questão 1/10 - Estrutura Algébrica Seja (M2(R), +, ⋅) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações de adição + e multiplicação ⋅ usuais. Analise as afirmativas: (M2(R), +, ⋅) é um anel com unidade. (M2(R), +, ⋅) é um anel comutativo. (M2(R), +, ⋅) possui divisores de zero. São corretas as afirmativas: Nota: 0.0 A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. Sabemos que (M2(R), +, ⋅) é um anel. A unidade deste anel é dada pela matriz identidade: I = [ 1 0 ]. Logo, 0 1 (M2(R), +, ⋅) é um anel unitário e afirmativa I é verdadeira. Este anel não é comutativo, pois sabemos que o produto de matrizes não é comutativo. Logo, a afirmativa II é falsa. Além disso, (M2(R), +, ⋅) possui divisores de zero, pois considerando as matrizes: A = [ 1 0 ] e B = [ 0 0 ], temos A ⋅ B = 0, mas tanto A quanto B 0 0 0 1 são matrizes não nulas. Portanto, a afirmativa III é correta. D II, apenas. E II e III, apenas. Questão 2/10 - Estrutura Algébrica Considere o anel (R × R, +, ⋅), onde as operações de adição + e multiplicação ⋅ são definidas por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) ⋅ (c, d) = (ac, bd). Considere também o homomorfismo f : R × R → M2(R) [ ]definido por f(a, b) = a 0 . Com base nesta função, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando 0 b falsa. ( ) f(1, 1) resulta na unidade do anel M2(R). ( ) O núcleo de f é o conjunto N(f) = {(0, 0)}. ( ) O conjunto imagem de f é Im(f) = M2(R). Agora, marque a sequência correta: Nota: 0.0 A V, V, V. B V, F, V. C V, V, F. A afirmativa I é verdadeira, pois [ 1 0 ] é matriz identidade que satisfaz para toda f(1, 1) = = I A ⋅ I = A 0 1 matriz A ∈ M2(R).Observamos que (a, b) ∈ N(f) ⟺ f(a, b) = [ 0 0 ] ⟺ [ a 0 ] = [ 0 0 ], 0 0 0 b 0 0 donde a = b = 0. Logo, N(f) = {(0, 0)} e a afirmativa II é verdadeira. Já a afirmativa III é falsa, pois Im(f) = {[ a 0 ] ∈ M2(R)} ≠ M2(R). 0 b D V, F, F. E F, V, V. Questão 3/10 - Estrutura Algébrica A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. ( ) Todo domínio de integridade é anel. ( ) Se K é corpo, então K é domínio de integridade. ( ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Agora, marque a sequência correta: Nota: 0.0 A V, V, V. Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Com isso, as afirmativas I e III são verdadeiras. Se K é corpo, então K é um anel unitário, comutativo no qual todo elemento diferente de zero de K tem inverso multiplicativo. Com esta última propriedade, mostrase que K não possui divisores de zero. Portanto, K é um domínio de integridade e a afirmativa II também é verdadeira. B V, F, V. C V, V, F. D V, F, F. E F, V, V. Questão 4/10 - Estrutura Algébrica Considere o anel R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x. Com base neste anel, analise as afirmativas: O polinômio nulo p(x) = 0 é o elemento neutro da adição do anel R[x]. O elemento simétrico do polinômio p(x) ∈ R[x] é o polinômio −p(x). Efetuando a multiplicação do polinômio p(x) = 1 + x pelo polinômio q(x) = 2 + x + x2, obtemos o polinômio p(x) ⋅ q(x) = 2 + 3x + x2 + x3. São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. B I e II, apenas. Você acertou! A afirmativa I é verdadeira, pois para todo polinômio q(x) ∈ R[x], temos p(x) + q(x) = 0 + q(x) = q(x). Isso mostra que p(x) = 0 é o elemento neutro da adição do anel R[x]. Também a afirmativa II é verdadeira, já que p(x) + [−p(x)] = 0. Entretanto, a afirmativa III é falsa, pois p(x) ⋅ q(x) = 2 + 3x + 2x2 + x3. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Questão 5/10 - Estrutura Algébrica Considere os anéis (Z, +, ⋅), (Q, +, ⋅) e (R, +, ⋅), em que + e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que Nota: 0.0 A (Z, +, ⋅) é um anel comutativo e com divisores de zero. B (Z, +, ⋅) não é um domínio. C (Q, +, ⋅) não é um corpo. D (R, +, ⋅) é um domínio que não é corpo. E (R, +, ⋅) é um corpo. É sabido que (R, +, ⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, todo número real x ∈ R, x ≠ 0, possui inverso 1 Portanto, é um corpo. x−1 = ∈ R. (R, +, ⋅) x Questão 6/10 - Estrutura Algébrica As funções que preservam as operações de anéis são chamadas homomorfismos. Com base nestas funções, analise as afirmativas: A função f : Z → Z dada por f(x) = −x é um homomorfismo. Para o homomorfismo f : Z → R dado por f(x) = x, temos N(f) = {0} e Im(f) = Z. ( )A função f : R × R → M2(R) definida por f(a, b) = a 0 é um homomorfismo. 0 b São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Você acertou! A função definida na afirmativa II é um homomorfismo. Além disso, x ∈ N(f) ⟺ f(x) = 0 ⟺ x = 0. Assim, N(f) = {0}. Também verificamos que Im(f) = {f(x) ∈ R; x ∈ Z} = {x; x ∈ Z} = Z. Logo, a afirmativa II é verdadeira. A afirmativa III também é verdadeira, pois f((a, b) + (c, d)) = f(a, b) + f(c, d) e f((a, b) ⋅ (c, d)) = f(a, b) ⋅ f(c, d) para todos (a, b), (c, d) ∈ R × R. Questão 7/10 - Estrutura Algébrica Assinale a alternativa que apresenta o resto da divisão do polinômio p(x) = x4 − 3x3 + 6x2 pelo polinômio q(x) = x2 − 3x + 5 : Nota: 10.0 A r(x) = 3x − 5. Você acertou! Basta observar que p(x) = (x2 + 1) ⋅ q(x) + (3x − 5). B r(x) = 3x + 5. C r(x) = 2x − 5. D r(x) = 2x + 5. E r(x) = x − 5. Questão 8/10 - Estrutura Algébrica Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas, assinale a alternativa correta: Nota: 0.0 A B = {x ∈ Q; x ∉ Z} é subanel de Q. B Z é um ideal de Q. C B = {[ a c b ] ∈ M2(R)} é subanel de M2(R). 0 D I = {f : R → R; f(0) = 0} é ideal do anel das funções F (R, R). Sejam f, g ∈ I. Então, f(0) = 0 e g(0) = 0. Daí (f − g)(0) = f(0) − g(0) = 0 − 0 = 0, o que mostra que f − g ∈ I. Além disso, dadas f ∈ F (R, R) e g ∈ I, segue que (f ⋅ g)(0) = f(0) ⋅ g(0) = f(0) ⋅ 0 = 0, donde f ⋅ g ∈ I. Portanto, I = {f : R → R; f(0) = 0} é ideal do anel F (R, R). E Se I é um ideal do anel (A, +, ⋅), então I é subanel de (A, +, ⋅). Questão 9/10 - Estrutura Algébrica Considere os polinômios f(x) = 2x3 − 7x2 + 4x − 1 e g(x) = x − 4. Com base em p(x) e em q(x), analise as afirmativas: O polinômio f(x) é unitário. O grau do polinômio g(x) é 1. O quociente da divisão do polinômio f(x) pelo polinômio g(x) é q(x) = 2x2 + x + 8. São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Você acertou! A afirmativa I é falsa, pois o coeficiente do termo dominante é diferente de 1. A afirmativa II é correta, pois a potência da variável x no termo dominante é 1. Também observamos que f(x) = g(x) ⋅ (2x2 + x + 8) + 31, o qual garante que a afirmativa III é correta. Questão 10/10 - Estrutura Algébrica Seja A = {e, a} um conjunto com dois elementos munido das operações + e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo: +e a ⋅ e a e e a e e e e a a e a e a Analise as afimativas: e ⋅ (e + a) = e ⋅ a = e. O elemento neutro da operação + é a. A unidade de A é o elemento e. São corretas as afirmativas: Nota: 0.0 A I, apenas. Na tabela da adição, temos e + a = a. Usando a tabela da multiplicação, concluímos que e ⋅ (e + a) = e ⋅ a = e. Logo, a afirmativa I é correta. Como a + a = e, o elemento a não pode ser o elemento neutro da adição. Assim, a afirmativa II é falsa. Além disso, como e ⋅ a = e, garantimos que o elemento e não é a unidade em A. Portanto, a afirmativa III é incorreta. B I e II, apenas. C I e III, apenas.
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