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Prova Objetiva Estrutura Algébrica nov.2016

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PROVA REGULAR - ESTRUTURA ALGÉBRICA
Disciplina(s):
Estrutura
 
AlgébricaJONAS RAFAEL ALBOLEIA - RU: 1282557 Nota: 40	PROTOCOLO: 201611041282557D2B58C
	Data de início:
	04/11/2016 17:35
	Prazo máximo entrega:
	04/11/2016 19:05
	Data de entrega:
	04/11/2016 18:38
Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
Seja (M2(R), +, ⋅) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações de adição + e multiplicação ⋅
usuais. Analise as afirmativas:
(M2(R), +, ⋅) é um anel com unidade.
(M2(R), +, ⋅) é um anel comutativo.
(M2(R), +, ⋅) possui divisores de zero.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	 A
	I, apenas.
	 B
	I e II, apenas.
	 C	I e III, apenas.

Sabemos que (M2(R), +, ⋅) é um anel. A unidade deste anel é dada pela matriz identidade: I = [ 1 0 ]. Logo,
0 1
(M2(R), +, ⋅) é um anel unitário e afirmativa I é verdadeira. Este anel não é comutativo, pois sabemos que o produto de matrizes não é comutativo. Logo, a afirmativa II é falsa. Além disso, (M2(R), +, ⋅) possui divisores de
zero, pois considerando as matrizes: A = [ 1 0 ] e B = [ 0 0 ], temos A ⋅ B = 0, mas tanto A quanto B 0 0	0 1
são matrizes não nulas. Portanto, a afirmativa III é correta.
	 D
	II, apenas.
	 E
	II e III, apenas.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Considere o anel (R × R, +, ⋅), onde as operações de adição + e multiplicação ⋅ são definidas por
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) ⋅ (c, d) = (ac, bd). Considere também o homomorfismo f : R × R → M2(R)
[
]definido por f(a, b) =	a	0	. Com base nesta função, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando
0	b
falsa.
( ) f(1, 1) resulta na unidade do anel M2(R).
( ) O núcleo de f é o conjunto N(f) = {(0, 0)}.
( ) O conjunto imagem de f é Im(f) = M2(R).
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	 A	V, V, V.
	 B	V, F, V.
	 C	V, V, F.
 A afirmativa I é verdadeira, pois	[ 1 0 ]	é matriz identidade que satisfaz	para toda
f(1, 1) =	= I	A ⋅ I = A
0 1
matriz A ∈ M2(R).Observamos que (a, b) ∈ N(f) ⟺ f(a, b) = [ 0 0 ] ⟺ [ a 0 ] = [ 0 0 ],
0 0	0	b	0 0
donde a = b = 0. Logo, N(f) = {(0, 0)} e a afirmativa II é verdadeira. Já a afirmativa III é falsa, pois
Im(f) = {[ a 0 ] ∈ M2(R)} ≠ M2(R).
0	b
	 D	V, F, F.
	 E	F, V, V.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
( ) Todo domínio de integridade é anel.
( ) Se K é corpo, então K é domínio de integridade.
( ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	 A
	V, V, V.
 Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Com isso, as afirmativas I e III são verdadeiras. Se K é corpo, então K é um anel unitário, comutativo no qual todo elemento diferente de zero de K tem inverso multiplicativo. Com esta última propriedade, mostra­se que K não possui divisores de zero. Portanto, K é um domínio de integridade e a afirmativa II também é verdadeira.
	 B
	V, F, V.
	 C
	V, V, F.
	 D
	V, F, F.
	 E
	F, V, V.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Considere o anel R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x. Com base neste anel, analise as afirmativas:
O polinômio nulo p(x) = 0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].
O elemento simétrico do polinômio p(x) ∈ R[x] é o polinômio −p(x).
Efetuando a multiplicação do polinômio p(x) = 1 + x pelo polinômio q(x) = 2 + x + x2, obtemos o polinômio
p(x) ⋅ q(x) = 2 + 3x + x2 + x3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	 A
	I, apenas.
	 B
	I e II, apenas.
 Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois para todo polinômio q(x) ∈ R[x], temos p(x) + q(x) = 0 + q(x) = q(x). Isso mostra que p(x) = 0 é o elemento neutro da adição do anel R[x]. Também a afirmativa II é verdadeira, já que p(x) + [−p(x)] = 0. Entretanto, a afirmativa III é falsa, pois p(x) ⋅ q(x) = 2 + 3x + 2x2 + x3.
	 C
	I e III, apenas.
	 D
	II, apenas.
	 E
	II e III, apenas.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z, +, ⋅), (Q, +, ⋅) e (R, +, ⋅), em que + e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 0.0
	 A
	(Z, +, ⋅) é um anel comutativo e com divisores de zero.
	 B
	(Z, +, ⋅) não é um domínio.
	 C
	(Q, +, ⋅) não é um corpo.
	 D
	(R, +, ⋅) é um domínio que não é corpo.
	 E
	(R, +, ⋅) é um corpo.
 É sabido que (R, +, ⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, todo número real x ∈ R, x ≠ 0, possui inverso	1	Portanto,	é um corpo.
x−1 =	∈ R.	(R, +, ⋅)
x
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
As funções que preservam as operações de anéis são chamadas homomorfismos. Com base nestas funções, analise as afirmativas:
A função f : Z → Z dada por f(x) = −x é um homomorfismo.
Para o homomorfismo f : Z → R dado por f(x) = x, temos N(f) = {0} e Im(f) = Z.
(
)A função f : R × R → M2(R) definida por f(a, b) =	a	0	é um homomorfismo.
0	b
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	 A
	I, apenas.
	 B
	I e II, apenas.
	 C
	I e III, apenas.
	 D
	II, apenas.
	 E	II e III, apenas.
 Você acertou!
A função definida na afirmativa II é um homomorfismo. Além disso, x ∈ N(f) ⟺ f(x) = 0 ⟺ x = 0. Assim, N(f) = {0}. Também verificamos que Im(f) = {f(x) ∈ R; x ∈ Z} = {x; x ∈ Z} = Z. Logo, a afirmativa II é verdadeira. A afirmativa III também é verdadeira, pois
f((a, b) + (c, d)) = f(a, b) + f(c, d) e f((a, b) ⋅ (c, d)) = f(a, b) ⋅ f(c, d) para todos (a, b), (c, d) ∈ R × R.
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que apresenta o resto da divisão do polinômio p(x) = x4 − 3x3 + 6x2 pelo polinômio
q(x) = x2 − 3x + 5 :
Nota: 10.0
	 A
	r(x) = 3x − 5.
 Você acertou!
Basta observar que p(x) = (x2 + 1) ⋅ q(x) + (3x − 5).
	 B
	r(x) = 3x + 5.
	 C
	r(x) = 2x − 5.
	 D
	r(x) = 2x + 5.
	 E
	r(x) = x − 5.
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica
Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas, assinale a alternativa correta:
Nota: 0.0
	 A
	B = {x ∈ Q; x ∉ Z} é subanel de Q.
	 B
	Z é um ideal
	de Q.
	 C
	B = {[ a
c
	b ] ∈ M2(R)} é subanel de M2(R). 0
	 D
	I = {f : R → R; f(0) = 0} é ideal do anel das funções F (R, R).
 Sejam f, g ∈ I. Então, f(0) = 0 e g(0) = 0. Daí (f − g)(0) = f(0) − g(0) = 0 − 0 = 0, o que mostra que
f − g ∈ I. Além disso, dadas f ∈ F (R, R) e g ∈ I, segue que (f ⋅ g)(0) = f(0) ⋅ g(0) = f(0) ⋅ 0 = 0, donde
f ⋅ g ∈ I.
Portanto, I = {f : R → R; f(0) = 0} é ideal do anel F (R, R).
	 E
	Se I é um ideal do anel (A, +, ⋅), então I é subanel de (A, +, ⋅).
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Considere os polinômios f(x) = 2x3 − 7x2 + 4x − 1 e g(x) = x − 4. Com base em p(x) e em q(x), analise as afirmativas:
O polinômio f(x) é unitário.
O grau do polinômio g(x) é 1.
O quociente da divisão do polinômio f(x) pelo polinômio g(x) é q(x) = 2x2 + x + 8.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	 A
	I, apenas.
	 B
	I e II, apenas.
	 C
	I e III, apenas.
	 D
	II, apenas.
	 E
	II e III, apenas.
 Você acertou!
A afirmativa I é falsa, pois o coeficiente do termo dominante é diferente de 1. A afirmativa II é correta, pois a potência da variável x no termo dominante é 1. Também observamos que f(x) = g(x) ⋅ (2x2 + x + 8) + 31, o qual garante que a afirmativa III é correta.
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Seja A = {e, a} um conjunto com dois elementos munido das operações + e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo:
	+e
	a
	
	⋅
	e
	a
	e
	e
	a
	e
	e
	e
	e
	a
	a
	e
	
	a
	e
	a
Analise as afimativas:
e ⋅ (e + a) = e ⋅ a = e.
O elemento neutro da operação + é a.
A unidade de A é o elemento e.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	 A	I, apenas.
 Na tabela da adição, temos e + a = a. Usando a tabela da multiplicação, concluímos que e ⋅ (e + a) = e ⋅ a = e. Logo, a afirmativa I é correta. Como a + a = e, o elemento a não pode ser o elemento neutro da adição. Assim, a afirmativa II é falsa. Além disso, como e ⋅ a = e, garantimos que o elemento e não é a unidade em A. Portanto, a afirmativa III é incorreta.
	 B	I e II, apenas.
	 C	I e III, apenas.

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