Provas resolvidas

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Provas de
Introduc¸a˜o a` A´lgebra
Manuel Ricou
Departamento de Matema´tica
Instituto Superior Te´cnico
19 de Janeiro de 2008
Conteu´do
1 Enunciados de Testes 3
1.1 1o Teste: 12/4/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 2o Teste: 18/5/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 3o Teste: 15/6/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 1o Teste: 5/4/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 2o Teste: 10/5/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 3o Teste: 12/6/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 1o Teste: 10/4/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 2o Teste: 15/5/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 3o Teste: 7/6/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 1o Teste: 18/3/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.11 2o Teste: 29/4/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.12 3o Teste: 27/5/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.13 1o Teste: 30/3/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.14 2o Teste: 27/4/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.15 3o Teste: 25/5/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.16 1o Teste: 31/3/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.17 2o Teste: 28/4/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.18 3o Teste: 25/5/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.19 1o Teste: 27/3/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.20 2o Teste: 8/5/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.21 3o Teste: 5/6/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Enunciados de Exames 17
2.1 1o Exame: 1/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 2o Exame: 24/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 1o Exame: 4/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 2o Exame: 21/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 1o Exame: 9/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 2o Exame: 24/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 1o Exame: 1/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 2o Exame: 18/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9 1o Exame: 7/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
ii CONTEU´DO
2.10 2o Exame: 21/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Testes Resolvidos 29
3.1 1o Teste: 10/4/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 2o Teste: 15/5/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 3o Teste: 7/6/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 1o Teste: 18/3/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 2o Teste: 29/4/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 3o Teste: 27/5/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 1o Teste: 30/3/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 2o Teste: 27/4/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.9 3o Teste: 25/5/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.10 1o Teste: 31/3/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11 2o Teste: 28/4/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.12 3o Teste: 25/5/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.13 1o Teste: 27/3/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.14 2o Teste: 8/5/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.15 3o Teste: 5/6/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Exames Resolvidos 77
4.1 1o Exame: 1/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 2o Exame: 24/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 1o Exame: 4/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 2o Exame: 21/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 1o Exame: 9/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6 2o Exame: 24/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.7 1o Exame: 1/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.8 2o Exame: 18/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.9 1o Exame: 7/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.10 2o Exame: 21/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Cap´ıtulo 1
Enunciados de Testes
1.1 1o Teste: 12/4/2000
1. Considere a permutac¸a˜o
(
1 2 3 4 5 6 7 8
3 1 5 6 7 8 2 4
)
em S8. Quais
sa˜o as suas o´rbitas? Qual e´ a sua paridade?
2. Sejam G e H grupos. Demonstre as seguintes afirmac¸o˜es:
a) Se f : G→ H e´ um homomorfismo de grupos, e I e´ a identidade
de G, enta˜o f(I) e´ a identidade de H.
b) Se A e B sa˜o subgrupos do grupo G, A ∩B e´ tambe´m subgrupo
de G.
3. Seja A um anel com identidade I. Diga se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas com uma demon-
strac¸a˜o ou um exemplo.
a) Se B e´ subanel de A enta˜o B tem identidade I.
b) A equac¸a˜o x2 = I tem no ma´ximo as soluc¸o˜es x = I e x = −I.
4. Sendo G = {1, i,−1,−i} o grupo formado pelas ra´ızes quartas da
unidade, quais sa˜o os homomorfismos f : G → G? Quais sa˜o os
automorfismos f : G→ G? Sugesta˜o: Determine f(i).
1.2 2o Teste: 18/5/2000
1. Seja d o ma´ximo divisor comum de 663 e 969.
a) Determine uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o 969x+ 663y = d.
b) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 969x + 663y = 0. (Ex-
prima a soluc¸a˜o na forma (x, y) = k(a, b), k ∈ Z.)
3
4 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES
c) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 969x+ 663y = d.
2. Os nu´meros 1.234.567 e 1.234.572 sa˜o primos entre si? Porqueˆ?
3. Seja n ∈ N. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas?
a) Existe pelo menos um nu´mero primo p > n.
b) Existem n naturais consecutivos que na˜o sa˜o primos.
4. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo
em A.
a) Prove que N(A) = {nI : n ∈ N}.
b) Mostre que N(A) e´ finito e tem m elementos se e so´ se m ∈ N e´ a
menor soluc¸a˜o da equac¸a˜o nI = 0. Sugesta˜o: Considere o nu´cleo
do homomorfismo f : Z→ A dado por f(n) = nI.
1.3 3o Teste: 15/6/2000
1. Considere o anel Z55.
a) Quais sa˜o os divisores de zero neste anel?
b) Resolva a equac¸a˜o x2 = 4 em Z55.
c) Suponha que h : Z5 → Z55 e´ um homomorfismo de ane´is. Quais
sa˜o os valores poss´ıveis para h(1)?
2. Suponha que o anel A e´ um anel com caracter´ıstica 0. Prove que:
a) A tem um subanel isomorfo ao anel dos inteiros.
b) Se A e´ um corpo, enta˜o A tem um subcorpo isomorfo ao corpo
dos racionais.
3. Esta questa˜o refere-se a polino´mios com coeficientes em Z3.
a) Determine todos os polino´mios irredut´ıveis da forma x2 + x+ a.
b) Qual e´ o ma´ximo divisor comum de x4+1 e x4+2x3+2x2+x+1?
c) Quantos elementos tem o quociente A = Z3[x]/ < x4 + 1 >?
d) O elemento x4 + 2x3 + 2x2 + x+ 1 e´ invert´ıvel no anel A?
1.4 1o Teste: 5/4/2001
1. Considere as permutac¸o˜es pi = (3, 5, 9)(2, 4, 6)(1, 8, 7) e ρ = (2, 9)(1, 8)
do grupo S9.
a) Diga se cada uma destas partic¸o˜es e´ par ou ı´mpar.
1.5. 2o TESTE: 10/5/2001 5
b) Quais sa˜o as o´rbitas de piρ?
2. Sendo (G, ∗) um grupo, demonstre as seguintes afirmac¸o˜es:
a) Se N e H sa˜o subgrupos de G enta˜o N∩H e´ um subgrupo de G.
b) Se G e´ abeliano, qualquer subgrupo de G e´ normal.
c) O elemento neutro de qualquer subgrupo deG e´ o elemento neutro
de G.
3. Seja A um anel unita´rio, com identidade I 6= 0.
a) Mostre que o produto de dois elementos invert´ıveis de A e´ um
elemento invert´ıvel de A.
b) Um subanel de A pode ter uma identidade distinta da identidade
de A? Porqueˆ?
c) Se A tem 3 elementos, podemos concluir que A e´ isomorfo a
(Z3,+,×)? Porqueˆ?
1.5 2o Teste: 10/5/2001
1. Seja d o ma´ximo divisor comum de 2093 e 483.
a) Determine uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2093x+
483y = d.
b) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 2093x+ 483y = 0. (Ex-
prima a soluc¸a˜o na forma (x, y) = k(a, b), k ∈ Z.)
c) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 2093x+ 483y = d.
2. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo
em A. Prove que N(A) = {nI : n ∈ N}.
3. Determine todos os naturais x que satisfazem simultaneamente as duas
congrueˆncias x ≡ 2 (mod 17) e x ≡ 5 (mod 13).
4. Os nu´meros da forma Fn = 22
n
+1, com n ≥ 0, dizem-se os “nu´meros
de Fermat”.
a) Demonstre que se Gn e´ o produto dos nu´meros de Fermat Fk,
0 ≤ k ≤ n, ou seja, se Gn = F0 × F1 × · · · × Fn, enta˜o Fn+1 =
Gn + 2, para qualquer n ≥ 0.
b) Prove que se n 6= m enta˜o Fn e Fm sa˜o primos entre si.
6 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES
1.6 3o Teste: 12/6/2001
1. Considere neste exerc´ıcio o anel Z216.
a) Quantos subane´is tem o anel Z216? Quantos geradores tem este
anel?
b) Sendo f : Z216 → Z8 ⊕ Z27 um isomorfismo de ane´is, determine
x ∈ Z216 tal que f(x) = (7, 21).
2. Seja h : Zn → Zm um homomorfismo. Demonstre as seguintes afirma-
c¸o˜es:
a) Se h e´ injectivo enta˜o n e´ um factor de m.
b) Se h e´ sobrejectivo enta˜o n e´ mu´ltiplo de m.
3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z2[x], e I =< x3+x+1 >.
a) Determine o inverso de x2 + 1 em A/I.
b) Existem elementos na˜o-invert´ıveis no anel A/I?
c) Os elementos do anel A/I podem ser representados na forma
a+ bi+ cj, onde a, b, c ∈ Z2, i = x, e j = x2. Mostre que I2 = j,
j2 = i+ j, e ij = 1 + i.
d) Na notac¸a˜o da al´ınea anterior, quais sa˜o os factores irredut´ıveis
do polino´mio x3 + x+ 1 no anel dos polino´mios com coeficientes
em A/I?
1.7 1o Teste: 10/4/2002
1. Mostre que o grupo (Z4,+) na˜o e´ isomorfo ao grupo (Z2 ⊕ Z2,+).
2. Seja H = {A ∈Mn(R) : det(A) = 1}.
a) Mostre que H com o produto usual de matrizes e´ um grupo.
b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invert´ıveis, com
a mesma operac¸a˜o, mostre que H e´ um subgrupo normal de G.
3. Sendo J e K ideais de um dado anel A, prove que L = {x + y : x ∈
J, y ∈ K} e´ um ideal de A.
4. Suponha que x e y pertencem a um anel A.
a) Mostre que x2− y2 = (x− y)(x+ y) para quaisquer x, y ∈ A se e
so´ se A e´ um anel abeliano.
b) Supondo que A e´ abeliano e x2 = y2, temos necessariamente
x = ±y?
1.8. 2o TESTE: 15/5/2002 7
5. Considere o grupo das ra´ızes-4 da unidade, G = {1, i,−1,−i}, com o
produto usual de complexos, e o grupo (Z2,+). Quais sa˜o os homo-
morfismos h : G → Z2? Sugesta˜o: Comece por recordar que o nu´cleo
de h e´ um subgrupo de G.
1.8 2o Teste: 15/5/2002
1. Esta questa˜o refere-se ao anel dos inteiros Z. Seja J =< 24 > o
conjunto dos mu´ltiplos de 24, e K =< 36 > o conjunto dos mu´ltiplos
de 36.
a) Qual e´ o menor elemento positivo de J ∩ K? Quais sa˜o os ele-
mentos de J ∩K?
b) Qual e´ o menor ideal de Z que conte´m os ideais J e K?
2. Mostre que os nu´meros 1.999.991 e 1.999.994 sa˜o primos entre si.
3. Ainda no anel dos inteiros, considere a equac¸a˜o 105x+ 154y = d.
a) Qual e´ o menor natural d para o qual a equac¸a˜o acima tem
soluc¸o˜es? Resolva a equac¸a˜o para esse natural d.
b) O elemento 105 tem inverso no anel Z154? Quantos elementos
tem < 105 >?
c) O subanel < 105 > tem identidade? Caso afirmativo, qual e´ essa
identidade?
4. Prove que se n e´ natural enta˜o
n∑
k=1
k3 =
n2(n+ 1)2
4
.
5. Sejam n,m ∈ N, D = mdc(n,m) e M = mmc(n,m). Prove que
nm = DM .
Sugesta˜o: Supondo que n = aD e m = bD, mostre que qualquer
mu´ltiplo comum de n e m e´ mu´ltiplo de abD.
1.9 3o Teste: 7/6/2002
1. Considere p(x) = x4 + 2x3 + 2x+ 2 e q(x) = x4 + 1 em Z3[x].
a) Determine o ma´ximo divisor comum de p(x) e q(x).
b) Qual e´ menor mu´ltiplo comum de p(x) e q(x)?
2. Mostre que (
∑∞
n=0 x
n)2 = (1 + 2x)
∑∞
n=0 x
3n em Z3[[x]].
8 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES
3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z2[x], e I =< x2 + 1 >.
a) Quantos elementos tem o anel A/I?
b) Determine a tabuada da multiplicac¸a˜o em A/I.
4. Seja α ∈ R um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja ainda J o
conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0.
a) Mostre que J =< m(x) >, onde m(x) e´ mo´nico e irredut´ıvel em
Q[x].
b) Prove que Q[α] e´ um corpo.
c) Seja α = 3
√
2. Mostre que m(x) = x3 − 2, e determine a, b, c ∈ Q
tais que
1
1 + 3
√
2 + 3
√
4
= a+ b 3
√
2 + c 3
√
4.
1.10 1o Teste: 18/3/2003
1. Seja S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
a) Mostre que S1 com o produto usual de complexos e´ um grupo.
b) Sendo n ∈ N e Rn = {z ∈ C : zn = 1}, mostre que Rn e´ um
subgrupo de S1.
c) Seja R = ∪∞n=1Rn. R e´ igualmente um subgrupo de S1?
2. Determine todos os homomorfismos de grupo f : S3 → Z2. (S3 e´ o
grupo das permutac¸o˜es em {1, 2, 3}, e Z2 o grupo aditivo com dois
elementos).
3. Sejam A e B ane´is, e f : A→ B um homomorfismo de ane´is.
a) Prove que f(O) = O∗, onde O e O∗ sa˜o os zeros de respectiva-
mente A e B.
b) Prove que f(−x) = −f(x) para qualquer x ∈ A.
c) Se x e´ invert´ıvel em A, temos sempre f(x) invert´ıvel em B?
d) Mostre que f(nx) = nf(x), para quaisquer n ∈ Z e x ∈ A.
Sugesta˜o: Deve recordar a definic¸a˜o de na, para n ∈ Z e a ∈ G,
onde G e´ um qualquer grupo aditivo. Para n > 0, deve proceder
por induc¸a˜o.
1.11. 2o TESTE: 29/4/2003 9
1.11 2o Teste: 29/4/2003
1. a) Quantos divisores naturais tem 2.000?
b) Quantos naturais 1 ≤ k ≤ 2.000 sa˜o primos relativamente a
2.000?
2. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 87x ≡ 3 (mod 6.000) em Z.
3. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2y = 108, onde x e y sa˜o
inteiros. Sugesta˜o: Recorde o teorema fundamental da Aritme´tica.
4. Suponha que a, b e m sa˜o inteiros fixos. Prove que
a) ax ≡ b (mod m) tem soluc¸o˜es inteiras x se e so´ se b e´ mu´ltiplo
de mdc(a,m).
b) ax ≡ 0 (mod m) tem soluc¸o˜es x 6≡ 0 (mod m) se e so´ se ax ≡ 1
(mod m) na˜o tem soluc¸o˜es (supondo m 6= 0).
5. Considere o ideal J =< 87 > em Z6000.
a) Quantos elementos tem J? Quantos geradores tem J?
b) J tem identidade? Se J tem identidade, qual e´ a sua identidade?
1.12 3o Teste: 27/5/2003
1. Considere os polino´mios p(x) = x3+25x2+10x−5 e q(x) = 1+x+x2
em Q[x].
a) Quais dos polino´mios p(x) e q(x) sa˜o irredut´ıveis em Q[x]?
b) Determine a(x), b(x) ∈ Q[x] tais que 1 = a(x)(1 + x + x2) +
b(x)(1 + x2).
2. Suponha que α ∈ R e´ um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja
J =< m(x) > o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0.
a) Supondo que m(x) tem grau n, prove que o espac¸o vectorial Q[α]
tem dimensa˜o n sobre o corpo Q.
b) Prove que Q[α] e´ um corpo, e uma extensa˜o alge´brica de Q.
3. Suponha que p(x), q(x) ∈ Z[x]. Diga (com a correspondente justi-
ficac¸a˜o!) se cada uma das seguintes afirmac¸o˜es e´ falsa ou verdadeira.
a) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x] enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x].
b) Se p(x) e q(x) sa˜o primitivos, enta˜o p(x)q(x) e´ primitivo.
10 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES
4. Suponha que G e H sa˜o grupos finitos, respectivamente com n e m
elementos, e seja f : G→ H um homomorfismo de grupos.
a) Prove que se f e´ injectivo enta˜o n e´ factor de m.
b) O que pode concluir sobre f se n e m sa˜o primos entre si?
1.13 1o Teste: 30/3/2004
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta
questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, e (A,+,×) e´ um anel unita´rio.
a) Qualquer subgrupo de G conte´m a identidade de G.
b) Se H e K sa˜o subgrupos de G, e H e´ um subgrupo normal de G,
enta˜o H ∩K e´ um subgrupo normal de K.
c) Se B e´ um subanel de A, enta˜o B e´ tambe´m um anel unita´rio.
d) Se x, y ∈ A, enta˜o (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2.
e) Se a, b ∈ A e n ∈ Z enta˜o n(ab) = (na)b = a(nb).
f) Se a ∈ A, a equac¸a˜o x2 = a2 tem um nu´mero finito de soluc¸o˜es
em
A.
2. Recorde que o grupo diedral Dn e´ o grupo de simetria do pol´ıgono
regular de n lados, e tem 2n elementos (n reflexo˜es e n rotac¸o˜es).
Designamos por R2 o grupo multiplicativo das ra´ızes quadradas da
unidade.
a) Seja f : Dn → R2 dada por
f(σ) =
{
+1, se σ e´ uma rotac¸a˜o,
−1, se σ e´ uma reflexa˜o.
Mostre que f e´ um homomorfismo de grupos. Podemos concluir
daqui que as rotac¸o˜es em Dn formam um subgrupo normal de
Dn?
b) Determine todos os subgrupos de D5. Quais destes subgrupos sa˜o
normais? sugesta˜o: Pode ser conveniente verificar que qual-
quer subgrupo que contenha uma rotac¸a˜o r 6= 1 conte´m todas as
rotac¸o˜es em D5.
1.14 2o Teste: 27/4/2004
1. Esta questa˜o refere-se a equac¸o˜es ax ≡ b (mod 216), com a, b, x ∈ Z.
a) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o homoge´nea 10x ≡ 0 (mod 216).
1.15. 3o TESTE: 25/5/2004 11
b) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 10x ≡ 6 (mod 216).
c) Quantos naturais a ≤ 216 teˆm inverso (mod 216)?
2. Nesta questa˜o, A e´ um anel unita´rio, com identidade I 6= 0, e φ : Z→
A e´ o homomorfismo de ane´is dado por φ(n) = nI.
a) Prove que φ(Z) e´ o menor subanel de A que conte´m I.
b) Mostre que se A e´ ordenado e A+ = φ(N) enta˜o A e´ isomorfo a
Z. sugesta˜o: Verifique primeiro que se A e´ ordenado enta˜o φ e´
injectiva, i.e., a caracter´ıstica de A so´ pode ser 0.
3. Designamos aqui por S(n) a soma dos divisores naturais de n ∈ N.
a) Quantos naturais d ≤ 4.000 sa˜o divisores de 4.000?
b) Determine S(4.000).
c) Resolva a equac¸a˜o S(n) = 399 = 3 × 7 × 19. sugesta˜o: Quais
podem ser os factores pk na decomposic¸a˜o de n em produto de
poteˆncias de primos?
1.15 3o Teste: 25/5/2004
1. Este grupo refere-se ao anel A = Z1155.
a) Determine uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o 60x = 15, com
x ∈ Z1155. Quantas soluc¸o˜es tem esta equac¸a˜o?
b) O subanel B =< 60 >⊂ A tem identidade? Em caso afirmativo,
qual e´ essa identidade?
2. Neste grupo, p(x) ∈ Z3[x], e F e´ o anel das func¸o˜es f : Z3 → Z3. De-
signamos por φ : Z3[x]→ F o homomorfismo de ane´is que transforma
cada polino´mio na respectiva func¸a˜o polinomial, e g : Z3 → Z3 e´ a
func¸a˜o dada por g(0) = g(1) = 2, e g(2) = 1.
a) Determine p(x) tal que φ(p(x)) = g.
b) Qual e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o φ(p(x)) = g?
3. Este grupo refere-se ao anel dos inteiros de Gauss Z[i].
a) Suponha que n,m ∈ Z, e p = n2+m2 e´ um inteiro primo. Mostre
que n+mi e´ um elemento irredut´ıvel de Z[i].
b) Considere o inteiro de Gauss z = 15(2 + 3i)2. Quantos divisores
de z existem em Z[i]? sugesta˜o: Como calcula o nu´mero de
divisores k ∈ N de um dado n ∈ N?
4. Seja K um corpo e A = K [[x]] o anel das se´ries de poteˆncias com
coeficientes em K.
12 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES
a) Mostre que os elementos invert´ıveis de A sa˜o as se´ries da forma∑∞
n=0 anx
n, com a0 6= 0.
b) A e´ um d.i.p. e/ou um d.f.u.?
1.16 1o Teste: 31/3/2005
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta
questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, e (A,+,×) e´ um anel unita´rio.
a) Qualquer subgrupo de G conte´m a identidade de G.
b) Qualquer subanel unita´rio de A conte´m a identidade de A.
c) Se x ∈ G e x2 = e, onde e e´ a identidade de G, enta˜o x = e.
d) Se x ∈ A e x2 = 0 enta˜o x = 0.
2. O grupo GL(2,R) e´ formado pelas matrizes 2 × 2, invert´ıveis, com
entradas em R, com o produto usual de matrizes. Para cada um dos
seguintes exemplos, diga se H e´ um subgrupo de GL(2,R), e, caso
afirmativo, se H e´ um subgrupo normal de GL(2,R).
a) H = {
[
a 0
0 b
]
, ab 6= 0}.
b) H = {M ∈ GL(2,R) : det(M) = 1}.
3. Nesta questa˜o, G = {1, i,−1,−i} e´ o grupo multiplicativo das ra´ızes
quartas da unidade, e Z2 = {0, 1} e´ o usual grupo aditivo com dois
elementos.
a) Determine todos os homomorfismos de grupo f : Z2 → G.
b) Suponha que H e´ um grupo, e g : G → H e´ um homomorfismo
sobrejectivo. Classifique o grupo H.
1.17 2o Teste: 28/4/2005
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo.
a) Todos os grupos na˜o abelianos com 8 elementos sa˜o isomorfos
entre si.
b) No grupo diedral Dn (grupo de simetria do pol´ıgono regular de
n lados), as rotac¸o˜es formam um subgrupo normal de Dn.
c) Se n,m ∈ N, mdc(n,m) = 1 e n|mk enta˜o n|k.
1.18. 3o TESTE: 25/5/2005 13
2. Neste grupo, x, y e z0 sa˜o nu´meros inteiros.
a) Qual e´ o menor natural z0 para o qual a equac¸a˜o 2279x+731y =
z0 tem soluc¸o˜es?
b) Sendo z0 o natural determinado na al´ınea anterior, qual e´ o
menor natural x que e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2279x+ 731y = z0?
3. Suponha que n 6= 4 e´ um natural, e mostre que n|(n− 1)! se e so´ se n
na˜o e´ primo. sugesta˜o: Considere sucessivamente os casos
(1) n e´ primo,
(2) Existem 1 < k < m < n tais que n = mk, e
(3) n = m2.
1.18 3o Teste: 25/5/2005
1. Esta questa˜o refere-se ao anel Z808.
a) Quantos subane´is existem em Z808? Quantos elementos de Z808
sa˜o invert´ıveis? Quantos elementos de Z808 sa˜o divisores de zero?
b) Quantos elementos tem o subanel < 303 >? Quais sa˜o os seus
geradores? Qual e´ a sua identidade?
2. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo.
a) O polino´mio x3 + x2 + x+ 2 e´ irredut´ıvel em Z3[x].
b) A equac¸a˜o 1 = p(x)(x3+x2+x+2)+q(x)(x2+2x+2) tem soluc¸o˜es
p(x), q(x) ∈ Z3[x], mas na˜o tem soluc¸o˜es p(x), q(x) ∈ Z5[x].
c) Exactamente um dos subane´is de Z808 e´ um corpo.
3. Recorde que, se p ∈ N e´ primo, enta˜o todos os elementos a ∈ Z∗p
satisfazem ap−1 = 1. Recorde igualmente o Teorema do Resto.
a) Quais sa˜o os factores irredut´ıveis do polino´mio xp−1−1 em Zp[x]?
b) Use a factorizac¸a˜o acima para concluir que (p−1)! ≡ −1 mod p.
1.19 1o Teste: 27/3/2006
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta
questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, e (A,+,×) e´ um anel unita´rio.
a) A equac¸a˜o x2 = x tem uma u´nica soluc¸a˜o em G, que e´ a identi-
dade de G.
14 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES
b) Se f : G→ G e´ um homomorfismo de grupos, enta˜o o nu´cleo de
f e´ um subgrupo normal de G.
c) Se B e´ um subanel de A, enta˜o B e´ tambe´m um ideal de A.
d) Se f : A→ A e´ um homomorfismo de ane´is, enta˜o f(nx) = nf(x),
para quaisquer x ∈ A e n ∈ N.
e) Se a ∈ A, a equac¸a˜o x2 = a2 so´ tem as soluc¸o˜es x = ±a.
2. Designamos aqui por Rn = {z ∈ C : zn = 1} o grupo das ra´ızes-n da
unidade com o produto usual de complexos.
a) Mostre que se n e´ mu´ltiplo de m enta˜o Rm e´ subgrupo de Rn.
b) O grupo R2 ⊕R4 e´ isomorfo a R8?
c) Considere o homomorfismo de grupos f : R12 → C∗ dado por
f(x) = x3. Qual e´ o nu´cleo de f e a imagem f(R12)? Quais sa˜o
as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = −1?
1.20 2o Teste: 8/5/2006
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta convenientemente.
a) A equac¸a˜o 2491x+ 829y = 11 tem soluc¸o˜es x, y ∈ Z.
b) A soma dos divisores de 100.000 e´ superior a 250.000.
c) Qualquer anel ordenado A 6= {0} e´ infinito.
d) O natural 21995 − 1 na˜o e´ primo.
2. Considere nesta questa˜o o anel A = Z75, e seja B o subanel de A com
15 elementos.
a) Quais sa˜o os ideais de A? Quantos elementos tem cada um desses
ideais?
b) Quantos divisores de zero existem em A? Quantos elementos tem A∗?
c) O anel B e´ isomorfo ao anel Z15? Quais sa˜o os geradores de B, i.e.,
quais sa˜o os elementos x ∈ B tais que B =< x >?
d) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 = 1 em A.
1.21. 3o TESTE: 5/6/2006 15
3. Numa aplicac¸a˜o do algoritmo de criptografia RSA, sabe-se que a chave
pu´blica e´ r = 49, e o mo´dulo e´ N = 10.403. Observando
que 10.403 e´
o produto dos primos 101× 103, qual e´ o valor da chave privada?
1.21 3o Teste: 5/6/2006
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo.
a) Existem polino´mios p(x) ∈ Z[x] que sa˜o irredut´ıveis em Q[x] e re-
dut´ıveis em Z[x].
b) Se D e´ um domı´nio integral, enta˜o qualquer elemento x ∈ D que seja
primo e´ irredut´ıvel.
c) Os ane´is Q[ 3
√
2] e Q[x]/ < x3 − 2 > sa˜o corpos, e sa˜o isomorfos.
d) Se K e´ um corpo, e m(x) ∈ K[x] e´ um polino´mio irredut´ıvel com grau
≥ 2, existe um corpo L que e´ uma extensa˜o de K onde m(x) tem pelo
menos uma ra´ız.
2. Observe que 845 = 5× 132.
a) Quantos divisores tem 845 no anel dos inteiros de Gauss?
b) Quais sa˜o os naturais n,m tais que 845 = n2 +m2?
3. Suponha que G e´ um grupo com 14 elementos, e recorde que G tem
pelo menos um elemento de ordem 2.
a) Mostre que G tem subgrupos H e K com |H| = 2 e |K| = 7.
b) Mostre que G = HK. Teremos sempre G ' H ⊕ K? sugesta˜o:
Observe que H ⊕K e´ comutativo.
16 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES
Cap´ıtulo 2
Enunciados de Exames
2.1 1o Exame: 1/7/2002
1. Neste grupo, G eH sa˜o grupos, e a identidade de G designa-se por I. Para
cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira,
com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo.
a) Se f : G→ H e´ um homomorfismo de grupos, f(I) e´ a identidade de
H.
b) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos, o nu´cleo de f e´ um
subgrupo normal de G.
c) Se A e B sa˜o subgrupos de G enta˜o A ∩B e´ subgrupo de G.
d) Se A e B sa˜o subgrupos de G enta˜o AB = BA se e so´ se AB e´ subgrupo
de G.
2. Nesta questa˜o, A e´ um domı´nio integral com identidade 1 e zero 0, onde
1 6= 0. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´
verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo.
a) Os elementos invert´ıveis de A formam um grupo.
b) A identidade de qualquer subanel B 6= 0, se existir, e´ 1.
c) Qualquer ideal de A e´ principal.
d) Se J e´ um ideal maximal de A, enta˜o A/J e´ um corpo.
3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z900.
a) Quantos subgrupos existem em Z900? Sendo n um qualquer divisor de
900, quantos destes subgrupos teˆm exactamente n elementos?
b) Quantos elementos invert´ıveis existem no anel Z900? Quantos auto-
morfismos do grupo Z900 existem?
17
18 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES
c) Considere o homomorfismo de grupos f : Z900 → Z30 dado por f(x) =
24x. Determine o nu´cleo de f , e diga se f e´ sobrejectivo.
d) Continuando a al´ınea anterior, resolva a equac¸a˜o f(x) = 18.
4. Nesta questa˜o, G e´ um grupo na˜o-abeliano com 6 elementos.
a) Prove que nenhum elemento de G tem ordem 6, mas que existe pelo
menos um elemento ε de G com ordem 3. Sugesta˜o: Mostre que, caso
contra´rio, G seria abeliano.
b) Sendo ε um elemento de G de ordem 3, e H = {1, ε, ε2} o subgrupo
gerado por ε, mostre que H e´ normal em G. Sugesta˜o: Qual e´ o ı´ndice
de H em G?
c) Suponha que α 6∈ H, e mostre que α2 = 1. Sugesta˜o: No grupo
quociente G/H, a ordem do elemento α e´ 2. Qual pode ser a ordem
de α em G?
d) Como αH = Hα, o produto αε so´ pode ser εα ou ε2α. Conclua que
G e´ necessariamente isomorfo a S3.
2.2 2o Exame: 24/7/2002
1. Neste grupo, K ⊆ H sa˜o subgrupos do grupo G. Para cada uma das
afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demon-
strac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo.
a) Se K e´ normal em G enta˜o K e´ normal em H.
b) Se K e´ normal em H enta˜o K e´ normal em G.
c) Se G e´ um grupo c´ıclico infinito enta˜o G e´ isomorfo a (Z,+).
d) Se K e´ normal em G e x ∈ G, enta˜o a ordem de x em G/K e´ factor
da ordem de x em G.
2. Nesta questa˜o, A e´ um domı´nio integral com identidade 1 e zero 0, onde
1 6= 0. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´
verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo.
a) A caracter´ıstica de A e´ 0, ou um nu´mero primo p.
b) O anel A[x] e´ tambe´m um domı´nio integral.
c) Qualquer ideal em A[x] e´ principal.
d) Existe um corpo K com um subanel isomorfo a A.
2.3. 1o EXAME: 4/7/2003 19
3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z36.
a) Quantos subgrupos existem em Z36? Quantos geradores tem Z36?
b) Suponha que B e´ um subanel de Z36, com identidade a, e n elementos.
Mostre que a caracter´ıstica de B e´ um factor de 36, e que a ordem de
qualquer elemento de B e´ um factor da caracter´ıstica de B. (sugesta˜o:
se ma = 0, enta˜o mx = 0 para qualquer x ∈ B)
c) Conclua que a caracter´ıstica de B e´ n, donde a e´ um gerador de B, e
d = mdc(a, 36) = 36/n.
d) Conclua finalmente que se B tem identidade a, enta˜o mdc(d, n) = 1.
Determine todos os subane´is de Z36 com identidade, e calcule essas
identidades.
4. Nesta questa˜o, G e H sa˜o grupos.
a) Prove que se f : G → H e´ um homomorfismo injectivo, o nu´mero de
elementos de G e´ factor do nu´mero de elementos de H. O que pode
concluir se f e´ sobrejectivo?
b) Se G e H sa˜o os grupos aditivos Zn e Zm, onde n e´ factor de m, existe
sempre algum homomorfismo injectivo f : G → H? Se G = Z6 e
H = Z24, quantos homomorfismos injectivos existem?
c) Supondo que H = Z6, e f : G→ H e´ injectivo, classifique o grupo G.
d) Supondo que G = Z6, e f : G→ H e´ sobrejectivo, classifique o grupo
H.
2.3 1o Exame: 4/7/2003
1. Neste grupo, G e H sa˜o grupos, e N e´ um subgrupo de G. Para cada
uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com
uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo.
a) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos, f(G) e´ um subgrupo
de H.
b) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos, f(xn) = f(x)n para
qualquer n ∈ Z.
c) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos finitos, o nu´mero de
elementos de f(G) e´ um divisor comum do nu´mero de elementos de G
e do nu´mero de elementos de H.
d) Se X = {xN : x ∈ G} e Y = {Ny : y ∈ G} enta˜o X e Y teˆm o mesmo
cardinal.
20 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES
2. Nesta questa˜o, D e´ um domı´nio integral com identidade 1 e zero 0, onde
1 6= 0. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´
verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo.
a) Qualquer subanel B de D tem identidade.
b) Qualquer subgrupo de (D,+) e´ um subanel de D.
c) Se D e´ finito enta˜o D contem um subanel B isomorfo a algum Zm.
d) Se D e´ um d.f.u., a equac¸a˜o mdc(a, b) = ax+by tem soluc¸o˜es x, y ∈ D.
3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z833.
a) Seja f : Z → Z833 o homomorfismo de grupos dado por f(n) = 357n.
Quantos elementos tem a imagem f(Z)? Qual e´ o nu´cleo de f?
b) Quais sa˜o os grupos Zm tais que h : Zm → Z833 dado por h(n) = 357n
esta´ bem definido, e e´ um homomorfismo de grupos? Para que valor
de m e´ que h e´ um isomorfismo?
c) f(Z) e´ tambe´m um anel? E se e´ um anel, e´ isomorfo a um anel Zk?
d) Quais dos seguintes ane´is sa˜o isomorfos entre si: Z1000, Z2 ⊕ Z500,
Z4 ⊕ Z250, Z8 ⊕ Z125?
4. Nesta questa˜o, K e´ um corpo, m(x) ∈ K[x], A = K[x]/ < m(x) >, e
pi : K[x]→ A e´ o usual homomorfismo de ane´is pi(p(x)) = p(x).
a) Prove que os ideais de A sa˜o da forma pi(J), onde J e´ um ideal de
K[x]. Conclua que A e´ um d.i.p., ou seja, todos os seus ideais sa˜o
principais.
b) Mostre que os ideais de A sa˜o da forma < d(x) >, onde d(x)|m(x)
em K[x]. Sugesta˜o: Mostre que < p(x) >=< d(x) >, onde d(x) =
mdc(p(x),m(x)) em K[x].
c) Supondo K = Z3, e m(x) = x3 + 2x, quantos elementos podem ter
os ideais de A? Quantos ideais com n elementos existem, para cada
poss´ıvel valor de n? Quantos elementos invert´ıveis existem em A?
d) SupondoK = Z3, em(x) = x3+2x, o anel A e´ isomorfo a Z3⊕Z3⊕Z3?
2.4 2o Exame: 21/7/2003
1. Nesta questa˜o, G e H sa˜o grupos multiplicativos, e f : G → H e´ um
homomorfismo
de grupos. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre
que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um
contra-exemplo.
2.4. 2o EXAME: 21/7/2003 21
a) f(x−1) = f(x)−1 para qualquer x ∈ G.
b) O nu´cleo de f e´ um subgrupo normal de G.
c) Se f e´ sobrejectivo, e G e´ finito, enta˜o |H| e´ factor de |G|.
d) Se G e´ um grupo c´ıclico com n elementos, e k e´ factor de n, enta˜o
existe pelo menos um elemento de G com ordem k.
2. Nesta questa˜o, p(x), q(x) ∈ Z[x] sa˜o polino´mios com coeficientes in-
teiros. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´
verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo.
a) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x], enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x].
b) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x], enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x].
c) Se q(x)|p(x) em Z[x], e p(x) e´ primitivo, enta˜o q(x) e´ primitivo.
d) Se q(x)|p(x) em Q[x], enta˜o existe k ∈ Q tal que kq(x)|p(x) em Z[x].
3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z300.
a) Quantos subgrupos tem Z300?
b) Quantos homomorfismos sobrejectivos de grupo h : Z600 → Z300 ex-
istem? Quais destes homomorfismos sa˜o tambe´m homomorfismos de
anel?
c) Quantos homomorfismos de grupo f : Z600 → Z300 existem, tais que
f(Z) tem 100 elementos? Prove que f(Z) e´ um anel isomorfo ao anel
Z100.
d) Quais dos seguintes grupos sa˜o isomorfos entre si: Z300, Z6 ⊕ Z50,
Z100 ⊕ Z3, Z10 ⊕ Z30?
4. Nesta questa˜o, G e´ um grupo finito, e A e B sa˜o subgrupos de G.
AB = {xy : x ∈ A e y ∈ B}.
a) Prove que A ∩ B e´ um subgrupo de G. O conjunto AB e´ sempre um
subgrupo de G?
b) Prove que |AB||A ∩ B| = |A||B|. Sugesta˜o: Mostre que a func¸a˜o
f : A/(A ∩ B) → G/B esta´ bem definida por f(x(A ∩ B)) = xB, e e´
injectiva. Mostre tambe´m que a unia˜o das classes em f(A/A ∩ B) e´
exactamente AB.
c) Suponha que G e´ um grupo abeliano com 10 elementos. Prove que
G tem necessariamente um elemento x com ordem 5, e um elemento
y com ordem 2, e conclua que G e´ o grupo Z10. Sugesta˜o: Qual e´ a
ordem de xy?
22 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES
d) Mostre que, se G e´ um grupo na˜o-abeliano com 10 elementos, enta˜o G
tem um elemento x com ordem 5, e se y 6∈< x > enta˜o y tem ordem
2. Conclua que xy = yx4, e portanto que existe apenas um grupo
na˜o-abeliano com 10 elementos, que so´ pode ser D5.
2.5 1o Exame: 9/7/2004
1. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta
com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, G e H sa˜o
grupos, f : G→ H e´ um homomorfismo de grupos, e N e´ o nu´cleo de f .
a) Se e e´ a identidade de G, enta˜o f(e) e´ a identidade de H.
b) Se K e´ um subgrupo de H, enta˜o f−1(K) e´ um subgrupo de G que
conte´m N .
c) Se todos os elementos de G teˆm ordem finita enta˜o G e´ finito.
d) Se |G| = 15 e |H| = 25, enta˜o f(G) e´ um grupo c´ıclico.
2. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta
com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, A e B sa˜o
ane´is, A e´ um domı´nio integral, f : A→ B e´ um homomorfismo sobrejectivo
de ane´is, e N e´ o nu´cleo de f .
a) N e´ um ideal de A.
b) Se a e´ invert´ıvel em A, enta˜o f(a) e´ invert´ıvel em B.
c) B e´ um domı´nio integral.
d) Se B e´ um corpo, enta˜o N e´ um ideal ma´ximo de A.
3. Neste grupo, n designa a classe de equivaleˆncia do inteiro n em Z1800.
a) Quantos subgrupos tem Z1800? Quais sa˜o os geradores do subgrupo
gerado por 1300?
b) Considere os grupos Z25⊕Z72, Z20⊕Z90, Z200⊕Z9, e Z40⊕Z45. Quais
destes grupos sa˜o isomorfos entre si?
c) Quantos homomorfismos de grupo f : Z1800 → Z1800 existem, com
nu´cleo N(f) =< 1300 >? sugesta˜o: Determine primeiro f(Z1800).
d) Supondo que g : Z → Z40 ⊕ Z45 e´ um homomorfismo de ane´is, classi-
fique o anel g(Z).
4. Considere o anel Z3[x], e o polino´mio p(x) = x3+2x+1. Nesta questa˜o,
quando m(x) ∈ Z3[x], designamos por m(x) a correspondente classe no anel
quociente K = Z3[x]/ < p(x) >.
2.6. 2o EXAME: 24/7/2004 23
a) Qual e´ o inverso de x2 + 1 em K[x]?
b) Mostre que K e´ um corpo, e uma extensa˜o alge´brica de Z3. K[x] e´
um d.f.u.?
c) Decomponha p(x) em factores irredut´ıveis em K[x]. sugesta˜o: Para
factorizar polino´mios quadra´ticos com coeficientes em K, pode “com-
pletar o quadrado”.
d) Seja α ∈ K, α 6∈ Z3. Prove que Z3(α) e´ isomorfo a K, e em particular
α e´ ra´ız de um polino´mio irredut´ıvel do terceiro grau n(x) ∈ Z3[x].
2.6 2o Exame: 24/7/2004
1. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta
com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, G e´ um
grupo, e K e H sa˜o subgrupos de G.
a) Se x, y ∈ G, enta˜o (xy)−1 = y−1x−1.
b) Se K e´ subgrupo normal de G, enta˜o K ∩H e´ subgrupo normal de H.
c) Os automorfismos de G formam um grupo, com a operac¸a˜o de com-
posic¸a˜o.
d) Se K e´ subgrupo normal de G, enta˜o existe um grupo L e um homo-
morfismo de grupos f : G→ L tal que K e´ o nu´cleo de f .
2. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta
com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, A e B sa˜o
ane´is unita´rios, e f : A→ B e´ um homomorfismo de ane´is.
a) Se a e´ invert´ıvel em A, enta˜o f(a) e´ invert´ıvel em B.
b) A imagem f(A) e´ um ideal de B.
c) Se A = Z, enta˜o f(n) = nb, onde b2 = b.
d) Se B e´ finito e tem mais de um elemento, enta˜o B tem um subanel
isomorfo a algum Zm, onde m > 1.
3. Neste grupo, n designa a classe de equivaleˆncia do inteiro n em Z990.
a) Quantos subgrupos tem Z990? Quantos destes sa˜o ane´is unita´rios?
b) Quantos automorfismos de grupo f : Z990 → Z990 existem?
c) Quantos ideais existem em Z15 ⊕Z66? Existem subane´is de Z15 ⊕Z66
que na˜o sa˜o ideais de Z15 ⊕ Z66?
24 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES
d) Determine os homomorfismos de anel g : Z33 → Z990.
4. Considere o anel Z3[x], e o polino´mio p(x) = x3 + 2x2 + x + 2. Nesta
questa˜o, quando m(x) ∈ Z3[x], designamos por m(x) a correspondente
classe no anel quociente K = Z3[x]/ < p(x) >.
a) O elemento x2 + x+ 1 tem inverso?
b) Quais sa˜o os ideais de K?
c) Quantos elementos invert´ıveis existem em K?
d) Quais sa˜o os ideais I de K para os quais o anel quociente K/I e´
isomorfo a algum Zm?
2.7 1o Exame: 1/7/2005
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a
sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o,
(G, ∗) e´ um grupo, com identidade 1.
a) A equac¸a˜o x2 = x so´ tem uma soluc¸a˜o x ∈ G.
b) Se H e K sa˜o subgrupos de G, enta˜o H ∪K e´ um subgrupo de G.
c) Se G e´ finito e tem um nu´mero ı´mpar de elementos, enta˜o a equac¸a˜o
x2 = 1 so´ tem a soluc¸a˜o x = 1.
d) Se G e´ finito e tem um nu´mero par de elementos, enta˜o a equac¸a˜o
x2 = 1 tem soluc¸o˜es x 6= 1.
2. Neste grupo, f : Z→ Z180 e´ dada por f(n) = 63n.
a) Determine o nu´mero de subane´is, e de geradores, do anel Z180.
b) Mostre que a func¸a˜o f e´ um homomorfismo de grupo. Qual e´ o nu´cleo
de f? Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(n) = 9.
c) Mostre que o grupo f(Z) e´ isomorfo a Zm, para um valor apropriado
de m que deve calcular. Quais sa˜o os subgrupos de f(Z)?
d) f sera´ tambe´m um homomorfismo de anel? Os ane´is Zm e f(Z) sa˜o
isomorfos?
3. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a
sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o,
A e´ um anel abeliano unita´rio, com identidade I.
a) Todos os subane´is de A sa˜o unita´rios.
2.8. 2o EXAME: 18/7/2005 25
b) Todos os subgrupos de (A,+) sa˜o igualmente subane´is.
c) Se A e´ um corpo finito, enta˜o a sua caracter´ıstica e´ um nu´mero primo.
d) Se A e´ finito, existe um subanel de A isomorfo a algum anel Zn.
4. Neste grupo, consideramos o anel quociente
A = Z3[x]/J , onde J =< x3 + x2 + x+ 1 > .
a) Quantos
elementos existem no anel A? Quais sa˜o os elementos da
forma < x+ a > que sa˜o invert´ıveis?
b) Quais sa˜o os divisores de zero em A?
c) Mostre que A e´ um domı´nio de ideais principais.
d) Classifique os ane´is quociente da forma A/K, onde K e´ um ideal de
A.
2.8 2o Exame: 18/7/2005
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a
sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o,
(G, ∗) e´ um grupo, com identidade 1.
a) A equac¸a˜o x3 = x so´ tem uma soluc¸a˜o x ∈ G.
c) Se H e K sa˜o subgrupos normais de G e K ⊇ H, enta˜o K/H e´ um
subgrupo normal de G/H.
d) Se G tem 11 elementos enta˜o G ' Z11.
2. As questo˜es seguintes referem-se a grupos ou ane´is Zn. Os homomorfismos
e isomorfismos referidos sa˜o de grupo, excepto quando a sua natureza e´
referida explicitamente.
a) Determine o nu´mero de subgrupos, e de geradores, do grupo Z495.
b) Existe algum homomorfismo injectivo f : Z495 → Z595? Existe algum
homomorfismo sobrejectivo f : Z495 → Z395? Quantos homomorfismos
f : Z495 → Z295 existem?
c) Quais dos seguintes grupos sa˜o isomorfos entre si?
Z3 ⊕ Z165,Z9 ⊕ Z55,Z99 ⊕ Z5,Z15 ⊕ Z33.
d) Determine todos os homomorfismos injectivos de anel f : Z495 → Z990.
Quantos homomorfismos sobrejectivos de anel f : Z495 → Zn existem?
26 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES
3. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando
a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Neste grupo,
D e´ um domı´nio integral.
a) Se C e´ um subanel unita´rio de D com mais de um elemento, enta˜o C
conte´m a identidade de D.
b) Se D e´ um domı´nio de ideais principais, enta˜o D[x] e´ um domı´nio de
ideais principais.
c) Se os u´nicos ideais de D sa˜o os triviais ({0}, e D), enta˜o D e´ um corpo.
d) Se D e´ um domı´nio de ideais principais, enta˜o qualquer elemento irre-
dut´ıvel em D e´ primo em D.
4. Este grupo diz respeito ao anel dos inteiros de Gauss Z[i].
a) Dado o natural n > 1, se a equac¸a˜o n = x2+y2 tem soluc¸o˜es x, y ∈ N,
e´ poss´ıvel que n seja primo em Z[i]?
b) Se o natural n e´ primo em Z, e a equac¸a˜o n = x2+y2 na˜o tem soluc¸o˜es
x, y ∈ N, e´ poss´ıvel que n seja redut´ıvel em Z[i]?
c) Quantos divisores de 1105 existem em Z[i]? Determine todas as soluc¸o˜es
naturais da equac¸a˜o x2 + y2 = 1105. (Nota: 13 e´ factor de 1105.)
d) Quais sa˜o os naturais n para os quais o anel quociente Z[i]/ < n > e´
um corpo?
2.9 1o Exame: 7/7/2006
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a
sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o,
(G, ∗) e´ um grupo.
a) Qualquer subgrupo de G conte´m a identidade de G.
b) Se H e K sa˜o subgrupos de G, enta˜o H ∪K e´ um subgrupo de G.
c) Se G tem 17 elementos, enta˜o G ' Z17.
d) Os grupos Z4 ⊕ Z18 e Z6 ⊕ Z12 sa˜o isomorfos.
2. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a
sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o,
(A,+,×) e´ um anel unita´rio, com identidade 1.
a) Qualquer subanel unita´rio de A com mais de um elemento conte´m a
identidade de A.
2.10. 2o EXAME: 21/7/2006 27
b) Qualquer subgrupo de (A,+) e´ um subanel de (A,+,×).
c) O anel Q[x]/ < x3 − 1 > tem exactamente 4 ideais.
d) O anel Z[i]/ < 37 > e´ um corpo.
3. Considere o anel Z1325.
a) Quantos geradores e quantos divisores de zero existem em Z1325?
b) Quais sa˜o os homomorfismos de grupo φ : Z505 → Z1325?
c) Quais sa˜o os subane´is de Z1325 que sa˜o corpos?
d) Determine os homomorfismos de anel ϕ : Z→ Z1325.
4. Suponha que G e´ um grupo com 2p elementos, onde p 6= 2 e´ um
nu´mero primo. Recorde que G tem pelo menos um elemento α com ordem
2.
a) Prove que G conte´m pelo menos um elemento ε de ordem p
b) Prove que x ∈ G tem ordem p se e so´ se x ∈ H =< ε >= {1, ε, ε2, · · · , εp−1}
e x 6= 1.
c) Os elementos de G sa˜o da forma x = αnεm, com 0 ≤ n < 2, e 0 ≤
m < p. Qual e´ a ordem de cada um destes elementos? sugesta˜o:
a resposta depende de G ser abeliano ou na˜o, portanto os dois casos
devem ser analisados separadamente.
d) Suponha que G na˜o e´ abeliano e φ : G → N e´ um homomorfismo so-
brejectivo. Classifique o grupo N . sugesta˜o: quais sa˜o os subgrupos
normais de G?
2.10 2o Exame: 21/7/2006
1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a
sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o,
(G, ∗) e´ um grupo, com identidade 1, e H e K sa˜o subgrupos de G.
a) Se x, y ∈ G enta˜o (xy)−1 = y−1x−1.
b) H ∩K e´ um subgrupo de G.
c) Se |G| = 100, a equac¸a˜o x7 = 1 so´ tem uma soluc¸a˜o x ∈ G.
d) Se |G| = 15 e G e´ abeliano enta˜o G ' Z15.
28 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES
2. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a
sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o,
(D,+,×) e´ um domı´nio integral, com identidade 1.
a) Qualquer subanel unita´rio de D com mais de um elemento conte´m a
identidade de D.
b) Qualquer subanel de D e´ um ideal de D.
c) Se os ideais de D sa˜o apenas os triviais ({0} e D) enta˜o D e´ um corpo.
d) SeD e´ um d.f.u., enta˜o todos os seus elementos irredut´ıveis sa˜o primos.
3. Considere o anel Z775.
a) Quantos subane´is tem Z775? Quantos divisores de zero existem em
Z775?
b) Z775 tem um subanel B com 155 elementos. Quantos geradores tem o
subanel B?
c) Resolva a equac¸a˜o x2 = 0, com x ∈ Z775.
d) Quantos homomorfismos de grupo ϕ : Z775 → D31 existem? (Recorde
que D31 e´ o grupo diedral formado pelas simetrias do pol´ıgono regular
de 31 lados.)
4. Considere o anelK = Z5[x]/ < p(x) >, onde p(x) = x3+2x2+2x+1.
Note que p(4) = 0.
a) Determine o nu´mero de elementos do anel K, e verifique que K na˜o e´
um corpo.
b) Mostre que os ideais de K sa˜o da forma <α(x)><p(x)> , onde α(x)|p(x).
c) Quantos ideais existem em K? Quantos subgrupos existem em K?
d) Sendo a(x) e b(x) factores irredut´ıveis de p(x), mostre que
K ' Z5[x]
< a(x) >
⊕ Z5[x]
< b(x) >
.
sugesta˜o: Determine um homomorfismo de ane´is apropriado
φ : Z5[x]→ Z5[x]
< a(x) >
⊕ Z5[x]
< b(x) >
Cap´ıtulo 3
Testes Resolvidos
3.1 1o Teste: 10/4/2002
1. Mostre que o grupo (Z4,+) na˜o e´ isomorfo ao grupo (Z2 ⊕ Z2,+).
resoluc¸a˜o: Suponha-se que f : Z4 → Z2 ⊕ Z2 e´ um homomorfismo
de grupos. Vamos verificar que f na˜o pode ser injectiva, ou seja, f
na˜o pode ser um isomorfismo, porque a tabuada de Z2 ⊕ Z2 so´ tem o
elemento neutro na diagonal principal, o que na˜o e´ o caso da tabuada
de Z4.
Temos f(0) = (0, 0), porque qualquer homomorfismo transforma a
identidade do grupo de partida na identidade do grupo de chegada.
Em Z4 temos 1 + 1 = 2 6= 0, e em Z2 ⊕ Z2 temos x + x = (0, 0) para
todos os elementos x ∈ Z2 ⊕ Z2. Notamos que
f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = (0, 0) = f(0).
Portanto f na˜o e´ injectivo, e f na˜o e´ um isomorfismo.
2. Seja H = {A ∈Mn(R) : det(A) = 1}.
a) Mostre que H com o produto usual de matrizes e´ um grupo.
resoluc¸a˜o: Sabemos da A´lgebra Linear que o produto de ma-
trizes e´ associativo, e tem identidade (a matriz identidade I).
• Temos det(I) = 1, e portanto I ∈ H, e H 6= ∅.
• Sendo A,B ∈ H, temos det(AB) = det(A) det(B) = 1× 1 =
1⇒ AB ∈ H, ou seja, H e´ fechado em relac¸a˜o ao produto.
• Se A ∈ H enta˜o A e´ invert´ıvel, porque det(A) = 1 6= 0, e
det(A−1) = 1/det(A) = 1, ou seja, A ∈ H ⇒ A−1 ∈ H.
Podemos assim concluir que H e´ um grupo com o produto usual
de matrizes.
29
30 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invert´ıveis, com
a mesma operac¸a˜o, mostre que H e´ um subgrupo normal de G.
resoluc¸a˜o: Sabemos da al´ınea anterior que H e´ um subgrupo
de G (porque H e´ um grupo, esta´ contido em G, e as operac¸o˜es
em H e G sa˜o a mesma). Temos
apenas que verificar que A ∈ H
e B ∈ G ⇒ B−1AB ∈ H, o que resulta de det(B−1AB) =
det(B−1) det(A) det(B) = det(B−1) det(B) = 1.
3. Sendo J e K ideais de um dado anel A, prove que L = {x + y : x ∈
J, y ∈ K} e´ um ideal de A.
resoluc¸a˜o: Temos que verificar que L e´ um subanel de A, que e´
ale´m disso fechado em relac¸a˜o ao produto por elementos de A. Mais
exactamente, temos que mostrar que:
• L 6= ∅,
• b, b′ ∈ L⇒ b− b′ ∈ L (L e´ fechado em relac¸a˜o a` diferenc¸a)
• b ∈ L e a ∈ A ⇒ ab, ba ∈ L (L e´ fechado em relac¸a˜o ao produto
por a ∈ A)
Seja 0 o zero do anel A. Enta˜o 0 = 0 + 0 ∈ L, porque 0 ∈ J e
0 ∈ K(qualquer subgrupo de (A,+) conte´m o respectivo elemento
neutro), e portanto L 6= ∅. Se b, b′ ∈ L enta˜o b = x+ y e b′ = x′ + y′,
onde x, x′ ∈ J e y, y′ ∈ K. Temos b − b′ = (x + y) − (x′ + y′) =
(x−x′)+ (y− y′). Como J e K sa˜o subane´is, sa˜o fechados em relac¸a˜o
a` diferenc¸a, e portanto x− x′ ∈ J e y− y′ ∈ K, i.e., b− b′ ∈ L. Temos
ab = a(x + y) = ax + ay, e ba = (x + y)a = xa + ya. Como J e K
sa˜o ideais, sa˜o fechados em relac¸a˜o ao produto por elementos de A, e
ax, xa ∈ J , e ay, ya ∈ K. Segue-se que ab, ba ∈ L.
4. Suponha que x e y pertencem a um anel A.
a) Mostre que x2− y2 = (x− y)(x+ y) para quaisquer x, y ∈ A se e
so´ se A e´ um anel abeliano.
resoluc¸a˜o: (x−y)(x+y) = (x−y)x+(x−y)y = x2−yx+xy−y2.
E´ portanto evidente que (x− y)(x+ y) = x2 − y2 ⇔ −yx+ xy =
0⇔ yx = xy.
b) Supondo que A e´ abeliano e x2 = y2, temos necessariamente
x = ±y?
resoluc¸a˜o: Na˜o. Eis alguns contra-exemplos, como: (basta
indicar um, bem entendido!)
• O anel Z4, tomando x = 0 e y = 2, donde x2 = y2 = 0, mas
−2 = 2 6= 0.
3.2. 2o TESTE: 15/5/2002 31
• A soma directa R ⊕ R, ou (o que e´ basicamente o mesmo
exemplo) as matrizes 2× 2 diagonais, com a soma e produto
de matrizes.
• As func¸o˜es f : R → R com a soma e produto usuais de
func¸o˜es tomando, por exemplo, f(x) = 1 para qualquer x, e
g(x) = 1 para x ≥ 0, e g(x) = −1 para x < 0.
5. Considere o grupo das ra´ızes-4 da unidade, G = {1, i,−1,−i}, com o
produto usual de complexos, e o grupo (Z2,+). Quais sa˜o os homo-
morfismos h : G → Z2? Sugesta˜o: Comece por recordar que o nu´cleo
de h e´ um subgrupo de G.
resoluc¸a˜o: G tem apenas 3 subgrupos, a saber: o pro´prio G, o
subgrupo trivial {1}, e {1,−1}. Portanto teremos N(h) = G, ou
N(h) = {1}, ou N(h) = {1,−1}.
• Se N(h) = G, temos h(x) = 0 para qualquer x ∈ G, e h e´ um
homomorfismo de grupos.
• Se N(h) = {1} enta˜o h e´ injectiva, o que e´ imposs´ıvel, porque G
tem 4 elementos, e Z2 tem apenas 2 elementos.
• Se N(h) = {1,−1}, enta˜o h(1) = h(−1) = 0, e h(i) 6= 0, h(−i) 6=
0. Claro que neste caso teremos necessariamente h(i) = h(−i) =
1. A equac¸a˜o h(xy) = h(x) + h(y) e´ va´lida quando
◦ x = ±1, y = ±1: porque se reduz a 0 = 0 + 0.
◦ x = ±i, y = ±i: porque a equac¸a˜o reduz-se a 0 = 1 + 1.
◦ x = ±1, y = ±i, ou x = ±i, y = ±1: porque a equac¸a˜o se
reduz a 1 = 0 + 1, ou 1 = 1 + 0.
3.2 2o Teste: 15/5/2002
1. Esta questa˜o refere-se ao anel dos inteiros Z. Seja J =< 24 > o
conjunto dos mu´ltiplos de 24, e K =< 36 > o conjunto dos mu´ltiplos
de 36.
a) Qual e´ o menor elemento positivo de J ∩ K? Quais sa˜o os ele-
mentos de J ∩K?
resoluc¸a˜o: J ∩K e´ o conjunto dos mu´ltiplos comuns a 24 e 36.
O seu menor elemento positivo e´ o menor mu´ltiplo comum de 24
e 36, i.e., 72. Os seus elementos sa˜o os mu´ltiplos de 72.
b) Qual e´ o menor ideal de Z que conte´m os ideais J e K?
resoluc¸a˜o: Qualquer ideal que contenha J conte´m 24, e e´ por
isso gerado por um divisor de 24. Analogamente, se um ideal
conte´m K enta˜o e´ gerado por um divisor de 36. Concluimos que
32 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
um ideal que contenha J e K e´ gerado por um divisor comum de
24 e 36. Esse ideal sera´ tanto menor quanto maior for esse divisor
comum. Portanto o menor ideal que conte´m J e K e´ gerado
pelo ma´ximo divisor comum de 24 e 36,ou seja, e´ o conjunto dos
mu´ltiplos de 12.
2. Mostre que os nu´meros 1.999.991 e 1.999.994 sa˜o primos entre si.
resoluc¸a˜o: Seja d o ma´ximo divisor comum de 1.999.991 e 1.999.994.
Sabemos que a diferenc¸a 1.999.994− 1.999.991 = 3 e´ mu´ltiplo de d, e
portanto d so´ pode ser 1 ou 3. E´ evidente que 1.999.991 ≡ 2 (mod 3),
portanto d na˜o e´ 3, e estes nu´meros sa˜o primos entre si.
3. Ainda no anel dos inteiros, considere a equac¸a˜o 105x+ 154y = d.
a) Qual e´ o menor natural d para o qual a equac¸a˜o acima tem
soluc¸o˜es? Resolva a equac¸a˜o para esse natural d.
resoluc¸a˜o: O menor natural d e´ o mdc(105, 154). Aplicando o
algoritmo de Euclides, temos:
n m q r y1 x1 y2 x2
154 105 1 49 1 0 0 1
105 49 2 7 0 1 1 −1
49 7 7 0 1 −1 −2 3
Conclu´ımos que d = 7, e que x = 3 e y = −2 e´ uma soluc¸a˜o
particular de 105x+ 154y = 7.
Para calcular a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homo´genea correspon-
dente, que e´ 105x+154y = 0, dividimos por 7, donde 15x+22y =
0, ou 15x = −22y. Como 15 e 22 sa˜o primos entre si, temos
15x = −22y ⇒ 22|x⇒ x = 22k ⇒ y = −15k.
A soluc¸a˜o geral de 105x+ 154y = 7 e´ assim
x = 3 + 22k, y = −2− 15k, k ∈ Z.
b) O elemento 105 tem inverso no anel Z154? Quantos elementos
tem < 105 >?
resoluc¸a˜o: Na˜o, porque 105 na˜o e´ primo relativamente a 154.
Como mdc(105, 154) = 7, temos < 105 >=< 7 >, que tem
154/7 = 22 elementos.
c) O subanel < 105 > tem identidade? Caso afirmativo, qual e´ essa
identidade?
resoluc¸a˜o: Temos < 105 >=< 7 >. Sendo x a identidade deste
subanel, temos
3.2. 2o TESTE: 15/5/2002 33
• x ∈< 7 >, i.e., x ≡ 0 (mod 7), ou x = 7k, e
• x2 = x, i.e., x(x− 1) ≡ 0 (mod 154).
Como 154 = 7× 22, e 7 e 22 sa˜o primos entre si, o sistema
x ≡ 0 (mod 7), e x ≡ 1 (mod 22)
tem soluc¸a˜o, e essa soluc¸a˜o satisfaz x(x−1) ≡ 0 (mod 154). Neste
caso, x e´ primo relativamente a 22, porque x ≡ 1 (mod 22), e
portanto mdc(x, 154) = 7k = 7. Em particular, < x >=< 7 >,
e todos os elementos do subanel < 7 > sa˜o da forma kx. Como
kx× x = k × x2 = kx, e´ claro que x e´ a identidade de < 7 >.
Para calcular x, notamos que
• x ≡ 1 (mod 22)⇔ x = 1 + 22y, donde
• x ≡ 0 (mod 7)⇔ 1 + 22y ≡ 0 (mod 7).
Temos
1 + 22y ≡ 0 (mod 7)⇔ y ≡ −1 (mod 7)⇔ y = −1 + 7k.
Segue-se que x = 1+22(−1+7k) = −21+154k, e x = −21 = 133.
4. Prove que se n e´ natural enta˜o
n∑
k=1
k3 =
n2(n+ 1)2
4
.
resoluc¸a˜o: Demonstramos por induc¸a˜o a afirmac¸a˜o
P (n) = “
n∑
k=1
k3 =
n2(n+ 1)2
4
”.
A afirmac¸a˜o P (1) e´ verdadeira, porque
1∑
k=1
k3 = 1, e
12(1 + 1)2
4
= 1.
Supondo P (n) verdadeira, temos
n+1∑
k=1
k3 =
n∑
k=1
k3 + (n+ 1)3 =
n2(n+ 1)2
4
+ (n+ 1)3 =
=
(
n2(n+ 1)2 + 4(n+ 1)3
)
4
=
(n+ 1)2(n2 + 4(n+ 1))
4
=
=
(n+ 1)2(n2 + 4n+ 4)
4
=
(n+ 1)2(n+ 2)2
4
.
A igualdade
∑n+1
k=1 k
3 = (n+1)
2(n+2)2
4 e´ P (n+ 1).
34 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
5. Sejam n,m ∈ N, D = mdc(n,m) e M = mmc(n,m). Prove que
nm = DM .
Sugesta˜o: Supondo que n = aD e m = bD, mostre que qualquer
mu´ltiplo comum de n e m e´ mu´ltiplo de abD.
resoluc¸a˜o: Notamos que
• abD = nb = ma e´ mu´ltiplo comum de n e m.
• (abD)D = (aD)(bD) = nm.
Provamos que abD = M e´ o menor mu´ltiplo comum, donde DM =
nm, mostrando que qualquer mu´ltiplo comum e´ mu´ltiplo de abd.
Como D = nx + my = aDx + bDy, temos 1 = ax + by e portanto
mdc(a, b) = 1, ou seja, a e b sa˜o primos entre si. Seja agora k =
ns = aDs um mu´ltiplo de n. Se k e´ igualmente mu´ltiplo de m temos
k = mt = bDt, e portanto aDs = bDt, ou as = bt.
a e´ assim factor de bt, e como a e´ primo relativamente a b, a e´ factor
de t. Logo t = au, e k = bDt = bDau e´ mu´ltiplo de abD.
3.3 3o Teste: 7/6/2002
1. Considere p(x) = x4 + 2x3 + 2x+ 2 e q(x) = x4 + 1 em Z3[x].
a) Determine o ma´ximo divisor comum de p(x) e q(x).
resoluc¸a˜o:
m(x) n(x) q(x) r(x)
x4 + 2x3 + 2x+ 2 x4 + 1 1 2x3 + 2x+ 1
x4 + 1 2x3 + 2x+ 1 2x 2x2 + x+ 1
2x3 + 2x+ 1 2x2 + x+ 1
x+ 1 0
Temos portanto que mdc = 2(2x2 + x+ 1) = x2 + 2x+ 2.
b) Qual e´ menor mu´ltiplo comum de p(x) e q(x)?
resoluc¸a˜o:
mmc =
p(x)q(x)
mdc
=
(x4 + 2x3 + 2x+ 2)(x4 + 1)
x2 + 2x+ 2
=
=(x2 + 1)(x4 + 1) = x6 + x4 + x2 + 1.
2. Mostre que (
∑∞
n=0 x
n)2 = (1 + 2x)
∑∞
n=0 x
3n em Z3[[x]].
resoluc¸a˜o: Sabemos que
∞∑
n=0
cnx
n =
( ∞∑
n=0
anx
n
)( ∞∑
n=0
bnx
n
)
⇐⇒ cn =
n∑
k=0
akbn−k.
3.3. 3o TESTE: 7/6/2002 35
No caso presente, temos
∞∑
n=0
cnx
n =
( ∞∑
n=0
xn
)2
, i.e., an = bn = 1, e cn =
n∑
k=0
1 = n+ 1.
Como cn ∈ Z3, temos:
• n ≡ 0 (mod 3)⇒ n+ 1 ≡ 1 (mod 3)⇒ cn = 1.
• n ≡ 1 (mod 3)⇒ n+ 1 ≡ 2 (mod 3)⇒ cn = 2.
• n ≡ 2 (mod 3)⇒ n+ 1 ≡ 0 (mod 3)⇒ cn = 0.
Portanto, c3n = 1, c3n+1 = 2, e c3n+2 = 0. Conclu´ımos que( ∞∑
n=0
xn
)2
=
∞∑
n=0
cnx
n =
∞∑
n=0
c3nx
3n +
∞∑
n=0
c3n+1x
3n+1 =
=
∞∑
n=0
x3n +
∞∑
n=0
2x3n+1 =
∞∑
n=0
x3n + 2x
∞∑
n=0
x3n =
=(1 + 2x)
∞∑
n=0
x3n.
3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z2[x], e I =< x2 + 1 >.
a) Quantos elementos tem o anel A/I?
resoluc¸a˜o: Dado p(x) ∈ Z2[x], temos p(x) = q(x)(x2+1)+r(x),
onde r(x) = a + bx, e portanto p(x) = a+ bx. Como a, b ∈ Z2,
existem 2× 2 = 4 elementos em A/I.
b) Determine a tabuada da multiplicac¸a˜o em A/I.
resoluc¸a˜o: Os seguintes ca´lculos sa˜o imediatos:
• x2 + 1 = 0, donde x2 = −1 = 1.
• (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1 = x2 + 1 = 0.
• x× (x+ 1) = x2 + x = 1 + x = x+ 1.
A tabuada da multiplicac¸a˜o e´ assim:
0 1 x x+ 1
0 0 0 0 0
1 0 1 x x+ 1
x 0 x 1 x+ 1
x+ 1 0 x+ 1 x+ 1 0
4. Seja α ∈ R um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja ainda J o
conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0.
36 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
a) Mostre que J =< m(x) >, onde m(x) e´ mo´nico e irredut´ıvel em
Q[x].
resoluc¸a˜o: Seja f : Q[x] → R dada por f(p(x)) = p(α). f e´
um homomorfismo de ane´is com nu´cleo J , e por isso J e´ um ideal
de Q[x].
Como qualquer ideal em Q[x] e´ principal, temos J =< m(x) >,
e podemos supor que m(x) e´ mo´nico, porque Q e´ um corpo.
Para provar que m(x) e´ irredut´ıvel, suponha-se que m(x) =
s(x)t(x). Temos enta˜o 0 = m(α) = s(α)t(α), donde s(α) = 0
ou t(α) = 0. Supomos sem perda de generalidade que s(α) = 0.
Notamos que:
• s(α) = 0⇐⇒ s(x) ∈ J ⇐⇒ s(x) = m(x)r(x).
Temos assimm(x) = s(x)t(x) = m(x)r(x)t(x), donde 1 = r(x)t(x),
e t(x) e´ invert´ıvel. Portanto m(x) so´ tem factorizac¸o˜es triviais,
i.e., m(x) e´ irredut´ıvel.
b) Prove que Q[α] e´ um corpo.
resoluc¸a˜o: Sendo f : Q[x] → R o homomorfismo f(p(x)) =
p(α) referido acima, f(Q[x]) = Q[α] e´ um subanel de R. Temos
apenas que provar que os elementos p(α) 6= 0 em Q[α] teˆm inverso
multiplicativo tambe´m em Q[α].
Para isso, note-se que se p(α) 6= 0 enta˜o p(x) 6∈ J , e portanto
m(x) na˜o e´ factor de p(x). Como m(x) e´ irredut´ıvel, segue-se que
mdc(p(x),m(x)) = 1.
Existem polino´mios s(x), t(x) ∈ Q[x] tais que
p(x)s(x) +m(x)t(x) = 1, donde
p(α)s(α) +m(α)t(α) = p(α)s(α) = 1.
Por outras palavras, p(α)−1 = s(α) ∈ Q[α].
c) Seja α = 3
√
2. Mostre que m(x) = x3 − 2, e determine a, b, c ∈ Q
tais que
1
1 + 3
√
2 + 3
√
4
= a+ b 3
√
2 + c 3
√
4.
resoluc¸a˜o: Sendo J o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais
que p(a) = 0, temos como vimos que J =< m(x) >, e e´ evidente
que x3 − 2 ∈ J , donde m(x) e´ factor de x3 − 2. O polino´mio
x3−2 e´ irredut´ıvel, pelo crite´rio de Eisenstein (com p = 2), e por
isso m(x) = 1 ou x3 − 2. So´ podemos ter m(x) = x3 − 2, porque
J 6= Q[x].
1 + 3
√
2 + 3
√
4 = p(α), onde p(x) = 1 + x + x2. Como vimos na
al´ınea anterior, o inverso de p(α) calcula-se resolvendo a equac¸a˜o
3.4. 1o TESTE: 18/3/2003 37
p(x)s(x) +m(x)t(x) = 1, o que pode fazer-se usando o algoritmo
de Euclides. O 1o passo deste algoritmo revela que
x3 − 2 = (x− 1)(1 + x+ x2)− 1,
e por isso 1 = (x−1)(1+x+x2)+(−1)(x3−2), i.e., s(x) = x−1.
Conclu´ımos que:
1
1 + 3
√
2 + 3
√
4
= s( 3
√
2) = 3
√
2− 1, i.e., a = −1, b = 1, c = 0.
3.4 1o Teste: 18/3/2003
1. Seja S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
a) Mostre que S1 com o produto usual de complexos e´ um grupo.
resoluc¸a˜o: Temos a mostrar que:
• S1 e´ na˜o-vazio: E´ evidente que 1 ∈ S1.
• S1 e´ fechado em relac¸a˜o ao produto usual de complexos:
z, w ∈ S1 ⇒ |z| = |w| = 1⇒ |zw| = |z||w| = 1, i.e., zw ∈ S1.
• O produto de complexos e´ associativo, como sabemos.
• Existe identidade para o produto em S1: Porque 1 ∈ S1.
• Todos os elementos de S1 teˆm inverso em S1: Se z ∈ S1
temos |z| = 1, portanto z 6= 0, e z e´ invert´ıvel nos complexos.
Por outro lado, temos novamente |zz−1| = |z||z−1| = 1, e
como |z| = 1, temos |z−1| = 1, ou seja, z−1 ∈ S1.
Conclu´ımos assim que S1 e´ um grupo.
b) Sendo n ∈ N e Rn = {z ∈ C : zn = 1}, mostre que Rn e´ um
subgrupo de S1.
resoluc¸a˜o: E´ evidente que Rn ⊆ S1, porque
zn = 1⇒ |zn| = 1 = |z|n ⇒ |z| = 1.
Observamos apenas que
• Rn 6= ∅: porque 1 ∈ Rn, qualquer que seja n.
• Se z, w ∈ Rn enta˜o zw−1 ∈ Rn: Se z, w ∈ Rn enta˜o zn =
wn = 1, e portanto(
zw−1
)n = zn (wn)−1 = 1⇒ zw−1 ∈ Rn.
38 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
c) Seja R = ∪∞n=1Rn. R e´ igualmente um subgrupo de S1?
resoluc¸a˜o: E´ evidente (em particular da al´ınea anterior) que R
e´ na˜o-vazio, e que R ⊆ S1. Para mostrar que se z, w ∈ R enta˜o
zw−1 ∈ R, note-se que existem n,m ∈ N tais que z ∈ Rn, w ∈ Rm,
i.e., tais que zn = wm = 1. Neste caso,(
zw−1
)nm = (zn)m (wm)−n = 1⇒ zw−1 ∈ Rnm ⊂ R.
2. Determine todos os homomorfismos de grupo f : S3 → Z2. (S3 e´ o
grupo das permutac¸o˜es em {1, 2, 3}, e Z2 o grupo aditivo com dois
elementos).
resoluc¸a˜o: Sendo f : S3 → Z2 um homomorfismo de grupo, o seu
nu´cleo N(f) e´ um subgrupo normal de S3. Os u´nicos subgrupos nor-
mais de S3 sa˜o o pro´prio S3, o grupo alternado A3 e o subgrupo trivial
K = {1}. Notamos que:
(1) Se N(f) = S3, enta˜o f(x) = 0 para qualquer x ∈ S3, e f e´ um
homomorfismo.
(2) Na˜o podemos ter N(f) = K, porque sena˜o f seria injectiva, o que
e´ imposs´ıvel, porque S3 tem 6 elementos e Z2 tem 2 elementos.
(3) Se N(f) = A3, enta˜o f(x) = 0 para qualquer x ∈ A3, e so´
podemos ter f(x) = 1 para x 6∈ A3. Neste caso f e´ igualmente
um homomorfismo (f(x) e´ a paridade da permutac¸a˜o x).
Conclu´ımos que existem apenas dois homomorfismos f : S3 → Z2, que
sa˜o os indicados acima em (1) e (3).
3. Sejam A e B ane´is, e f : A→ B um homomorfismo de ane´is.
a) Prove que f(O) = O∗, onde O e O∗ sa˜o os zeros de respectiva-
mente A e B.
resoluc¸a˜o:
f(O) =f(O+O), porque O e´ o elemento neutro da soma em A,
=f(O) + f(O), porque f e´ um homomorfismo de ane´is.
Segue-se da lei do corte no grupo aditivo (B,+) que f(O) = O∗.
b) Prove que f(−x) = −f(x) para qualquer x ∈ A.
resoluc¸a˜o:
f(x) + f(−x) =f(x+ (−x)), porque f e´ um homomorfismo.
=f(O) = O∗, de acordo com a al´ınea anterior.
=f(x) + [−f(x)], por definic¸a˜o de [−f(x)].
Como f(x) + f(−x) = f(x) + [−f(x)], segue-se mais uma vez da
lei do corte no grupo aditivo (B,+) que f(−x) = [−f(x)].
3.4. 1o TESTE: 18/3/2003 39
c) Se x e´ invert´ıvel em A, temos sempre f(x) invert´ıvel em B?
resoluc¸a˜o: Na˜o. Considere-se f : R→M2(R), dada por
f(x) =
[
x 0
0 0
]
.
Sabemos que x e´ invert´ıvel em R se e so´ se x 6= 0, mas e´ evidente
que a imagem f(x) nunca e´ invert´ıvel em M2(R).
d) Mostre que f(nx) = nf(x), para quaisquer n ∈ Z e x ∈ A.
Sugesta˜o: Deve recordar a definic¸a˜o de na, para n ∈ Z e a ∈ G,
onde G e´ um qualquer grupo aditivo. Para n > 0, deve proceder
por induc¸a˜o.
resoluc¸a˜o: Sendo n ∈ Z e a ∈ G, onde G e´ um qualquer grupo
aditivo (com elemento neutro O), definimos na como se segue:
1) n = 1 : na = 1a = a,
2) n > 1 : na = (n− 1)a+ a,
3) n = 0 : na = 0a = O, e
4) n < 0 : na = (−n)(−a).
Provamos primeiro que f(nx) = nf(x), para n ≥ 1, e por induc¸a˜o.
n = 1: temos de 1) que
1x = x⇒ f(1x) = f(x) = 1f(x).
n > 1: A hipo´tese de induc¸a˜o e´ f((n−1)x) = (n−1)f(x). Temos
f(nx) =f((n− 1)x+ x), (ponto 2) da definic¸a˜o acima com a = x),
=f((n− 1)x) + f(x), porque f e´ um homomorfismo,
=(n− 1)f(x) + f(x), pela hipo´tese de induc¸a˜o, e
=nf(x), (ponto 2) da definic¸a˜o acima com a = f(x)).
n = 0:
0f(x) =O∗, (ponto 3) da definic¸a˜o acima com a = f(x) ∈ B),
=f(O), pela al´ınea a) desta questa˜o,
=f(0x), (ponto 3) da definic¸a˜o acima com a = x ∈ A).
n < 0: pode ser verificado como se segue:
f(nx) =f((−n)(−x)), (ponto 4) da definic¸a˜o acima com a = x),
=(−n)f(−x), como prova´mos acima para −n > 0,
=(−n)[−f(x)], conforme vimos na al´ınea b), e
=nf(x), (ponto 4) da definic¸a˜o acima com a = f(x)).
40 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
3.5 2o Teste: 29/4/2003
1. a) Quantos divisores naturais tem 2.000?
resoluc¸a˜o: 2.000 = 2×(10)3 = 2×(2×5)3 = 24×53. Portanto,
o natural k e´ divisor de 2.000 se e so´ se k = 2n3m, onde 0 ≤ n ≤ 4
e 0 ≤ m ≤ 3. Existem 5 valores para n, e 4 valores para m.
Conclu´ımos que 2.000 tem 5× 4 = 20 divisores naturais.
b) Quantos naturais 1 ≤ k ≤ 2.000 sa˜o primos relativamente a
2.000?
resoluc¸a˜o: Os u´nicos factores primos de 2.000 sa˜o 2 e 5. Por-
tanto, os naturais 1 ≤ k ≤ 2.000 que sa˜o primos relativamente a
2.000 sa˜o os que na˜o sa˜o mu´ltiplos de 2 nem de 5.
De 1 ate´ 2.000 temos:
• O conjuntoA = {1 ≤ k ≤ 2.000 : 2|k}, formado pelos mu´ltiplos
de 2, tem 2.000/2 = 1.000 elementos, ou seja, #(A) = 1.000.
• O conjuntoB = {1 ≤ k ≤ 2.000 : 5|k}, formado pelos mu´ltiplos
de 5, tem 2.000/5 = 400 elementos, #(B) = 400.
• O conjunto A ∩ B, formado pelos mu´ltiplos comuns de 2
e de 5, contem os mu´ltiplos de mmc(2, 5) = 10. Portanto
#(A ∩B) = 2.000/10 = 200.
• Os naturais que sa˜o mu´ltiplos de 2 e/ou 5 formam o conjunto
A ∪ B. Temos #(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B) =
1.000 + 400− 200 = 1.200.
• Finalmente, os naturais k ≤ 2.000 que sa˜o primos relativa-
mente a 2.000 sa˜o os que na˜o pertencem ao conjunto A ∪B.
Existem portanto 2.000− 1.200 = 800.
2. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 87x ≡ 3 (mod 6.000) em Z.
resoluc¸a˜o: Para calcular d = mdc(87, 6.000), e uma soluc¸a˜o par-
ticular da equac¸a˜o na˜o-homoge´nea 87x ≡ d (mod 6.000), usamos o
algoritmo de Euclides.
m n r q x y x′ y′
6.000 87 84 68 1 0 0 1
87 84 3 1 0 1 1 −68
84 3 0 1 −68 −1 69
Conclu´ımos que d = 3, portanto a equac¸a˜o inicial tem soluc¸o˜es, e
sabemos ainda que (6.000)(−1) + (87)(69) = 3. Portanto x = 69 e´
soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homoge´nea em causa.
Passamos a calcular a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homoge´nea 87x ≡ 0
(mod 6.000). Temos enta˜o 87x + 6.000y = 0. Dividindo por d = 3
3.5. 2o TESTE: 29/4/2003 41
obtemos 29x+2.000y = 0, ou 29x = −2.000y. Como 29 e´ primo e na˜o
e´ factor de 2.000 e´ claro que y e´ mu´ltiplo de 29, i.e., y = 29z, donde
29x = −2.000(29z), ou x = −2.000z, que e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
homoge´nea em causa.
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o na˜o-homoge´nea inicial e´ portanto x =
69− 2.000z, que podemos tambe´m escrever na forma x = 69+2.000z,
ja´ que z e´ arbitra´rio, ou ainda na forma x ≡ 69 (mod 2.000).
3. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2y = 108, onde x e y sa˜o
inteiros. Sugesta˜o: Recorde o teorema fundamental da Aritme´tica.
resoluc¸a˜o: Deve ser claro que y > 0, e que o sinal de x e´ irrelevante.
Notamos que 108 = 22 × 33. Os factores primos de x e y sa˜o factores
primos de 108, por razo˜es evidentes, e portanto so´ podem ser 2 e/ou 3,
i.e., x = ±2n3m e y = 2k3j , onde n, m, k e j sa˜o inteiros na˜o-negativos.
Conclu´ımos que
x2y = (2n3m)2 (2k3j) = 22n+k32m+j = 22 × 33.
Pelo teorema fundamental da Aritme´tica, temos 2n+k = 2 e 2m+j =
3. Como as inco´gnitas n, m, k e j sa˜o inteiros na˜o-negativos:
• 2n+ k = 2⇔ (n = 0 e k = 2) ou (n = 1ek = 0)
• 2m+ j = 3⇔ (m = 0 e j = 3) ou (m = 1ej = 1)
As diferentes soluc¸o˜es apresentam-se na tabela seguinte:
n k m j x y
0 2 0 3 ±1 108
0 2 1 1 ±3 12
1 0 0 3 ±2 27
1 0 1 1 ±6 3
4. Suponha que a, b e m sa˜o inteiros fixos. Prove que
a) ax ≡ b (mod m) tem soluc¸o˜es inteiras x se e so´ se b e´ mu´ltiplo
de mdc(a,m).
resoluc¸a˜o: As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(1) ax ≡ b (mod m) tem soluc¸a˜o x,
(2) Existe um inteiro x tal que m|(b− ax),
(3) b ∈ K = {ax+my : x, y ∈ Z}.
Basta notar que (1) ⇔ (2) por definic¸a˜o de congrueˆncia mo´dulo
m, e (2) ⇔ (3) por razo˜es o´bvias.
O conjunto K e´ um ideal dos inteiros contendo a e m, porque:
42 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
• a = a× 1 +m× 0 ∈ K e m = a× 0 +m× 1 ∈ K,
• K 6= ∅, porque a,m ∈ K,
• (ax+my)− (ax′+my′) = a(x−x′)+m(y− y′) ∈ K, i.e., K
e´ fechado em relac¸a˜o a` diferenc¸a, e
• (ax + my)z = a(xz) + m(yz) ∈ K, i.e., K e´ fechado em
relac¸a˜o ao produto por inteiros arbitra´rios.
Para provar que K e´ o conjunto dos mu´ltiplos de d = mdc(a,m),
consideramos primeiro o caso “especial” a = m = 0.
Neste caso, K = {ax+my : x, y ∈ Z} = {0} = {dz : z ∈ Z}, com
d = 0, e 0 e´ o ma´ximo (e u´nico) divisor comum de a e m.
Supomos agora que a 6= 0 ou m 6= 0. K contem naturais, porque
contem pelo menos um elemento na˜o-nulo. Seja d o menor natural
em K, que existe pelo princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o, e note-se que
{dz : z ∈ Z} ⊆ K, porque K e´ um ideal, e d ∈ K. Sendo m
um qualquer elemento de K, temos m = dq + r, onde q e r sa˜o
inteiros, e 0 ≤ r < d, pelo usual algoritmo da divisa˜o. Como
r = m − dq ∈ K (K e´ um ideal!) e r < d, conclu´ımos que
r na˜o pode ser positivo, i.e., r = 0, e m e´ mu´ltiplo de d, i.e.,
K = {dz : z ∈ Z}.
Para mostrar que d = mdc(a,m), notamos que
• d|a e d|m, porque a,m ∈ K = {dz : z ∈ Z}, i.e., d e´ um
divisor comum de a e m.
• d = ax+my, porque d ∈ K = {ax+my : x, y ∈ Z}. Se k e´
um qualquer divisor natural comum a a e m, enta˜o a = dx′
e m = ky′, donde
d = ax+my = (kx′)x+(ky′)y = k(xx′+ yy′), e k|d e k ≤ d.
Por outras palavras, d e´ mu´ltiplo de qualquer divisor comum
de a e de m, e portanto d = mdc(a,m).
b) ax ≡ 0 (mod m) tem soluc¸o˜es x 6≡ 0 (mod m) se e so´ se ax ≡ 1
(mod m) na˜o tem soluc¸o˜es (supondo m 6= 0).
resoluc¸a˜o: Consideramos enta˜o as afirmac¸o˜es:
(1) ax ≡ 0 (mod m) tem soluc¸o˜es x 6≡ 0 (mod m).
(2) ax ≡ 1 (mod m) na˜o tem soluc¸o˜es.
A implicac¸a˜o “(1) ⇒ (2)” e´ va´lida para qualquer m, mesmo m =
0. Se ax ≡ 1 (mod m) tem alguma soluc¸a˜o b, enta˜o ab = ba ≡ 1
(mod m), e ax ≡ 0 (mod m) ⇒ bax ≡ 0 (mod m) ⇒ x ≡ 0
(mod m).
Para provar a implicac¸a˜o “(2) ⇒ (1)”, supomos que ax ≡ 1
(mod m) na˜o tem soluc¸o˜es. Pelo resultado anterior, d = mdc(a,m)
na˜o e´ factor de 1, i.e., d = 0 ou d > 1. Mas se m 6= 0 enta˜o
3.6. 3o TESTE: 27/5/2003 43
d > 1, e m = nd, onde 1 ≤ n < m. Temos igualmente a = kd,
e portanto tomando x = n ≡ /0 (mod m)), e´ claro que ax =
(kd)n = k(nd) = km ≡ 0 (mod m). Por outras palavras, ax ≡ 0
(mod m) tem a soluc¸a˜o x = n 6≡ 0 (mod m).
5. Considere o ideal J =< 87 > em Z6000.
a) Quantos elementos tem J? Quantos geradores tem J?
resoluc¸a˜o: Vimos na questa˜o 2 que mdc(87, 6.000) = 3, e por-
tanto J =< 87 >=< 3 >, que tem 6.000/3 = 2.000 elementos,
correspondendo a todos os mu´ltiplos de 3 ate´ 6.000.
Os geradores de J sa˜o as soluc¸o˜es de mdc(x, 6.000) = 3, com
1 ≤ x ≤ 6.000. Para os contar, basta notar que x = 3k, onde
1 ≤ k ≤ 2.000, e mdc(3k, 6.000) = 3. Como mdc(3k, 6.000) =
3mdc(k, 2.000), e´ claro que mdc(k, 2.000) = 1. Portanto, os gera-
dores de J correspondem aos naturais k ate´ 2.000 que sa˜o primos
relativamente a 2.000. Tal como calculado na questa˜o 1, J tem
800 geradores.
b) J tem identidade? Se J tem identidade, qual e´ a sua identidade?
resoluc¸a˜o: Se x e´ identidade de J , enta˜o temos x ≡ 0 (mod 3),
porque x ∈ J . Temos igualmente x2 = x, ou x(x − 1) = 0, ou
seja, x(x− 1) ≡ 0 (mod 6.000). Como x ≡ 0 (mod 3), i.e., como
x e´ mu´ltiplo de 3, para que x(x− 1) seja mu´ltiplo de 6.000 basta
que (x − 1)
seja mu´ltiplo de 2.000, i.e., basta que x − 1 ≡ 0
(mod 2.000), o que tambe´m podemos escrever na forma x ≡ 1
(mod 2.000).
Segue-se do Teorema Chineˆs do Resto que x ≡ 0 (mod 3) e x ≡ 1
(mod 2.000) teˆm uma soluc¸a˜o u´nica (mod 6.000), porque 3 e
2.000 sa˜o primos entre si. Se x e´ soluc¸a˜o enta˜o x e´ um gerador
de J (porque x e´ primo relativamente a 2.000, de acordo com a
segunda equac¸a˜o). Como qualquer elemento y de J e´ da forma
y = nx, temos xy = yx = nx× x = n× x2 = nx = y. Portanto x
e´ identidade de J .
Para calcular a identidade de J , notamos que x ≡ 1 (mod 2.000)⇔
x = 1 + 2.000y, e x ≡ 0 (mod 3) ⇔ 1 + 2.000y ≡ 0 (mod 3) ⇔
−y ≡ −1 (mod 3)⇔ y ≡ 1 (mod 3). Portanto y = 1+ 3z, e x =
1+2.000(1+3z) = 2.001+6.000z, i.e, x ≡ 2.001 (mod 6.000)⇔
x = 2.001.
3.6 3o Teste: 27/5/2003
1. Considere os polino´mios p(x) = x3+25x2+10x−5 e q(x) = 1+x+x2
em Q[x].
44 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
a) Quais dos polino´mios p(x) e q(x) sa˜o irredut´ıveis em Q[x]?
resoluc¸a˜o: O polino´mio p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x] de acordo
com o crite´rio de Eisenstein, que se aplica aqui com o primo 5. De
acordo com o Lema de Gauss, e´ igualmente irredut´ıvel em Q[x],
porque e´ um polino´mio mo´nico. O polino´mio q(x) e´ irredut´ıvel
em R[x] porque tem discriminante d = −3 < 0. E´ por isso
evidentemente irredut´ıvel em Q[x].
b) Determine a(x), b(x) ∈ Q[x] tais que 1 = a(x)(1 + x + x2) +
b(x)(1 + x2).
resoluc¸a˜o: Como vimos, o polino´mio 1 + x + x2 e´ irredut´ıvel.
E´ evidente que 1+x2 na˜o e´ mu´ltiplo de 1+x+x2, e portanto so´
podemos ter mdc(1+x+x2, 1+x2) = 1. A equac¸a˜o apresentada
tem por isso soluc¸a˜o, e podemos calcular uma das suas soluc¸o˜es
usando o algoritmo de Euclides.
r q a(x) b(x) c(x) d(x)
1 + x+ x2 1 + x2 x 1 1 0 0 1
1 + x2 x 1 x 0 1 1 −1
x 1 0 x 1 −1 −x 1 + x
Temos portanto 1 = (−x)(1 + x + x2) + (1 + x)(1 + x2), i.e.,
a(x) = −x e b(x) = 1 + x.
2. Suponha que α ∈ R e´ um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja
J =< m(x) > o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0.
a) Supondo que m(x) tem grau n, prove que o espac¸o vectorial Q[α]
tem dimensa˜o n sobre o corpo Q.
resoluc¸a˜o: Q[α] = {p(α) : p(x) ∈ Q[x]}. De acordo com o al-
goritmo de divisa˜o, p(x) = q(x)m(x)+r(x), onde o grau de r(x) e´
< n. E´ evidente que p(α) = r(α), e sendo r(x) = r0+ r1x+ · · ·+
rn−1xn−1, temos p(α) = r(α) = r0 + r1α + · · · + rn−1αn−1. Por
outras palavras, o conjunto B =
{
1, α, · · · , αn−1} gera o espac¸o
vectorial Q[α] sobre Q.
B e´ um conjunto linearmente independente: se r0 + r1α + · · · +
rn−1αn−1 = 0 com rk ∈ Q enta˜o r(α) = 0, onde r(x) = r0+r1x+
· · · + rn−1xn−1 ∈ Q[x]. Temos portanto que r(x) e´ mu´ltiplo de
m(x), e como o grau de m(x) e´ maior que o de r(x) so´ podemos
ter r(x) = 0, ou seja, r0 = r1 = · · · = rn−1 = 0.
Conclu´ımos que B e´ uma base de Q[α] sobre Q, e portanto Q[α]
tem dimensa˜o n.
b) Prove que Q[α] e´ um corpo, e uma extensa˜o alge´brica de Q.
3.6. 3o TESTE: 27/5/2003 45
resoluc¸a˜o: Mostramos primeiro que m(x) e´ um polino´mio irre-
dut´ıvel. Para isso, supomos que m(x) = a(x)b(x). Como m(α) =
a(α)b(α) = 0, temos a(α) = 0 ou b(α) = 0. Supondo sem perda
de generalidade que a(α) = 0, conclu´ımos que a(x) ∈< m(x) >,
i.e., m(x)|a(x). Como e´ evidente que a(x)|m(x), os polino´mios
m(x) e a(x) sa˜o associados, e b(x) e´ invert´ıvel. Portanto m(x) e´
irredut´ıvel. E´ evidente que podemos supor m(x) mo´nico.
Seja p(x) ∈ Q[x]. Supondo p(α) 6= 0, temos a provar que existe
q(x) ∈ Q[x] tal que 1 = q(α)p(α), donde podemos concluir que
q(α) ∈ Q[α] e´ o inverso de p(α).
Como d(x) = mdc(p(x),m(x)) e´ factor de m(x), e m(x) e´ irre-
dut´ıvel, e´ claro que d(x) = 1 ou d(x) = m(x). Se p(α) 6= 0, enta˜o
p(x) 6∈< m(x) >, i.e., m(x) na˜o e´ factor de p(x), e portanto
d(x) 6= m(x). Neste caso so´ podemos ter d(x) = 1, e existem
polino´mios q(x), n(x) ∈ Q[x] tais que 1 = q(x)p(x) + n(x)m(x).
Conclu´ımos que 1 = q(α)p(α), e q(α) e´ o inverso de p(α), com
q(α) ∈ Q[α]. Como os elementos na˜o-nulos do anel Q[α] teˆm
inverso em Q[α], conclu´ımos que Q[α] e´ um corpo.
Seja b ∈ Q[α]. Para provar que b e´ alge´brico sobre Q, considere-
se o conjunto C =
{
1, b, b2, · · · , bn}. Se C tem menos de n + 1
elementos, e´ evidente que existem 0 ≤ k < m ≤ n tais que
bk = bm, e b e´ raiz do polino´mio p(x) = xm − xk ∈ Q[x], e e´
por isso alge´brico. Caso contra´rio C e´ um conjunto com mais
de n elementos num espac¸o vectorial de dimensa˜o n sobre Q, e
e´ por isso linearmente dependente sobre Q. Existem portanto
constantes racionais rk ∈ Q (com 0 ≤ k ≤ n) na˜o todas nulas
tais que r0 + r1b + · · · + rnbn = 0. Por outras palavras, r(x) =
r0+ r1x+ · · ·+ rnxn ∈ Q[x] e´ um polino´mio na˜o-nulo, e r(b) = 0,
ou seja, b e´ alge´brico.
3. Suponha que p(x), q(x) ∈ Z[x]. Diga (com a correspondente justi-
ficac¸a˜o!) se cada uma das seguintes afirmac¸o˜es e´ falsa ou verdadeira.
a) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x] enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x].
resoluc¸a˜o: FALSO. O polino´mio p(x) = 2x + 4 e´ irredut´ıvel
em Q[x], mas na˜o em Z[x], porque p(x) = 2(x+2). (O polino´mio
constante a(x) = 2 e´ invert´ıvel em Q[x], mas na˜o o e´ em Z[x].
Portanto a factorizac¸a˜o indicada e´ trivial em Q[x], mas na˜o e´
trivial em Z[x].)
b) Se p(x) e q(x) sa˜o primitivos, enta˜o p(x)q(x) e´ primitivo.
resoluc¸a˜o: VERDADEIRO. Seja m(x) = p(x)q(x). Desig-
namos os coeficientes dos polino´mios m(x), p(x) e q(x) por re-
spectivamente mi, pi, qi. Recordamos que o conteu´do de um
46 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS
polino´mio e´ o ma´ximo divisor comum dos seus coeficientes, e
portanto qualquer divisor do conteu´do e´ divisor de todos os seus
coeficientes. Um polino´mio em Z[x] e´ primitivo se o seu conteu´do
e´ 1. Vamos provar que o conteu´do de m(x) na˜o tem qualquer
factor primo, e portanto so´ pode ser 1.
Seja a um qualquer nu´mero primo. Como p(x) e´ primitivo, a na˜o
e´ factor do conteu´do de p(x), e portanto existem coeficientes de
p(x) que na˜o sa˜o mu´ltiplos de a. Seja s o menor ı´ndice i para o
qual a na˜o e´ factor de pi. Analogamente, e como q(x) e´ tambe´m
primitivo, seja r o menor ı´ndice i para o qual a na˜o e´ factor de
qi.
Como m(x) = p(x)q(x), e tomando k = s+ r, temos:
mk =
k∑
i=0
piqk−i =
s−1∑
i=0
piqk−i + psqr +
k∑
i=s+1
piqk−i.
(A primeira soma a` direita e´ vazia se s = 0, e a u´ltima e´-o se
r = 0, mas este facto e´ irrelevante para o nosso argumento, como
veremos). A primeira soma a` direita, se na˜o for vazia, e´ um
mu´ltiplo de a, porque pi e´ mu´ltiplo de a quando i < s. A u´ltima
soma a` direita, se na˜o for vazia, e´ um mu´ltiplo de a, porque qi e´
mu´ltiplo de a quando i < r, e se i > s enta˜o k− i = s+ r− i < r.
Como o termo restante e´ psqr, que na˜o e´ mu´ltiplo de a, conclu´ımos
que mk na˜o e´ mu´ltiplo de a. Portanto a na˜o e´ factor do conteu´do
de m(x), e como a e´ arbitra´rio m(x) e´ primitivo.
4. Suponha que G e H sa˜o grupos finitos, respectivamente com n e m
elementos, e seja f : G→ H um homomorfismo de grupos.
a) Prove que se f e´ injectivo enta˜o n e´ factor de m.
resoluc¸a˜o: Se f e´ injectivo enta˜o f(G) tem n elementos. Como
f(G) e´ um subgrupo de H, e H tem m elementos, conclu´ımos do
teorema de Lagrange que n|m.
b) O que pode concluir sobre f se n e m sa˜o primos entre si?
resoluc¸a˜o: Sabemos como dissemos acima que f(G) e´ um sub-
grupo de H, e portanto o nu´mero de elementos de f(G) e´ divisor
de m. Seja N o nu´cleo de f , e recorde-se a identidade: (no de
elementos de G) = (no de elementos de N)(no de elementos de
f(G))
Segue-se desta equac¸a˜o que o nu´mero de elementos de f(G) e´
tambe´m factor do nu´mero de elementos de G, ale´m de ser factor
do nu´mero de elementos de H. O u´nico divisor comum de n e m
e´ 1, e portanto f(G) so´ pode ter 1 elemento. Por outras palavras,
f so´ pode ser o homomorfismo “trivial”, que transforma todos os
elementos de G na identidade de H.