apostila Complementos de Física laboratório 2014

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COMPLEMENTOS 
DE 
F Í S I C A 
(Laboratório) 
Teoria 
Estudo Dirigido 
Exercícios / Testes 
COMPLEMENTOS 
DE 
F Í S I C A 
( L a b o r a t ó r i o ) 
Autores — A r d u i n o F r a n c e s c o L a u r i c e l l a 
— B r a s í l i o C a m a r g o B r i t o F i l h o 
— F r a n c i s c o X a v i e r S e v e g n a n i 
— P e d r o A m é r i c o F r u g o l i 
— R o b e r t o G o m e s P e r e i r a F i l h o 
Teoria 
Estudo Dirigido 
Exercícios / Testes 
A U T O R E S 
Prof. Arduino Francesco Lauricella 
Bacharel em Física pela Universidade de São Paulo - USP 
Mestre em Engenharia Mecânica - EPUSP 
Professor Adjunto da Universidade Paulista - UNIP 
Professor Adjunto da Faculdade de Engenharia Industrial - FEI 
Prof. Brasílio Camargo de Brito Filho 
Bacharel em Física pela Universidade de São Paulo - USP 
Mestre em Física do Estado Sólido pela Universidade de São Paulo-USP 
Professor I itular da Universidade Paulista - UNIP 
Prof. Francisco Xavier Sevegnani 
licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica - PUCSP 
Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica - PUCSP 
Mestre em Física pela - PUCSP 
Mestre em Engenharia de Produção - UNIP 
Doutor em Física pela - PUCSP 
Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP 
Professor Titular da Pontifícia Universidade Católica - PUCSP 
Professor Adjunto I da Faculdade de Engenharia Industrial - FEI 
Prof. Pedro Américo Frugoli 
Bacharel em Física pela Universidade de São Paulo - USP 
Mestre em Física do Estado Sólido pela Universidade de São Paulo- USP 
Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP 
Prof. Roberto Comes Pereira Filho 
licenciado em Física pela Universidade de São Paulo - USP 
Professor Adjunto da Universidade Paulista - UNIP 
Professor Assistente da Faculdade de Engenharia Industrial - FEI 
Pós-Graduação em Engenharia de Materiais - UNIP 
Mestrando em Engenharia de Produção - UNIP 
C O M P L E M E N T O S D E F Í S I C A 
( L A B O R A T Ó R I O ) 
Í N D I C E 
I CORRENTE ELÉTR1CA ALTERNADA 
1 Tensão Harmónica 01 
2 Vetor Girante ou Fasor 01 
3 Representação Cartesiana (0, U) 02 
4 Resistor 02 
5 Capacitor 04 
6 Indutor Puro ou Bobina Ideal 07 
7 Circuito RC Série 10 
8 Circuito RL Série 13 
9 Associação RLC Série 15 
10 Tensão e Corrente Eficazes 19 
11 Potência 21 
12 Circuito RC Paralelo 23 
13 Circuito RCL Paralelo 25 
14 Exercícios Resolvidos 
15 Exercícios Propostos 34 
16 Respostas 37 
17 Exercícios para Entregar 39 
I I ESTUDO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
EXCITADOS COM TENSÃO ALTERNADA 
1 Introdução 41 
2 Resistor Puro 41 
3 Representação por Vetores Girantes 41 
4 Capacitor Ideal 42 
5 Representação por Vetores Girantes 43 
6 Bobina Ideal (indutor puro) 43 
7 Representação por Vetores Girantes 45 
8 Associação RLC série 45 
9 Cálculo da Corrente 45 
10 A Impedância 47 
11 Circuitos RC e RL 48 
12 CasoRC 48 
13 CasoRL 48 
14 Parte Experimental 50 
15 Análise de Dados 50 
16 Ressonância 50 
17 Parte Experimental 51 
I 
18 Análise de Dedbt 51 
I*) Material Utilizado 51 
20 Estudo Dirigido -Circuito RC e RL Série 53 
21 Estudo Dirigido Circuito RLC Série (Ressonância) 61 
22 Exercícios Propostos 65 
23 Resposta 67 
24 Testes 68 
25 Respostas dos Testes 72 
I I I CAMPO DE UMA BOBINA CHATA 
1 Introdução 73 
2 Campe d. vido a uma Espira 73 
3 Campo devido a Bobina 74 
4 Arranjo e hstratégia Experimental 74 
5 Material Utilizado 75 
6 Parte Experimental 76 
7 Análise de Dados 76 
8 Estudo Dirigido 
9 Testes 81 
10 Respostas dos Testes 81 
IV CAMPO MAGNÉTICO (BOBINA FINITA) 
1 Introdução 83 
2 A Lei Laplace 83 
2.2. Campo de Bobina Finita 83 
3 Lei de Faraday 84 
4 Estratégia Experimental 85 
5 Material Utilizado 86 
6 Parte Experimental 86 
7 Análise de Dados 87 
8 Apêndice 87 
9 Estudo Dirigido 89 
10 Testes 95 
I I Respostas dos Testes 97 
12 Exercício Proposto 98 
II 
V PÊNDULO SIMPLES 
1 (>b|cti\ 99 
2 Introdução 99 
} Material Utilizado 100 
4 Procedimento Experimental 100 
5 Análise de Dados e Conclusões 100 
6 Estudo Dirigido 101 
7 Testes 105 
8 Respostas dos Testes 107 
V I PÊNDULO DE MOLA 
1 Objetivo 109 
2 Introdução 109 
3 Associação de Molas 110 
3.1. Paralelo HO 
3.2 Série HO 
4 Material Utilizado I l l 
5 Procedimento Experimental 111 
5.1. Resumo 1 ' ' 
5.2. Método Estático 112 
5.3 . Método Dinâmico 112 
6 Análise De Dados E Conclusões 112 
7 Estudo Dirigido 
8 Exercícios Propostos 117 
9 Testes I ' 9 
10 Respostas dos Exercícios Propostos 123 
11 Respostas dos Testes 124 
V I I ONDAS ESTACIONÁRIAS NUMA CORDA 
(CORDAS VIBRANTES) 
1 Introdução '-5 
2 Abalo 1 
3 Equação de Onda 125 
4 Reflexão de Ondas 1*7 
5 Estados Estacionários 128 
6 Material Utilizado 
7 Parte Experimental ' 3 u 
8 Análise de Dados 
9 Estudo Dirigido 
10 Testes 1 3 9 
111 
I - CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA 
1. TENSÃO HARMÓNICA 
Consideremos bipolos quaisquer, podendo ser resistores, capacitores, indutores ou associações de 
tais. Ligando um bipolo a um altemador, este aplica àquele uma tensão alternada U que suporemos 
harmónica (figura 1). Mediante escolha conveniente da origem dos tempos podemos anular a fase 
inicial. 
"mâx • tensão máxima ou tensão de pico 
2n G> = pulsação(rad/s) (1) 
ÍD = — = 2nf . , . . „ . y f = frequência ( Hz ) 
6 = fase da tensão ( rad ) 
T • período 
o>t = G 
t = tempo 
Bipolo 
Alternador 
Figura 1 - Bipolo submetido a tensão alternada 
2. VETOR GIRANTE OU FASOR 
Muito útil é a representação de U mediante fasor (segmento orientado, ponteiro girante) figura 2. 
O fasor tem comprimento que representa U m l x e ângulo 8 = <Dt que cresce linearmente com o 
tempo. Em cada instante, a projeção do fasor sobre o eixo polar representa a tensão U no mesmo 
instante. 
A 
0 j eixo polar r 
: l J " I W C O S 0 , t 
1 • igura 2 - OA é o fasor da tensão U = cos cot 
1 
4. RESISTOR 
Imaginemos um resistor puro, isto é, sem indutância e sem capacitância alimentado por tensão 
alternada U (figura 4). 
U=U m áx cos co t 
Figura 4 - Resistor submetido a tensão harmónica 
Fm cada instante tem-se que 
Substituindo a equação (1) em (2) tem-se: 
II = RI (21 
I 
U. 
R 
COS ÍOt (3) 
2 
(4) em (3) 
R 
I = 1. cos cot 
Comparando as fases (cot) da tensão U e da corrente I verificamos que são iguais. 
Conclusão 
No resistor a corrente I e a tensão U estão em fase. 
Representando por vetores girantes ou fasores tem-se a figura 5. 
U = U m a x cos o>t 
I = I m a x COSCfi 1 
euõpõTã 
r igura 5 - OA é o fasor de U, OBé o fasor de I ; 
—» -» 
OB tem a mesma fase de OA. 
Figura 6 - Diagrama cartesiano (6,U), (6,1) no resistor. 
Tensão e corrente têm sinais iguais. 
3 
5. CAPACITOR 
Imaginemos um capacitor puro, isto é, com resistência elétrica infinita e indutância nula, ligado a 
uma fonte de tensão alternada, conforme figura 7. 
U = U m á x coscot 
Figura 7 - Capacitor submetido a tensão harmónica 
Sabe-se que 
Q = CU (6) 
Q —> carga elétrica 
C —> capacidade do sistema, característica da geometria do mesmo e do meio isolante. 
U —• tensão aplicada 
Q = C U ^ coscot 
Derivando em relação ao tempo 
dQ 
Sendo I = , vem: 
dt 
dQ 
— = — co C U ^ sen co t 
dt 
(7) 
I = - co C U m a x sen cot 
I - + co (8) 
Fazendo 
v . J L 
coC 2nf (9) 
4 
Xc -> reatância capacitiva (O) 
Substituindo (9) em (8) tem-se: 
U m > v n 
I = COS COt + -
00) 
Sendo 
i _ - ^ 
I - L . . cos {<* - f ) 
U = U m u cos cot 
(11) 
(12) 
(D 
Conclusão. 
"Em capacitor, a corrente está adiantada de — em relação à tensão' 
Fazendo-se a representação fasorial tem-se a figura 8. 
B 
eixo polar 
Figura 8 - OA é fasor de U, OBe fasor de I . Oh está adiantado de — emrelação a O A 
5 
Fazcndo-se o diagrama cartesiano (9 , U) e (8 ,1) tem-se a figura 9 
Figura 9 - Quando a tensão se anula, a corrente é extremante (máxima ou mínima) e vice-versa. 
Seus sinais ora são iguais ora são opostos. 
A equação (9) dá a expressão da reatância capacitiva X c . 
x = _ L . _ ! _ 
* c coC 2nfC 
Fazendo-se a representação cartesiana (f, X c ) e í —, X c ] , tem-se a figura 10 (a e b). 
6 
Do gráfico 10b pode-se calcular C. 
A X C = 1 
2nC Af 
AX„ = 
c - ± 
2nC 
A 
2TI A X C (13) 
(. I M U T O K I M U O O I B O B I N A I D F A I . 
Imaginemos um indutor puro, isto é, sem resistência e sem capacitância, submetido a tensão 
harmónica, conforme figura 11. 
u bob 
L 
U= U nia\ cos cot 
Figura 11 - Bobina ideal sob tensão harmónica 
(convenção do gerador) 
A Lei de Indução de Faraday estabelece que num circuito elétrico, com fluxo de campo magnético 
surge força eletromotriz induzida (tensão): 
d! (14) 
Seja uma bobina percorrida pela corrente I , que cria o campo magnético B. O fluxo desse campo 
magnético na própria bobina denomina-se fluxo auto concatenado. Ressalte-sc, que o fluxo auto 
concatenado, é o fluxo do campo magnético na própria fonte (circuito) que o criou. 
Define-se coeficiente de auto indução L, ou simplesmente indutância da bobina, a razão entre o 
fluxo auto concatenado e a corrente na bobina. 
L 1 (15) 
7 
A indutância L, depende da geometria da bobina e do meio no qual o campo é criado. 
Desta forma a tensão num indutor L. percorrido pela corrente I é dada por: 
ubob ~ dt (U) 
Substituindo (15) em (14) 
Ubob = - 4 (LO 
L W - L i » 
dl 
d 
dt (16) 
Aplicando-se a 2" lei de Kirchhoff(lei das malhas) ao circuito da figura 11, tem-se: 
- U - = 0 (17) 
Substituindo (1) e (16) em (17), vem: 
- cos cot - [ - L = 0 
dl 
L — - U m a x cos cot 
d I " j " Um«x cos cot dt { d l » £ c o s a ) t d t 
. _ "mm 
[ l ) í = - f 
sen wt 
co 
I . 0 = H l i L ( s e u , . n 0 ) 
coL 
coL 
-D ' oL • 2) (18) 
Chamando 
X L = coL = 27ifL (19) 
X L -> reatância indutiva (Q) 
Substituindo (19) em (18), tem-se: 
I - — cos^cot- -J (20) 
S e n d o 
Substituindo (21) em (20) tem-se: 
r , 
I = I m , v cos 
( - - f ) 
U = cos cot 
( o r u l u s â o 
Na bobina ideal a corrente I está atrasada de — em relação à tensão U. 
(21) 
(22) 
( D 
I azendo-se a representação fasoríal ou por vetores girantes tem-se a figura 12. 
,A 
Figura 12 - OA tf O fasor de U, OBe o fasor de I . OB está atrasada de — em relação a OA. 
A figura 13 mostra um diagrama cartesiano como U e I variam com 0 = cot. 
U e l 
~'máx 
Figura 13 - Quando a tensão se anula, a corrente é extremante (máxima ou mínima), e viceversa 
Elas têm ora sinais iguais, ora opostos. 
Pela equação (19) X L 3 coL = 2nfL, o diagrama cartesiano (f, X L ) é uma reta, conforme figura 
14. 
Ax L 
Figura 14 - Variação de XL com f. 
Pode-se determinar L se for conhecido o gráfico (f, XL). 
De fato 
A X L = 2nLAf 
i - - L . 
2TI ' Af (23) 
7. C I R C U I T O R C S É R I E 
Vamos associar em série um resistor puro R e um capacitor puro C, figura 15. 
Figura 15 - Circuito RC série 
O problema em questão pode ser resolvido mediante fasores. Em cada instante, a corrente é igual 
nos dois bipolos. Exprimamos a corrente na forma 
I = Imax coscot (24) 
Uma vez que construiremos a solução a partir de I , arbitraremos fase inicial nula para essa grandeza, 
comodidade. Em data genérica t, o fasor representativo de I segue a figura 16. 
10 
Figura 16 - Fasor da corrente I . 
Mediante fasores, queremos realizar a soma 
U = U R + U c (25) 
Cada termo é projeção de um fasor sobre o eixo polar; encarando os fasores como vetores, a soma 
horizontal dos fasores representativos de UR e Uc equivale ao fasor representativo de U (regra de 
Frcsnel). 
Em R, a tensão UR está em fase com I , e tem amplitude U ^ ^ j = R I m a x , figura 16. 
Em C, a tensão U c está atrasada de 90° em relação a I , e tem amplitude U C ( m a x ) • X C I , , ^ , figura 
17. 
Figura 16 - fasor de UR Figura 17 - Fasor de Uc 
Reunamos os dois diagramas fasoriais, e somemos as tensões (figura 18). 
Figura 18 - Circuito RC série 
11 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo hachurado teremos 
" L = W 2 + ( X C I „ u x ) 
^ m u = R 'max + X c 'max 
2 
Chamando 
u L x = (R 2 • x c ) i 
z = V R 7 7 x j = j R l + f - i . 
Z = impedância do circuito (Q) 
Substituindo (28) e (27) vem: 
U „ u * = Z I m a x 
No triângulo OAB, tg cp = 
U R(max) 
Xc'max X c 
A tensão U está atrasada de cp em relação à corrente. 
Portanto 
u = Umax cos (cot - cp) 
[)efine-se fator de potência (F.P) como o cosseno do ângulo cp 
(FP) - cos cp 
No caso RC, o fator de potência será: 
I I I ' ) 
U Z I 
w max * max 
R R 
8. CIRCUITO RL SÉRIE 
Basicamente indutores são bobinas e como tal construídos através do enrolamento de fio condutor, 
que possui resistividade não nula. Desta forma a resistência ôhmica, não é desprezível. 
Desta forma, a bobina real deve ser representada pela associação série de um indutor puro L, e um 
resistor r, que é a resistência da bobina. O circuito RL toma o aspecto do esquema ilustrado na 
figura 19. 
R 
w v w 
-J 
bobina 
^ 
U 
Figura 19 - Circuito RL série 
Num circuito série a corrente em todos o bipolos é a mesma. Vamos fixar a corrente. 
1 " Imax COSCOt 
Queremos calcular a tensão U = U R + U ^ usando fasores, figura 20. 
UR, max) R 1 max c m ^asc COm I m a x 
U r ( m a x ) " r I m a x em fase com I ^ 
u U m a x ) = X L Jmax adiantado de 90° com l m a x 
U L 0 U R U R I eixo polar 
Figura 20 - Associação RL série 
13 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo hachurado, teremos: 
uLx - [ r i — • R U , + [ X L . I J J 
u L . - (r + R) 2 • i L x + x 2 L . i L x 
• [<r + R) 2 + X 2 ] . l L 
Sendo 
Z - 7(r + R) 2 + X J - V(r + R) 2 + (2nfL) 2 
Z • impedância ( Í 2 ) . 
Substituindo (35) em (34) 
*» max = Z • I uypj 
A tensão U da fonte está adiantada de cp em relação à corrente. 
U - U 
max c o s í 0 3 1 + 9) 
UL(max) X n m a x ) Xi 
»g«P max 1 *^ 
O fator de potência do circuito é: 
(F.P) = cos <p 
_ ^ + U R ( m a x ) _ ( f + R ) I , 
(FP) - L I S 
I I 71 
w max 1 max 
14 
9. ASSOCIAÇÃO RLC SÉRIE 
Vamos associar em série um resistor puro, um capacitor puro e uma bobina real conforme figura 21 
Figura 21 - Associação série RLC 
Numa associação série a corrente á a mesma em cada instante: I = I,™ cos cot. 
Urtmax) = ' • 'max em fase com I m a x 
adiantado de 90° em relação a I m ã x 
atrasado de 90° em relação a I m A X 
U - U R + U r + U L + U c 
^R(max) • R I m a x C 
U U m a x ) = X L . I ,n„ 
l ,C(max) = X C 
(40) 
Vamos obter a tensão U através da soma dos fasores das tensões. Podemos considerar três casos: 
».". "".(max) > Uc,™) X L > X c (figuras 22 E 23) 
máx 
eixo polar 
Figura 22 - Fasores do circuito RLC série 
15 
Podemos somar os fasores da figura 22, usando o método da poligonal, figura 23. 
Figura 23 - Método da poligonal para RLC série 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triangulo hachurado, teremos: 
uL, - [ iW) + U RO~>F • K « « > - Uc<m«)f 
u L x ' ( r U x + R l m « ] 2 + [ X L • I™» - X c I ^ ] 2 
U | L - ír • R ] 2 - I ^ x + [ X L - X c ] 2 . I J L 
U L . - { l r + R ] 2 + [xL - X c ] 2 } l L x 
U , ™ - ^ + R) 2 + ( X L - X c ) 2 . I m > x m 
S, tulo 
Z = )/(r + R) 2 * ( X L - X c ) 2 ( 4 2 ) 
Z - impedância (fi) 
X • X L - X c (43) 
X - reatância (Q) 
Substituindo (42) em (41) teremos: 
U , ™ • Z I m « (43) 
A tensão resultante U será dada por: 
U - cos (cot + cp) poisU L > U c 
UMn»mx) ' Uç(max) ^ ( X L - Xç) 1 ^8 9 = VnmMK) + U R ( m a x ) (r • R ) ! ^ 
16 
O ângulo <p varia de 0 a — e o circuito á chamado de indutivo. O fator de potência 
(FP) = costp = 
R + r 
9-2 U L ( m a x ) = U C ( m a x ) .-. X L = X c ressonância 
O diagrama de fasores é o da figura 24. 
eixo polar 
Figura 24 - Ressonância 
Umax 3 U^max, + U ^ ^ , 
U m » = (r + R ) I m a x 
Z = r • R 
/ ' impedância 
Na ressonância a impedância é mínima em relaçSo à frequência e a corrente é máxima. 
Substituindo (47) em (46) vem: 
U ™ = ZImax 
Na ressonância cp • 0 Isto significa que a tensão total e a corrente estão em fase. 
U - cos(cot + 0) - coscot 
I - Imax COSCOt 
17 
Podemos somar os fasores da figura 22, usando o método da poligonal, figura 23. 
U L < m á x ) * 
F igura 23 - Método da poligonal para RLC série 
>lmàx 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triangulo hachurado, teremos: 
r_. . . . i 2 
U L - [U^max) + UR(m«x)] + [UUmâx) " UC(max)] 
uLx • [r l m .x + R l J 2 + [ X L - I m « - X c I m a x ] : 
uLx - (r + R ] 2 • l í « + [xL - x c ] 2 . i; 
UJL ={ lr + R ] 2 + [xL - x c ] 2 } i ; 
U ^ = ^(r + R ) 2 + ( X L - X c ) 2 . 1 , 
1 2 I 2 
1 max 
lmax 
Sendo 
Z = impedância ( Í 2 ) 
Z = ^ ( r + R) 2 + ( X L - X c ) : 
X = X, - X, 
X = reatância (Q) 
Substituindo (42) em (41) teremos: 
U = 7 1 
w max *« 1 max 
A tensão resultante U será dada por: 
U - U 
max c o s + 9 ) POÍSUL > LJc 
( X L " X C ) I m a x tgtp • 
ULOnax) " Uc,max) 
u rtmax» + u R(max) (r + R) I , 
16 
X L - Xc X 
, g < P r + R r + R (44) 
. n . . . . . . . 
O ângulo cp varia de 0 a — e o circuito á chamado de indutivo. O fator de potência 
R + r 
(FP) = coscp = — - — (45) 
9 2 uumax) " U C ( m a x ) /. X L = X c ressonância 
0 diagrama de fasores é o da figura 24. 
U . 
eixo polar 
Figura 24 - Ressonância 
"nux = (r + R)I m ax 
Z = r + R 
7 ~ impedância 
Na ressonância a impedância é mínima em relação à frequência e a corrente é máxima. 
Substituindo (47) em (46) vem: 
^ = ZImax 
(46) 
(47) 
Na ressonância cp = 0 Isto significa que a tensão total e a corrente estão em fase. 
U - U m a x COS (COt + 0) • Umax COS COt 
I " 'max COSCOt 
(48) 
17 
Podemos calcular a frequência de ressonância 
X|_- 'max = X c lmax 
X L = X C 
4n 2LC 
1 (49) 
rcss 2n VLc 
A equação (49) dá a expressão da frequência de ressonância em um circuito RLC série 
X L ou 
Figura 27 - Curva de ressonância 
18 
A amplitude da corrente é máxima na ressonância. O fator de potência é igual a 1. 
(F.P) • cos cp, mas cp = 0 
(F.P) • cosO /. (FP)=1 (50) 
9 - 3 - uUmax) < uC(max) •'• X L < X c circuito capacitivo 
O diagrama de fasores é o da figura 28.] 
C(máx) 
U C(máx) - U L ( m á x ) 
I- igura 28 - Circuito capacitivo ( X L < X c ) 
eixo polar 
Analogamente ao que foi calculado no item 9.1, teremos 
Z = V(r + R ) 2 + ( X c - X L ) 2 
I I = 7 1 
1 max ** 1 max 
U = U m a x c o s ( ® t " Cp) 
A tensão U está atrasada de um ângulo cp em relação à corrente. 
Xp - Xi 
tgc? = n 
(51) 
(52) 
cp pertence ao 4 o quadrante. 
O fator de potência (FP) • cos cp 
R + r 
cos cp • — - — 
10. TENSÃO E CORRENTE EFICAZES 
Define-se tensão eficaz pela expressão. 
19 
Consideremos um resistor R submetido a tensão alternada 
U(t) • U , ^ coscot ou U(6) = U m a x cosG 
U r f = ^ f U m t x c o s 2 9 d e 
2 r t 1 + cos 26 
Fazendo a substituição cos 0 • (55) 
2 Umax f 2H ( l •*• COS 20) 
L v í fi.% d0 f2x cos 20 d0 
I 
2 u m a x i re 
e f = 2n 2 
sen 20 
. , 2 umax Í2n (sen 4TC - senO) 
U e f = ~ 2 T T l T 4 ~ ~ 
1 
2 _ 2n 
rf 2* ' 2 
t i 2 I I 
, , 2 _ umax 11 - - g g / c . , 
U e f " -> ' e f " V2 ( } 
Como Upp - 2 U m a x então 
Analogamente 
Li f -
2V2 ( 5 7 ) 
. _ 'mm V 
I r f - v r Wi <58> 
Os voltímetros e amperímetros comerciais, em geral medem valores eficazes de tensões e correntes 
scnoidais. 
Lm bipolo genérico, recomendamos exprimir a tensão e a corrente em função de seus valores 
eficazes. 
U = V 2 U r f cos (cot) (59) 
I = V2 I c f cos (cot - 9 ) (60) 
20 
< li.uiiii sc corrente eficaz, a corrente constante ( s imból ico) I c f - cuja potencia e igual :i |><>u 
média da corrente alternada, no mesmo bipolo. 
I I . P O T Ê N C I A 
I iii um bipolo submetido a tensão alternada, a tensão U e a corrente I são dadas por: 
U - V2 U r f cos cot (59) 
I - V 2 I e f cos (cot - cp) (60) 
A potência elétrica que o bipolo "recebe" em cada instante é: 
P = U . I (61) 
Substituindo as equações (59) e (60) em 61 vem: 
P - >/2 Urf cos cot. V I 1^ cos (cot - cp) 
P - 2 U c f I e f cos cot cos (cot - cp) (62) 
Da trigonometria sabe-se que: 
„ a + B a - p 
cos a + cos p = 2 cos — — . cos —y— ( 6 3 ) 
I a/ciulo 
2 
a - p 
= rat o + p = 2 cot 
a + P _ . (64) 
= cot - cp /. a - p = 2 cot - 2<p (65) 
2 
Resolvendo o sistema tem-se: 
2a • 4 cot - 2cp 
a • 2 cot - cp (66) 
(x - p =• 2 cot - 29 
Substituindo (66) em 65) vem: 
2 cot - 9 - P = 2 cot - 29 
p = 2cot - 9 = 2cot + 2 9 
p 9 
Substituindo (63) em (62) 
21 
(67) 
P - Urf I e f [cosa + cosB] 
Substituindo (66) e (67) em (68) vem: 
P • U e f l e f [cos (2 cot - tp) + cos <p] 
P " U t f , l e f cos cp + U e f I c f cos (2 cot - cp) 
(68) 
(69) 
A potência instantânea exprime-se por um termo constante ao qual se some um termo harmónico. 
F.m um período, a energia elétrica que o bipolo recebe é: 
W = f T Pdt (70) 
Substituindo (69) em (70) vem: 
W - jf * T [u e f I e f cos cp + U e f I e f cos (2 cot - cp)] dt 
w " u e f I e f cos 9 |* + T dt + U e f I e f fcos(2 cot - 9 ) d t 
t + T 
W = U e f I e f c o s 9 [ t j ; l + T + U . , 1 ef J e f sen 
(2 cot - 9 
W - U e f I e f c o s 9 ( t + T - t) + U e f I e f 
W = U e f I e f cos 9 . T + 0 
W - U e f I e f cos 9 . T 
W 
j ~ " U e f I e f cos 9 
sen 
2co (t + T) - 9 
- sen 
(2 cot - 9 I 
2 J 
(71) 
I Wiflmi M\a média 
W 
P = T 
Substituindo (72) em (71) vem: 
P " U e f lcf «OS 9 
(hama-se fator de potência do bipolo o número 
(F.P) = cos 9 
(72) 
(73) 
(74) 
Fixados U c f e l e f , a potência elétrica média que o bipolo recebe é proporcional ao fator de 
potência. 
Recapitulemos: 
a) em resistor é 9 • 0 .*. cos 9 •» 1 
22 
2 _ Vlf 
(75) 
Como em corrente contínua 
b) Em capacitor é 9 = — .*. cos 9 = 0. Sucessivamente, o capacitor recebe e cede energia em 
quantidades iguais, com soma nula em um período. 
c) Em indutor, é 9 • — .\9 = 0 .'. P = 0. O indutor ganha e perde energias em 
quantidades iguais, com soma nula em um período. 
d) Em bipolo qualquer, é - y - £ 9 £ — e P • I e f cos 9 . A potência instantânea pode ser 
positiva ou negativa, predominando a positiva. A potência média é positiva (exceto em capacitor ou 
indutor, para os quais ela é nula). 
Fm associação série RLC é 9 = 
R + r 
12. C I R C U I T O R C P A R A R E L O 
Vamos associar em paralelo um resistor puro R e um capacitor puro C, figura 29. 
FlgUI 29 - Circuito RC paralelo 
Vamos resolver o problema mediante fasores. Em cada instante, a tensão é igual nos dois bipolos. 
Vamos exprimir a tensão na forma: 
U - U m â X coscot 
Uma vez que construiremos a solução a partir de U, arbitraremos fase inicial nula para essa 
grandeza. 
Mediante fasores, queremos realizar a soma: 
I - I B + L (76) 
23 
Em R, a corrente IR está em fase com U e tem amplitude 
l » W ) - ^ f - (figura 30). 
Em C, a corrente Ic está adiantada de 90° em relação a U e tem amplitude 
• c . - . - (figun.30). 
Figura 30 - Circuito RC paralelo 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo hachurado, teremos: 
I 2 
•max 
- I 2 
1 R(max) 
+ i 2 
'C(max) 
1 max 
Umax 4- u L 
1 max R 2 T xlI * 
1 max 
= u L x ( 
1 I * 
1 max 
= u L x ( R 2 
+ xV. (77) 
Chamando 
G = ^ (78) e B c = ^ - ( 7 9 ) 
G • condutância, Bc = suceptância capacitiva 
Substituindo (78) e (79) em (77) vem: 
lmax = Umax fc2 + B2C) 
! « . " V G 2 + B c . ( g 0 ) 
sendo 
24 
Y = admitância (Q 1 ) 
Substituindo (81) em (80) vem: 
lmax = Y . 
•C • lmax COS (COt + cp) 
A corrente está adiantada de cp em relação à tensão 
Umax 
'c(max) R X c 
ll- ip 
'R(max) Umax R 
x c 
cp = arctg — -
O fator de potência será: 
(F.P) = cos cp 
(F.P.) = 
Ujn« 
jgfeBfi „ R = I 
'(max) * . U , ^ RY 
IV CIRCUITO RFC PARARELO 
Consideremos o circuito da figura 31, onde RLC são ideais. 
Figura 31 - Circuito RLC paralelo 
25 
Mediante fasores queremos realizar a soma: 
I = I R + I L + I c (86) 
*Ic(máx.) 
L(máx) eixo polar 
lC(máx) 
L(máx)- IC(máx) 
eixo polar 
Figura 32 - Circuito RLC paralelo 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo hachurado: 
2 = I 2 
|2 _ 
|2 _ 
R(max) 
R 2 
u 2 
+ [ i u 
u 
max) ' 'c(max) 
u . 12 
-\2 
L X L 
.u: 
rl -= u; R" 
1 
lmax - ) / G 2 + ( B L - B C ) 2 . 
1 
X C 
U M , (87) 
Sendo 
Y = ^G2 + ( B L - B C ) 2 
Y = admitância ( Í 2 1 ) 
BL • suceptância indutiva 
Substância (88) em (87) teremos: 
I . = Y . U , 
Para 
I I > Ic 
I L = I c 
h < Ic 
I " lmax c o s ( w t " 9) 
I = L.v coscot ressonância 'max 
• max 
(88) 
(89) 
(90) 
(91) 
(92) 
26 
l i I \ KCICIOS RESOLVIDOS 
1. Na rede domiciliar a Eletropaulo põe à disposição tensão alternada de frequência 60 Hz e valor 
eficaz Uçf = 110 V. Escrever como a tensão instantânea U varia com o tempo e com a fase ip. 
Fazer o gráfico (cp, U). 
Solução. 
U • U ^ , coscot = U m a x cos6 
LL, = li 
V2 
.-. 110 = 
v,, 
V2 
/ . U M A X = 110V2 = 156 V 
co rad 
f - — /. co = 27rf /. co = 2TI x 60 /. co = 377 — 
2 71 s 
U = 156 cos 3771 = 156 cos cp, sendo cp = 3771 
U ( V ) 
2. Uma bobina sem núcleo de ferro possui indutância L = 20 mH e resistência r = 2 Q. Aplica-se-lhc 
uma tensão alternada harmónica de frequência f| = 60 Hz e f2 = 1 MHz. Calcule para cada 
frequência. 
a) a reatância XL 
b) a impedância Z 
c) a defasagem cp entre a tensão e a corrente 
Solução. 
a) 
r L 
w w v WM 
X, 
coL » 2nf,L 
X L | - 2n x 60 x 20 x IO"3 
7,54 fi 
b) 
Z, - ^ R 2 + xL 
l\ 
c) 
V 2 2 • 7,542 
7,8 Q 
t g ( p m UMmax) _ XL(max) _ X ] 
tg9i = 
tgtp2 = 
r(max) 
7,54 
r . I , 
X L 2 = 27tf2 . L 
X L 2 - 2n x IO 6 . 20 x IO*3 
X L j = 125663,7 n 
Z 2 - >/22 + 125663.72 
Z 2 - 125663,7 í í 
/ \L(máx) 
_ > J — > 'max 
2 
125663,7 
= 3,77 /. cp, = 7 5 , 1 4 ° 
= 62831,85 .-. cp2 = 8 9 , 9 9 ° 
Para frequências elevadas Z 2 = X L j e q> = — rad 
3. Em um chuveiro elétrico estão inscritos os dados de placa U E F • 220 V e P = 2,4kw. Calcular 
a) a resistência R; 
b) a corrente eficaz Içf; 
c) o calor desprendido em 15 minutos. 
Soluça». 
a) 
P = ^ 
R 
2,4 x 103 = 
R = 20fi 
220: 
R 
R 
W W V 
28 
b) Urf = R l c f 
220 = 2 0 I r f 
.. 1^ - 11 A 
c) Q « P t 
Q « 2,4 x 103 x 15x60 
Q = 2,16 x 10*J = 516 kcal 
Q - P. t 
Q - 2,4 x IO1 x 15 x 60 
Q - 2,16 x 10*J = 516 kcal 
4. Associam-se em série um resistor puro de 433 Cl e um condensador ou capacitor puro. Sob tensão 
. „. 200 
harmónica eficaz de 100 V e frequência de Hz, passa corrente eficaz de 0,20 A . Pedem-se: 
a) a capacidade C; 
b) o fator de potência (F.P). 
Solução. 
a) 
R=433il C U R ( E F ) = 8 6 , 6 V 
1 ^ W v \h 
I e f = 0 , 2 0 A 
1€>-
U c f = 100 V 
, 200 
f - Hz 
71 
UR(ef) = R l e f = 433 x 0,20 - 86,6 V 
U 2 f = UR ( e f ) + U q e f ) 
1002 86,62 + Vl{ef) 
U C ( e f ) = 100000 - 7499,56 
U 2 ( e f ) - 2500 /. U C ( e f ) = 50 V 
UC<e0 = X c I r f X c = 
50 = X c . 0,2 250 
C 
1 
„ 200 „ 
2n. — . C 
7t 
250 Q C = 10 x 10"6 F 
C = 10 uf 
29 
b) (F.P) = costp 
1 U c f 100 
(F.P) = 0,866 
5. Associam-se em série um resistor ( R ), um capacitor (Xc) e uma bobina (XL e r). Submete-se o 
sistema a uma tensão alternada U e f , e obtém-se as medidas inscritas no esquema. Calcular: 
a) a corrente eficaz 
b) a tensão eficaz na bobina 
c) o fator de potência da bobina 
d) a impedância Z do circuito 
c) a tensão da fonte em Volt 
0 o fator de potência do circuito 
g) a frequência de ressonância do circuito. 
R=100ÍI r=20n L=20mH C=4uF 
- W V W - i A A A A r - ^ j T O 1 | 
i y i — — 1 
UR(eí) = 20 V bobina 
© 
f = 1 kHz 
Solução. 
a> U R ( e f ) = RIcf 
20= 100 I í f 
Ief =0,20 A 
b ) U r ( c f ) = r . I e f 
Ur(ef) = 20 x 03 
^ef ) = 4 V 
U Uc0 = X L • let 
U L ( e f ) = 2jrfL. I e f = 2TT x 103 x 20 x 10*3 x 0,2 - 25,13 V 
30 
• W r r 4 V ' 
•Ju.rf25.l3V U bob(ef| = x/4-+25,132 
U b o b ( r f ,= 25,45 V 
c) (F.P)bob = coscp = 
( F . P ) ^ = 0,157 
25,45 
= 0,157 
d ) Z = v/( R + r ) 2 + ( X L - x c ) 2 
1 1 
X c = — - = 7- -r = 39,79 Q 
2fdC 2TI x 10 x 4 x IO"6 
X L = 2TIÍC = 2TI x 103 x 20 x 10"3 = 125,66 0 
Z = V(100 + 20)2 + (125,66 - 39,79)2 
Z = V14400 + 7373,66 
Z = 147,56 Q 
e) U e f = ZI r f 
U e f = 147,56 x 0,20 
E e f = 29,512 V 
(F.P) = costp 
( ¥ = U R + u > . g + r)I = R 4- r 
U Z I Z 
100+20 
( F P ) = - Í J T 5 T = ° ' 8 1 3 
l ) fn 
2JC VLC 
31 
2n -y/20 x IO' 3 x 4 x IO*6 
562,69 Hz 
6. Considere o circuito RC paralelo em anexo. 
Ief 
Calcular: 
a) as correntes I R ( e f ) , I C ( e f ) e I r f . 
b) o fator de potência. 
c) a potência dissipada no circuito. 
Solução. 
a) Em paralelo U R ( e f ) = U C e f = U e f = 110V 
l R(ef) = R I RleO 
110 = 500.1,44 
I R ( e f ) = 0,22 A 
Qef) " X c . l C ( c f l 
1 
Qef) 2xfC • , C ( e 0 
*Qef) " 2nfC . U C ( e f ) 
lC(ef) = 2n x 60 x 4,70 x IO*6 x 110 
I C ( e f ) - 0,19 A 
32 
Ief JT M c e f 
S ) n" 
IR , , , ) - 0 ,22 A 
1^ =0,22*+0,19* 
I R F = 0 , 2 9 A 
F.P = cos cp 
0,29 
P = 0,75 
P d = R • ^ ( e í ) 
- 500 x 0,222 
= 24,2 W 
33 
15 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Considere o circuito RLC série anexo. 
R = 100 Q r = 3 ó O L = 11,5 m H O 4,7 u F 
W W V : —</ \AA / \ Tfôffgíp 1 1 1 
F = l , 5 kHz 
Calcular: 
a) a rcatáncia indutiva XL e capacitiva Xc. 
b) a impedância do circuito Z. 
c) a corrente eficaz no circuito. 
d) a tensão eficaz na bobina. 
e) o fator de potência da bobina. 
f) a tensão eficaz da fonte U C F . 
g) o fator de potência do circuito. 
2. Considere o circuito RLC paralelo. 
Calcular: 
a) as correntes l ( c f ) , I R ( e f ) , IC(eO c IMeO-
b) o fator de potência do circuito. 
34 
3. Associam-se em série um resistor ( R ), um capacitor ( X c ) e uma bobina ( X L e r). Submete se 
o sistema a uma tensão alternada U c f , e obtém-se as medidas inscritas no esquema. Pedem-se 
r, X L , R, X c , U r f , f .Dados C = 20 uF , I e f = 0,345 A . 
4 Uma lâmpada elétrica incandescente (resistor puro) consome 385 W quando percorrida por 
corrente eficaz 3,5 A . Dispôe-se de tensão eficaz U E F = 220 V com frequência f = 60 Hz. 
a) Determinar a indutância de uma bobina (resistência desprezível) a ser ligada em série com a 
lâmpada para assegurar seu funcionamento normal. 
b) Para tomar igual a um o fator de potência do sistema, associa-se-lhe em paralelo um capacitor 
Qual é a capacidade? 
5. Associam-se em paralelo um resistor puro R e um capacitor de 10 u.F. O sistema é submetido a 
200 
uma tensão harmónica eficaz de 100 V e frequência de Hz. A potência média consumida pelo 
circuito é 17,32 W. 
Calcular: 
a) a resistência R; 
b) o fator de potência. 
6. No sistema figurado é r = 10 Q; a reatância X L é ajustada de modo a ser máxima a tensãoeficaz 
no condensador. Nessas condições, a tensão na bobina tem valor eficaz 120 V. Pedem-se: 
a) corrente em função do tempo; 
b) fator de potência do sistema, e fator de potência da bobina; 
c) tensão no condensador, em função do tempo. 
35 
7. Ao sistema figurado aplica-se tensão harmónica de valor eficaz U e f . Dão-sc 
R, - 2 O, R 2 = 5 O, X c = 3 Cl. No ramo AB a corrente eficaz é I , = 40 A, a tensão na bobina 
é U b = 165 V e a potência média é 4,8 kW. 
B D 
Fedem-se: 
a) a tensão eficaz U c f aplicada no sistema; 
b) a corrente global I no sistema; 
c) o fator de potência do sistema. 
8. Uma fonte de 120 V, 60 Hz é ligada em uma resistência não indutiva de 800 Cl e em um capacitor 
desconhecido, em série. A ddp no resistor é 102 V. 
Calcular: 
a) a ddp no capacitor; 
b) a reatância do capacitor. 
9. Um voltímetro AC, ligado a um circuito de corrente alternada de 60 Hz, mede 120 V. 
a) Calcular a tensão máxima. 
b) Escrever a equação da tensão em função do tempo. 
36 
10. Um resistor de 20 Cl é ligado a uma fonte de tensão alternada U = 60 cos 1207rt (V). Qual a 
li iiin.i de um amperímetro AC ligado em série com o resistor? 
11. Um capacitor de 2 uF é ligado a uma fonte de tensão alternada de valor eficaz 120 V. 
a) Calcular a corrente eficaz no circuito para as seguintes frequências da fonte: 
a.1)60 Hz a.2) 60 kHz 
b) Calcular a perda de potência no capacitor. 
12. Um indutor puro de 0,70 Hz é ligado a uma fonte de tensão alternada de valor eficaz 120 V. 
a) Calcular a corrente eficaz no circuito se a frequência da fonte for: 
a.1)60 Hz a.2) 60 kHz 
b) Qual a perda de potência no indutor. 
13. Uma bobina com 0,14 H de indutância e 12 Cl de resistência está ligada a uma fonte de tensão 
alternada de Uef = 110 V e frequência f = 25 Hz. Calcular: 
a) a corrente eficaz na bobina; 
b) o ângulo de fase <p entre a corrente e a tensão de entrada; 
c) o fator de potência; 
d) a potência dissipada na bobina. 
16 - RESPOSTAS 
1. 
a) X L = 108,38 Q e X c = 22,57 Cl 
b) Z = 160,80 Cl 
c) 1^ = 1,77 A 
à) I W > = 202,13 V 
e) (F.P) = 0,32 
0 U c f • 284,61 V 
g) (F.P) = 0,845 
2. 
a) I e f = 4,6 A , I R ( e f ) = 4,4 A , I C ( e f ) = 5,52 A , I M c f ) = 7 A 
b) (F.P) = 0,986 
3. 
<P«b* = 8 2 \ = 15,89Q,X L = 115Q,R = 72,5fi , 
X c = 1 5 9 0 , ^ = 3 4 , 2 V , f = 50Hz 
37 
4. 
a) L-0,1442 H 
b) C - 36,5 uF 
5. 
a) R - 578 í i 
b) (F.P) = 0,41 
6. 
a) I = 3V2cos377t 
b) cos tp = 1 e costpbob 
c) U c = 116V2cos[377t 
7. 
a) U e f = 200 V 
b) I - 55,2 A 
c) (F.P) = 0,966 
8. 
a) 63 V 
b) 496 Q 
9. 
a) U m a x = 169,7 V 
b) U = 169,7 cos 3771 
10. 
1^ - 2,12 A 
11. 
1.1) I e f = 9 x IO" 2 A 
a.2) I e f = 90,4 A 
b)P = 0 
12. 
a . l ) 1^ - 0,45 A 
a.2) I e f = 4,5 x IO - 4 A 
b) P = 0 
13. 
a) Irf = 4,4 A 
b) 9 -61 ,38° 
c) (F.P) = 0,478 
d) P = 232,32 W 
17 - EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR 
ASSUNTO: CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA 
NOME: 
PROFESSOR: 
D A T A : 
CAMPUS: 
NUMERO: 
HORÁRIO: TURMA: 
1. Considere o circuito RLC série anexo que está em ressonância. 
R = 200n 
V W \ A / 
r = 20n L = 8 m H C = 16 
U e f = 110 V 
Calcular: 
a) a frequência de ressonância; 
b) a impedância do circuito; 
c) o fator de potência do circuito; 
d) a corrente eficaz no circuito. 
Respostas 
a) f= 444,85 Hz 
b) Z = 220 Í2 
c) F.P = 1 
d) l e f » 0,5 A 
39 
2. Considere o circuito RLC paralelo. 
U ê f - 2 0 0 V 
f - 600 Hz 
R = 80 n L - 12 mH 
Calcular: 
a) a corrente eficaz na bobina e no resistor; 
b) a corrente global no circuito; 
c) o fator de potência. 
Respostas 
a) I R ( e f ) = 2,5 A I L « 4,42 A 
b) lef = 5,1 A 
c) F.P = 0,49 
40 
I I - E S T U D O D E C I R C U I T O S E L É T R I C O S 
E X C I T A D O S C O M T E N S Ã O A L T E R N A D A 
1. INTRODUÇÃO 
Deseja-se estudar o comportamento de vários bipolos e associações dos mesmos sob açâc 
de tensão alternante do tipo: 
U =U m cos (cot) 
onde: 
U m - tensão máxima ou de pico 
(cot) - fase da tensão 
co - pulsação 
t - data 
2. Resistor puro 
Sob tensão U = U m cos cot, o resistor R_, permite a passagem de corrente I_que segue a Lei dc 
Ohm: 
, U U m , . 
1 = — = — coscot) 
R R 
3. Representação por vetores girantes 
Seja o vetor de norma (módulo) U m , que faz com um eixo horizontal (eixo polar) o angule 
0 = cot. 
U m / 
6 = (0 t 
eixo polar ^ 
' < 7"—71 • 
U • U m cos o t 
Figura 1 - Respresentação da função U = U M cos ÚX, 
por vetor girante. 
41 
A projeção desse vetor no eixo polar representa a tensào alternante U(t). O vetor é 
realmente girante pois o ângulo 9 cresce proporcionalmente ao tempo (t): 6 • cot. 
No caso de resistor diz-se que a corrente I e a tensão U no mesmo são confasadas (mesmas 
fases», ou seja, tanto a corrente quanto a tensão são expressas por funções cossenos com mesmos 
argumentos. A figura 2 ilustra o caso do resistor. 
U 
S 
• eixn 
i « • j j polar 
: I = Imcos(coi) j 
\< 
U = U m COS(CÚ t) 
Figura 2 - Corrente e tensão num resistor, representados por vetores girantes. 
Nesse caso a corrente e a tensão são confasadas ou têm a mesma fase. 
4. Capacitor ideal 
Da definição de capacidade elétrica de um sistema tem-se: 
Q = C . U 
onde: 
U - tensão aplicada 
Q - a carga armazenada sob tensão U 
C - a capacidade do sistema, característica da geometria do mesmo e do meio 
isolante 
A corrente elétrica no circuito será a taxa de variação temporal de carga Q. E sendo U = U m 
cos cot tem-se. 
Q = C . U m cos cot 
dQ I = — = -Ctú.U sen cot = C.co.U co 
dt 
Sejam !„, a corrente máxima e X c a reatância capacitiva de forma que: 
42 
I . =C.co.U, 
X . 
x c = 
1 1 
co.C 2nfC 
A reatância capacitiva tem característica de resistência ôhmica, limita a corrente máxima I, 
a unidade em que é expressa é Í 2 , apenas não dissipa energia. 
Resumindo, tem-se: 
I = I . CO sJ cot + - = — 
\ X c 
)S ( cos cot + — 
A 2 
5. Representação por vetores girantes 
A representação está ilustrada na figura 3 onde nota-se novamente que a corrente n< 
capacitor é adiantada em relação a tensão. Ou seja, a fase (argumento do cosseno) da corrente ( 
>i ' i \ polar 
Figura 3 - Corrente e tensão num capacitor 
representadas por vetores girantes. 
<• Bobina ideal ( indutor puro) 
A lei de Indução de Faraday estabelece que num circuito elétrico, com fluxo de campe 
magnético io>. surge a força eletromotriz induzida (tensão): 
Seja uma bobina percorrida pela corrente I , que cria o campo magnético B. O fluxo <J> desse 
campo magnético na própria bobina denomina-se fluxo auto concatenado. Ressalte-se , que o fluxe 
auto concatenado, é o fluxo do campo magnético na própria fonte (circuito) que o criou. 
Define-se coeficiente de auto indução L ou simplesmente indutância da bobina, a razâc 
entre o fluxo auto concatenado e a corrente na bobina. 
43 
L = ^ 
1 
A indutância L, depende da geometria da bobina e do meio no qual o campo é criado. 
Desta forma a tensão num indutor L, percorrido pela corrente I é dada por: 
U = - — = - — ( L . I ) = - L — (convenção gerador) 
dt dt dt 
A figura 4 ilustra o esquema de ligação onde a tensão da fonte é: 
I W - Vmcos (cot) 
I 
l 
Figura 4 - Esquema de ligação entre gerador de tensão alternante 
e indutor. Considerou-se convenção gerador 
Pela regra das malhas tem-se: 
-u f c m -u = o=>u = -u f a H e 
U = - l L coscot = - L — 
dt 
dl = ^ -.cos(cot)dt 
resolvendo vem: 
T U m f Um / N 
I = —— |cos(cot)dt = senícotl + constan te 
L co.L 
A constante de integração corresponde à corrente média em torno da qual oscila a corrente 
alternante. Entretanto nos casos usuais esta corrente média é nula. Assim. 
I = — - sen(cot) = — - cos(cot — ) 
co.L co.L 244 
Sejam I m a corrente máxima e X L reatância indutiva de forma que: 
U. 
I _ = 
co .L 
x 
L . 
X L = c o . L 
A reatância indutiva tem característica de resistência ôhmica, limita a corrente máxima I 
a unidade em que é expressa é Q, apenas não dissipa energia. 
7. Representação por vetores girantes 
A figura 5 apresenta a representação onde ilustra-se que a corrente elétrica num indutor c' 
atrasada em relação a sua tensão, pois a fase da corrente é menor [ em — | que a fase da tensão. 
Figura 5 - Tensão e corrente num indutor representados 
por vetores girantes 
8. Associação RLC série 
Considerem-se três bipolos ideais: um resistor, um capacitor e um indutor; associados em 
série com um gerador de tensão alternante (U =U m C O S COt). 
9. Cálculo da Corrente 
Levando-se em conta os itens 1.1; 1.2 e 1.3 pode-se abreviar a solução com a utilização dc 
vetores girantes e o fato de que a tensão do gerador deve ser a soma das tensões do resistor, do 
capacitor e indutor. 
A figura 6 ilustra a corrente no circuito e as tensões nos bipolos R, L e C. 
45 
u L = w x L 
Figura 6 - Representações das tensões nos bipolos R, L, e C 
e da corrente no circuito série. 
A tensão do gerador U = U r a cos (ot, deve ser obtida pela soma das tensões, como ilustrado 
na figura 7. Ressalte-se que apenas as projeções girantes têm significado físico, entretanto a soma 
das projeções é igual a projeção do vetor resultante, o que facilita a solução. 
u ni. 
\t 
—• 
eixo 
polar 
Figura 7 - Soma das tensões nos bipolos resultando a tensão do gerador: 
U = Um cos (ot 
defasada de gem relação a corrente: I = lm cosO' 
Da figura 7, tem-se: 
u. = Vu.1 +(vL - V C ) 2 = J 1 + (x T J. - x c J j ? 
U . = I m V R - + ( X L - X c ) 2 
Denomina-se de impedância (Z) do circuito: 
46 
Z = A / R J + ( X L - X C ) 2 
De forma que: U m = Z. I m 
Por outro lado a defasagem entre a tensão do gerador (ou na associação) e a corrente no 
circuito $ é: 
, u , -u c x . -x c 
cp = are tg — - are tg— ^ 
U„ R 
Finalmente a corrente é: 
I = I„ cosG = —cos(cot-(p) 
10. A impedância 
A impedância do circuito depende de R, L, C c da frequência da tensão aplicada pele; 
gerador: 
A Impedância apresenta valor mínimo quando: 
X , - X c = 0 = > c o 0 L — = 0 
CD0C 
A frequência f0 que torna Z mínima é denominada de frequência própria do circuito ou 
frequência de ressonância. 
O mínimo valor de Z é: Zmm = R Assim nos casos em que R = O, a corrente elétrica, para r 
frequência (fo ), cresce indefinidamente (I -* ao). 
Na ressonância (f = fo ) tudo se passa como se apenas o resistor fizesse parte do circuito 
pois o indutor e capacitor trabalham em oposição de fase (defasagem: n) e têm soma de tensõc^ 
nula. 
47 
11. CIRCUITOS RC F. RL 
Nesse experimento pretende-se estabelecer empiricamente as relações: 
1 
X L = co.L e ^ = 
co.C 
12. Caso RC 
É mais fácil obter-se um capacitor ideal que outros bipolos, pois a resistência ôhmica do 
mesmo normalmente é muito pequena, e sua indutância realmente desprezível. Desta forma, pouco 
há a comentar, basta obter tensào e corrente no capacitor em função da frequência, pois 
13. Caso RL 
Basicamente indutores são bobinas e como tal, construídas através do enrolamento de fio 
condutor, que possue resistividade não nula. Desta forma a resistência ôhmica, não é desprezível. 
Desta forma.a bobina real que será utilizada, deve ser representada pela associação série de 
um indutor puro L, e um resistor r, que é a resistência ôhmica da mesma. O circuito RL toma o 
aspecto do esquema ilustrado na figura 8. 
Bobina 
Figura 8 - Esquema do circuito RL com uma bobina real de 
resistência ôhmica r e indutância L. 
48 
Tratando o circuito da figura 8 por vetores girantes tem-se: 
U* '— tensão máxima no 
resistor R 
U bnb— tensão máxima na 
bobina 
rim — tensão máxima na 
"parte" resistiva da 
bobina 
XL Im — tensão máxima na 
"parte" indutiva 
da bobina 
eixo polar 
U m — tensão máxima da fonte 
Na prática medem-se Ubob e U* ; e partir do conhecimento prévio de R_ pode-se obter: 
• R 
Para que: 
bob _ = X L ; 
é necessário que Ubob = XL I m , o que será verdadeiro para pequenas resistências ôhmicas ( r ) , pois: 
Não sc pode garantir que r ? 0, desta forma para que 
seja próximo de X L deve ser verdadeiro que X L » r . Ou seja, 
toL » r 
2TIL 
Resumindo: a única forma de se obter o comportamento de indutor puro, é garantindo que t 
frequência seja maior que um valor mínimo , a fim de garantir a desigualdade: 
f » 
2nL 
49 
14. Parle Experimentai 
2.3.1. Monta-se um circuito RC série associado a um gerador de tensão alternante. 
2.3.2. Varia-se a frequência da tensão aplicada e em cada situação anotam-se as 
tensões no resistor e capacitor. 
2.3.3. Monta-se um circuito RL série, associado a um gerador de tensão alternante. 
2.3.4. Varia-se a frequência da tensão aplicada anotando-se em cada situação as 
tensões no resistor e indutor. 
15. Análise de dados 
Responder às questões do Estudo Dirigido. 
16. RESSONÂNCIA 
Pretende-se o estudo do comportamento do circuito RLC série sob tensão altemante.Tal 
como no circuito RL, é preciso considerar a resistência interna da bobina (r). 
Reescrevendo o item 1.4 tem-se: 
U l = l ( R + r ) J + ( X L - X c ) ^ i 
No caso real a impedância do circuito será: 
Z = >/(R + r ) 2 + ( X L - X c ) 2 
o que é razoável já que efetivamente a resistência ôhmica do circuito é R + r. 
Note-se que a soma das tensões da bobina Ubob com a do capacitor Uc ,assume o 
valor R . I„, para a frequência de ressonância, permitindo a obtenção de r. 
50 
17. Parte Experimental 
3.1.1. Monta-se um circuito RLC série associado a um gerador de tensão alternante. 
3.1.2. Em função da frequência da tensão do gerador, medem-se a tensão do resistor 
R (UR ) e, a soma das tensões do capacitor e bobina. 
IS. Análise de dados 
Responder às questões do Estudo Dirigido. 
19. Material utilizado 
• Placa com circuito RLC 
• Gerador de áudio 
• Multímetro 
• Osciloscópio 
• Fios de Ligação 
51 
2 0 - E S T U D O D I R I G I D O 
A S S U N T O : C I R C U I T O R C E R L S É R I E 
N O M E : N Ú M E R O : 
P R O F E S S O R : 
D A T A : H O R Á R I O : T U R M A : 
C A M P U S 
1. Quais sào os objetivos deste experimento? 
2. Desenhar os esquemas dos circuitos utilizados. 
3. Anotar os valores nominais das características de cada bipolo e a precisão dc 
cada instrumento utilizado. 
resistor 
capacitor 
bobina 
4. Descrever o procedimento experimental. 
R = 
C = 
53 
5. Montar o circuito RL e preencher a tabela anexa. 
fdcHz) u5* ( v ) WA) 
Observar que: 
,,R ..BOI 
I _ UPP 7 _ UPP 
'PP - ^BOB - ~~j 
K lpp 
54 
6. Montar o circuito RC e preencher a tabela anexa. 
f(k Hz) ( V ) U& < V ) WA) Xc(O) i ( H t ) -
Observar que: 
55 
7. Construir diagramas cartesianos (f, X c ) e (f, Z B) utilizando os mesmos eixos. 
56 
X. Ajustar uma reta média, ao gráfico (f, ZB), que passe pela origem. Os ponto*, 
próximos da origem desviam-se da reta média? 
9. Qual é o significado físico do coeficiente angular da reta média anterior'/ 
Calcular, a partir dos dados a indutância L. 
10 Considerar a curva que se ajusta aos pontos próximos da origem. Come 
interpretar o desvio desses pontos da reta média? Qual é o significado 
associado ao valor obtido no cruzamento da curva com o eixo dc 
representação de ZB ? 
11. Determinar, mesmo de forma estimativa, a resistência ôhmica (r) da bobina 
utilizada. 
12. Traçar uma curva média (hipérbole) no gráfico (f, Xc ). O cruzamento dos 
dois gráficos (f, X c ) e (f, ZB ), corresponde a frequência f • 
Qual é o significado desse fato? (vide item 1.4.2).13. Construir diagrama cartesiano (—, X c ) . 
i •• í ~~n r r ~ T ~ T T—.: i . i 
f f 
_ J i — ± 
100 
58 
14. O comportamento é linear? Tente ajustar uma reta média aos dados. 
Calcular o valor experimental da capacidade C. 
59 
2 1 - E S T U D O D I R I G I D O 
A S S I N T O : C I R C U I T O R L C S É R I E ( R E S S O N Â N C I A ) 
N O M E : N Ú M E R O : 
PROFESSOR: 
D M A : H O R Á R I O : T U R M A : 
CAMPUS 
I . Qual é o objetivo do experimento? 
Desenhar o esquema do circuito utilizado. 
3. Anotar as precisões dos instrumentos utilizados. 
6. Determinar a frequência de ressonância fo. Compará-la com o valor teórico. 
7. Determinar a resistência ôhmica da bobina ( r ), com o seu respectivo intervalo de dúvida. 
V 
64 
22 - E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S 
1. Estudou-se um circuito RLC série. Foi obtida a tabela anexa. Determinar 
indutância L. 
f(kHz) X L (Í2) 
2,0 60 
4,0 112 
6,0 180 
8,0 230 
10,0 290 
12.0 346 
14.0 410 
2. Um circuito RLC série sob tensão alternada com frequência f variável apresentou o 
gráficos anexos. Pedem-se: 
a) a corrente que atravessa 
o circuito na frequência 
de ressonância; 
b) a resistência interna da 
bobina utilizada. 
U ( v o l t s ) 
100t-^c z 
10 
o 
° b o b + C 
R - 50 Q 
10 f (Hz) 
3. Estudou-se um circuito RC série . Foi obtida a tabela anexa. Determinar a 
capacidade do capacitor. 
f(Hz) Xe(kfi) 
100 79.6 
200 39,8 
400 29.9 
500 15,9 
800 9,9 
900 9,8 
1000 8,0 
65 
4. Com a ajuda de dois circuitos série, um RC e outro RL, mediu-se a tensão em cada 
elemento em função da frequência da tensão aplicada. Se R = 50 fí. Determinar: 
f U ( v o l t s ) 
a) o valor da corrente no circuito 
e da indutância Lj 
b) a frequência de ressonância. 
1 0 0 F(Hz7 
5. Estudou-se um circuito RLC série. Foi obtida a tabela anexa. Pedem-se: 
a) a frequência de ressonância do circuito; 
b) a resistência ôhmica do circuito. 
F(khz) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I I 
Z(kí l ) 15,3 6,7 3,4 1.5 0,1 1,1 2,1 3.0 3.9 4,7 5.5 
6. Com um circuito série RLC fez-se os levantamentos das curvas anexas, onde UR . Ui 
, Uc são as tensões respectivamente no resistor, bobina e capacitor em função da frequência da 
tensão no circuito R= 100Q. Determinar 
a) a capacidade C; 
b) a resistência ôhmica da bobina. 
. U (volts) 
. . 1 1 1 > 
0 1 2 3 4 5 f(kHz) 
56 
23 - Resposta. 
1. 
2. 
3. 
5. 
L = 4,62 mH 
a) I = 2 A 
b) r = 5£1 
C = 0,02 u.F 
a) 1 = 0,4 A L = 39,7 mH 
b) f0 • 100 Hz 
a) f0 = 5000 Hz 
b) R + r = 100Q 
a) 1,6 uF 
b) 43,3 í l 
67 
24 . T E S T E S 
L Considere um circuito RLC série, onde todos os bipolos são ideais. 
1. Fixando-se a corrente, podemos dizer que: 
a) as tensões no resistor, bobina e capacitor estão em fase com a 
corrente. 
b) a tensão na bobina está adiantada de 90° em relação à tensão no 
capacitor. 
c) A tensão no capacitor está adiantada de 90° em relação à corrente. 
d) A tensão no resistor está em fase com a corrente 
e) A tensão na bobina está atrasada de 90° em relação à corrente. 
2. Na ressonância, verifica-se que: 
a) o capacitor bloqueia a corrente. 
b) A tensão no resistor está em oposição de fase com a tensão no 
capacitor. 
c) A soma das tensões no circuito é nula. 
d) A tensão no resistor é igual à tensão na bobina. 
e) A tensão na bobina está em oposição de fase com a tensão 
capacitor e ambas tem o mesmo módulo. 
6S 
3. A auto indutância da bobina, cm mH, é : 
a) 5 b)6 c)7 d) 8 e) 9 
4. A capacidade do capacitor utilizado , em uF é 
a) l b)2 c)3 d) 4 e) 5 
III. Num experimento com circuitos RC e RL obtiveram-se os gráficos anexos. 
A z b o b ( Q ) * X C ( í l ) 
100 
f ( H z ) 
2,5. ícr4 
5. A indutância (L) da bobina em mH é aproximadamente: 
a) 2 b)3 c ) l d) 2,5 e)4 
6. A resistência ôhmica da bobina em Q é: 
a) 15 b)10 c)5 d) 7,5 e)20 
7. A capacidade do capacitor em micro pF é: 
a) 5 b)4 c)3 d) 6 e)2 
59 
IV. Num experimento de ressonância com um circuito RLC série obtivcram-sc os 
gráficos anexos. As tensões indicadas são de pico. 
capacitor 
3000 HkHl) 
Sabe-se que R = lOOohms. A corrente de pico no circuito, na frequência de 
ressonância é: 
a)0,08A b)0,15A c) 0,10 A 
d) 0,20A e) 0.40A 
A resistência ôhmica da bobina em ohms é: 
a) 10 b)2,5 c)12,5 d) 5 e)6,7 
Em um circuito RLC série, a tensão nos terminais da resistência varia com a 
frequência segundo o gráfico abaixo. Dados: R = 200 Q, L = 2,5 mH. 
f(kHz) 
7 0 
10. Acorrente elétrica que atravessa o circuito na condição de ressonância, é: 
a) 0.2A b) 0,04A c) 0.8A 
d)l ,0A e)l,2A 
11. O valor da capacidade do capacitor é: 
a) 0/2 uF b) 0,4 pF c) 0,8 pF 
c) l ,0pF c)l ,2pF 
VI. Em ensaios sucessivos com dois circuitos sob tensão alternada, um RC e outro RL 
obteve-se o diagrama anexo. A resistência empregada tem valor R = 50 Cl. C 
diagrama exprime a tensão de pico de cada elemento em função da frequência di 
tensão da fonte. 
U(V) t 
12. A corrente elétrica de pico em amperes é: 
a) 2,0 b)2,5 c) 3,0 d) 0,5 e) 1,0 
13. A resistência ôhmica da bobina em ohms é: 
a) 2,0 b)4,0 c)0,8 d) 1,0 e)3,0 
71 
14. A indutância da bobina em mH é: 
a) 13,88 b) 12,50 c) 1,98 
d) 6,25 c) 0,66 
15. A frequência de ressonância do circuito RLC constituído com esses elementos, em 
kHz,é: 
a) 7,0 b)4,5 c) 5,0 d) 4,0 e)6,0 
16. A capacidade do capacitor em pF é: 
a ) l b)0,28 c)0,09 d) 0,35 e)0,25 
25 - R E S P O S T A S D O S T E S T E S 
a b c d e 
1 • 
2 * 
3 • 
4 
5 * 
6 • 
7 • 
8 • 
a b c d e 
9 • 
10 * 
11 • 
12 • 
13 • 
14 • 
15 * 
16 * 
72 
I I I - C A MIM» l )K U M A B O B I N A C H A T A 
1 INTRODUÇÃO 
Neste experimento pretende-se obter o campo magnético criado por uma bobina em seu centro, e 
comparar com o resultado teórico. 
2 CAMPO DEVIDO A I M A ESPIRA 
Seja uma espira circular de raio R. percorrida pela corrente 1 com eixo de simetria coincidente com 
o eixo x, ilustrada pela figura 1. 
Figura 1 - Espira de raio R. percorrida pela 
corrente I . Pelo principio de superposição de 
efeitos consideram se trechos infinitesimais 
da mesma: d l . Cada um criando campo 
magnético como o previsto pela Lei de 
Laplace. 
A Lei de Laplace dá: 
dB = - ^ - d?Ar 
An T2 
Note-se que, levando em conta as contribuições ao campo, de dl simétricos, o campo resultante terá 
a direção x. Assim: 
d B i - £ 4 . » f . d í . - . B . = ídB, - " ' • • • 7 » . f d < . 
4;ir 4nr 1 
portanto 
Mas: 
assim: 
B. = - ^ 4 • sen r ( 2 « R ) - H L J 4 sen f 
47ir 2 r 
R R 
sen <p • —= y 
l Vx J + R J 
No ponto 0 , x = 0 , c 
B. = R : 
B = 
2R 
73 
3. CAMPO DEVIDO A BOBINA 
Uma bobina chata, é constituída de N espiras acomodadas de tal forma que, o comprimento 
da bobina seja muito menor que o raio. O campo no centro da bobina, dado pela superposição dos 
i ompos das N espiras, é: 
B = N ^ ^ (LeideBiot - Savart) ( 1 ) 
4 ARRANJO E E S T R A T É G I A E X P E R I M E N T A L 
Utiliza-se um imã como sensor de campo magnético, e uma balança de torção para medir o 
conjugado magnético resultante sobre o imã conforme ilustrado na figura 2. A balança de torção 
estará previamente montada, mas é constituída basicamente de dois fios metálicos ligados ao imã e 
aos suportes da balança. 
Figura 2 - Esquema da Balança de Torção. 
I) Fio da balança de torção 
l) Sistema amortecedor de oscilações 
I) Imã 
») Bobina Chata 
5) Sistema luminoso que produz um facho regulável de luz 
>) Espelho côncavo 
0 Anteparo, onde loca-se a referência inicial, com torção nula ( 0=0) e corrente nula (I = 0) 
I) Escala para leitura do ângulo de torção 
>) Bornes de alimentação da bobina 
Aplica-secorrente I , à bobina, e esta gera o campo B previsto pela equação 1. Sob ação do 
ampo B o imã sofre conjugado magnético dado por: 
C.^ = mAB (2 ) 
74 
Sendo: 
C ^ - o conjugado magnético, 
m - o momento magnético característico do imã. 
B - o campo da bobina chata. 
Procura-se equilibrar o conjugado magnético com o conjugado mecânico. Desta forma É 
torcem os fios da balança, em sentido oposto à tendência de rotação do imã criada pela ação d< 
conjugado magnético. 
O equilíbrio esperado deve ocorrer de forma que o imã permaneça perpendicular ao plano di 
bobina: 
| c J = |m|-|B|.sen 90° (3) 
O conjugado mecânico é proporcional ao ângulo de torção dos fios: 
( 4 ) 
Sendo: 
Resumindo: 
C ^ l - a norma ( modulo ) do conjugado mecânico 
K - constante elástica de torção 
8 - ângulo de torção dos fios 
|m|. |B | = K • e | B | = p | - 8 
( 5 ) 
A equação 5 demonstra que o campo magnético nas condições estipulada será proporciona 
ao ângulo de torção 6 , que garante o equilíbrio. Infelizmente a constante |mj é de difícil avaliação 
K 
Assim determina-se o campo magnético a partir de 0, a menos de uma constante: — 
H 
B = ( c t e ) N a I p R T ( 6 ) 
onde: 
N° - número de espiras elevada à a - ésima potência 
I p - corrente elétrica elevada à p* - ésima potência 
RT - raio da bobina elevado à y - ésima potência 
Pode-se escrever para o ângulo de torção 0, que garante o equilíbrio: 
0 S £ ! E H . N - . I ' . R ' 
K 
( 7 ) 
De posse da equação 7, percebe-se a possibilidade de obter-se experimentalmente: a, p e y 
Entretanto a constante (c t e), não poderá ser obtida devido ao não conhecimento de |m|. 
5. M A T E R I A L U T I L I Z A D O 
Balança de Torção 
Fontes de Tensão contínua 
75 
Fonte de Tensão alternada 6V 
Bobinai chatas de 400mm e 200mm 
Sistema luminoso com facho regulável de luz 
Suportes 
Sistema amortecedora de oscilações 
Fios de ligação 
6- PARTE EXPERIMENTAL 
6.1. Faz-se a montagem conforme esquema da figura 2, utilizando inicialmente a bobina de 200 mm 
de diâmetro. 
6.2. Ajusta-se a escala ( 8 ) indicando ângulo nulo (0 = 0). 
6.3. Ajusta-se o sistema luminoso ( 5 ), para que o feixe incida sobre o espelho côncavo (6) . 
Observe o ponto no qual o feixe refletido incidirá ( 7 ), tome este ponto como referencia. Note-
se que quanto maior a distância entre ( 6 ) e ( 7 ), maior a sensibilidade do sistema para detectar 
deslocamentos angulares do feixe em relação a ( 7 ). 
6.4. Ajuste a bobina ( 4 ), de tal forma que o plano apoiado na mesma, seja perpendicular ao eixo do 
imã ( 3 ) . 
CUIDADO: NÃO DEDCE AS BORDAS DA BOBINA ENCOSTAREM NOS FIOS DE 
TORÇÃO! 
6.5. Ajuste o sistema amortecedor ( 2 ) de maneira que, durante rotação da palheta, esta não toque as 
paredes do recipiente com água. 
6.6. Aos bornes da bobina ( 9 ), por exemplo: os dois mais afastados entre si, aplicam-se tensão 
contínua e ajustável. Impõe-se valores de corrente inscritos no estudo dirigido. Neste caso a 
corrente percorre todas as 10 espiras da bobina. Combinando-se os três bornes da bobina de 
outra forma, a corrente percorrerá apenas 5 das 10 espiras da bobina. Com corrente na bobina, 
surge campo magnético e consequentemente o imã sofrerá rotação devido ao conjugado 
magnético. Esta rotação implica automaticamente em torção no fio, que provocará o surgimento 
do conjugado mecânico. De qualquer forma, haverá necessidade de torção adicional nos fios, 
para que o imã retome a sua posição inicial: perpendicular ao plano da bobina. Tal 
perpendicularismo é garantido com o retomo do feixe luminoso refletido à posição de 
referência ( 7 ). Anota-se o ângulo indicado ( 8 ). Este é o ângulo de torção que garante o 
equilíbrio para a corrente I ajustada. 
6.7. Repete-se o procedimento para todas as correntes I inscritas na tabela, e depois para 5 espiras 
apenas. 
6.8. Rcpetc-se o procedimento para a bobina de 400 mm de diâmetro. 
7 ANALISE DE DADOS 
Responder às questões do Estudo Dirigido. 
76 
8 - ESTUDO DIRIGIDO 
ASSUNTO: CAMPO DE UMA BOBINA CHATA 
N O M E : NÚMERO: 
PROFESSOR: 
DATA: HORÁRIO: TURMA: 
CAMPUS: 
I . Qual é o objetivo do experimento? 
2. Marque as precisões dos instrumentos utilizados. 
3. Seguindo o procedimento experimental preencha as tabelas anexas. 
4> (200 mm) U A ) 1 2 3 4 5 6 
10 espiras 0(°) 
<J> (200 mm) K A ) 1 2 3 4 5 6 
5 espiras # ( B ) 
4> (400 mm) 1( A ) 1 2 3 4 5 6 
10 espiras 
77 
I aça <>s gráficos: 
a) ( I . 0 i para 5 c 10 espiras, no caso do diâmetro 200 mm. utilizando os mesmos eixos. 
b) ( I , 0) para cada diâmetro mantendo o mesmo número de espiras, ( 10 ), utilizando os mesmos 
eixos. 
150 
1IMI 
m 
:::(: 
0 50 
78 
100 
5. Considerando a questão 7 do texto, obtenha expehmentaimente: a , P , y, cora os respecuv 
intervalos de dúvida. 
6. Os resultados solicitados na questão 5, estão de acordo com o previsto na equação 1 ? 
79 
9 - T E S T E S 
O ângulo de torção, AO, em função da corrente I para duas bobinas, varia conforme os 
gráficos indicados. 
Bobinai: N , =15 
[ R, =0,4m J 
Bobina 2: N 2 = ? 
|_R2 =0,8mJ 
Dados: 
2R 
A6 = mB 
1) O número de espiras Na da bobina 2 vale: 
a) 10 b) 4 c) 5 d) 20 e) 8 
2) A relação Bj / B2 considerando I | • 10 A e I2 = 5 A, vale: 
a) 2 b) 8 c) 6 d) 10 e) 3 
10 - RESPOSTAS DOS TESTES 
a b c d e 
1 * 
2 • 
81 
r V - C A M P O M A G N É T I C O (BOBINA FINITA) 
1. INTRODUÇÃO 
Neste experimento deseja-se levantar o campo magnético criado por uma bobina finita < 
comparar os resultados experimentais com os obtidos pela Lei de Laplace. 
Cumpre-se o objetivo anterior através de um método experimental que ilustn 
magnificamente a lei dc indução de Faraday. Essa constatação da lei da Faraday é sem dúvida mai: 
significativa que o objetivo inicial do experimento, pois este último é cumprido de forma indireta. 
2. A LEI DE LAPLACE 
2.1. Campo de uma espira 
A lei de Laplace permite deduzir que o campo magnético criado por uma espin 
circular de raio R e corrente I , num ponto de seu eixo, à distância x do centro é: 
B = Ho"* 2 
(com direção paralela ao eixo da espira). 
2.2. Campo da bobina finita 
bobina entre 
O cálculo que segue adota o princípio da superposição de efeitos. Assim a secção dí 
x e x + dx comporta-se como uma espira e é percorrida pela corrente. 
dl = n. I dx (vide figura 1) 
sendo: 
I - a corrente que percorre a bobina 
n - a densidade linear de espiras, 
O campo criado pela secção entre x e x + dx é: 
dB = 
u 0 d I R 2 n , n IR ' dx 
2 ( x ' + R 1 ) s " 2 ( x ' + R T 
83 
Figura 1. Desenhe em corte de uma Bobina Finita 
Mas: — = tg q>; x = R cot g <p 
x 
dx , , R R 
— = R(-cossec <p) = — = 2 . 2 = senq> 
dcp sen (p (x + R ) 
Portanto: 
d B = H o J L l ( _ s c n < p d < p ) 
B = ^ J U ( _ ^ S E N ( P D ( P 
B = (cos (p, -cos q>,) 
( D 
3. LEI DE FARADAY 
Seja um circuito elétrico com fluxo de campo magnético: 
<J> = J Ô x n . d S 
circuito 
A lei de Faraday garante que o mesmo estará sujeito à tensão induzida: 
e = -
84 
4 ESTRATÉGIA EXPERIMENTAL 
A bobina finita criará um campo magnético variável (bobina de campo), já que pcli 
mesma circulará corrente alternante. 
Uma bobina sonda imersa no campo anterior terá fluxo de campo magnético variáve 
(4s), e força eletromotriz induzida (e). 
O fluxo da bobina sonda (<}>, ) , pode ser calculado de forma simples nos casos di 
campo magnético uniforme. Assim será considerado e para tanto as dimensões da bobina sondi 
devem ser muito menores que as da bobina de campo. 
ò s = J B x í i . d S = N s . S s . B 
bobina 
onde Ss é a área de de secção da bobina sonda e N, é o número de espiras da mesma. 
A tensão induzida na bobina sonda (>) pode ser calculada pela Lei de Faraday:dè dB 
Substituindo-se a expressão de B na equação 2 vem: 
= " N , " S , t Í { ^ ^ C O S C P j _ C 0 S ( P ' J 
Sendo I = I 0 cos (ut)a corrente que percorre a bobina de campo tem-se: 
e = - N > ^ t ! ^ _ ! (coscp2 - cos(p,)— (coscot) 
2 dt 
Sendo B m , o campo magnético máximo: 
B m = ^ ^ 1 - 2 - c o s ( c o s í p 2 - c o s c p l ) ( 3 ) 
Reescreve-se: e = N,.S,.BIN.(D.sen(o)t). 
Denomina-se »:,„ a força eletromotriz induzida máxima (tensão máxima): 
C, « N S S s B m co 
Reescrevendo a expressão de z ( t) : E = em sen (ot) 
85 
Da tensão máxima vem: 
B_ = 
" N A " 
( 4 ) 
Finalmente, deve-se ressaltar que, a equação 4 revela como obter o campo da bobina 
finita, através da medição da tensão induzida na bobina sonda. 
5. MATERIAL UTILIZADO 
Gerador de tensão alternada 
Multímetro 
Osciloscópio 
Bobina de campo 
Bobina Sonda 
Fios de ligação 
6. PARTE EXPERIMENTAL 
6.1. Faz-se a montagem esquematizada em anexo. 
Gerador / O s c i l o s c ó p i o / 
Figura 2 - Esquema de montagem experimental. 
6.2. Ajusta-se a corrente na bobina de campo em 2 < I r f < 4 (A) 
6.3 Estudo do campo da bobina finita 
Desloca-sc a bobina sonda de cm em cm, a partir do centro da bobina de campo. Em 
cada posição, mede-se a tensão induzida na bobina sonda. 
6.4. Estudo do campo da associação série de duas bobinas finitas 
Liga-se as duas bobinas em série, percorridas por 2 ^ I r f ^ 4 (A) . A distância entre 
as mesmas deverá ser escolhida e anotada. Ver figura 3 
86 
6.5. Desloca-se a bobina sonda de cm em cm a partir do centro associação série. Em cadi 
posição mede-se a tensão da bobina sonda. 
7. A N Á L I S E D E D A D O S 
Reponder às questões do Estudo Dirigido. 
Figura ilustrativa da associação série das bobinas onde os pontos abaixt 
representam: 
x campo devido cada bobina independentemente. 
© campo devido à associação das bobinas 
4B(nrT) 
8. APÊNDICE 
p 0 = 4n.lO- 7H/m 
S m s £ m 
S s " 4 " 
n _ número de espiras _ 
comprimento 
lo=I r f-V2 
o) = 2n.f = 2n.60 = 377 rad/s 
co„ = — ; sendo E w medido diretamente no osciloscópio. 
87 
A bobina de campo tem várias camadas de espiras, assim tomaremos como raio 
, o valor médio dos raios das espiras: 
(Lembre-se que você utilizou x' variando de cm em cm, de 0 até 10 cm) 
88 
9 - E S T U D O D I R I G I D O 
ASSUNTO; B O B I N A F I N I T A 
N O M E : 
P R O F E S S O R : 
D A T A : 
C A M P U S 
NÚMERO: 
H O R Á R I O : T U R M A : 
1. Qual o objetivo deste experimento? 
2. Desenhe o esquema do circuito. 
3. Anote as precisões dos instrumentos utilizados. 
89 
4. Quais as características da bobina de campo empregada (vide apêndice 1). 
N° de espiras • 
Ri = 
R2 = 
L = 
5. Quais as características da bobina sonda? 
N° de espiras = N, • 
diâmetro = d» = 
6. Qual a corrente empregada na bobina de campo, em valores eficaz e de 
pico? 
7. Qual o procedimento experimental ? 
8. Qual a lei que nesse caso permite o levantamento do campo magnético? 
Enuncie-a! 
9. A bobina sonda comporta-se como um bipolo gerador ou receptor? 
Explique! 
9C 
10. Desloque a bobina sonda de cm em cm, medindo a tensão na mesma (pico . 
pico) Cpp , e preencha a tabela anexa. 
1 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 
«-
11. Repita o processo no caso série e preencha a tabela anexa. 
> 
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5.(1 6,0 7,0 8,0 
12. Com ajuda do Apêndice calcule as constantes das equações 3 e 4, a saber: 
A = MoJLk-
2 
C= 1 
N.-S..CD 
13. Ainda com ajuda do Apêndice, calcule os cossenos dos ângulos (pi (pj 
x cos q>i COS <J>2 cos <p? • cos «pi 
0,0 
1,0 
2,0 
3,0 
4,0 
5,0 
b.0 
7.0 
S.ll 
91 
costp, = —= 
I 1 ' 
coscpj = 
- X 
+ ( R ) ! + ( R ) ; 
14. Seja B 3 o campo previsto pela equação 3 e B 4 o previsto pela equação 4: 
B3 • A (cos 92 - cos <pi ) 
(A e Ç. conforme questão 12) 
B. = - E „ 
X B 3 B 4 
0.0 
lR0 * 
2,0 
3,0 
4,0 
5,0 
6R0 
7,0 
8.0 
X B4 lírie 
0,0 
1.0 
2,0 
3,0 
4,0 
5,0 
6,0 
7,0 
8.H 
Anote a distância entre as bobinas de campo, na associação serie: 
14. Cite pelo menos duas aproximações de cunho teórico experimental que 
foram empregadas. 
15. O experimento poderia ser realizado com corrente contínua? Explique 
como! 
92 
16. Construa os gráficos (x ' , B 3 ) e (x\. 
17 . Construa o gráfico (x'\4 ). 
n — i — i — i i i i irrrr\
r f ji r 1 : - : 
lUr i^ i f ! 1!'' 1111 i ! jí ^ iL11 í i! 1! ' 1 1 • j 1 — 
— i 
: : ) ; ] ' [ • | ; : : . ' ! ; : [ — - j — • : i : : ; : r ! j .mj [r 
• • ' • : • • { r— ! : | li i 
1 . 1 ! : 1 ! ' l 1 
94 
10 - T E S T E S 
1. Considere o experimento bobina finita. 
— A bobina finita tem as seguintes características: 
esp 
n = 5000—- = densidade de espiras 
m 
I P = Inox= 7.07A = corrente máxima na bobina 
co = 377 rad/s = frequência angular ou pulsação 
u 0 = 4TC x IO"7 — = permeabilidade magnética do vácuo 
m 
R = 7 cm = 7 x IO"2 m = raio médio da bobina 
L = 10 cm = 10 x 10 2 m = comprimento da bobina 
— A bobina sonda apresenta as características: 
S = 0,8 x 10"4 m 2 = área da secção transversal. 
N = 90 esp = número de espiras 
x • 1 cm = 10'2 m = distancia da bobina sonda ao centro da bobina fixa. 
tn - 20mV • 20 x 10'3 V = força eletromotriz induzida. 
1) Sendo B = ^ ° n ^ * * < (costpj - COS (p, ) 
costp, = 
pode-sc dizer que com os dados fornecidos, o campo B em mT(mili-Tesla) é 
apro x i madamente: 
a) 90 b) 25.45 c)0,8 x 10"4 d) 28 e)48,7 
95 
2) A expressão do campo experimental é dada por: B = — - — .Com os dados 
fornecidos através da bobina sonda, pode-se dizer que o campo B em mT (mili-tesla) é , 
aprox imadamente: 
a) 2,18 b) 13,6 c) 33,01 d) 7,37 e) 15 
D. Num experimento de campo magnético os seguintes dados são conhecidos: A bobina 
sonda encontra-se no ponto médio da bobina de campo. A bobina sonda tem comprimento 
desprezível, área de secção S, = 25 x 10"* m 2 e número de espiras N S = 80. A bobina de campo tem 
comprimento L = 0,1 Om, raio médio R = 0,02m, 300 espiras e é alimentada com corrente elétrica I 
de frequência f = 60 Hz. Nessas condições a tensão de pico da bobina sonda é Cp = 65,97 x 10'3 v. 
Sabe-se que: 
B ^ 0 " 1 " " (coscp2 -coscp,)eep =BN,5 , . co 
<J) = | B x nds 
3) O campo magnético (de pico), agente na bobina em mT 
a) 52,50 b) 87,50 c) 17,50 d) 28,00 e) 78,00 
4) O fluxo de pico na bobina sonda em uWb(micro weber) 
a) 22,40 b) 23,62 c) 52,50 d) 175,00 e) 3,50 
5) A corrente elétrica (de pico)na bobina sonda em Amperes, é aproximadamente: 
a) 25 b)5 c)15 d) 35 e) 8 
111. Numa experiência de campo magnético, o valor de pico da indução magnética é B p = 20 
mT; a bobina sonda tem 20 espiras e a área da secção transversal 0,25 cm 2 . A frequência é de 500 
Hz. O osciloscópio no qual se lê a f.e.m. induzida está com o atenuador vertical na posição 0,1 
V/div. 
6) O traço vertical no osciloscópio , medido em divisões é: 
a) 2 b)3 c)4 d) 5 e)6 
7) O fluxo concatenado com a bobina sonda é, em uWb ( micro-weber): 
a) 4,8 b)9,6 c) 14,4 d) 19,2 e), 24,0 
96 
8) Julgar as seguintes proposições referentes à experiência do campo magnético. 
I . A experiência de campo magnético deve ser feita alimentando-se a bobina de campe 
a tensão alternada, para de ter um campo magnético variável com o tempo. 
II. A corrente elétrica da bobina sonda é igual à f.e.m. induzida, dividida pela sui 
resistência interna. 
III. Quando se coloca duas bobinas em série , o maior valor de Bmix não se encontra nc 
ponto médio entre as duas bobinas. 
São corretas as afirmações: 
a) todas b) só I e II c) só II e m 
d) só I e III e) nenhuma delas. 
11 - RESPOSTAS DOS TESTES 
Questão a b c d e 
1 * 
2 * 
3 * 
4 * 
5 * 
6 * 
7* 
8 * 
97 
12 - EXERCÍCIO PROPOSTO 
I )uas bobinas finitas de comprimento L e separadas pela distância D são associadas em série. No 
conjunto passa uma corrente elétrica alternante de frequência f = 60 Hz. A amplitude do campo 
magnético resultante no eixo das bobinas segue o diagrama cartesiano abaixo. Pedem-se : 
a) a amplitude em da força eletromotriz induzida na bobina sonda, de secção transversal circular, 
na posição x = 0; 
b) esboçar o diagrama cartesiano ( x, B m ) de cada bobina isoladamente indicando os pontos 
importantes; 
Dados: L = 6 cm D = 4 cm 
número de espiras da bobina sonda: Njomta = 50 
diâmetro da bobina sonda : (Landi = 1 cm = 0,01 m 
associação série 
T ~ r r 
eixo das bobinas 
Resposta 
a) c, = 27 mV 
b) esboçar no gráfico acima 
98 
V - PÊNDULO SIMPLES 
1. OBJETIVO 
Estudar a lei que rege o periodo de oscilação de um pêndulo simples. 
2. INTRODUÇÃO 
Considere uma partícula de massa m suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento 
í; o sistema assim formado pode ser colocado a oscilar sob ação da gravidade em tomo da 
sua posição de equilíbrio, constituindo desta forma um pêndulo simples. O movimento do 
pêndulo simples, no caso de oscilações de pequenas amplitudes, é um caso típico de 
movimento harmónico simples. 
Decompondo, na direção tangente à trajetória da 
partícula as forças atuantes na mesma, tem-se como 
resultante nesta direção: R = - m . g sen 9. 
Aplicando-se o princípio fundamental da Dinâmica, 
tem-se: 
d 2 9 
R = - m . g sen 6 • m.a. = ml—=-
dt 2 
Reescrevendo-se a equação anterior, tem-se: 
2, d'e g 
— r + ~ sen 0 = 0 
d t 2 i 
(D 
//////////// 
Figura 1 
Se o ângulo 0 for pequeno (pequenas amplitudes), podemos utilizar a aproximação 
sen 0 = 0 (em radianos). 
Com esta última aproximação a equação (I) transforma-se em: 
d2e ^ o = o .li A solução da equação (II) é do tipo: 
8 = 8 0 cos(w 0t + a ) , 
sendo: 
0 • amplitude da oscilação 
(ú 0 - pulsação da oscilação 
u - fase inicial 
A função 0 = G (t) é solução da equação diferencial (II) desde que: ©Q 2 = i 
99 
Lembrando que a) 0 = — pode-se obter a expressão para o período T da oscilação. 
(III) 
3. M A T E R I A L U T I L I Z A D O 
a) Fio; 
b) Cronometro; 
c) Trena; 
d) Balança; 
c) Esferas de massas diferentes; 
0 Tripé, hastes e garras de sustentação 
4. PROCEDIMENTO E X P E R I M E N T A L 
a) Considere pequenas amplitudes; para diferentes amplitudes meça o respectivo período T; 
b) Estude a dependência do período de oscilação com a massa do pêndulo simples, varie a 
massa m e meça o respectivo período; 
c) Estude a dependência do período de oscilação com o comprimento do pêndulo simples; 
para isto varie o comprimento t medindo os respectivos períodos. 
5. ANÁLISE DE DADOS E C O N C L U S Õ E S 
Responder às questões do Estudo Dirigido. 
100 
6- ESTUDO DIRIGIDO 
A S S U N T O : P Ê N D U L O SIMPLES 
N O M E : 
P R O F E S S O R : 
D A T A : 
C A M P U S : 
HORÁRIO : 
V 
T U R M A : 
1. Qual o objetivo deste experimento? 
2. Quais os aparelhos de medição utilizados? Indicar a precisão dos mesmos. 
3. Apresentar os resultados obtidos preenchendo as tabelas anexas. 
e<°> 
«io(*> 
T($) 
m(g) 
T,0($) 
T(s) 
<<m) 
«io(s> 
T(s) 
T V > 
4. Qual a relação entre o período e a amplitude? 
5. Qual a relação entre o período e a massa do pêndulo? 
101 
I 
7. Construir cm papel milimetrado o diagrama cartesiano (T*, / ) . 
50 
103 
8. A partir do diagrama ( T 2 , () determinar a aceleração da gravidade local. 
9. O diagrama ( T 2 , t) confirma o resultado previsto pelo nosso modelo teórico? Justificar. 
10. Justificar quantitativamente o fato de se determinar o tempo de dez oscilações para 
calcular o período, em vez de medi-lo. 
11. Um pêndulo simples que oscilasse com período T, na Terra, oscilaria com que período 
TL na Lua? (g,. 6g() 
104 
7 - TESTES 
1. O período T de um pêndulo simples (para pequenas amplitudes) varia com o comprimento 
> do pêndulo e com a aceleração da gravidade g segundo a função: 
Apontar o diagrama que permite uma anamorfose desta função. 
a) (T 2 , t2) 
b) (t,T) 
c) (t2 , T) 
d) (T, f) 
c) ( T 2 , 0 
2. Num experimento de pêndulo simples, foram obtidos os dados da tabela anexa. 
Um) 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2,40 2,80 
l.o<«> 20.0 28.1 34,4 39,7 44.4 48,7 52.6 
a) Construir diagrama cartesiano (T , / ) 
b) A partir do diagrama determinar a aceleração da gravidade local. 
3.1.0 período de um pêndulo simples não depende da massa do mesmo, 
I I . O período de um pêndulo simples depende do comprimento do mesmo, 
I I I . O período de um pêndulo simples não depende da gravidade local. 
Com respeito as afirmativas anteriores pode-se dizer que: 
a) Todas são corretas 
b) Todas são erradas 
c) Apenas I e I I são corretas 
d) Apenas I e I I I são corretas 
e) Apenas I I e I I I são corretas 
4. O período de um pêndulo simples é 0,8 s medido com um cronometro de precisão 0,1 s. O 
número de oscilações completas que devem ser medidas para que o erro no período seja 1% é: 
a) 10 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 13 
105 
5. Com um pêndulo simples de comprimento L e período T construiu-se o gráfico anexo. A 
gravidade local onde se realizou o experimento é, em unidades do S.I.,: 
a) 8,80 
b) 9,98 
c) 9,79 
d) 10,65 
e) 10,85 
0,270 
• T 
6. Dois pêndulos simples de mesmo comprimento oscilam com pequena amplitude em 
LOCAIS DISTINTOS. Observa-se que a razão entre os períodos de oscilação dos dois 
pêndulos é 1,080; pergunta-se: Qual é a razão entre a aceleração da gravidade dos dois locais? 
a) 0,990 b) 0,925 c) 0,961 d) 0,750 e) 0,857 
I. Uma mola de constante elástica k e de comprimento L é dividida em duas partes. Uma parte 
representa uma mola de constante elástica kj e comprimento L , e a outra parte uma mola de 
constante elástica k 2 e comprimento L 2 . 
Dados: k = 100 N/m 
k, = 300 N / m 
L 2 = 0,1 m 
7. A constante elástica k 2 vale em N/m: 
a) 500 b) 400 c) 250 d) 200 e) 150 
8. O comprimento L , vale em m: 
a) 0,05 b) 0,01 c) 0,02 d) 0,03 e) 0,04 
9. Para que o período de um pêndulo simples de comprimento ( seja incrementado de um 
intervalo de tempo At, os sucessivos comprimentos do pêndulo simples valem: 
Dados: i = 0,1 m 
At = 1 s 
g = 10m/s 2 
a) 4,59 b) 0,672 c) 0,840 d) 6,06 e) 2,42 
13,34 1,75 2,60 20,3 6,57 
26,66 3,33 7 3 42,11 12,75 
10. O período T de um pêndulo simples (para pequenas amplitudes) varia com o comprimento 
ff 
( do pêndulo e com a aceleração da gravidade g segundo a função: T = 2n I— . Apontar o 
V8 
diagrama que permite uma anamorfose desta função 
a) ( T 2 , / 2 ) b) ( M l c) (t2,T) d) (T,() e) (J\t) 
106 
VI PÊNDULO DE MOLA 
l.OHJETIVO 
Dctciminaçâo da constante elástica de molas helicoidais. 
2. INTRODUÇÃO 
Uma mola helicoidal é constituída de um pedaço de fio metálico enrolado de forma a 
acompanhar o desenvolvimento de uma hélice; se a mola for tracionada e depois abandonada, 
ela retorna ao seu comprimento natural, desde que a intensidade da força nela aplicada não 
ultrapasse um certo valor (limite de elasticidade). Caso a mola seja tracionada com forças 
muito intensas ela se deforma irreversivelmente, ou seja, ultrapassa o seu limite de 
elasticidade. 
Hooke verificou, em 1678. que abaixo do limite de elasticidade a deformação x produzida na 
mola é diretamente proporcional à intensidade da força F aplicada na mesma: 
onde: k é constante elástica da mola (depende do material do fio, do diâmetro das espiras que 
constituem a mola e do número de espiras). 
Durante este experimento a mola será presa por uma extremidade, na outra extremidade serão 
presos massores aferidos, ficando a mesma sob a ação do peso desses massores. 
Cada vez que for