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Notas de Aulas de Ca´lculo III Prof. Sandro Rodrigues Mazorche 1o semestre de 2015 Turmas: A e C Cap´ıtulo 1: Integral Dupla 1.1 Definic¸a˜o: Vamos considerar uma func¸a˜o z = f(x, y) definida em uma regia˜o fechada e limitada R do plano XoY . Considere Rk ⊂ R. Em cada retaˆngulo escolhendo (xk, yk) ∈ Rk. Soma de Riemann de z = f(x, y) sobre R e´ dada por, n∑ k=1 f(xk, yk)∆Ak onde ∆Ak = ∆xk∆yk e´ a a´rea de Rk. Tomando Rk cada vez menores, de tal forma que a diagonal ma´xima dos retaˆngulos Rk tende a zero quando n→∞. Nessa situac¸a˜o, se lim n→∞ n∑ k=1 f(xk, yk)∆Ak existe, ele e´ chamado integral dupla de f(x,y) sobre a regia˜o R. Denotamos ∫ ∫ R f(x, y)dA ou ∫ ∫ R f(x, y)dxdy Observac¸o˜es: a) A regia˜o R e´ chamada regia˜o de integrac¸a˜o. b) O limite deve ser independente da escolha das retas que subdividem a regia˜o R e dos pontos. c) A existeˆncia do limite depende da func¸a˜o f e tambe´m de R. No curso vamos supor que R e´ formado por um nu´mero finitos de arcos de curvas ‘suaves’ e que f e´ cont´ınua sobre R. 1.2 Interpretac¸a˜o Geomeˆtrica da Integral Dupla: Quando f(x, y) > 0, a ∫ ∫ R f(x, y)dxdy nos da´ o volume do so´lido delimi- tado superiormente pelo gra´fico de z = f(x, y), inferiormente pela regia˜o R e lateralmente pelo ‘cilindro’ vertical cuja base e´ o contorno de R. 1.3 Propriedades da Integral Dupla: a) ∫ ∫ R Kf(x, y)dA = K ∫ ∫ R f(x, y)dA, para todo K real. b) ∫ ∫ R [f(x, y)± g(x, y)] dA = ∫ ∫ R f(x, y)dA± ∫ ∫ R g(x, y)dA. c) Se f(x, y) ≥ g(x, y) em R, enta˜o ∫ ∫ R f(x, y)dA ≥ ∫ ∫ R g(x, y)dA. d) Se f(x, y) ≥ 0 em R, enta˜o ∫ ∫ R f(x, y)dA ≥ 0. e) Se a regia˜o R e´ composta de suas sub-regio˜es R1 e R2, R = R1 ∪R2 , que na˜o te´m pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras, enta˜o ∫ ∫ R f(x, y)dA = ∫ ∫ R1 f(x, y)dA+ ∫ ∫ R2 f(x, y)dA. Teorema de Fubini: Se a func¸a˜o z = f(x, y) e´ cont´ınua no retaˆngulo R = [a, b] × [c, d], enta˜o a integral dupla de f sobre R pode ser obtida atrave´s de integrais iteradas, ou seja: ∫ ∫ R f(x, y)dA = ∫ b a [ ∫ d c f(x, y)dy ] dx = ∫ d c [ ∫ b a f(x, y)dx ] dy. 1.4 Ca´lculo da Integral Dupla: Todas as regio˜es que consideraremos sera˜o de tipo I, de tipo II, ou enta˜o podera˜o ser divididas num nu´mero finito de sub-regio˜es, cada uma das quais e´ de tipo I ou II. Regia˜o do Tipo I: R = {(x, y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b e f1(x) ≤ y ≤ f2(x)} Regia˜o do Tipo II: R = {(x, y) ∈ IR2 | c ≤ y ≤ d e g1(y) ≤ x ≤ g2(y)} Teorema: Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua num subconjunto limitado e fechado R ⊂ IR2. Se R e´ uma regia˜o do Tipo I, enta˜o ∫ ∫ R f(x, y)dA = ∫ b a [∫ f2(x) f1(x) f(x, y)dy ] dx Se R e´ uma regia˜o do Tipo II, enta˜o ∫ ∫ R f(x, y)dA = ∫ d c [∫ g2(y) g1(y) f(x, y)dx ] dy as integrais do lado direito das igualdades sa˜o chamadas de integrais iteradas. Exemplo 1: Calcular o volume do so´lido delimitado superiormente pelo gra´fico de z = 4−x−y, inferiormente pela regia˜o R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e y = 14x + 1 2 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base e´ o contorno de R. Exemplo 2: Calcular a integral ∫ ∫ R (x+y)dA onde R e´ a regia˜o limitada por y = x2 e y = 2x. Exemplo 3: Calcular a integral ∫ 1 0 ∫ 4 4x e−y2dydx. Exemplo 4: Calcular a integral ∫ ∫ R √ y sin(x √ y)dA onde R e´ a regia˜o delimitada por x = 0 , y = pi2 e x = √ y. Exemplo 5: Descrever a regia˜o de integrac¸a˜o da integral ∫ 2 −2 ∫ √4−x2 − √ 4−x2 f(x, y)dydx e inverta a ordem de integrac¸a˜o. Exemplo 6: Calcular ∫ ∫ R xydA onde R e´ o triaˆngulo OAB da figura abaixo. Mudanc¸a de varia´veis em Integrais Duplas Por meio de uma mudanc¸a de varia´veis, (1) { x = x(u, v) y = y(u, v) , uma integral dupla sobre uma regia˜o R do plano x ◦ y pode ser transformada em uma integral dupla sobre uma regia˜o R′ do plano u ◦ v. A correspondeˆncia entre as reigio˜es R e R′ e´ bijetora, e podemos retornar de R para R′ pela transformac¸a˜o inversa, (2) { u = u(x, y) v = v(x, y) . Teorema MV: Considere g uma aplicac¸a˜o definida por (1), g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), onde x e y sa˜o func¸o˜es de classe C1 num subconjunto aberto U ⊂ IR2. Seja R′ um subconjunto limitado e fechado contido em U tal que (i) g e´ injetora em R′ (ii) o determinante Jacobiano da aplicac¸a˜o g, ∂(x,y) ∂(u,v) = ∣∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y ∂u ∂y ∂v ∣∣∣∣∣ , nunca se anula em R′. Se f e´ integra´vel em g(R′), enta˜o ∫ ∫ g(R′) f(x, y)dxdy = ∫ ∫ R′ f(x(u, v), y(u, v)) ∣∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v) ∣∣∣∣∣ dudv. Casos especiais de mudanc¸a de varia´veis. (1) Mudanc¸a linear: Consideremos a transformac¸a˜o linear g definida pelas equac¸o˜es { x = au+ bv y = cu+ dv , onde a, b, c e d sa˜o constantes reais. O determinante Jacobiano desta transformac¸a˜o e´ dado por ∂(x, y) ∂(u, v) = ∣∣∣∣∣ a bc d ∣∣∣∣∣ = |ad− bc|. Quando |ad− bc| 6= 0, a aplicac¸a˜o g e´ injetora em IR2 e pelo Teorema MV ∫ ∫ g(R′) f(x, y)dxdy = ∫ ∫ R′ f(au+ bv, cu+ dv)|ad− bc|dudv. Exemplo 7: Calcule ∫ ∫ R (x− y)dxdy, sendo R o paralelogramo limitado pelas retas x− y = 0, x− y = 1, y = 2x e y = 2x− 4. Exemplo 8: Calcule ∫ ∫ R e y−x y+xdxdy, onde R e´ a regia˜o triangular limitada pela reta x+ y = 2 e os eixos coordenados. (2) Mudanc¸a Coordenadas Polares: Consideremos a transformac¸a˜o g definida pelas equac¸o˜es { x(r, θ) = r cos(θ) y(r, θ) = r sin(θ) , onde r ≥ 0 e θ varia num intervalo da forma [θ0, θ0 + 2pi). O determinante Jacobiano desta transformac¸a˜o e´ dado por ∂(x,y) ∂(r,θ) = ∣∣∣∣∣ cos(θ) −r sin(θ)sin(θ) r cos(θ) ∣∣∣∣∣ = r. Do Teorema MV temos ∫ ∫ g(R′) f(x, y)dxdy = ∫ ∫ R′ rf(r cos(θ), r sin(θ))drdθ. Exemplo 9: Calcular ∫ ∫ R √ x2 + y2dxdy, sendo R o c´ırculo de centro na origem e raio 2. Exemplo 10: Calcular ∫ ∫ R ex 2+y2dxdy, onde R e´ a regia˜o do plano x ◦ y delimitada por x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9. Exemplo 11: Calcular ∫ ∫ R (x+ y)dxdy, onde R e´ a regia˜o delimitada: (1) x2 + y2 − ax = 0, a > 0. (2) x2 + y2 − ay = 0, a > 0. Exemplo 12: Calcular ∫ ∫ R √ x2 + y2dxdy, sendo R a regia˜o limitada pelas curvas x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = x e y = √ 3 3 x. Exemplo 13: Calcular ∫ ∫ R [(x − 2)2 + (y − 2)2]dxdy, onde R e´ a regia˜o delimitada pela circunfereˆncia (x− 2)2 + (y − 2)2 = 4. Exemplo 14: Calcular ∫ ∫ R (x2 + y2)dxdy, onde R e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas hipe´rboles x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 9, xy = 2 e xy = 4. Aplicac¸o˜es da Integral Dupla (1) Ca´lculo de volume: Vimos que, para f(x, y) ≥ 0, a integral ∫ ∫ R f(x, y)dA nos da´ o volume do so´lido delimitado superiormente pelo gra´fico de z = f(x, y), inferiormente pela regia˜o R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base e´ o contorno de R. Exemplo 15: Calcular o volume do so´lido acima do plano x◦y delimitado por z = 4− 2x2 − 2y2. Exemplo 16: Calcular o volume do so´lido no primeiro octante delimitado por y+ z = 2 e pelo cilindro que contorna a regia˜o delimitada por y = x2 e x = y2. Exemplo 17: Calcular o volume do so´lido abaixo do plano x◦y delimitado por z = x2 + y2 − 9. Exemplo 18: Calcular o volume do so´lido delimitado por z = 2x2 + y2 ez = 4− 2x2 − y2. Exemplo 19: Calcular o volume do so´lido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x2 + y2 = 16 e x2 + z2 = 16. Exemplo 20: Calcular o volume do tetraedro dado pela figura abaixo. (2) Ca´lculo de a´reas de regio˜es planas: Se f(x, y) = 1 naregia˜o R enta˜o a integral ∫ ∫ R dA nos da´ a a´rea da regia˜o de integrac¸a˜o R. Se temso uma regia˜o do Tipo I, como mostra na figura acima, podemos escrever A = ∫ ∫ R dA = ∫ b a ∫ f2(x) f1(x) dydx = ∫ b a [f2(x)− f1(x)]dx Exemplo 21: Calcular a a´rea da regia˜o R delimitada por x = y2 + 1 e x+ y = 3. Exemplo 22: Calcular a a´rea da regia˜o R delimitada por y = x3, y = −x e y = 23x+ 20 3 . Exemplo 23: Usando integral dupla, mostre que a a´rea da regia˜o R delimitada por uma elipse com semi-eixos a e b e´ piab unidades de a´rea. (3) Aplicac¸o˜es f´ısicas: Consideremos uma laˆmina fina tendo a forma de uma regia˜o R do plano e assumamos que a massa esta´ distribu´ıda sobre esta laˆmina com densidade conhecida( f(x, y) ≥ 0 em R ). (i) A massa total da laˆmina e´: M = ∫ ∫ R f(x, y)dA (ii) O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo x e´: Mx = ∫ ∫ R yf(x, y)dA (iii) O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo y e´: My = ∫ ∫ R xf(x, y)dA (iv) O centro de massa, (x, y) , e´ definido por x = My M e y = Mx M . Quando a densidade e´ constante, f(x, y) = k em R, o centro de massa (x, y) e´ chamada cento´ide da laˆmina(ou da regia˜o R). Se L e´ uma reta no plano da laˆmina R, seja d(x, y) a distaˆncia do ponto (x, y) em R a` reta L. O nu´mero IL = ∫ ∫ R d2(x, y)f(x, y)dA, onde f(x, y) e´ a densidade, e´ chamado de momento de ine´rcia da laˆmina em relac¸a˜o a` reta L. (i) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x: Ix = ∫ ∫ R y2f(x, y)dA (ii) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y: Iy = ∫ ∫ R x2f(x, y)dA (iii) Momento de ine´rcia polar: Io = ∫ ∫ R (x2 + y2)f(x, y)dA Exemplo 24: Determinar o centro de massa de uma chapa homogeˆnea formada por um quadrado de lado 2a, encima por um triaˆngulo iso´sceles que tem por base o lado 2a do quadrado e por altura a. Exemplo 25: Calcular o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo dos y da chapa desenhada na figura abaixo, sabendo que a densidade de massa e´ igual a xy kg/m2. Cap´ıtulo 2: Integrais Triplas 2.1 Definic¸a˜o: Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o definida e cont´ınua em uma regia˜o fechada e limitada T do espac¸o. Subdividimos T em pequenas subregio˜es trac¸ando planos paralelos coordenados. Se existe lim n→∞ n∑ k=1 f(xk, yk, zk)∆Vk, ele e´ chamado integral tripla da finc¸a˜o f(x, y, z) sobre a regia˜o T e o representamos por ∫ ∫ ∫ T fdV ou ∫ ∫ ∫ T f(x, y, z)dxdydz. 2.3 Propriedades da Integral Tripla: a) ∫ ∫ ∫ T KfdV = K ∫ ∫ ∫ T fdV , para todo K real. b) ∫ ∫ ∫ T [f ± g]dV = ∫ ∫ ∫ T fdV ± ∫ ∫ ∫ T gdV . c) Se f ≥ g em T , enta˜o ∫ ∫ ∫ T fdV ≥ ∫ ∫ ∫ T gdV . d) Se a regia˜o T e´ composta de suas sub-regio˜es T1 e T2, T = T1 ∪ T2 , enta˜o ∫ ∫ ∫ T fdV = ∫ ∫ ∫ T1 fdV + ∫ ∫ ∫ T2 fdV . 2.3 Ca´lculo da Integral Tripla: 1o Caso A regia˜o T e´ delimitada inferiormente pelo gra´fico da func¸a˜o z = h1(x, y) e superiormente pelo gra´fico de z = h2(x, y), onde h1 e h2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas sobre a regia˜o R do plano x ◦ y, como mostra a figura. ( R : { f1(x) ≤ y ≤ f2(x) a ≤ x ≤ b ) ∫ ∫ ∫ T fdV = ∫ ∫ R [∫ h2(x,y) h1(x,y) f(x, y, z)dz ] dxdy = ∫ b a ∫ f2(x) f1(x) ∫ h2(x,y) h1(x,y) f(x, y, z)dzdydx 2o Caso: A regia˜o T e´ delimitada a` esquerda pelo gra´fico de y = p1(x, z) e a` direita pelo gra´fico de y = p2(x, z), onde p1 e p2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas sobre a regia˜o R′ do plano x ◦ z, como mostra a figura. ( R′ : { f1(x) ≤ z ≤ f2(x) a ≤ x ≤ b ) ∫ ∫ ∫ T fdV = ∫ ∫ R′ [∫ p2(x,z) p1(x,z) f(x, y, z)dy ] dxdz = ∫ b a ∫ f2(x) f1(x) ∫ p2(x,z) p1(x,z) f(x, y, z)dydzdx 3o Caso: A regia˜o T e´ delimitada na parte de tra´s pelo gra´fico de x = q1(y, z) e na frente pelo gra´fico de x = q2(y, z), onde q1 e q2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas sobre a regia˜o R” do plano y ◦ z, como mostra a figura. ( R” : { f1(y) ≤ z ≤ f2(y) c ≤ y ≤ d ) ∫ ∫ ∫ T fdV = ∫ ∫ R′′ [∫ q2(y,z) q1(y,z) f(x, y, z)dx ] dydz = ∫ d c ∫ f2(y) f1(y) ∫ q2(y,z) q1(y,z) f(x, y, z)dxdzdy Exemplo 26: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T fdV , onde T e´ o so´lido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 25, pelo plano x+ y + z = 8 e pelo plano x ◦ y. Exemplo 27: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T fdV , onde T ’e a regia˜o delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x3 + y 2 + z = 1. Exemplo 28: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T dV , onde T e´ a reiga˜o delimitada por x2 + y2 + z2 = 4 e x2 + y2 = 3z. Exemplo 29: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T (x−1)dV , onde T e´ a reiga˜o do espac¸o delimitada pelos y = 0, z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro parabo´lico z = 4− x2. 2.4 Mudanc¸a de varia´veis em Integral Tripla: De forma ana´loga a` apresentada para as integrais duplas. podemos introduzir novas varia´veis de integrac¸a˜o na integral tripla ∫ ∫ ∫ T f(x, y, z)dxdydz. Introduzindo novas varia´veis de integrac¸a˜o u, v, w por meio das equac¸o˜es x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) , a integral acima pode ser expressa por ∫ ∫ ∫ T ′ f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ∣∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w) ∣∣∣∣∣ dudvdw onde T ′ e´ a correspondente regia˜o no espac¸o u, v, w e ∂(x,y,z) ∂(u,v,w) e´ o deter- minante jacobiano de x, y, z em relac¸a˜o a u, v e w. Ca´lculo de uma Integral Tripla em coordenadas cil´ındricas: As coor- denadas cil´ındricas de um ponto P no espac¸o, de coordenadas cartesianas (x, y, z), sa˜o determinadas pelos nu´meros r, θ e z, onde r e θ sa˜o as co- ordenadas polares da projec¸a˜o de P sobre o plano x ◦ y. A relac¸a˜o entre as coordenadas cil´ındricas e cartesianas e´ dada pelas equac¸o˜es x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z . O jacobiano de x, y, z em relac¸a˜o a`s novas varia´veis r, θ e z e´: ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) = ∣∣∣∣∣∣∣ cos(θ) −r sin(θ) 0 sin(θ) r cos(θ) 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ = r. Assim,∫ ∫ ∫ T f(x, y, z)dxdydz = ∫ ∫ ∫ T ′ f(r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdθdz onde T ′ e´ a regia˜o T descrita em coordenadas cil´ındricas. Se a regia˜o T se enquadra no 1o caso enta˜o ∫ ∫ R′ [∫ g2(r,θ) g1(r,θ) f(r cos(θ), r sin(θ), z)rdz ] drdθ. a) g1 e g2 sa˜o as superf´ıcies que delimitam T inferior e superiormente. b) R′ e´ a projec¸a˜o de T sobre o plano x ◦ y descrita em coordenadas polares. Exemplo 30: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T (x2 + y2)dV , onde T e´ a reiga˜o de- limitada pelo plano x ◦ y, pelo parabolo´ıde z = x2 + y2 e pelo cilindro x2 + y2 = a2. Exemplo 31: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T dV , sendo T a porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = a2 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = ay. Exemplo 32: Escrever, na forma de uma soma de integrais iteradas duplas, a integral I = ∫ ∫ ∫ T dV , onde T e´ a regia˜o inferior a` esfera x2 + y2 + z2 = 1 e exterior ao cone z2 = x2 + y2. Ca´lculo de uma Integral Tripla em coordenadas esfe´ricas: As coor- denadas esfe´ricas (ρ, θ, φ) de um ponto P (x, y, z) no espac¸o sa˜o ilustradas na Figura abaixo. A coordenada ρ e´ a distaˆncia do ponto P ate´ a origem; A coordenada θ e´ a mesma que em coordenadas cil´ındricas; A coordenada φ e´ o aˆngulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento que une o ponto P a` origem; x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ) e z = ρ cos(φ). O jacobiano de ∂(x, y, z) ∂(ρ, θ, φ) e´: ∂(x, y, z) ∂(ρ, θ, φ) = ∣∣∣∣∣∣∣ sin(φ) cos(θ) −ρ sin(φ) sin(θ) ρ cos(θ) cos(θ) sin(φ) sin(θ) ρ sin(φ) cos(θ) ρ cos(φ) sin(θ) cos(φ) 0 −ρ sin(φ) ∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 sin(φ). Assim,∫ ∫ ∫ T f(x, y, z)dxdydz = ∫ ∫ ∫ T ′ f(ρ sin(φ) cos(θ), ρ sin(φ) sin(θ), ρ cos(φ))ρ2 sin(φ)dρdφdθ onde T ′ e´ a regia˜o de integrac¸a˜o T descrita em coordenadas esfe´ricas. Exemplo33: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T xdV , onde T e´ a esfera so´lida x2 +y2 + z2 ≤ a2. Exemplo 34: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T zdV , onde T e´ a regia˜o limitada su- periormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e inferiormente pelo cone z = √ x2 + y2. Exemplo 35: Calcular I = ∫ ∫ ∫ T √ x2 + y2 + z2dV , onde T e´ a coroa esfe´rica limitada por x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4. Exemplo 36: Descrever, em coordenadas esfe´ricas, o so´lido T limitado inferiormente pelo plano x ◦ y, superiormente pelo cone φ = pi6 e lateral- mente pelo cilindro x2 + y2 = a2. Escrever na forma de uma integral iterada tripla I = ∫ ∫ ∫ T x2 + y2 + z2dV. 2.5 Aplicac¸o˜es: (1) Volume: O ca´lculo de volume de um corpo T ou so´lido delimitado por uma regia˜o fechada e limitada no espac¸o e´ dado pela integral V (T ) = ∫ ∫ ∫ T dV. Exemplo 37: Calcular o volume do so´lido T delimitado por y = 0, z = 0, y + z = 5 e z = 4− x2. Exemplo 38: Calcular o volume do so´lido delimitado inferiormente por z = 3 − y2, superiormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a regia˜o R delimitada por y = x2 e y = 4. Exemplo 39: Encontrar o volume do so´lido limitado acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e abaixo pelo cone 3z2 = x2 + y2. (2) Aplicac¸o˜es f´ısicas: Seja T um corpo ou so´lido delimitado por uma regia˜o fechada e limitada do espac¸a˜o. Vamos supor que a densidade de massa em um ponto (x, y, z) e´ dada pela func¸a˜o δ = δ(x, y, z), cont´ınua em T . (i) A massa total do corpo e´: M = ∫ ∫ ∫ T δ(x, y, z)dV (ii) O momento de massa em relac¸a˜o ao plano x ◦ z e´: Mxz = ∫ ∫ ∫ T yδ(x, y, z)dV (iii) O momento de massa em relac¸a˜o ao plano y ◦ z e´: Myz = ∫ ∫ ∫ T xδ(x, y, z)dV (iv) O momento de massa em relac¸a˜o ao plano x ◦ y e´: Mxy = ∫ ∫ ∫ T zδ(x, y, z)dV (v) O centro de massa, (x, y, z) , e´ definido por x = Myz M , y = Mxz M e z = Mxy M . Outro conceito, ja´ discutido para integrais duplas e´ o de momento de ine´rcia em relac¸a˜o a um eixo L. De forma ana´loga temos os momentos de ine´rcia correspondentes dados por: (i) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x: Ix = ∫ ∫ ∫ T (y2+z2)δ(x, y, z))dV (ii) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y: Iy = ∫ ∫ ∫ T (x2+z2)δ(x, y, z))dV (iii) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z: Iz = ∫ ∫ ∫ T (x2+y2)δ(x, y, z))dV Exemplo 40: Calcular a massa e o centro de massa do so´lido T , delimi- tado por 2x+y+z = 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P (x, y, z) e´ proporcional a` distaˆncia ate´ o plano x ◦ y. Exemplo 41: Um so´lido tem a forma da regia˜o delimitada pelo para- bolo´ide z = 1 − x2 − y2 e o plano x ◦ y. A densidade em P (x, y, z) e´ proporcional a` distaˆncia de P ate´ a origem. Escrever as integrais usadas para calcular as coordenadas do centro de massa. Exemplo 42: Encontrar o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z do so´lido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 9 e pelos planos z = 2 e z = 4, sabendo que a densidade de massa e´ igual a (x2 + y2)kg/m3. Cap´ıtulo 3: Func¸o˜es Vetoriais e Curvas 3.1 Definic¸a˜o: Chamamos de func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real t, definida em um intervalo I, a func¸a˜o que a cada t ∈ I associa um vetor ~f do espac¸o. Denotamos ~f = ~f(t). Por exemplo, em IR3 o vetor ~f pode ser escrito como ~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k. Exemplo 43: Encontrar a func¸a˜o vetorial ~f(t) que expressa o movimento de uma part´ıcula na posic¸a˜o P (f1(t), f2(t)) no tempo t. Operac¸o˜es com func¸o˜es vetoriais: Dadas as func¸o˜es vetoriais ~f(t) = f1(t)~i + f2(t)~j + f3(t)~k e ~g(t) = g1(t)~i + g2(t)~j + g3(t)~k, definidas para t ∈ I, podemos definir novas func¸o˜es vetoriais como segue: a) ~h(t) = ~f(t)±~g(t) = (f1(t)± g1(t))~i+ (f2(t)± g2(t))~j + (f3(t)± g3(t))~k. b) ~w(t) = ~f(t)× ~g(t) = ∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k f1(t) f2(t) f3(t) g1(t) g2(t) g3(t) ∣∣∣∣∣∣∣ . c) ~v(t) = p(t). ~f(t) = p(t)f1(t)~i+ p(t)f2(t)~j + p(t)f3(t)~k, onde p(t) e´ uma func¸a˜o real definida em I. Tambe´m podemos definir uma func¸a˜o real por meio do produto interno: h(t) = ~f(t) · ~g(t) = f1(t)g1(t) + f2(t)g2(t) + f3(t)g3(t). Exemplo 44: Dadas as func¸o˜es vetoriais ~f(t) = t~i+t2~j+5~k e ~g(t) = t3~i+~j e a func¸a˜o h(t) = t2 − 1, determinar: a) ~f(t) + ~g(t) b)2~f(t)− ~g(t) c) ~f(t)× ~g(t) d) [h(t)~f(t)] · ~g(t) e) ~f(1a) + ~g( 1 a) para a 6= 0. Limite e Continuidade: Definic¸a˜o ~f = ~f(t) uma func¸a˜o vetorial definida em um intervalo aberto I, contendo t0, exceto possivelmente no pro´prio t0. Dizemos que o limite de ~f(t) quando t aproxima-se de t0 e´ ~a e escrevemos lim t→t0 ~f(t) = ~a, se para todo � > 0, existe δ > 0, tal que |~f(t) − ~a| < � sempre que 0 < |t− t0| < δ. Proposic¸a˜o: Sejam ~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k e ~a = a1~i+ a2~j + a3~k. O lim t→t0 ~f(t) = ~a se, e somente se, lim t→t0 fi(t) = ai i = 1,2,3. Propriedades: Sejam ~f(t) e ~g(t) duas func¸o˜es vetoriais e h(t) uma func¸a˜o real, definidas em um mesmo intervalo. Se lim t→t0 ~f(t) = ~a, lim t→t0 ~g(t) = ~b e lim t→t0 h(t) = m, enta˜o: a) lim t→t0 [~f(t)± ~g(t)] = ~a±~b; b) lim t→t0 ~f(t) · ~g(t) = ~a ·~b c) lim t→t0 ~f(t)× ~g(t) = ~a×~b; d) lim t→t0 h(t)~f(t) = m~a Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o vetorial ~f = ~f(t), definida em um intervalo I, e´ cont´ınua em t0 ∈ I, se lim t→t0 ~f(t) = ~f(t0). Segue que ~f(t) e´ cont´ınua em t0 se, e somente se, suas componentes sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em t0. Exemplo 45: Calcule: a) lim t→√2 [t2~i+ (t2 − 1)~j + 2~k]; b) lim t→0[ sin(t) t ~i+ t~j]; c) lim t→0 ~f(t) e lim t→2(t 2 − 4t+ 4)~f(t), onde ~f(t) = ~a+2~bt−2 , ~a =~i e ~b = 2~j − ~k. Exemplo 46: Sejam ~f(t) = t~i+ 2t2~j + 3t3~k e ~g(t) = 3t~i− 2~j + 4t2~k. a) lim t→1[ ~f(t) + ~g(t)]; b) lim t→1[ ~f(t) · ~g(t)]; c) lim t→1[ ~f(t)× ~g(t)]; Exemplo 47: Verificar se a func¸a˜o ~f(t) = sin(t)~i+ cos(t)~j+~k e´ cont´ınua em t0 = pi. Exemplo 48: Verificar se a func¸a˜o ~g(t) = { sin(t) t ~i+~j t 6= 0 2~i+~j t = 0 e´ cont´ınua em t0 = 0. Exemplo 49: Indicar os intervalos de continuidades das seguintes func¸o˜es: a) ~g(t) = 1t ~i+ t2~j; b) ~h(t) = ln(t)~j + 2~k. Curvas: Definic¸a˜o: Dada uma func¸a˜o vetorial cont´ınua ~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k, t ∈ I, chamamos curva o lugar geome´trico dos pontos P do espac¸o que teˆm vetor posic¸a˜o ~f(t), t ∈ I. Se ~f(t) e´ o vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula em movimento, a curva C coincide com a traje´toria da part´ıcula. Representac¸a˜o Parame´trica de Curvas: Sejam (1) x = x(t) y = y(t) z = z(t) func¸o˜es cont´ınuas de uma varia´vel t, definidas para t ∈ [a, b]. As equac¸o˜e (1) sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas de uma curva e t e´ chamado paraˆmetro. Dadas as equac¸o˜es parame´tricas de uma curva, podemos obter uma equac¸a˜o vetorial para ela. Basta considerar o vetor posic¸a˜o ~r(t) de cada ponto da curva. As componentes de ~r(t) sa˜o precisamente as coordena- das do ponto. Escrevemos ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, a ≤ t ≤ b. Definic¸o˜es: a) Uma curva plana e´ uma curva que esta´ contida em um plano no espac¸o. Uma curva que na˜o e´ plana chama-se curva reversa. b) Uma curva parametrizada ~r(t), t ∈ [a, b], e´ dita fechada se ~r(a) = ~r(b). c) Se a cada ponto da curva corresponde um u´nico valor do paraˆmetro t (exceto quando t = a e t = b), dizemos que a curva e´ simples. Parametrizac¸a˜o de uma reta: A equac¸a˜o vetorial de uma reta qualquer pode ser dada por ~r(t) = ~a+ t ~b, sendo ~a e ~b vetores canstantes e t um paraˆmetro real. Na figura podemos visualizar os vetores ~a e ~b. A reta passapelo ponto A, que tem vetor posic¸a˜o ~a e a direc¸a˜o do vetor ~b. ~r(t) = (a1 + tb1))~i+(a2 + tb2)~j+(a3 + tb3)~k as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo panto (a1, a2, a3) e tem direc¸a˜o b1~i+ b2~j + b3~k sa˜o x(t) = a1 + tb1 ; y(t) = a2 + tb2 e z(t) = a3 + tb3. Exemplo 50: Determinar uma representac¸a˜o parame´trica da reta que para pelo ponto A(2,1,−1) na direc¸a˜o do vetor ~b = 2~i− 3~j + ~k. Exemplo 51: Determinar uma representac¸a˜o parame´trica da reta que para por A(2,0,1) e B(−1, 1 2 ,0). Parametrizac¸a˜o de uma circunfereˆncia: Uma equac¸a˜o vetorial da circunfereˆncia de raio a, com centro na origem, no plano x ◦ y, e´ ~r(t) = a cos(t)~i+ a sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi. Quando a circunfereˆncia na˜o esta´ centrada na origem, a equac¸a˜o vetorial e´ dada por ~r(t) = ~r0 + ~r1(t), onde ~r0 = x0~i+ y0~j e ~r1(t) = a cos(t)~i+ a sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi. Portanto, nesse caso, a equac¸a˜o vetorial e´ dada por (*) ~r(t) = [x0 + a cos(t)]~i+ [y0 + a sin(t)]~j, 0 ≤ t ≤ 2pi. Exemplo 52: Obter as equac¸o˜es parame´trica da circunfereˆncia x2 +y2−6x−4y+4 = 0 no plano z = 3. Exemplo 53: A equac¸a˜o vetorial ~r(t) = 2~i + 3 cos(t)~j + 3 sin(t)~k representa uma cir- cunfereˆncia. Determinar a correspondente equac¸a˜o cartesiana. Parametrizac¸a˜o de uma elipse: Uma equac¸a˜o vetorial de uma elipse, no plano x ◦ y, com centro na origem e eixos nas direc¸o˜es x e y e´ ~r(t) = a cos(t)~i+ b sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi. Se a elipse estiver centrada em (x0, y0) e seus eixos forem paralelos aos eixos co- ordenados, sua equac¸a˜o vetorial e´ ~r(t) = ~r0 + ~r1(t), onde ~r0 = x0~i + y0~j e ~r1(t) = a cos(t)~i+ b sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi. Portanto, nesse caso, a equac¸a˜o vetorial e´ dada por (*) ~r(t) = [x0 + a cos(t)]~i+ [y0 + b sin(t)]~j, 0 ≤ t ≤ 2pi. Exemplo 54: Escrever uma equac¸a˜o vetorial da elipse 9x2 + 4y2 = 36, no plano x ◦ y. Exemplo 55: Escrever uma equac¸a˜o vetorial para a elipse da figura abaixo. Parametrizac¸a˜o de uma he´lice circular: A he´lice circular e´ uma curva reversa. Ela se desenvolve sobre a superf´ıcie cil´ındrica x2 + y2 = a2. Consideremos parte da superf´ı cil{indrica x2 + y2 = a2, como na figura abaixo Dessa forma, escrevemos x(t) = a cos(t) y(t) = a sin(t) z(t) = P¯Q = A¯N tan(θ) = at tan(θ) , onde θ e´ o aˆngulo agudo BAˆC. Podemos fazer tan(θ) = m e escrever a equac¸a˜o vetorial da he´lice circular como: ~r(t) = a cos(t)~i+ a sin(t)~j + amt~k Parametrizac¸a˜o de outras curvas Como vimos uma curva pode ser representada por equac¸o˜es parame´tricas ou por uma equac¸a˜o vetorial. Existem outras formas de representac¸a˜o de uma curva: (*) gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua y = f(x) representa uma curva no plano x ◦ y. (**) A intersecc¸a˜o de duas superf´ıcies representa, em geral, uma curva no plano ou no espac¸o. Exemplo 56: Escrever uma equac¸a˜o vetorial para y = 5x+ 3 no plano z = 2. Exemplo 57: A intersecc¸a˜o entre superf´ıcies z = x2 + y2 e z = 2 + y determina uma curva. Escrever uma equac¸a˜o vetorial dessa curva. Exemplo 58: Representar parametricamente a curva dada pela intersecc¸a˜o das su- perf´ıcies x+ y = 2 e x2 + y2 + z2 = 2(x+ y). Exemplo 59: Representar graficamente as curvas C, dadas por: (a) ~f(t) = t~i+ t~j − (t2 − 4)~k (b) ~g(t) = t2~i+ t2~j + 3~k (c) ~h(t) = 2 cos(t)~i+ 2 sin(t)~j + 5~k Derivada de uma func¸a˜o vetorial: Seja ~f(t) uma func¸a˜o vetorial. Sua derivada e´ uma func¸a˜o vetorial ~f ′(t), definida por ~f ′(t) = lim ∆t→0 ~f(t+ ∆t)− ~f(t) ∆t , para todo t, tal que o limite existe. Se a deivada ~f ′(t) existe em todos os pontos de um intervalo I, dizemos que ~f e´ deriva´vel em I. ~f ′(t) = f ′ 1 ~i+ f ′ 2 ~j + f ′ 3 ~k Geometricamente nos referimos a ~f ′(t) como sendo vetor tangente a` curva C em P . Interpretac¸a˜o f´ısica da derivada: Portanto, quando ~r(t) e´ deriva´vel, a velocidade ins- tantaˆnea da part´ıcula e´ dada por ~v(t) = ~r′(t). Analogamente, se ~v(t) e´ deriva´vel, a acelerac¸a˜o da part´ıcula e´ dada por ~a(t) = ~v′(t). Proposic¸a˜o: Sejam ~f(t) e ~g(t) func¸o˜es vetoriais e h(t) uma func¸a˜o real, deriva´veis em um intervalo I. Enta˜o, para todo t ∈ I, temos: a) [~f(t)± ~g(t)]′ = ~f ′(t)± ~g′(t); b) [h(t)~f(t)]′ = h(t)~f ′(t) + h′(t)~f(t); c) [~f(t) · ~g(t)]′ = ~f ′(t) · ~g(t) + ~f(t) · ~g′(t); d) [~f(t)× ~g(t)]′ = ~f ′(t)× ~g(t) + ~f(t)× ~g′(t). Derivadas sucessivas: Seja ~f(t) uma func¸a˜o vetorial deriva´vel em um intervalo I. Sua derivada ~f ′(t) e´ uma func¸a˜o vetorial definida em I. Se ~f ′(t) e´ deriva´vel em um ponto t ∈ I, a sua derivada e´ chamada derivada segunda de ~f no ponto t e e´ representada por ~f ′′(t). Analogamente, sa˜o definidas as derivadas de ordem mais alta. Exemplo 60: Dada ~f(t) = t~i + t2~j, determinar ~f ′(t). Esborc¸ar a curva C descrita por ~f e os vetores tangentes ~f ′(1), ~f ′(−1) e ~f ′(0). Exemplo 61: Determinar um vetor a` curva C, descrita pela equac¸a˜o vetorial ~g(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j + ~k, t ∈ [0,2pi], no ponto P (0,1,1). Exemplo 62: O vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula em movimento no plano e´ ~r(t) = t~i+ 1 t+ 1 ~j, t ≥ 0. a) Determinar o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o em um instante qualquer t. b) Esboc¸ar a trjeto´ria da part´ıcula, desenhando os vetores velocidade no tempo t = 0 e t = 1. Exemplo 63: Determinar o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o de uma part´ıcula que se move segundo a lei ~r(t) = cos(2t)~i+ sin(2t)~j + ~k. Mostre que o vetor velocidade e´ perpendicular ao vetor posic¸a˜o e que o vetor acelerac¸a˜o p´erpendicular ao vetor velocidade. Exemplo 64: Sejam h(t) = t e ~f(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j. a) Determinar (h(t)~f(t))′. b) Mostrar que ~f ′(t) e´ ortogonal a ~f(t). Exemplo 65: Mostrar que ~f ′(t) e´ ortogonal a ~f(t) sempre que |~f(t)| e´ uma constante. Curvas Suaves: Geometricamente, uma curva suave e´ caracterizada pela auseˆncia de pontos angulosos. Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tengente u´nica que varia continuamente quando se move sobre a curva. Geometricamente, uma curva suave e´ caracterizada pela auseˆncia de pontos angulosos. Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tangente u´nica que varia continuamente quando se move sobre a curva. Sempre que uma curva C admite uma parametrizac¸a˜o ~r(t), t ∈ I ⊂ IR, que tem derivada cont´ınua ~r(t) e ~r′(t) 6= ~0, para todo t ∈ I, C e´ uma curva suave ou regular. Uma curva e´ suave por partes se puder ser dividida em um nu´mero finito de curvas suaves. Orientac¸a˜o de uma Curva: Se um ponto material desloca-se sobre uma curva suave C, temos dois poss´ıveis sentidos de percurso. A escolha de um deles como sentido poditivo define uma orientac¸a˜o na curva C. Vamos supor que a curva C seja representada por ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b]. Convencionamos chamar de sentido positivo sobre C o sentido no qual a curva e´ trac¸da quando o paraˆmetro t cresce de a ate´ b. O sentido oposto e´ chamado negativo sobre C. Se uma curva simples C e´ suave por partes, podemos orienta´-la, orientando cada parte suave de C. Definic¸a˜o: Dada uma curva orientada C, representada por ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b]; a curva −C e´ definida como a curva C com orientac¸a˜o oposta. A curva −C e´ dada por ~r−(t) = ~r(a+ b− t) = x(a+ b− t)~i+ y(a+ b− t)~j + z(a+ b− t)~k, t ∈ [a, b]. Exemplo 66: Apresentar duas parametrizac¸o˜es da circunfereˆncia de centro na origem e raio a onde uma e´ no sentido hora´rio e outra no sentido ant´ı-hora´rio. Exemplo 67: Parametrizar o seguimento de reta que une o ponto A(0,0,1) ao ponto B(1,2,3), no sentido de A para B. Exemplo 68: Paramerizar o segmento de reta que une o ponto (1,2,3) ao ponto (0,0,1). Comprimentode Arco: Seja C uma curva dada pela equac¸a˜o vetorial ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b]. Teorema: Seja C uma curva suave parametrizada por ~r(t), a ≤ t ≤ b. Enta˜o, ` = ∫ b a |~r′(t)|dt = ∫ b a √ x′2(t) + x′2(t) + z′2(t)dt. Se a curva e´ suave por partes, seu comprimento e´ dado pela soma das integrais definidas nos subintervalos de [a, b] nos quais a curva C e´ suave. Exemplo 69: Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equac¸a˜o vetorial e´ ~r(t) = t~i+ t 2 3~j, t ∈ [1,4]. Exemplo 70: Encontrar o comprimento da he´lice circular ~r(t) = (cos(t), sin(t), t) do ponto A(1,0,0) a B(−1,0, pi). Func¸a˜o Comprimento de Arco: Na integral ` = ∫ b a |~r′(t)|dt, se substitu´ımos o limite superior b por um limite varia´vel t, t ∈ [a, b], a integral se transforma em uma func¸a˜o de t, s(t) = ∫ t a |~r′(t¯)|dt¯. A func¸a˜o s = s(t) e´ chamada func¸a˜o comprimento de arco e mede o comprimento de arco de C no intervalo [a, t]. Exemplo 71: Escreva a func¸a˜o comprimento de arco da circunfereˆncia de raio R. Exemplo 72: Encontrar a func¸a˜o comprimento de arco da he´lice circular ~r(t) = (2 cos(t),2 sin(t), t). Reparametrizac¸a˜o de curvas por Comprimento de Arco: E´ conveniente parametrizarmos algumas curvas usando como paraˆmetro o comprimento de arco s. Para reparametrizarmos uma curva suave C, dada por ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b] procedemos como segue: a) calculamos s = s(t); b) encontramos a sua inversa t = t(s), 0 ≤ s ≤ `; c) reescrevemos como ~h(s) = ~r(t(s)) = x(t(s))~i+ y(t(s))~j + z(t(s))~k, s ∈ [0, `]. Temos, enta˜o, que ~h(s) descreve a mesma curva C que era dada por ~r(t), mas com uma nova parametrizac¸a˜o, em que a varia´vel s, 0 ≤ s ≤ `, representa o comprimento de arco de C. Exemplo 73: Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva C : ~r(t) = (R cos(t), R sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2pi. Exemplo 74: Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por ~r(t) = (et cos(t), et sin(t)), t ≥ 0. Exemplo 75: Dada uma curva C representada por ~r(t), mostrar que, se |~r′(t)| = 1, enta˜o o paraˆmetro t e´ o paraˆmetro comprimento de arco de C. Exemplo 76: Verificar que a curva C : ~h(s) = ( s√ 5 , 2s√ 5 ), s ≥ 0, esta´ parametrizada pelo comprimento de arco. Exemplo 77: Seja C uma curva suave reparametrizada pelo comprimento de arco. Mostrar que se C e´ representada por ~h(s), enta˜o |~h′(s)| = 1.
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