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NotasC3-P2

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Notas de Aulas de Ca´lculo III
Prof. Sandro Rodrigues Mazorche
1o semestre de 2015
Turmas: A e C
Cap´ıtulo 4: Campos Escalares e Vetoriais
Campo Escalar: Seja D uma regia˜o no espac¸o tridimensional e seja f uma func¸a˜o
escalar definida em D. Enta˜o, a cada ponto P ∈ D, f associa uma u´nica grandeza
escalar f(P ). A regia˜o D, juntamente com os valores de f em cada um de seus pontos,
e´ chamada campo escalar. Dizemos tambe´m que f define um campo escalar sobre D.
Exemplo 78: Se D e´ um so´lido no espac¸o e ρ a densidade em cada um de seus pontos,
ρ define um campo escalar sobre D.
Campo Vetorial: Seja D uma regia˜o no espac¸o tridimensional e seja ~f uma func¸a˜o
vetorial definida em D. Enta˜o, a cada ponto P ∈ D, ~f associa um u´nico vetor ~f(P ).
A regia˜o D, juntamente com os correspondentes vetores ~f(P ), constitui um campo
vetorial. Dizemos tambe´m que ~f define um campo vetorial sobre D.
Exemplo 79: ~f(x, y) = −y~i+ x~j define um campo vetorial sovre IR2.
Exemplo 80: ~f(x, y) = (x, y,−z) define um campo vetorial sovre IR3.
Representac¸a˜o geome´trica de um campo vetorial
Tomando alguns pontos P ∈ D e desenhamos o vetor ~f(P ) como uma seta com a origem
P (transladada paralelamente da origem para P ). Podemos visualizar o campo vetorial,
imaginando a seta apropriada emanando de cada ponto da regia˜o D.
Exemplo 81: ~f(x, y) = x~i.
Exemplo 82: ~f(x, y) = x~i+ y~j.
Exemplo 83: ~f(x, y) = −y√
x2+y2
~i+ x√
x2+y2
~j.
Exemplo 84: ~f(x, y, z) = −k ~r‖~r‖3 , ~r = x~i+ y~j + z~k.
Derivada Direcional de um Campo Escalar
Definic¸a˜o: Consideremos um campo escalar f(x, y, z). Escolhemos um ponto P no
espac¸o e uma direc¸a˜o em P , dada por um vetor unita´rio ~b. Seja C uma semi-reta cuja
origem e´ P e possui a direc¸a˜o de ~b e seja Q um ponto sobre C cuja distaˆncia de P e´ s.
Se existir o limite
∂f
∂s
(P ) = lim
s→0
f(Q)− f(P )
s
,
de e´ chamado derivada direcional de f em P , na direc¸a˜o de ~b.
Exemplo 85: Calcular a derivada direcional do campo escalar f(x, y) = x2 + y2, em
P (2,1), na direc¸a˜o de ~v = −~i+ 2~j.
Exemplo 86: Determinar a derivada direcional do campo escalar f(x, y, z) = x2+y2−2z2,
em P (1,2,2), na direc¸a˜o de ~a =~i+ 2~j + 2~k.
Exemplo 87: Supor que a derivada parcial de f(x, y) em relac¸a˜o a x em um ponto
P existe. Verificar que essa derivada e´ igual a` derivada direcional de f(x, y) em P , na
direc¸a˜o ~b =~i.
Gradiente de um Campo Escalar
Seja f(x, y, z) um campo escalar definido em um certo dom´ınio. Se existe as derivadas
parciais de 1a ordem de f nesse dom´ınio, elas formam as componentes do vetor gradiente
de f .
O gradiente da func¸a˜o escalar f(x, y, z), denotado por grad(f) ou ∇f , e´ um vetor definido
como
grad(f) = ∇f = ∂f
∂x
~i+
∂f
∂y
~j +
∂f
∂z
~k,
onde ∇ (leˆ-se nabla ou del) representa o operador diferencial
∇ = ∂
∂x
~i+
∂
∂y
~j +
∂
∂z
~k.
Propriedades: Sejam f e g func¸o˜es escalares tais que existam ∇f e ∇g e c ∈ IR:
a) ∇(cf) = c∇f b) ∇(f ± g) = ∇f ±∇g
c) ∇(fg) = f∇g + g∇f d) ∇(f
g
) = g∇f−f∇g
g2
Interpretac¸a˜o Geome´trica do Gradiente:
Consideremos uma dunc¸a˜o escalar f(x, y, z) e suponhamos que, para cada constante
k, em um intervalo I, a equac¸a˜o f(x, y, z) = k representa uma superf´ıcie no espac¸o.
Fasendo k tomar tosos os valores, obtemos uma fam´ılia de fuperf´ıcies, que sa˜o as su-
perf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o f .
Proposic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o escalar tal que, por um ponto P do espac¸o, passa
uma superf´ıcie de n´ıvel S de f . Se ∇f 6= ~0 em P , enta˜o ∇f e´ normal a S em P .
Exemplo 88: Encontrar o gradiente dos campos escalares:
a) f(x, y, z) = 2(x2 + y2)− z2; b) g(x, y) = x+ ey;
Exemplo 89: O gradiente de um campo escalar f(x, y, z) define um campo vetorial de-
nominado campo gradiente. Esboc¸ar o gra´fico do campo gradiente gerado pela func¸a˜o
f(x, y, z) = 1
2
(x2 + y2 + z2).
Exemplo 90: Calcular o gradiente de f(x, y) = ex2 + y2, em P (2,−1).
Exemplo 91: Determinar um vetor normal a` superf´ıcie z = x2 + y2 no ponto P (1,0,1).
Exemplo 92: Determinar um vetor perpendicular a` circunfereˆncia x2 +y2 = 9 no ponto
P (2,
√
5).
Ca´lculo da derivada direcional usando o gradiente: Seja ~a o vetor do ponto P .
Enta˜o, ~r(s) = x(s)~i+ y(s)~j + z(s)~k = ~a+~bs, onde s ≥ 0 e´ o paraˆmetro comprimento de
arco.
Supondo que f(x, y, z) possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas e aplicando a
regra da cadeia, temos
∂f
∂s
(P ) = (
∂f
∂x
dx
ds
+
∂f
∂y
dy
ds
+
∂f
∂z
dz
ds
)(P )
substituindo ~r′(s) = (dx
ds
, dy
ds
, dz
ds
) e ∇f = (∂f
∂x
, ∂f
∂y
, ∂f
∂z
) temos
∂f
∂s
(P ) = ~b · ∇f(P ).
O gradiente como direc¸a˜o de ma´xima variac¸a˜o
Seja f(x, y, z) uma func¸a˜o escalar que possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas.
Enta˜o, em cada ponto P para o qual ∇f 6= ~0, o vetor ∇f aponta na direc¸a˜o em que f
cresce mais rapidamente. O comprimento do vetor ∇f e´ a taxa ma´xima de crescimento
de f .
Dem:
Exemplo 93: Determinar a derivada direcional de f(x, y, z) = 5x2 − 6xy + z, no ponto
P (−1,1,0), na direc¸a˜o do vetor 2~i− 5~j + 2~k.
Exemplo 94: Determinar a derivada direcional de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, no ponto
P (−1,2, 1
2
), na direc¸a˜o do vetor que une P a Q(−2,0, 1
2
).
Exemplo 95: Seja f(x, y, z) = z − x2 − y2.
a) Estando em (1,1,2), que direc¸a˜o e sentido devem ser tomados para que f cresc¸a
mais rapidamente?
b) Qual e´ o valor ma´ximo de ∂f
∂s
(1,1,2)?
Exemplo 96: Seja T (x, y, z) = 10 − x2 − y2 − z2 uma distribuic¸a˜o de temperatura em
uma regia˜o do espac¸o. Uma part´ıcula P1 localizada em 1(2,3,5) necessita esquentar-se
o mais ra´pido poss´ıvel. Outra part´ıcula P2 localizada em P2(0,−1,0) necessita resfriar-se
o mais ra´pido poss´ıvel. Pergunta-se:
a) Qual a direc¸a˜o e o sentido que P1 deve tomar?
b) Qual a direc¸a˜o e o sentido que P2 deve tomar?
c) Qual e´ a taxa ma´xima de crescimento da temperatura em P1 e qual e´ a taxa ma´xima
de decrescimento da temperatura em P2?
Exemplo 97: Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato e´ aproximadamente
o do gra´fico de z = 25− x2 − y2, z ≥ 0. Se ele parte do ponto P0(4,3,0), determinar a
trajeto´ria a ser descrita, supondo que ele busque sempre a direc¸a˜o de maior aclive.
Exemplo 98: A figura mostra as curvas de n´ıvel da temperatura T (x, y) da superf´ıcie
do oceano de uma determinada regia˜o do globo terrestre. Supondo que T (x, y) e´ apro-
ximadamente iqual a x− 1
12
x3 − 1
4
y2 + 1
2
, pergunta-se:
a) Qual e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura nos pontos P0(2,3) e P1(4,1), na direc¸a˜o
nordeste?
b) Se na˜o conhecermos a forma da func¸a˜o T (x, y), como poderemos encontrar um valor
aproximado para a taxa de variac¸a˜o do item (a)?
c) Qual e´ a taxa ma´xima de variac¸a˜o da temperatura em P0?
Exemplo 99: Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2 + y2 = 4 no ponto
(
√
3,1), usando o gradiente.
Divergeˆncia de um Campo Vetorial: Seja ~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i + f2(x, y, z)~j +
f3(x, y, z)~k um campo vetorial definido em um dom´ınio D. Se existe e sa˜o cont´ınuas as
derivadas ∂f1
∂x
, ∂f2
∂y
, ∂f3
∂z
, definimos a divergeˆncia do campo vetorial ~f , denotada por
div ~f = ∇ · ~f = ∂f1
∂x
+
∂f2
∂y
+
∂f3
∂z
.
Propriedades: Sejam ~f = (f1, f2, f3) e ~g = (g1, g2, g3) func¸o˜es vetorias definidas em um
dom´ınio D e suponhamos que div ~f e div~g existem. Enta˜o:
a) div(~f ± ~g) = div ~f ± div~g;
b) div(h~f) = h(div ~f) +∇h · ~f , onde h = h(x, y, z) e´ uma func¸a˜o escalar diferencia´vel em
D.
c) div(∇f) = ∇ · ∇f = ∇2f = ∂2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
+ ∂
2f
∂z2
.
O operador diferencial∇2 e´ chamado laplaciano e a equac¸a˜o ∇2f = 0 e´ chamada
equac¸a˜o de Laplace.
Interpretac¸a˜o f´ısica da divergeˆcia: Na Mecaˆnica dos Fluidos, encontramos a equac¸a˜o
da continuidade
div~u+
∂ρ
∂t
= 0,
onde ~u = ρ~v, ρ = ρ(x, y, z, t) a densidade do fluido e ~v = ~v(x, y, z, t) o vetor velocidade.
Reescrevendo a equac¸a˜o na forma ∂ρ
∂t
= −div~u, vemos que a divergeˆncia de um campo
vetorial surge como uma medida da taxa de variac¸a˜o da densidade do fluido em um
ponto.
Quando a divergeˆncia e´ positiva em um ponto do fluido, a sua densidade esta´ diminuindo
com o tempo. Nesse caso dizemos que o fluido esta´ se expandindo(existe uma fonte de
fluxo). Quando a divergeˆncia e´ negativa, vale o oposto.
Se a divergeˆncia e´ zero, o fluxo de entrada = fluxo de sa´ıda.
Se ρ =constante, dizemos que o fluxo e´ incompress´ıvel. Nesse caso, a equac¸a˜o da
continuidade toma a forma div~v = 0, e o campo vetorial ~v e´ chamado solenoidal.
Exemplo 100: Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade ~v = x~j. Mos-
trar que todas as part´ıculas se deslocam em linha reta e que o campo de velocidade
dado representa um poss´ıvel escoamento incompress´ıvel.
Exemplo 101: Um campo de escoamento compress´ıvel e´ descrito por
~u = ρ~v = 2xe−t~i− xye−t~j,
onde x e y sa˜o coordenadas em metros, t e´ o tempo em segundos, ρ e ~v esta˜o em
kg/m3 e m/s, respectivamente. Calcular a taxa de variac¸a˜o da densidade ρ em relac¸a˜o
ao tempo, no ponto P (3,2,2), para t = 0.
Exemplo 102: Quando uma func¸a˜o escalar f(x, y, z) tem derivadas de 2a ordem
cont´ınuas e div∇f = 0 em um dom´ınio, ela e´ chamada harmoˆnica nesse dom´ınio. Veri-
ficar se as seguintes func¸o˜es sa˜o harmoˆnicas:
a) f(x, y, z) = x2y + ey − z; b) f(x, y, z) = 2xy + yz;
Rotacional de um Campo Vetorial: Seja ~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i+f2(x, y, z)~j+f3(x, y, z)~k
um campo vetorial definido em um dom´ınio D. Se existe e sa˜o cont´ınuas as derivadas
∂f1
∂x
, ∂f2
∂y
, ∂f3
∂z
, definimos o rotacional de ~f , denotado por rot~f , como
rot~f = ∇× ~f =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f1 f2 f3
∣∣∣∣∣∣ = (∂f3∂y − ∂f2∂z )~i+ (∂f1∂z − ∂f3∂x )~j + (∂f2∂x − ∂f1∂y )~k.
Propriedades: Sejam ~f = (f1, f2, f3) e ~g = (g1, g2, g3) func¸o˜es vetorias definidas em um
dom´ınio D com derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em D. Enta˜o:
a) rot(~f ± ~g) = rot~f ± rot~g;
b) rot(h~f) = h(rot~f) +∇h× ~f , onde h e´ uma func¸a˜o escalar diferencia´vel em D.
Interpretac¸a˜o f´ısica do rotacional: Pode ser interpretado como uma medida do mo-
vimento angular de um fluido, e a condic¸a˜o rot~v = ~0, para um campo de velocidade ~v,
caracteriza os chamados fluxos irrotacionais. A equac¸a˜o rot ~E = ~0, onde ~E e´ a forc¸a
ele´letrica, caracteriza que somente forc¸as eletrosta´ticas esta˜o presente no campo ~E.
Exemplo 103: Determinar rot~f , sendo ~f = xzy2~i+ xyz~j + 3xy~k.
Exemplo 104: Um corpo r´ıgido gira em torno de um eixo que passa pela origem do
sistema de coordenadas, com vetor velocidade angular ~w constante, Seja ~v o vetor ve-
locidade em um ponto P do corpo. Calcular rot~v.
Exemplo 105: Um escoamento e´ representado pelo campo de velocidade ~v = 10x~i −
10y~j + 30~k. Verificar se o escoamento e´:
a) um poss´ıvel escoamento incompress´ıvel;
b) irrotacional.
Exemplo 106: Para um escoamento no plano x◦y, a componente em y da velocidade e´
dada por y2−2x+ 2y. Determinar uma poss´ıvel componente em x para um escoamento
incompress´ıvel.
Campos Conservativos: Seja ~f um campo vetorial em um dom´ınio U . se u = u(x, y, z)
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em U tal que ~f = ∇u, dizemos que ~f e´ um campo conservativo
ou um campo gradiente em U . A func¸a˜o u e´ chamada func¸a˜o potencial de ~f em U .
Teorema: Seja ~f = (f1, f2, f3) um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio U , com
derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em U . Se ~f admite uma func¸a˜o potencial u,
enta˜o
rot~f = ~0 para qualquer (x, y, z) ∈ U. (∗)
Reciprocamente, se U for simplesmente conexo e (∗) for verificada, enta˜o ~f admite uma
func¸a˜o potencial u = u(x, y, z) em U . Observamos que (∗) pode ser reescrita como
∂f1
∂y
=
∂f2
∂x
,
∂f1
∂z
=
∂f3
∂x
e
∂f2
∂z
=
∂f3
∂y
Exemplo 107: O que podemos afirmar a respeito dos seguintes campos vetoriais ~f em
D;
a) ~f = 2x2y~i+ 5xz~j + x2y2~k em D = IR3;
b) ~f = (4xy + z)~i+ 2x2~j + x~k em D = IR3;
c) ~f = −y
x2+y2
~i+ x
x2+y2
~j em D1 = (x, y)|(x− 3)2 + y2 < 1 e D2 = (x, y)|1 < x2 + y2 < 16.
Ca´lculo de uma func¸a˜o potencial: Supondo que ~f = (f1, f2.f3) e´ o gradiente de
uma func¸a˜o potencial U em um dom´ınio U ⊂ IR3, podemos determinar u, usando as
igualdades
∂u
∂x
= f1 ,
∂u
∂y
= f2 e
∂u
∂z
= f3.
Exemplo 108: Verificar se ocampo vetorial ~f = (yz + 2)~i + (xz + 1)~j + (xy + 2z)~k e´
um campo gradiente em IR3. Em caso afirmativo, encontrar uma func¸a˜o potencial u.
Exemplo 109: A lei da gravitac¸a˜o de Newton estabelece que a forc¸a ~f = −GmMr−3~r
onde ~r = x~i+ y~j + z~k e r = |~r|. Encontrar o potencial newtoniano u, tal que ~f = ∇u.
Cap´ıtulo 5: Integrais curvil´ıneas e Teorema de Green
Definic¸a˜o: Seja C uma curva suave, orientada, com ponto inicial A e o ponto terminal
B. Seja f(x, y, z) um campo escalar definido em cada ponto de C. Dividimos a curva C
em n pequenos arcos pelos pontos A = P0, P1, P2, ..., Pi−1, Pi, ..., Pn = B.
Denotamos por ∆si o comprimento do arco ̂Pi−1Pi. Em cada arco ̂Pi−1Pi, escolhemos
um ponto Qi.
Calculamos o valor de f no ponto Qi, multiplicamos esse valor por ∆si e formamos a
soma
n∑
i=1
f(QI)∆si.
A integral de linha de f ao longo de C, de A ate´ B, que denotamos
∫
C
f(x, y, z)ds, e´
∫
C
f(x, y, z)ds = lim
max∆si→0
n∑
i=1
f(Qi)∆si,
quando o limite existe. A curva C e´ tambe´m chamada CAMINHO DE INTEGRAC¸A˜O.
Ca´lculo da integral de linha: Caso 1 Representamos C por ~h(s) = x(s)~i+y(s)~j+z(s)~k,
s ∈ [a, b], onde s e´ o paraˆmetro comprimento de arco de C.
∫
C
f(x, y, z)ds =
∫ b
a
f(x(s), y(s), z(s))ds (∗)
Exemplo 110: Calcular
∫
C
(x + 2y)ds, onde C e´ a semicircunfereˆncia dada pela figura
abaixo.
Exemplo 111: Calcular
∫
C
(x2 + y2 − z)ds, onde C e´ a he´lice circular dada por ~r(t) =
cos(t)~i+ sin(t)~j + t~k, do ponto P (1,0,0) ate´ Q(1,0,2pi).
Caso 2 Representamos C por ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [t0, t1], onde t e´ um
paraˆmetro qualquer. Para calcular a integral de linha nesse caso, fazemos uma mudanc¸a
de varia´vel em (∗). Temos∫
C
f(x, y, z)ds =
∫ b
a
f(x(s), y(s), z(s))ds =
∫ t1
t0
f(x(t), y(t), z(t))
ds
dt
dt.
com ds
dt
= |~r′(t)| =
√
(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2, segue∫
c
f(x, y, z)ds =
∫ t1
t0
f(x(t), y(t), z(t))|~r′(t)|dt.
Exemplo 111: Calcular
∫
C
xyds, onde C e´ a intgersecc¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 = 4 e
y + z = 8.
Exemplo 112: Calcular
∫
C
(x+ y)ds, onde C e´ a intgersecc¸a˜o das superf´ıcies x+ y = 2
e x2 + y2 + z2 = 2(x+ y).
Propriedades: Supondo que C e´ uma curva suave ou suave por partes e que f =
f(x, y, z) e g = g(x, y, z) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em cada ponto de C. Temos:
a)
∫
C
kfds = k
∫
C
fds, onde k e´ uma constante.
b)
∫
C
[f ± g]ds =
∫
C
fds±
∫
C
gds.
c) Se C e´ uma curva com ponto inicial A e ponto terminal B; P um ponto de C entre
A e B; C1 a parte de C de A ate´ P e C2 e parte de C de P ate´ B, enta˜o∫
C
fds =
∫
C1
fds+
∫
C2
fds
d)
∫
C
fds =
∫
−C
fds, onde −C representa a curva C orientado no sentido oposto.
Exemplo 113: Calcular
∫
C
3xyds, sendo C o triaˆngulo de ve´rtices A(0,0), B(1,0) e
C(1,2), no sentido anti-hora´rio.
Exemplo 114: Calcular
∫C
(|x|+ |y|)ds e
∫
−C
(|x|+ |y|)ds, onde C e´ o segmento de reta
AB, com A(−2,0) e B(2,2).
Massa e centro de massa de um fio delgado
Consideremos um fio delgado de densidade varia´vel, com a forma de uma curva C, como
na figura abaixo
A massa total M do fio e´ M =
∫
C
f(x, y, z)ds.
O centro de massa (x, y, z) e´ dado por
x = 1
M
∫
C
xf(x, y, z)ds
y = 1
M
∫
C
yf(x, y, z)ds
z = 1
M
∫
C
zf(x, y, z)ds
O ponto e´ tambe´m chamado centro de gravidade.
Exemplo 115: Calcular a massa de um fio delgado com forma de um semic´ırculo de
raio a, considerando que a densidade em um ponto P e´ diretamente proporcional a` reta
que passa pelos pontos extremos.
Exemplo 116: Calcular as coordenadas do centro de massa de um fio delgado que tem
a forma da he´lice ~r(t) = 2 cos(t)~i + 2 sin(t)~j + 5t~k, t ∈ [0,2pi], se a densidade no ponto
(x, y, z) e´ x2 + y2 + z2.
Integrais de Linha de Campo Vetoriais: Para compreender sua origem e utilidade,
iniciamos explorando intuitivamente o conceito f´ısico de trabalho.
Sejam C : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], uma curva suave e ~f = ~f(x, y, z) um campo
de forc¸as cont´ınuo sobre C. O trabalho realizado por ~f para deslocar uma part´ıcula ao
longo de C, de A ate´ B, e´ definido como w = lim
max ∆ti→0
n∑
i=1
~f(~r(ti)) · ~r′(ti)∆ti, podemos
observar que o somato´rio da expressa˜o acima e´ uma soma de Riemann da func¸a˜o de
uma varia´vel, ~f(~r(t)) · ~r′(t) sobre [a, b]. Portanto,
w =
∫ b
a
~f(~r(t)) · ~r′(t)dt
Exemplo 117: Calcular o trabalho realizado pela forc¸a ~f = (1
x
, 1
y
), para deslocar uma
part´ıcula, em linha reta,do ponto P (1,2) ate´ Q(3,4).
Exemplo 118: Uma part´ıcula move-se ao longo da circunfereˆncia x2 + y2 = 4, z = 2
sob a ac¸a˜o do campo d forc¸as ~f(x, y, z) = −~r|~r|−3 , onde ~r = x~i+ y~j + z
~k.
Definic¸a˜o: Seja C uma curva suave dada por ~r(t), t ∈ [a, b]. Seja ~f = ~f(x, y, z) um
campo vetorial definido e limitado sobre C. A integral curvil´ınea de ~f , ao longo de C,
que denotamos
∫
C
~f · ~dr, e´ definida por∫
C
~f · ~dr =
∫ b
a
~f(~r(t)) · ~r′(t)dt =
∫ b
a
[f1(~r(t))x
′(t) + f2(~r(t))y′(t) + f3(~r(t))z′(t)]dt,
sempre que a integral a` direita existe.
Tambe´m utiliza-se a seguinte notac¸a˜o
∫
C
~f · ~dr =
∫ b
a
(f1dx + f2dy + f3dz) que tradicio-
nalmente e´ usada para representar a integral curvil´ınea de um campo vetorial.
Propriedade: As propriedades do caso escalar, (a), (b) e (c) permanecem va´lidas para
o caso vetorial. A propriedade (d) e´ sudstitu´ıda por∫
−C
~f · ~dr = −
∫
C
~f · ~dr.
Proposic¸a˜o: Seja ~f um campo vetorial cont´ınuo, definido sobre uma curva suave
C : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Se T e´ acomponente tangencial de ~f sobre C,
isto e´, T e´ a componente de ~f na direc¸a˜o do vetor tangente unita´rio de C, temos∫
C
~f · ~dr =
∫
C
Tds.
Observac¸o˜es:
1) Se, em cada ponto P da curva C, o campo ~f e´ perpendicular a um vetor tangente a
C em P , a integral de ~f ao longo de C sera´ nula. Em particular, se ~f e´ um campo de
forc¸as, sera´ nulo o trabalho realizado por ~f ao longo de C.
2) Se o campo ~f e´ o campo de velocidade de um fluido em movimento, a componente
tangencial de ~f determina um fluxo ao longo de C. Se a curva C e´ fechada, a integral
de linha de ~f ao longo de C, que denotamos
∫
C
~f · ~dr, mede a tendeˆncia do fluido de
circular em torno de C e e´ chamada circulac¸a˜o de ~f sobre C. Em particular, se C e´
uma curva plana e o campo de velocidade e´ perpendicular ao plano que conte´m C, a
circulac¸a˜o sera´ nula.
Exemplo 119: Calcular
∫
C
(2xdx+ yzdy + 3zdz) ao longo da:
a) para´bola z = x2, y = 2, do ponto A(0,2,0) ao ponto B(2,2,4);
b) linha poligonal AOB, onde O e´ a origem.
Exemplo 120: Calcular
∫
C
~f · ~dr, sendo ~f = (xz, xy, yz) e C o caminho poligonal que
une o ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando por D(1,1,0).
Exemplo 121: Calcular o trabalho realizado poelo campo ~f = ( −x
x2+y2
, −y
x2+y2
) para deslocar
uma part´ıcula ao longo da semicircunfereˆnci x2 + y2 = 4, y ≥ 0, no sentido anti-ho´rario.
Exemplo 122: O campo de velocidade de um fluido em movimento e´ dado por
~v = (−y, x). Calcular a circulac¸a˜o do fluido ao redor da curva fechada C = C1 ∪C2 ∪C3.
Exemplo 123: Calcular
∫
C
[sin(x)dx − 2yzdy − y2dz] ao longo de C, de A(0,2,0) ate´
B(2,2,4), onde C:
a) a´ a para´bola z = x2 , y = 2.
b) e´ a poligonal AMB, M(1,0,0).
Integrais Curvil´ıneas Independentes do Caminho de Integrac¸a˜o
Seja ~f um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio D do espac¸o. a integral
∫
C
~f · ~dr e´
dira independente do caminho de integrac¸a˜o em D se, para qualquer par de pontos A e
B em D, o valor da integral e´ o mesmo para todos os cminhos em D, que iniciam em
A e terminam em B.
Teorema: seja u = u(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel em um don´ınio conexo U ⊂ IR3
tal que ~f = ∇u e´ cont´ınuo em U . Enta˜o,∫
C
~f · ~dr = u(B)− u(A),
para qualquer caminho C em U , unindo o ponto A ao ponto B.
Exemplo 124: Calcular a integral
∫
C
~f · ~dr, onde ~f = (yz + 2, xz + 1, xy+ 2z), ao longo
de qualquer caminho que une o ponto A(0,0,1) a B(1,2,1).
Exemplo 125: Verificar que o campo vetorial ~f = sin(x)~i − 2yz~j − y2~k, e´ um campo
conservativo em IR3. calcular
∫
C
~f · ~dr ao longo de qualquer caminho C de A(0,2,0) ate´
B(2,2,4).
Teorema: Se ~f = (f1, f2, f3) e´ um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio conexo
U ⊂ IR3, sa˜o equivalentes as treˆs afirmac¸o˜es seguintes:
a) ~f e´ o gradiente de uma func¸a˜o potencial u em U , ou seja, ~f e´ conservativo em U .
b) A integral de linha de ~f e´ independente do caminho de integrac¸a˜o em U .
c) A integral de linha de ~f ao redor de todo caminho fechado simples em U e´ igual a zero.
Exemplo 126: Verificar se ~f = (ex+y + 1)~i+ ex+y~j e´ um caminho conservativo em IR2.
Em caso afirmativo, calcular
∫ (1,1)
(1,0)
~f · ~dr.
Exemplo 127: Determinar o trabalho realizado pela forc¸a ~f = (yz + 1, xz + 1, xy + 1),
no deslocamento:
a) ao longo da poligonal ABCDE da figura abaixo:
b) ao longo do caminho fechado da figura abaixo:
Exemplo 128: Calcular
∫
C
[
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy] sendo que C e´ dado na figura abaixo.
Teorema de Green
Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti´hora´rio,
e R a regia˜o fechada delimitada por C. Se ~f = (f1, f2) e´ um campo vetorial cont´ınuo
com derivadas parciais 1a ordem cont´ınuas em um dom´ınio D que conte´m R, enta˜o∫
C
(f1dx+ f2dy) =
∫ ∫
R
(
∂f2
∂x
− ∂f1
∂y
)dxdy.
Exemplo 129: Usando o teorema de Green, calcular
∫
C
[y2dx+ 2x2dy] sendo que C e´ o
triaˆngulo de ve´rtices (0,0), (1,2) e (0,2), no sentido anti-hora´rio.
Exemplo 130: Calcular
∫
C
~f · ~dr, ao longo da circunfereˆncia x2 +(y−1)2 = 1, no sentido
hora´rio, ssendo ~f = (4x2 − 9y,9xy +
√
y2 + 1).
A´rea de uma regia˜o plana como uma integral curvil´ınea ao longo de seu contorno
Seja R e C como no teorema de Green. Sejam ~f = x~j e ~g = −y~i. Os campos vetoriais
~f e ~g sa˜o cont´ınuos com derivadas parciais cont´ınuas em IR2. Aplicando o Teorema de
Green nos campos acima, obtemos respectivamente:∫
C
xdy =
∫ ∫
R
dxdy,
∫
C
−ydx =
∫ ∫
R
dxdy.
Portanto, se denotamos por A a a´rea de R, temos
A =
∫
C
xdy, A =
∫
C
−ydx.
Combinando as duas u´ltimas ralac¸o˜es, obtemos uma terceira fo´rmula para a a´rea de R,
A =
1
2
∫
C
(xdy − ydx).
Exemplo 131: Calcular a a´rea delimitada pela elipse x
2
4
+ y
2
9
= 1.
Exemplo 132: Seja D = {(x, y)|x2+y2 < 4}. dado o campo vetorial ~f = ( ~−yx2 +y2, x
x2+y2
).
Mostrar que
∫
C
~f · ~dr = 2pi para toda curva fechada simples C1 ⊂ D, suave por partes,
orientada no sentido anti-hora´rio e que circunda a origem.
Cap´ıtulo 6: Integrais de Superf´ıcie, Teorema de Stokes e Gauss
Representac¸a˜o de uma Superf´ıcie: Em geral, uma superf´ıcie S em IR3 pode ser
descrita como um conjunto de pontos (x, y, z), que satisfazem uma equac¸a˜o da forma
f(x, y, z) = 0, sendo que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua. A equac¸a˜o e´ chamada representacca˜o
implicita de S.
Se for poss´ıvel resolver a equac¸a˜o para uma das varia´veis em func¸a˜o das outras, obtemos
uma respresentac¸a˜o explicita de S ou de parte de S.
Exemplo 133: A equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = a2
Exemplo 134: A equac¸a˜o x + 1
2
y + 1
3
z = a, a > 0, e´ uma representac¸a˜o impl´ıcita do
plano inclinado que corta os eixos coordenados x, y e z nos pontos (a,0,0), (0,2a,0) e
(0,0,3a), respectivamente.
Equac¸o˜es Parame´tricas: Seja S uma superf´ıcie no espac¸o. Se os pontos de S sa˜o
dererminados pelas equac¸o˜es
x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v)
sendo que x, y, z sa˜o func¸o˜es cont´ınuas das varia´veis u e v, definidas em uma regia˜o
conexa R do plano u ◦ v, as equac¸o˜es acima sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´ticas de S.
Se denotarmos por ~r(u, v) o vetor posic¸a˜o de um ponto qualquer (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
da superf´ıcie, temos
~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k.
Exemplo 135: A equac¸a˜o vetorial ~r(u, v) = u~i+ v~j + (u2 + 1)~k, sendo que −2 ≤ u ≤ 2
e 0 ≤ v ≤ 5, representa uma superf´ıcie parametrizada em IR3.
Representac¸a˜o Parame´trica de Algumas Superf´ıcies:
(1) Parametrizac¸a˜o da esfera: Dada uma esfera de raio a, centrada na origem, O.
Um ponto P (x, y, z) desta esfera pode ser representado por dois aˆngulos u e v. O aˆgulo
u e´ o mesmo que em coordenadas polares, e o aˆngulo v e´ o formado pelo segmento OP
e pelo plano x ◦ y ou eixo z, conforme figura abaixo.
Segue as equac¸o˜es parame´tricas e vetoriais de cada caso:
x = a cos(u) cos(v) 0 ≤ u ≤ 2pi x = a cos(u) sin(v) 0 ≤ u ≤ 2pi
(1) y = a sin(u) cos(v) e (2) y = a sin(u) sin(v) e
z = a sin(v) −pi
2
≤ v ≤ pi
2
z = a cos(v) 0 ≤ v ≤ pi
(1) ~r(u, v) = a cos(u) cos(v)~i+ a sin(u) cos(v)~j + a sin(v)~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× [−pi
2
, pi
2
];
(2) ~r(u, v) = a cos(u) sin(v)~i+ a sin(u) sin(v)~j + a cos(v)~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× [0, pi].
Exemplo 136: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2, que
esta´ no 1o octante.
Exemplo 137: Determinar uma parametrizac¸a˜o da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 16,
acima do plano z = 2.
Exemplo 138: Obter uma parametrizac¸a˜o da esfera x2−2x+y2−4y+ 4 + z2 + 1 = 0.
(2) Parametrizac¸a˜o de um Cilindro: Consideremos um cilindro vertical, dado pela
equac¸a˜o x2 + y2 = a2. Seja P (x, y, z) um ponto qualquer sobre o cilindro. Devemos
introduzir dois paraˆmetros u e v e obter as coordenadas de P como func¸a˜o de u e v.
Geometricamente o paraˆmetro u e´ o mesmo que em coordenadas polares e o paraˆmetro
v coincide com z.
Segue as equac¸o˜es parame´tricas e vetorial.
x = a cos(u), 0 ≤ u ≤ 2pi
y = a sin(u) e
z = v −∞ < v < +∞
~r(u, v) = a cos(u)~i+ a sin(u)~j + v~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× IR;
Exemplo 139: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte do cilindro x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 5,
delimitada pelos semiplanos y = x e y = 2x, com x ≥ 0.
Exemplo 140: Obter uma parametrizac¸a˜o do cilindro x2 + z2 = a2.
(3) Parametrizac¸a˜o de um Cone: A figura abaixo mostra um cone circular, no qual
denotamos por α o aˆngulo formado pelo eixo positivo dos z e uma geratriz do cone.
Dado um ponto P (, x, y, z) do cone, introduziremos dois paraˆmetros u e v para obter as
coordenadas de P como func¸a˜o de u e v.
Geometricamente o paraˆmetro u e´ o mesmo que em coordenadas polares e o paraˆmetro
v e´ a distaˆncia de P ate´ a origem, O.
Do triaˆngulo retaˆngulo POP2, temos z = v cos(α) e OP0 = v sin(α).
Do triaˆngulo retaˆngulo P0OP1, vem x = OP0 cos(u) e y = OP0 sin(u). Assim, as equac¸o˜es
parameˆtricas e vetorias sa˜o:
x = v sin(α) cos(u) 0 ≤ u ≤ 2pi
y = v sin(α) sin(u) e
z = v cos(α) 0 ≤ v ≤ h
onde h cos(α) descreve a altura do cone.
~r(u, v) = v sin(α) cos(u)~i+ v sin(α) sin(u)~j + v cos(α)~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× [0, h];
Exemplo 141: Obter uma parametrizac¸a˜o do cone gerado pela semi-reta z =
√
3y,
y ≥ 0 quando esta gira em torno do eixo positivo dos Z.
Exemplo 142: Obter uma parametrizac¸a˜o do cone z = −
√
x2 + y2.
(4) Parametrizac¸a˜o de um Parabolo´ide: A figura abaixo mostra um parabolo´ide
z = a 2(x2 + y2), onde a > 0 e´ uma constante.
As equac¸o˜es parameˆtricas e vetorias sa˜o:
x = u u ∈ IR
y = v e
z = a2(u2 + v2) v ∈ IR
~r(u, v) = u~i+ v~j + a2(u2 + v2)~k , (u, v) ∈ IR2.
Uma outra parametrizac¸a˜o e´:
~r(u, v) = u cos(v)~i+ u sin(v)~j + a2u2~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× IR+
Exemplo 143: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte do parabolo´ide z = 2(x2 + y2)
abaixo do plano z = 8.
Parametrizac¸a˜o de outras superf´ıcies: De maneira geral, dada uma superf´ıcie S,
sempre procuramos parametriza´-la da forma mais natural poss´ıvel.
Por exemplo x e y sempre podem ser tomadas como paraˆmetros.
Assim, uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por
~r(x, y) = (x, y, z(x, y)),
com (x, y) ∈ R, onde R e´ a projec¸a˜o de S sobre o plano x ◦ y.
Exemplo 144: Parametrizar o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0.
Exemplo 145: Parametrizar a superf´ıcie S dada por y = x2 + z2, y ≤ 4.
Exemplo 146: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte do cone x2 = y2 + z2 que esta´
entre os planos x = 1 e x = 4.
Curvas Coordenadas: Seja S uma superf´ıcie parame´trica representada por
~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ R. (1)
e fixarmos o paraˆmetro v, a equac¸a˜o (1) descreve uma curva que esta´ contida em S e´
chamada u-curva. Analogamente, fixando o paraˆmetro u, obtemos uma v-curva sobre
S.
Dado um ponto P sobre S, de vetor posic¸a˜o ~r(u0, v0), a u-curva ~r(u, v0) e a v-curva
~r(u0, v) sa˜o chamadas curvas coordenadas de S em P .
Exemplo 147: Determinar as curvas coordenadas da esfera x2 +y2 +z2 = 4, no ponto
P (2,0,0).
Plano Tangente e Reta Normal: Seja P um ponto de uma superf´ıcie S, representada
por
~r(u, v), (u, v) ∈ R.
Suponhamos que P tem vetor posic¸a˜o ~r(u0, v0) e que as curvas cooedenadas de S em
P sejam suaves. Segue que:
O vetor ∂~r
∂v
= d(~r(u0,v)
dv
e´ tangente a` v-curva ~r(u0, v) e o vetor
∂~r
∂u
= d(~r(u,v0)
du
e´ tangente a`
u-curva ~r(u, v0).
Se os vetores ∂~r
∂u
e ∂~r
∂v
sa˜o limearmente independentes, eles determinam um plano. Esse
plano e´ chamado plano tangente a` superf´ıcie no ponto P .
O vetor ∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
e´ perpendicular ao plano tangente e e´ denominado vetor normal a`
superf´ıcie S.
Exemplo 148: Uma superf´ıcie S e´ descrita pela equac¸a˜o ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), U 2−
1), com 0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2pi.
a) Representar graficamente a superf´ıcie S.
b) Dar a equac¸a˜o e desenhar a v-curva correspondente a u = 2 e a u-curva correspon-
dente a v = pi
4
, sobre a cuperf´ıcie S.
c) Determinar os vetores ∂~r
∂u
, ∂~r
∂v
, ∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
para u = 2 e v = pi
4
e representa´-los no ponto
correspondente sobre o gra´fico de S.
Equac¸a˜o da reta normal: A equac¸a˜o da reta normal a` superf´ıcie S em um ponto P
de S e´
~r(t) = ~r(u0, y0) + t(
∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
)(u0, v0),
onde ~r(u0, v0) e´ o vetor posic¸a˜o do ponto P e (
∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
)(u0, v0) e´ o vetor diretor da reta
normal.
Exemplo 149: Determine a equac¸a˜o da reta normal a` superf´ıcie S de equacc¸a˜o veto-
rial ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2−1), com (u, v) ∈ [0,4]×[0,2pi], no ponto P (√2,√2,3).Equac¸a˜o do plano tangente: A equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S, no ponto
P (x0, y0, z0) e´
~q · (∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
)(u0, v0) = 0,
com ~q = (x− x0, y − y0, z − z0).
Exemplo 150: Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S de equac¸a˜o veto-
rial ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2−1), com (u, v) ∈ [0,4]×[0,2pi], no ponto P (√2,√2,3).
Exemplo 151: Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S dada por
x2 + y2 + z2 = 4, no ponto P (1,1,
√
2).
Exemplo 150: Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S do exemplo
anterior, no ponto P0(0,0,2).
Superf´ıcies Suaves e Orientac¸a˜o
Uma superf´ıcie suave ou regular e´ caracterizada pela auseˆncia de arestas. Podemos dizar
que, em cada ponto P de uma superf´ıcie suave S, existe um u´nico plano tangente a S
em P . Uma maneira conveniente de descrever a noc¸a˜o de suavidade de uma superf´ıcie
S e´ dizer que S pode ser dividida em partes e cada uma dessas partes admite uma
parametrizac¸a˜o ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), onde x = x(u, v), y = y(u, v) e z =
z(u, v) admitem derivadas cont´ınuas de todas as ordens, e que, para todo (u0, v0) ∈ R,
as derivadas primeiras satisfazem a condic¸a˜o
∂~r
∂u
(u0, v0)e
∂~r
∂v
(u0, v0) sa˜o linearmente independentes.
Esta condic¸a˜o e´ conhecida como condic¸a˜o de suavidade ou regularidade.
Os pontos de S em que falha a condic¸a˜o de suavidade para qualquer parametrizac¸a˜o
sa˜o chamados pontos singuares.
Exemplo 151: O ponto P (0,0,2) da esfera x2 + y2 + z2 = 4 e´ um ponto singular da
parametrizac¸a˜o ~r(u, v) = (2 cos(u) cos(v),2 sin(u) cos(v),2 cos(v)).
Orientac¸a˜o de uma superf´ıcie
Uma superf´ıcie S esta´ orientada quando escolhemos em cada ponto P ∈ S um vetor
unita´ri ~n(P ), normal a S, que varia continuamente com P . O campo de vetores ~n e´
chamado campo normal unita´rio.
Se S e´ representada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R, nos pontos, em que a condic¸a˜o de suavidade
e´ satisfeira, os vetores
~n1 =
∂~r
∂u
× ∂~r
∂u
|∂~r
∂u
× ∂~r
∂u
| e ~n2 = − ~n1
sa˜o vetores unita´rios normais a S.
Exemplo 152: Determine um campo normal unita´rio da esfera x2 + y2 + z2 = a2,
representando graficamente o vetor normal unita´rio encontrado em alguns pontos da
esfera.
Exemplo 153: Determine um campo normal unita´rio do parbolo´ide S, dado por
~r(x, y) = (x, y, x2 + y2), onde x2 + y2 ≤ 4.
Exemplo 154: A fita de Mo¨bius, e´ um exemplo cla´ssico de superf´ıcie unilateral. Ela
pode ser obtida a partir de um longo retaˆngulo ABCD, em que os lados AC e BD sa˜o
unidos de tal forma que A coincida com D e B com C.
Observamos que, dado um ponto P da dita de Mo¨bius, podemos escolher um vetor
normal unita´rio ~n. No entanto quando ~n se desloca continuamente sobre a curva C e
retorna a P , seu sentido se inverte.
Orientac¸a˜o de uma supesf´ıcie suave por partes
Se uma superf’icie suave e orientada S e´ limitada por uma curva fechada simples C,
podemos associar a` orientac¸a˜o de S um sentido positivo sobre C, conforme vemos na
figura abaixo.
Se a superf´ıcie S e´ formada por mais de duas partes suaves, procedemos de forma
ana´loga a` figura acima.
Exemplo 155: Dada a figura, mostrar uma poss´ıvel orientac¸a˜o da superf´ıcie S de um
cubo. Com essa orientac¸a˜o, S e´ denominada superf´ıcie exterior do cubo dado.
A´rea de uma Superf´ıcie: Seja S uma superf´ıcie paramee´trica suave, representada por
~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ R.
Os vetores |∂~r
∂u
|∆u e |∂~r
∂v
|∆v determinam um paralelogramo, cuja a´rea e´ dada por:
∆S = |∂~r
∂u
∆u× ∂~r
∂v
∆v| = |∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
|∆u∆v.
A parte de S, correspondente ao retaˆngulo de a´rea ∆u∆v em R, e´ aproximada por esse
paralelogramo de a´rea ∆S.
Definic¸a˜o: A a´rea de S, denotada por a(S), e´ definida pela equac¸a˜o
a(S) =
∫ ∫
R
|∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
|dudv
quando a integral a` direita existe.
Se S e´ suave por partes, a a´rea de S e´ definida como a soma das a´reas sobre cada
pedac¸o suave de S. Exemplo 156: Determinar a a´rea da esfera de raio a.
Exemplo 157: Determinar a a´rea do parabolo´ıde z = 2(x2 +y2), abaixo do plano z = 8.
Exemplo 158: Seja S uma superf´ıcie representada na forma expl´ıcita por z = z(x, y).
Usando x e y como paraˆmetros, escrever a integral que define a a´rea de S.
Exemplo 159: Determinar a a´rea do hemisfe´rio de raio a, usando a representac¸a˜o
expl´ıcita z =
√
a2 − x2 − y2.
Exemplo 160: Encontrar a a´rea da superf´ıcie coˆnica x2 = y2 + z2 que esta´ entre os
planos x = 1 e x = 4.
Integral de Superf´ıcie de um Campo Escalar: Seja S uma superf´ıcie suave, repre-
sentada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R. Seja f um campo escalar definido e limitado sobre S. A
integral de superf´ıcie de f sobre S, denotada por
∫ ∫
S
fds, e´ definida pela equac¸a˜o∫ ∫
S
fds =
∫ ∫
R
f(~r(u, v))|∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
|dudv,
quando a integral dupla a´ direita existe.
Se S e´ suave por partes,
∫ ∫
S
fds e´ definida como a soma das integrais sobre cada
pedac¸o suave de S.
Exemplo 161: Calcular I =
∫ ∫
S
(z − x2 + xy2 − 1)ds, onde S e´ a superf´ıcie ~r(u, v) =
u~i+ v~j + (u2 + 1)~k, (u, v) ∈ [0,2]× [0,5].
Exemplo 162: Calcular I =
∫ ∫
S
x2zds, onde S e´ a porc¸a˜o do cone z2 = x2 + y2 que
esta´ entre os planos z = 1 e z = 4.
Exemplo 163: Calcular I =
∫ ∫
S
(x + y + z)ds, onde S = S1 ∪ S2 e´ a superf´ıcie repre-
sentada na figura.
Centro de Massa e Momento de Ine´rcia: Suponhamos que S represente a laˆmina e
que o campo escalar f(x, y, z) represente a densidade (massa por unidade de a´rea) no
ponto (x, y, z).Enta˜o:
A Massa da lamina e´ dado por m =
∫ ∫
S
f(x, y, z)ds
O centro de massa (x, y, z) e´ dado por
x = 1
m
∫ ∫
S
xf(x, y, z)ds
y = 1
m
∫ ∫
S
yf(x, y, z)ds
z = 1
m
∫ ∫
S
zf(x, y, z)ds
O momento de ine´rcia IL de S em relac¸a˜o a um eixo L e´ dado por
IL =
∫ ∫
S
[δ(x, y, z)]2f(x, y, z)ds
onde δ(x, y, z) e´ a distaˆncia do ponto (x, y, z) de S ate´ o eixo L.
Exemplo 164: Uma laˆmina tem a forma da parte do plano z = y recortada pelo cilindro
x2 + (y− 1)2 = 1. Determine a massa dessa laˆminha se a densidade no ponto (x, y, z) e´
proporcional a` distaˆncia desse ponto ao plano x ◦ y.
Exemplo 165: Determine o centro de massa do hemisfe´rio z =
√
1− x2 − y2 com
densidade f(x, y, z) = 0,3 unidade de massa por unidade de a´rea.
Exemplo 166: Uma laˆmina tem a forma de um hemisfeˆrio unita´rio. Encontrar o
momento de ine´rcia dessa laˆmina em ralac¸a˜o a um eixo que passa pelo po´lo e e´ per-
pendicular ao plano que delimita o hemisfe´rio. Considerar a densidade no ponto P da
laˆmina proporcional a` distaˆncia desse ponto ao plano que delimita o hemisfe´rio.
Integal de Superf´ıcie de um Campo Vetorial: Sejam S uma superf´ıcie suave,
representada por ~r(u, v) = x(u, v)~i+y(u, v)~j+ z(u, v)~k, (u, v) ∈ R, e ~n = ~n(u, v) um vetor
unita´rio, normal a S. Seja ~f um campo vetorial definido sobre S. A integral de superf´ıcie
de ~f sobre S, denotada por
∫ ∫
S
~f · ~nds, e´ definida pela equac¸a˜o∫ ∫
S
~f · ~nds =
∫ ∫
R
~f(~r(u, v)) · ~n(u, v)|∂~r
∂u
× ∂~r
∂u
|dudv,
quando a integral a` direita existe.
Se S e´ suave por partes, a integral e´ definida como a soma das integrais sobre cada
pedac¸o suave de S.
Ca´lculo da Integal Seja ~n1 o vetor normal unita´rio de S, dado por ~n1 =
∂~r
∂u
× ∂~r
∂u
| ∂~r
∂u
× ∂~r
∂u
|.
Podemos ter ~n = ~n1 ou ~n = − ~n1.∫ ∫
S
~f · ~nds = ±
∫ ∫
R
~f(~r(u, v)) · (∂~r
∂u
× ∂~r
∂u
)dudv.
O sinal depende da escolha de ~n.
Exemplo 167: Calcular
∫ ∫
S
~f · ~nds, sendo ~f = x~i+ y~j + z~k e S a superf´ıcie esterior daesfera representada por ~r(u, v) = (a cos(u) cos(v), a sin(u) cos(v), a sin(v)), olequ ≤ 2pi e
−pi
2
≤ v ≤ pi
2
.
Exemplo 168: Seja S a superf´ıcie exterior do parabolo´ide ~r(x, y) = (x, y, x2 + y2),
(x, y) ∈ R, onde R = {(x, y)|x2+y2 ≤ 4}. Determinar
∫ ∫
S
~f ·~nds, sendo ~f = (3x,3y,−3z).
Interpretac¸a˜o f´ısica da integral
∫ ∫
S
~f · ~nds
Consideremos um fluido em movimento em um dom´ınio D do espac¸o. Sejam ~v(x, y, z) o
vetor velocidade do fluido no ponto (x, y, z) e ρ(x, y, z) a sua densidade. Seja ~f o campo
vetorial dado por ~f(x, y, z) = ρ(x, y, z)~v(x, y, z).
O vetor ~f tem a mesma direc¸a˜o da velocidade e seu comprimento tem dimenso˜es
massa
unid. vol.
· distaˆcia
unid. tempo
=
massa
(unid. a´rea)(unid. tempo)
.
Assim, podemos dizer que ~f representa a quantidade de massa de fluido, por unidade
de a´rea e por unidade de tempo, que escoa na direc¸a˜o de ~v, em um ponto qualquer
(x, y, z) ∈ D.
Sejam S : ~r(u, v), (u, v) ∈ R, uma superf´ıcie parame´trica suave, contida em D, e ~n um
vetor unita´rio, normal a S.
A componente de ~f , na direc¸a˜o de ~n, e´ dada por |~f | cos(α) = |~f ||~n| cos(α) = ~f · ~n.
Portanto, de dS e´ o elemento de a´rea de superf´ıcie de S, o produto (~f · ~n)dS representa
o volume de um prisma cuja a´rea da base e´ dS e cuja altura e´ a componente de ~f na
direc¸a˜o de ~n. Podemos, enta˜o, dizer que (~f · ~n)dS nos da´ a quantidade de massa de
fluido que atravessa dS, na direc¸a˜o de ~n, em uma unidade de tempo.
A quantidade total de massa de fluido que atravessa a superf´ıcie S, na direc¸a˜o de ~n, em
uma unidade de tempo, sera´ dada por
φ =
∫ ∫
S
~f · ~ndS
e e´ chamda de fluxo do campo vetorial ~f , atrave´s da superf´ıcie S.
Exemplo 169: Um fluido de densidade constante, com velocidade ~v = (−2x,−2y, z),
escoa atrave´s da superf´ıcie S dada por ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2 − 1), o ≤ u ≤ 4,
0 ≤ v ≤ 2pi, na direc¸a˜o do vetor ∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
. Determinar a massa de fluido que atravessa S
em uma unidade de tempo.
Exemplo 170: Sejam S a superf´ıcie plana limitada pelo triaˆngulo de ve´rtice (4,0,0),
(0,4,0) e (0,0,4) e ~n um vetor unita´ario, normal a S, com componente z na˜o negativa.
Usando a representac¸a˜o vetorial de S dada por ~r(u, v) = (u + 2v, u− 2v,4− 2u), deter-
minar o fluxo do campo vetorial ~f = x~i+y~j+z~k, atrave´s da superf´ıcie S, na direc¸a˜o de ~n.
Exemplo 171: Seja S uma superf´ıcie suave representada na forma expl´ıcita z = z(x, y).
Usando x e y como paraˆmetros, determinar uma equac¸a˜o para calcular
∫ ∫
S
~f · ~nds.
Exemplo 172: Resolver o Exemplo 2, usando a forma expl´ıcita z = 4− x− y.
Exemplo 173: Seja S a parte do cone z = (x2+y2)
1
2 , delimitada pelo cilindro x2+y2 = 1,
com a normal apontando para fora. Calcular
∫ ∫
S
(2dydz + 5dzdx+ 3dxdy).
Exemplo 174: Sejam S uma superf´ıcie parame´trica suave, representada por ~r(u, v),
(u, v) ∈ R e ~n = ~n(u, v) um vetor unita´rio, normal a S. Se ~f e´ um campo vetorial
cont´ınuo definido sobre S e T e´ a componente de ~f na direc¸a˜o de ~n, mostrar que∫ ∫
S
~f · ~nds =
∫ ∫
S
TdS.
Esse resultado nos permite fazer uma ana´lise da integral de superf´ıcie de um campo
vetorial em diversas situac¸o˜es pra´ticas, como segue:
a) Se, em cada ponto da superf´ıcie S, o campo vetorial ~f for perpendicular ao vetor ~n,
a integral de ~f sobre S sera´ nula. Em particular, se ~f representa a densidade de fluxo
de um fluido em movimento, sera´ nulo o fluxo atrave´s da superf´ıcie S.
b) Se o aˆngulo entre ~f e ~n for agudo, a componente de ~f na direc¸a˜o de ~n sera´ positiva
e, dessa forma, teremos um fluxo positivo atrave´s de S.
c) Se o aˆngulo entre ~f e ~n for abtuso, a componente de ~f na direc¸a˜o de ~n sera´ negativa.
Nesse caso, teremos um fluxo negativo atrave´s de S. Na pra´tica, isso significa que o
fluido estara´ atravessando a superf´ıcie S no sentido contra´rio ao do vetor ~n.
Exemplo 175: Determinar o fluxo do campo vetorial ~f = (x, y,0) atrave´s da superf´ıcie
exterior do so´lido x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤ 4.
Teorema de Stokes
Seja S uma superf´ıcie orienta´vel, suave por partes, delimitada por uma curva fechada,
simples, suave por partes, C. Enta˜o, se ~g e´ um campo vetorial cont´ınuo, com derivadas
parciais de 1a ordem cont´ınuas em um dom´ınio que conte´m S ∪ C, temos∫ ∫
S
rot~g · ~ndS =
∫
C
~g · ~dr,
onde a integrac¸a˜o ao longo de C e´ efetuada no sentido positivo determinada pela
orientac¸a˜o de S, como vemos na figura abaixo
Se o campo ~g tem componentes g1, g2 e g3, (1) pode ser reescrita como∫
C
(g1dx+ g2dy + g3dz) =
∫ ∫
S
[
(
∂g3
∂y
− ∂g2
∂z
)dydz + (
∂g1
∂z
− ∂g3
∂x
)dzdx+ (
∂g2
∂x
− ∂g1
∂y
)dxdy
]
.
Exemplo 176: Usando o teorema de Stokes, calcular I =
∫
C
(y2dx+ z2dy+ x2dz), onde
C e´ o contorno da parte do plano x+y+z = a, a > 0 que esta´ no 1o octante, no sentido
anti-hora´rio.
Exemplo 177: Seja S a parte do gra´fico de z = 9− x2− y2, z ≥ 0 com normal exterior.
Determinar
∫ ∫
S
rot~g · ~ndS, sendo ~g = (3z,4x,2y).
Exemplo 178: Sejam S1 a superf´ıcie parabo´lica z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 4, com normal
exterior e S2 parte do plano z = 4 delimitada pelo cilindro x2 + y2 = 4, com normal
inferior. Mostrar que
∫ ∫
S1
rot~g · ~ndS =
∫ ∫
S2
rot~g · ~ndS, sendo ~g um campo vetorial com
derivadas parciais de 1o ordem cont´ınuas.
Exemplo 178: Calcular I =
∫
C
(sin(z)dx − cos(x)dy + sin(z)dz), onde C e´ o per´ımetro
do retaˆngulo 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ 1, z = 3 no sentido hora´rio.
Teorema da Divergeˆncia
Seja T um so´lido no espac¸o, limitado por uma superf´ıcie orienta´vel S. Se ~n e´ a normal
unita´ria exterior a S e se ~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i+ f2(x, y, z)~j + f3(x, y, z)~k e´ uma func¸a˜o
vetorial cont´ınua que possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em um fom´ınio
que conte´m T , enta˜o ∫ ∫
S
~f · ~ndS =
∫ ∫ ∫
T
div ~fdV
Exemplo 179: Calcular I =
∫
C
[(2x− z)dydz + x2dzdx− xz2dxdy], onde S e´ a superf´ıcie
exterior do cubo limitado pelos plaos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1.
Exemplo 180: Calcular a integral do exemplo anterior sobre S
′
, sendo S
′
a superf´ıcie
esterior do cubo, exceto a face que esta´ no plano z = 1.

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