Prova 2 Calculo III Lucy 2014.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
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2a Prova de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma D - 11/06/2014
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. Considere que uma curva C e´ descrita pela func¸a˜o vetorial r(t) =< 2t− 3, t2 − 1 >, t ∈ (R).
a)(10 pontos) Determine um ponto na curva dada no qual a curvatura e´ um ma´ximo absoluto.
b)(10 pontos) Determine o centro do c´ırculo osculador em t = 1.
c)(10 pontos) Fac¸a um esboc¸o de parte da curva, do vetor tangente unita´rio e do c´ırculo
osculador em t = 1.
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2. Considere uma curva C obtida como intersec¸a˜o da superficie x2+y2 = z2, z ≥ 0, com o cil´ındro
x = y2.
a)(10 pontos) Fac¸a um esboc¸o de parte da curva C.
b)(10 pontos) Defina Curva Lisa (Curva Suave). A curva C e´ lisa?
c)(10 pontos) Determine uma fo´rmula para calcular o comprimento, L, da curva do ponto
(1,−1,√2) ao ponto (1, 1,√2).
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3. Seja C a fronteira da regia˜o definida pelas desigualdades em coordenadas polares 1 ≤ r ≤ 2,
0 ≤ θ ≤ pi.
a)(15 pontos) Considerando C orientada no sentido antihora´rio determine uma parametrizac¸a˜o
para C.
b)(15 pontos) Determine, usando Ca´lculo III, o comprimento da curva C.
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4. Considere os campos vetoriais C1: F (x, y, z) =< −x,−y,−z > e C2: F (x, y, z) =< −y, x, 0 >
que representam a velocidade de um ga´s escoando no espac¸o.
a)(10 pontos) Fac¸a um esboc¸o dos campos vetoriais C1 e C2.
b)(10 pontos) Encontre a divergeˆncia de cada campo vetorial e interprete seu significado f´ısico.
c)(10 pontos) Encontre o rotacional de cada campo vetorial. Os campos sa˜o conservativos?