1ª lista de exercícios

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1a. Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo III - 2o. semestre de 2012
Professores: Lonardo (turma A) e Olimpio (turma C)
Prova: 14/12
1. Exerc´ıcios do Ca´lculo B (36).
• 7.6: (8) 2,3,8,14,15,19,20,24.
• 7.8: (7) 1,2,3,5,6,18,21.
• 7.10: (5) 13,16,17,18,19.
• 8.5: (4) 2,15,17,18.
• 8.7: (5) 13,15,16,18,23.
• 8.9: (7) 1,2,6,9,10,16,19.
2. Exerc´ıcios da Diomara (15).
• 5.4: (3) 1,2,4.
• 5.6: (7) 1,2,5,6,11,12,13.
• 5.11: (5) 3, 4(b,c,d),5.
3. Considere a transformac¸a˜o linear definida pelas equac¸o˜es{
x = x(u, v) = au + bv
y = y(u, v) = cu + dv
onde a, b, c, d sa˜o constantes reais. Calcule o determinante Jacobiano desta trans-
formac¸a˜o e derive a fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis definida por g.
4. Use (3) para calcular
∫∫
Q
(2x− y)2
2x + y
dx dy onde Q e´ o paralelogramo de ve´rtices
(1, 0), (2, 2), (1, 4) e (0, 2).
5. Calcule ∫ 1
−1
∫ 1
−1
| x− y | dxdy.
6. Estabelec¸a a equac¸a˜o dada aplicando uma mudanc¸a de varia´veis adequada na integral
dupla assumindo que f e´ uma func¸a˜o integra´vel qualquer.
(a) ∫∫
R
f(y − 2x)dxdy =
∫ 2
−2
f(u)du
onde R e´ o losango de ve´rtices (1, 0),(0, 2),(−1, 0) e (0,−2).
(b) ∫∫
R
f(x + y)dxdy =
∫ 1
−1
f(u)du , R = {(x, y) | |x|+ |y| ≤ 1}.
1
(c) ∫∫
R
f(xy)dxdy = ln(2)
∫ 2
1
f(u)du , R = {(x, y) : 1 ≤ xy ≤ 2; 0 ≤ x ≤ 2y; 0 ≤ y ≤ 2x}.
7. Estabelec¸a a equac¸a˜o dada aplicando uma mudanc¸a de varia´veis adequada na integral
tripla.
∫ x
0
(∫ v
0
[∫ u
0
f(t)dt
]
du
)
dv =
1
2
∫ x
0
(x− t)2f(t)dt.
8. Calcule o volume da regia˜o T = {(x, y, z) : 3x2 + 3y2 − 16 ≤ z ≤ 9− x2 − y2}.
9. Considere a integral
I =
∫ 1
0
∫ y
−y
∫ 1−y
0
(1− z)5dz dx dy.
(a) Escreva I na forma I =
∫ z1
z0
∫ y1
y0
∫ x1
x0
(1− z)5dz dx dy.
(b) Calcule o valor de I.
Respostas:
• (4): 43 ln(3).
• (5): 83 .
• (8): 625pi8 .
• (9)(b): 18 .
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