Avaliando Calculo II

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1.
 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
 
k 
 
 
 
2.
 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
3t2 i + 2t j 
 
 
 
3. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = 
t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
6ti+2j 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta 
correta. 
 
 
 
 
(0,-1,2) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 1+t,2+5t,-1+6t 
 
 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
1.
 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 
2i + j + π24k 
 
 
 
 
 
2.
 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 i + j + k 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 
v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 
 3π4+1 
 
 
 
 
5. 
 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(23)x+133 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-aw2coswt i - aw2senwt j 
 
 
 
 
 
7.
 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(sent)i + t4j 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(sent)i + 
t³j 
1. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta 
correta. 
 
 
 
(1-cost,sent,0) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 
 
(-sent, cost,1) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no 
ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i 
+ (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 
4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
5.
 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. 
Considere a resposta em t=π4 
 
 
 
 
(-22,22,π2) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 
 a(t)=3i+8j-6k 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + 
tcost)j + k 
1. 
 
 
 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
z=-8x+12y -14 
 
 
 
 
 
2.
 
 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula 
que se move ao longo de uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e 
(F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo 
de tempo I, as coordenadas da partícula 
são x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva 
que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da 
velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do 
movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
 
1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (F) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana 
para a equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
y = 2x - 4 
 
 
 
 
 
4.
 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a 
equação polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
(x - 2)2 + y2 = 4 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade 
angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. 
Indique a única resposta correta que determina a velocidade em um tempo t 
qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
- awsenwt i + awcoswtj 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.
 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
2sen(x - 
3y)cos(x 
- 3y) 
1.
 
 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1). 
Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a 
integral de f sobre C é: 
 
 
 
0 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a 
origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado 
a parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
 
 
0 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a 
hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds. 
 
 
2.(2π+8π33) 
 
 
 
 
 
6.
 
 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 2π2 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a função f(x,y)=y.lnx + x.ey . 
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F): 
1) ( ) A derivada da função f(x,y) em P(1,0) na direção do 
vetor v = i-j é nula. 
2) ( ) A função f(x,y) aumenta mais rapidamente na direção do 
vetor u= i + j. 
3) ( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2. 
4) ( ) A taxa de variação da função é 21/2 
5) ( ) A reta tangente à curva f(x,y) no ponto P(1,0) é y=x-1. 
 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (F) 4) (V) 5) (F) 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z e c o segmento 
de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a 
parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] . 
 
 
 23 
1. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). 
Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
 
 
 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
 
 
 
 
2.
 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z) 
 
 
( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
 
 
 
 
3.
 
 
 
Determine o plano tangente à superfície esférica 
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3). 
 
 
 
 x+6y+3z=22 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região 
do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. 
Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. 
Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar. 
 
 
 (0, -2, 0) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando 
integral dupla. . 
 
 
 
92u.a. 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura 
em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em 
A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em 
B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a 
alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula A deve 
tomar. 
 
 (-4, -6, -10) 
 
1.
 
 
 
Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1 
 
 
∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2 
 
 
 
 
 
2.
 
 
 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 
e-22 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-
x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor. 
 
 
 
π4 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
 
 7e-7 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
9/2 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
16 
 
 
 
 
 
7.
 
 
 
Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2) 
 
 
∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2) 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração 
 
 
2 
1. 
 
 
Calcule o módulo do operador rotacional do campo vetorial 
 V→=(ex+z.cosy)i+(x2.z-ey)j+(x.y2+z2seny)k no ponto P(0,0,1). 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial: 
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k 
 
 
 
 divV→=ex-ey+2zseny 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,3,4 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-
2t3j-3t3k, considerando 1≤t≤2. 
 
 
 
 
49 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a 
fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
 
 
-2 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcular o operador divergente aplicado ao campo 
vetorial V(X,Y,Z)=(xcosy)i+(xyz)j+(exz2)k no ponto (0,π4,22). 
 
 
 
 322 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma 
função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela 
 
função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta 
em relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de 
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
423 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Quais dos campos abaixo são conservativos? 
1. F=yzi+xzj+xyk 
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k 
3. F=yi+(x+z)j-yk 
4. F=-yi+xj 
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k 
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
 
 
 
campos 1, 2 e 6