Dissertação de mestrado

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DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Inversão de Velocidades Intervalares:
Aplicação em Modelo Sísmico da
Área do Pré-sal
THAÍS GOMES SANTANA
SALVADOR � BAHIA
DEZEMBRO � 2013
Documento preparado com o sistema L
A
T
E
X.
Documento elaborado com os recursos gráficos e de informática do CPGG/UFBA
Inversão de Velocidades Intervalares: Aplicação em Modelo Sísmico
da Área do Pré-sal
por
Thaís Gomes Santana
Geofísica (Universidade Federal da Bahia � 2009)
Orientador: Prof. Dr. Amin Bassrei
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Submetida em satisfação parcial dos requisitos ao grau de
MESTRE EM CIÊNCIAS
EM
GEOFÍSICA
ao
Conselho Acadêmico de Ensino
da
Universidade Federal da Bahia
Comissão Examinadora
Dr. Amin Bassrei - Orientador
Dr. Eduardo Telmo Fonseca Santos
Dr. Wilson Mouzer Figueiró
Aprovada em 18 de dezembro de 2013
A presente pesquisa foi desenvolvida no Centro de Pesquisa em Geofísica e Geologia da UFBA,
com recursos da ANP, CAPES, CNPq, FINEP e PETROBRAS.
S232 Santana, Thaís Gomes,
Inversão de Velocidades Intervalares: Aplicação em Modelo
Sísmico da Área do Pré-sal / Thaís Gomes Santana. � Salvador,
2013.
131f.: il.
Orientador: Prof. Dr. Amin Bassrei
Dissertação (Mestrado em Geofísica) - Universidade Federal
da Bahia, Instituto de Geociências, 2013.
1. Geofísica 2. Sismologia. 3. Inversão (Geofísica). 4. Pré-sal.
I. Bassrei, Amin. II. Universidade Federal da Bahia. Instituto de
Geociências. III. Título.
550.3:550.834
Resumo
Os métodos sísmicos utilizam a teoria de propagação de ondas elásticas no interior da Terra,
com o objetivo de adquirir imagens da em subsuperfície, para fins de exploração de alvos
comerciais. Tais métodos são os mais importantes para a indústria de petróleo, com des-
taque para a sísmica de reflexão. A determinação de velocidades intervalares é o principal
parâmetro buscado no processamento sísmico. Dentro de certas premissas um dado meio
pode ser parametrizado em camadas plano-paralelas. No processamento sísmico utiliza-se a
chamada fórmula de Dix, que utiliza como dados de entrada as velocidades RMS e os tempos
de reflexão, e como saída oferece uma estimativa das velocidades intervalares.
Nessa Dissertação a estimação de velocidades intervalares é considerada como um pro-
blema inverso mal posto. Duas abordagens são consideradas: (i) a inversa generalizada cuja
implementação numérica é efetuada pela decomposição por valores singulares (SVD), e (ii)
o método da entropia relativa mínima (MRE). A primeira abordagem é classificada como
determinística e a segunda como probabilística. Ambas as abordagens permitem a incorpo-
ração de informação a priori, o que não é possível quando se utiliza a fórmula de Dix. A
incorporação da informação a priori é mais crucial em problemas inversos subdeterminados,
onde o número de incógnitas é superior ao número de equações.
Foram feitas simulações em vários modelos sintéticos unidimensionais, embora o desta-
que maior seja para um modelo sintético bidimensional inspirado numa seção da área do
Pré-sal da Bacia de Santos. No caso a sessão bidimensional em decomposta em 1000 perfis
unidimensionais, onde o meio é considerado tendo camadas plano-paralelas. Para cada perfil
é realizada uma inversão, cuja entrada é formada por 50 ou 20 pares de velocidade RMS e
tempo de reflexão e a saída é o vetor de velocidades intervalares estimadas com 1000 veloci-
dades, sendo cada velocidade associada a uma camada. Depois, todos os 1000 resultados são
compostos de forma a se ter uma sessão bidimensional, que se trata de um modelo geológico
complexo que apresenta refletores curvos e camadas mergulhantes.
Os resultados foram satisfatórios para o SVD e o MRE, sendo o MRE ligeiramente
superior em algumas simulações.
3
Abstract
Seismic methods use the theory of elastic waves propagation in the Earth interior, in order
to acquire subsurface images with the purpose of exploration of commercial targets. Such
methods are the most important to the oil industry, with emphasis on the seismic reflection
method. The determination of interval velocities is the main parameter sought in seismic
processing. Under certain assumptions a given medium can be parameterized in plane par-
allel layers. In seismic processing is used the so called Dix formula, which uses as input the
RMS velocities and reflection times, and provides as output an estimate of interval velocities.
In this dissertation the estimation of interval velocities is considered as an ill-posed
inverse problem. Two approaches are considered: (i) the generalized inverse whose numerical
implementation is done by singular value decomposition (SVD), and (ii) the method of
minimum relative entropy (MRE). The first approach is classified as deterministic and the
second one as probabilistic. Both approaches allow the incorporation of a priori information,
which is not possible when using the Dix formula. The incorporation of a priori information
is more crucial in undetermined inverse problems, where the number of unknowns exceeds
the number of equations.
Simulations were performed on several synthetic one-dimensional models, although the
most important is a two-dimensional synthetic model inspired by a meeting of the pre-salt
section from Santos Basin. The two-dimensional section case is decomposed in 1000 one-
dimensional profiles, where the one-dimensional medium is considered with plane parallel
layers.
For each profile an inversion is performed, whose input consists of 50 or 20 pairs of RMS
velocity and reflection time and the output is the vector of 1000 estimated interval velocities,
being each velocity associated with a layer. Then, all 1000 results are compounded order
to have a two-dimensional section, which is a complex geological model which has curved
reflectors and dipping layers.
The results were satisfactory for the SVD and MRE, MRE being slightly superior in
some simulations.
4
Índice
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Índice de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Índice de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 Revisão de Problemas Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Teoria da Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Decomposição em Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Revisão de Processamento Sísmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Importação de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Edição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Silenciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Correção de Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Deconvolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Análise de Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Correção NMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.10 Empilhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11 Migração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5
Índice 6
3 Inversão de Velocidades Intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 Fórmula de Dix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Determinação de Velocidades Intervalares como um Problema Inverso . . . . 39
3.3 SVD com Informação a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 SVD com Adição de Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Entropia e Entropia Relativa Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 O Conceito da Entropia na Teoria da Informação . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 O Princípio da Entropia Máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 O Princípio da Entropia Relativa Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Aplicação da MRE em Problemas de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Implementação da MRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Noções de Geologia na Área do Pré-sal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Contexto Geológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Pré-sal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.1 Características da Reserva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Desafios do Pré-sal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Simulações Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1 Meios com camadas plano-paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.1 Modelo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.2 Modelo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.3 Modelo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.3.1 Dados com Informação A Priori . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.3.2 Dados com Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.3.3 Dados com Informação A Priori mais Ruído . . . . . . . . . 80
6.1.4 Modelo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.4.1 Dados com Informação A Priori . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.4.2 Dados com Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.4.3 Dados com Informação A Priori mais Ruído . . . . . . . . . 92
7 Simulações Computacionais em Dados Sintéticos do Pré-Sal . . . . . . 100
7.1 Simulações Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.1.1 Sem a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.1.1.1 Dados com Informação A Priori . . . . . . . . . . . . . . . 108
Índice 7
8 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Índice de Tabelas
6.1 Modelos de 100 camadas e erros associados. �v e �d correspondem ao erro dos
modelo e dado utilizando SVD, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Modelos de 100 camadas e erros associados. �v e �d correspondem ao erro dos
modelo e dado utilizando MRE, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 Modelos de 100 camadas e erros associados. �ruido, �v, �d e �d∗ correspondem
ao erro dos ruído, modelo, dado ruidoso e dado observado, respectivamente,
relacionado ao SVD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Modelos de 100 camadas e erros associados. �ruido, �v, �d e �d∗ correspondem
ao erro dos ruído, modelo, dado ruidoso e dado observado, respectivamente,
relacionado ao SVD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Modelos de 100 camadas e erros associados. �v e �d correspondem ao erro dos
modelo e dado usando SVD, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.6 Modelos de 100 camadas e erros associados. �v e �d correspondem ao erro dos
modelo e dado usando MRE, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.7 Modelos de 100 camadas e erros associados. �ruido, �v, �d e �d∗ correspondem
ao erro dos ruído, modelo, dado ruidoso e dado observado, respectivamente,
relacionado ao SVD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.8 Modelos de 100 camadas e erros associados. �ruido, �v, �d e �d∗ correspondem
ao erro dos ruído, modelo, dado ruidoso e dado observado, respectivamente,
relacionado ao SVD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1 Velocidades intervalares verdadeiras do modelo sintético bidimensional. . . . 102
7.2 Modelos de 1000 camadas e erros associados. �v e �d correspondem ao erro dos
modelo e dado usando SVD, respectivamente, para diferentes quantidades de
velocidades RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3 Modelos de 1000 camadas e erros associados. �v e �d correspondem ao erro dos
modelo e dado usando MRE, respectivamente, para diferentes quantidades de
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8
Índice de Figuras
2.1 Formas de organização de traços sísmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Quatro tipos de representações do traço sísmico. Modificado de Silva (2004). 29
2.3 Os 4 tipos de corte de frequência utilizados em pacotes de processamento.
Figura modificada de Silva (2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Relação entre as coordenadas xS, xG, xm, h e os diferentes agrupamentos.
Cada ponto significa um traço sísmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Modelo de uma única camada onde S é a fonte, G é o geofone, M é o ponto
médio na superfície, X é a distância entre fonte e receptor na superfície e D é
o ponto de reflexão na base da camada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Efeito de um único traço com um evento de reflexão à esquerda. . . . . . . . 34
3.1 Modelo de camadas plano-horizontais. Um mesmo ponto comum em profun-
didade é associado a dois pares fonte-receptor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1 Formação dos continentes há 122 milhões de anos. Reconstrução Paleogeo-
gráfica - Aptiano. Figura retirada do Instituto Brasileiro de Petróleo, Gás e
Biocombustíveis (www.ibp.org.br). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Seção geológica na Bacia de Santos. Figura retirada do Instituto Brasileiro
de Petróleo, Gás e Biocombustíveis (www.ibp.org.br). . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Mapa das bacias brasileiras com camada de pré-sal. Figura extraída da Agên-
cia Nacional de Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (www.anp.gov.br). . 61
5.4 Modelo de acumulação. Figura modificada do Instituto Brasileiro de Petróleo,
Gás e Biocombustíveis (www.ibp.org.br). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Seção Esquemática. Figura extraída da Agência Nacional de Petróleo, Gás
Natural e Biocombustíveis (www.anp.org.br). . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1 Meio com 8 camadas plano-paralelas e 8 valores de velocidade RMS. . . . . . 71
6.2 Modelo A. Velocidades intervalares verdadeiras e velocidades RMS do modelo. 72
6.3 Modelo A. Velocidades intervalares verdadeiras e velocidades intervalares es-
timadas pela fórmula de Dix e pelo método SVD. . . . . . . . . . . . . . . . 72
9
Índice de Figuras 10
6.4 Meio com 8 camadas plano-paralelas e 4 valores develocidade RMS. . . . . . 73
6.5 Modelo B. Velocidades intervalares verdadeiras e velocidades RMS do modelo. 74
6.6 Modelo B. Velocidades intervalares verdadeiras, e velocidades intervalares es-
timadas pela fórmula de Dix e pelo método SVD. . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.7 Meio com 100 camadas plano-paralelas com 100 velocidades intervalares ver-
dadeiras com aumento linear constante e 10 valores de velocidade RMS. . . . 75
6.8 Modelo C. Velocidades intervalares verdadeiras e velocidades RMS do modelo. 76
6.9 Modelo C. Velocidades intervalares verdadeiras, via Dix e SVD, sem informa-
ção a priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.10 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix, SVD e MRE, com o a
priori constante de 2000m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.11 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix, SVD e MRE, com o a
priori aumentando 10m/s de uma camada para outra. . . . . . . . . . . . . 77
6.12 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix, SVD e MRE, com o a
priori aumentando 25m/s de uma camada para outra. . . . . . . . . . . . . 78
6.13 Comparação das velocidades intervalares obtidas via SVD para os ruídos usa-
dos com as velocidades intervalares verdadeiras. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.14 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.001. . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.15 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.16 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.17 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.18 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.19 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.20 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.21 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.22 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.23 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Índice de Figuras 11
6.24 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.25 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.26 Meio com 100 camadas plano-paralelas com 100 velocidades intervalares ver-
dadeiras aleatórias e 10 valores de velocidade RMS. . . . . . . . . . . . . . . 87
6.27 Modelo D. Velocidades intervalares verdadeiras e velocidades RMS do modelo. 87
6.28 Modelo D. Velocidades intervalares verdadeiras, via Dix e SVD, sem informa-
ção a priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.29 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix, SVD e MRE, com o a
priori constante de 2000m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.30 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix, SVD e MRE, com o a
priori aumentando 10m/s de uma camada a outra. . . . . . . . . . . . . . . 89
6.31 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix, SVD e MRE, com o a
priori aumentando 25m/s de uma camada a outra. . . . . . . . . . . . . . . 90
6.32 Comparação das velocidades intervalares obtidas via SVD para os ruídos usa-
dos com as velocidades intervalares verdadeiras. . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.33 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.001. . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.34 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.35 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.36 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori constante de 2000m/s e ruído de 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.37 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.38 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.39 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.40 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 10m/s e ruído de 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.41 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.42 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Índice de Figuras 12
6.43 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.44 Velocidades intervalares obtidas pela fórmula de Dix e pela SVD, considerando
o a priori variando 25m/s e ruído de 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1 Modelo bidimensional da área do Pré-sal. A escala de cores indica as veloci-
dades intervalares verdadeiras em m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Campo de velocidades RMS considerando 50 velocidades RMS. . . . . . . . . 103
7.3 Campo de velocidades RMS considerando 20 velocidades RMS. . . . . . . . . 103
7.4 Campo de velocidades intervalares obtidos pela fórmula de Dix usando 50
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 Campo de velocidades intervalares obtidos pela fórmula de Dix usando 20
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.6 Campo de velocidades intervalares obtidos pelo SVD usando 50 velocidades
RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.7 Campo de velocidades intervalares obtidos pelo SVD usando 20 velocidades
RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.8 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
pela fórmula de Dix usando 50 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.9 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
pela fórmula de Dix usando 20 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.10 Campo do resíduo entre as velocidadesintervalares verdadeiras e as obtidas
pelo SVD usando 50 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.11 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
pelo SVD usando 20 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.12 Velocidades intervalares a priori constante de 2000m/s. . . . . . . . . . . . 108
7.13 Velocidades intervalares a priori aumentando 5m/s de uma camada a outra. 108
7.14 Velocidades intervalares a priori sendo a VRMS. . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.15 Velocidades intervalares obtidas por SVD com o a priori constante de 2000m/s
e 50 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.16 Velocidades intervalares obtidas por SVD com o a priori constante de 2000m/s
e 20 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.17 Velocidades intervalares obtidas por SVD com o a priori aumentando 5m/s
de uma camada a outra e 50 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.18 Velocidades intervalares obtidas por SVD com o a priori aumentando 5m/s
de uma camada a outra e 20 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Índice de Figuras 13
7.19 Velocidades intervalares obtidas por SVD com o a priori sendo a VRMS e 50
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.20 Velocidades intervalares obtidas por SVD com o a priori sendo a VRMS e 20
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.21 Velocidades intervalares obtidas por MRE com o a priori constante de 2000m/s
e 50 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.22 Velocidades intervalares obtidas por MRE com o a priori constante de 2000m/s
e 20 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.23 Velocidades intervalares obtidas por MRE com o a priori aumentando 5m/s
de uma camada a outra e 50 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.24 Velocidades intervalares obtidas por MRE com o a priori aumentando 5m/s
de uma camada a outra e 20 velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.25 Velocidades intervalares obtidas por MRE com o a priori sendo a VRMS e 50
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.26 Velocidades intervalares obtidas por MRE com o a priori sendo a VRMS e 20
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.27 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via SVD para o a priori constante de 2000m/s e 50 velocidades RMS. . . . 115
7.28 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via SVD para o a priori constante de 2000m/s e 20 velocidades RMS. . . . 116
7.29 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via SVD com o a priori aumentando 5m/s de uma camada a outra e 50
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.30 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via SVD com o a priori aumentando 5m/s de uma camada a outra e 20
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.31 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via SVD com o a priori sendo a VRMS e 50 velocidades RMS. . . . . . . . . 117
7.32 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via SVD com o a priori sendo a VRMS e 20 velocidades RMS. . . . . . . . . 118
7.33 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via MRE para o a priori constante de 2000m/s e 50 velocidades RMS. . . . 118
7.34 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via MRE para o a priori constante de 2000m/s e 20 velocidades RMS. . . . 119
7.35 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via MRE com o a priori aumentando 5m/s de uma camada a outra e 50
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Índice de Figuras 14
7.36 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via MRE com o a priori aumentando 5m/s de uma camada a outra e 20
velocidades RMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.37 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via MRE com o a priori sendo a VRMS e 50 velocidades RMS. . . . . . . . 120
7.38 Campo do resíduo entre as velocidades intervalares verdadeiras e as obtidas
via MRE com o a priori sendo a VRMS e 20 velocidades RMS. . . . . . . . 121
Introdução
Os métodos sísmicos se baseiam na teoria de propagação de ondas acústicas e elásticas nos
diferentes meios. A sísmica de reflexão é o método geofísico mais usado na indústria de
petróleo devido ao seu poder de resolução.
Nesta pesquisa foram utilizadas diferentes formas de obter o campo de velocidades inter-
valares e suas respectivas aplicações na área do pré-sal. A velocidade intervalar é a velocidade
de propagação do pulso sísmico em um dado meio ou camada geológica, e sua determinação
interfere diretamente nas etapas posteriores do processamento sísmico, tais como: correção
NMO, empilhamento e migração. Portanto, a estimativa precisa do campo de velocidades
intervalares permite caracterizar o meio analisado, além de garantir resultados de maior
confiabilidade quanto à qualidade da imagem obtida.
Para modelos geológicos simples, ou seja, modelos de interfaces plano-horizontais, a
utilização da fórmula de Dix é a forma convencional de determinar essas velocidades a partir
das velocidades RMS dentro de um pacote de processamento. A definição da velocidade
RMS está relacionada aos raios que incidem verticalmente com ângulo de 90
◦
na interface de
reflexão, ou seja, é um conceito ligado ao arranjo de afastamento nulo. Além disso, segundo
alguns autores, pode se tratar também de uma abstração matemática e não tem significado
físico real.
Os modelos utilizados nesse trabalho serão mais complexos, assim como acontece com a
maioria dos modelos geofísicos. Consequentemente, a fórmula de Dix não é adequada nes-
sas situações, já que os mesmos apresentam refletores curvos e/ou camadas mergulhantes.
Então, uma saída é tratar a obtenção do campo de velocidades intervalares como um pro-
blema inverso a ser resolvido com a utilização da decomposição em valores singulares. Em
trabalhos anteriores, essa abordagem tem-se mostrado viável e robusta a erros numéricos e
possíveis flutuações no processo de obtenção do campo de velocidades intervalares a partir
das velocidades RMS, apresentando algumas vantagens sobre o método convencional, tal
como a incorporação de informação prévia no processo de inversão.
A aplicação da formulação de problemas inversos, usando SVD (sem e com informação
15
Introdução 16
prévia) e Entropia Relativa Miníma, matematicamente falando, tem como objetivo obter
operadores de inversão e matrizes de funções de transferência, em casos onde o problema
é mal condicionado ou apresenta outras características que dificultem uma solução trivial.
Essa técnica foi aplicada nos dados sintéticos unidimensionais, utilizando rotinas FORTRAN
que foram desenvolvidas no CPGG/UFBA para determinar as velocidades intervalares do
meio, para validar sua eficácia. Posteriormente, o mesmo foi feito com dados sintéticos
bidimensionais simulando o pré-sal, baseados no artigo de (Assine et al., 2008).
1
Revisão de Problemas Inversos
1.1 Sistemas Lineares
Podemos definir um sistema de equações lineares com M equações e N incógnitas comoum
conjunto de equações do tipo:

g11m1 + g12m2 + . . .+ g1NmN = d1,
g21m1 + g22m2 + . . .+ g2NmN = d2,
.
.
.
gM1m1 + gM2m2 + . . .+ gMNmN = dM ,
(1.1)
onde os gij são os coeficientes do sistema e o vetor m, cujos elementos m1,m2, ...,mN satis-
fazem o sistema 1.1, é chamado de vetor solução do sistema linear. De uma forma compacta,
o sistema de equações pode ser expresso como d = Gm. Esse sistema também pode ser
representado na forma ampliada com a utilização da matriz ampliada:

g11 g12 . . . g1N d1
g21 g22 . . . g2N d2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
gM1 gM2 . . . gMN dM
 . (1.2)
Levando-se em consideração a matriz G e sua respectiva matriz ampliada G˜ para um
sistema M ×N , onde N é o número de incógnitas do sistema, temos:
• se posto(G) = posto(G˜) e posto(G) = N , o sistema é determinado e possui solução
única, o vetor m;
17
Revisão de Problemas Inversos 18
• se posto(G) = posto(G˜) e posto(G) < N , o sistema é sobredeterminado e possui
infinitas soluções;
• se posto(G) < posto(G˜), o sistema é subdeterminado e não existe solução.
1.2 Teoria da Inversão
O vetor de dado é expresso como,
d = [d1, d2, d3, . . . , dM ]
T , (1.3)
enquanto que o vetor parâmetros de modelo como,
m = [m1,m2,m3, . . . ,mN ]
T . (1.4)
Na modelagem direta, os dados são obtidos a partir dos parâmetros de modelo. Em
outras palavras, determina-se os efeitos de um sistema, onde se conhecem as causas. A for-
mulação clássica do problema linear direto em Geofísica, segundo Menke (1984) e Tarantola
(1987), é expressa como:
d = Gm. (1.5)
Os vetores d e m tem dimensões M × 1 e N × 1, definidos anteriormente. A matriz
GM×N relaciona o vetor dos dados observados com os parâmetros do modelo:

g11 g12 . . . g1N
g21 g22 . . . g2N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
gM1 gM2 . . . gMN
 . (1.6)
Os problemas inversos podem ser formulados comumente por equações integrais, onde a
função incógnita que descreve os parâmetros do modelo faz parte do integrando. A equação
abaixo é um exemplo de equação integral utilizada na inversão de dados.
d(x) = n(x) +
∫
G(x, y)m(y)dy, (1.7)
onde,
Revisão de Problemas Inversos 19
• d(x) é a função que representa os dados, conhecida no processo de inversão;
• n(x) representa a função ruído;
• G(x, y) é a função Kernel e depende de duas variáveis, também conhecida;
• m(y) é a função que representa os parâmetros do modelo, função incógnita.
Ela corresponde a equação linear de Fredholm de primeira espécie definida por:
d(x) =
∫ b
a
G(x, y)m(y)dy, (1.8)
que é advinda da equação:
d(x) =
∫ b
a
G[x, y,m(y)]m(y)dy, (1.9)
para o caso não linear.
Na maior parte dos problemas geofísicos, o que se obtém é um vetor que contém as
estimativas dos parâmetros do modelo, devido a ruídos ou ao caráter indireto dos métodos
geofísicos de investigação. Neste caso, temos uma modelagem inversa, onde os parâmetros
de subsuperfície são obtidos a partir de observações feitas em superfície. Dessa forma,
d
calc = g(mest), (1.10)
onde d
calc
é o vetor dos dados calculados a partir dos parâmetros estimados m
est
e g é o
operador não linear que faz o relacionamento entre dados e parâmetros. A matriz G no
caso linear, é muitas vezes, uma aproximação do operador g. Supondo que a matriz G é
conhecida, utilizando a sua matriz inversa e a equação (1.5), podemos chegar a formulação
do problema inverso linear clássico, expresso por:
m = G−1d. (1.11)
A determinação do operador inverso G−1 fica condicionada ao formalismo da matriz G
ser quadrada ou possuir posto completo. Esse tipo de condicionamento é muito restritivo em
problemas reais, já que esses problemas geralmente apresentam operadores não quadrados,
esparsos ou de posto incompleto. Essa deficiência torna necessário o estudo de técnicas e
estratégias de resolução aplicadas a esses operadores, tais como os mínimos quadrados, os
Revisão de Problemas Inversos 20
mínimos quadrados amortecidos e a decomposição em valores singulares (SVD). No último
caso, determinamos os parâmetros do modelo m, utilizando a seguinte equação:
m = G+d, (1.12)
onde G+ é uma matriz N ×M chamada de inversa generalizada ou pseudo-inversa.
Utilizando os mínimos quadrados, podemos encontrar uma estimativa dem que minimiza
a função erro do problema, E(m):
E(m) = e = ‖d−Gm‖2, (1.13)
onde ‖.‖2 é a norma Euclideana Lp, para p=2. O próximo passo é minimizar o somatório
dos quadrados dos resíduos que é dado pela função objetivo:
φ(m) = eTe = (d−Gm)T (d−Gm), (1.14)
φ(m) = (dT −mTGT )(d−Gm), (1.15)
φ(m) = dTd− dTGm−mTGTd+mTGTGm. (1.16)
Considerando que d
TGm =mTGTd, temos:
φ(m) = dTd− 2mTGTd+mTGTGm. (1.17)
Minimizando a função objetivo:
∂φ(m)
∂mT
= −2GTd+ 2GTGm. (1.18)
Fazendo,
∂φ(m)
∂mT
= 0, (1.19)
Revisão de Problemas Inversos 21
podemos escrever o problema dos mínimos quadrados em termos da equação (1.12), partindo
da solução dos mínimos quadrados:
−2GTd+ 2GTGm = 0, (1.20)
−2GTd = −2GTGm, (1.21)
GTd = GTGm, (1.22)
m = (GTG)−1GTd. (1.23)
Obtemos as equações análogas, utilizando a pseudo-inversa. Uma das soluções é então
expressa como:
m = (GTG)+GTd. (1.24)
Na equação (1.24), o método dos mínimos quadrados é aplicado a sistemas sobredeter-
minados e com a distribuição de resíduos como uma função de densidade Gaussiana.
Repetindo os mesmos passos pecorridos no caso dos mínimos quadrados convencional
e considerando a função objetivo abaixo que combina a minimização do erro associado aos
dados como no MMQ convencional a um termo relacionado ao amortecimento dos parâmetros
do modelo:
φ(m) = eTe+ α2L2 = e
T
e+ α2mTm, (1.25)
φ(m) = (dT −mTGT )(d−Gm) + α2mTm, (1.26)
φ(m) = dTd− dTGm−mTGTd+mTGTGm+ α2mTm. (1.27)
Repetindo o processo de minimização da função objetivo, teremos:
∂φ(m)
∂mT
= 0, (1.28)
Revisão de Problemas Inversos 22
assim,
−2GTd+ 2GTGm+ 2α2m = 0, (1.29)
2GTd = 2GTGm+ 2α2m, (1.30)
2GTd = 2m(GTG+ α2I). (1.31)
Por fim, mutiplicando ambos os lados da igualdade por (GTG + α2I)−1. A solução é então
expressa como:
m = (GTG+ α2I)+GTd, (1.32)
onde α2 é chamado de fator de amortecimento.
Logo, temos a equação 1.32. Onde esse método é aplicado a sistemas subdeterminados
e trata-se dos mínimos quadrados amortecidos proposto por Levenberg (1944) e Marquardt
(1963).
A solução dos mínimos quadrados amortecidos é sensível e está diretamente relacionado
ao parâmetros α, presente na diagonal principal do termo α2I. A solução implica que α seja
diferente de 0, caso contrário voltamos à formulação do MMQ convencional. A escolha desse
parâmetro α é decisiva na relação acurácia × viabilidade da solução MMQ. Valores grandes
de α tornam a solução viável, mas menos precisa. Valores muito pequenos de α tornam a
solução mais precisa, mas comprometem a viabilidade dos dados.
Os parâmetros do modelo estudado m, utilizando o método SVD, não são determinados
de qualquer maneira. Um problema linear é considerado bem posto ou bem condicionado se
satisfaz às condições de existência, unicidade e estabilidade (Santos-Neto, 2009).
1. Condição de Existência
No caso de problemas inversos normalmente encontramos solução indeterminada para
resolver os sistemas lineares. Por exemplo: Partindo-se do pressuposto de que uma
medição será feita num meio isotrópico (independente da direção), os resultados não
serão afetados, logo temos uma condição necessária para a existência da solução. Po-
rém se os dados responderem anisotropicamente, comprometeria a solução do sistema.
Neste caso, se esse sistema possui solução precisamos saber se ela é única.
Revisão de Problemas Inversos 23
2. Condição de Unicidade
A unicidadeé um aspecto matemático de grande importância na Geofísica, mas muito
difícil de ser atendido já que alguns problemas reais não são discretos. A sua falta é a
existência de vários conjuntos de parâmetros que produzem os mesmos preditos. Logo,
a unicidade pode ser atendida se reformularmos o problema para que o mesmo inclua
requisitos adicionais, tal como buscar uma solução de norma mínima.
3. Condição de Estabilidade
O conceito de estabilidade, associado a problemas matemáticos, está relacionado ao
grau de dependência entre a solução e os dados do problema. Sendo assim, uma solu-
ção é dita estável se depende continuamente dos dados. Como as prováveis variações
nos dados do problema não afetam significativamente a solução do mesmo, temos um
problema estável.
Essa condição é muito mais difícil de ser alcançada que as outras, pois os problemas
em Geofísica, em geral, tendem a ser instáveis, devido a ruídos de diversas origens que
constantemente afetam as grandezas medidas em superfície. Esses ruídos estão rela-
cionados a variações instrumentais, erros analíticos, erros de medição, dentre outros,
juntamente com o caráter de investigação indireto dos métodos.
Um importante meio de fazer a avaliação do grau de estabilidade de um determinado
sistema é aplicar o conceito do número de condição ao operador que faz o relaciona-
mento entre dados e parâmetros desse sistema. O conceito de condicionamento e do
número de condição é uma forma de analisar o grau de dificuldade relativo ao processo
de inversão de um determinado sistema que pode ser representado pela Equação 1.5.
Considerando que m+ δm seja a representação da solução de um sistema perturbado
por d+ δd, a partir da equação (1.5) obtemos:
d+ δd = G(m+ δm), (1.33)
d+ δd = Gm+Gδm, (1.34)
d+ δd−Gm = Gδm, (1.35)
como d = Gm,
δd = Gδm, (1.36)
Revisão de Problemas Inversos 24
G−1δd = δm. (1.37)
Considerando-se a equação (1.5) e que δm = G−1δd, deduz-se pela Desigualdade de
Schwartz, que:
‖Gm‖ ≤ ‖G‖‖m‖, (1.38)
assim,
‖d‖ ≤ ‖G‖‖m‖, (1.39)
e
‖δm‖ ≤ ‖G−1‖‖δd‖. (1.40)
Pré-mutiplicando a equação (1.40) por ‖G‖ é possível obter:
‖G‖‖δm‖ ≤ ‖G‖‖G−1‖‖δd‖, (1.41)
‖δd‖
‖δm‖‖δm‖ ≤ ‖G‖‖G−1‖‖δd‖, (1.42)
‖δm‖
‖m‖ ≤ ‖G‖‖G−1‖‖δd‖‖d‖ . (1.43)
Podemos reescrever a equação acima de modo que:
‖δm‖
‖m‖ ≤ NC ‖δd‖‖d‖ . (1.44)
A expressão (1.44) resulta da definição do número de condição. O numero de condição
de uma matriz é definido como:
NC = ‖G‖‖G−1‖. (1.45)
A interpretação do real significado associado ao número de condição vem da equação
(1.44). Para um determinado erro relativo associado ao dado ‖δd‖/‖d‖, o erro relativo
da solução ‖δm‖/‖m‖ pode admitir uma faixa maior de valores possíveis, o quanto
maior for o número de condição. Desta forma, para valores do número de condição
Revisão de Problemas Inversos 25
próximos de 1, temos praticamente a mesma faixa de variação entre os erros relativos
dos dados e da solução, fato este que caracteriza o bom condicionamento do sistema
e, por consequência, sua estabilidade. Para valores altos do número de condição, o
erro relativo da solução do sistema assume uma faixa muito ampla de variação quando
comparado ao erro relativo associado aos dados do modelo, uma vez que ampliado o
erro relativo aos dados, observamos uma faixa de variação ainda maior do erro relativo
associado à solução do sistema. Esses fatos caracterizam o mal-condicionamento do
sistema, bem como a sua instabilidade. O número de condição também pode ser
dado em função dos autovalores de um sistema. Segundo Hansen (1998), as normas
matriciais podem ser expressas em função dos autovalores das matrizes, λ:
‖G‖ = λ1, (1.46)
e
‖G−1‖ = λk−1, (1.47)
desta forma,
NC =
λmax
λmin
. (1.48)
De acordo com a equação (1.48), podemos facilmente, a partir dos autovalores associ-
ados ao sistema, determinar o grau de condicionamento e por consequência, o grau de
estabilidade de um determinado problema a ser invertido.
Enfim, caso o problema seja instável, faz-se necessário reformular o problema de modo
a se obter um novo problema que seja menos sensível às perturbações nos dados.
1.3 Decomposição em Valores Singulares
A decomposição em valores singulares tem como objetivo obter uma matriz inversa
generalizada (Penrose, 1955).
Considere a equação (1.5). A matriz G com sistema M × N pode ser decomposta da
seguinte forma:
G = UΣV T . (1.49)
Revisão de Problemas Inversos 26
Para uma matriz G retangular, de posto k, definimos formalmente os elementos da
decomposição em valores singulares de modo que:
• U é uma matriz M ×M formada pelos autovetores ortonormalizados de GGT ,
• Σ é uma matriz diagonalM×N que contém a raiz quadrada dos autovalores da matriz
GTG, denominadas de valores singulares,
• V é uma matriz N ×N formada pelos autovetores ortonormalizados da matriz GTG.
A matriz inversa generalizada pode ser encontrada mediante a seguinte formulação:
G+ = V Σ+UT . (1.50)
Essa matriz correspondente a uma matriz G deve ser caracterizada de modo único uti-
lizando as condições de Penrose:
• GG+G = G;
• G+GG+ = G+;
• (GG+)T = GG+;
• (G+G)T = G+G.
Caso uma matriz G satisfaça todas essas equações, então G é única. Apesar de resolver
o problema teoricamente, o cálculo da pseudo-inversa, na maioria dos casos, é muito caro
do ponto de vista computacional. Por exemplo, no caso de uma matriz quadrada N × N ,
necessita-se de um número de operações da ordem de N3.
Muitas vezes encontramos inversas aproximadas, que não satisfazem as quatro condições
de Penrose, mas que de alguma forma se aproximam da pseudo-inversa. Note que se uma
inversa aproximada satisfaz as condições de Penrose, então, por unicidade, é a pseudo-inversa.
2
Revisão de Processamento Sísmico
O processamento sísmico é muito importante na sísmica, pois possibilita uma melhor vi-
sualização do dado em subsuperfície. O processamento de uma linha sísmica tem as seguintes
etapas:
• Importação dos dados
• Geometria
• Edição
• Silenciamento
• Correção de amplitude
• Filtragem
• Deconvolução
• Organização CDP
• Análise de velocidade
• Correção NMO e silenciamento stretch
• Empilhamento
• Migração
27
Revisão de Processamento Sísmico 28
Durante o processamento, a utilização ou não de uma etapa vai depender da qualidade
do dado, das ferramentas disponíveis, da experiência de quem está processando e do objetivo
a ser alcançado.
2.1 Importação de dados
Os dados sísmicos de entrada e saída são registrados na maioria das vezes no formato SEG-
Y. Este formato é definido pela Society of Exploration Geophysicists e tornou-se o formato
padrão mais utilizado na permuta de dados sísmicos nas companhias petrolíferas.
2.2 Geometria
A geometria é uma etapa fundamental no processamento sísmico e deve receber atenção
especial, pois é nela que informamos as corretas posições de fontes e receptores que serão
utilizadas no restante do processamento. O objetivo é registrar no header (cabeçalho) de
cada traço sísmico, as coordenadas: de ponto de tiro, de receptor, do ponto médio comum,
do offset e de outras informações. Esse procedimento possibilitará a organização dos traços
em família CDP ou outras formas de organização conforme pode ser visto na Figura 2.1.
Figura 2.1: Formas de organização de traços sísmicos.
2.3 Edição
Para melhor visualizar o dado sísmico, as seguintes opções de representação são mostradas
na Figura 2.2:
Revisão de Processamento Sísmico 29
Auto VD VA VAWG
Figura 2.2: Quatro tipos de representações do traço sísmico. Modificado de Silva
(2004).
• Auto: as amplitudes positivas e negativas são representadas por simples curvas;
• Área Variável (VA): somente são representadas as amplitudes positivas preenchidas em
preto queficam a direita do centro do traço. Essa opção é a mais usada quando se
deseja gerar uma versão reduzida de uma seção sísmica;
• Área variável mais wiggle (VA+WIGGLE): as amplitudes positivas e negativas são
representadas por uma simples curva, além de serem preenchidas pelas cores branco e
preto respectivamente (padronizado pela SEG). Trata-se da opção mais utilizada para
representar o traço sísmico;
• Densidade variável (VD): as amplitudes são diferenciadas empregando-se escalas de
cores e cinza.
A edição pode ser realizada em qualquer etapa do processamento, porém recomenda-se que
seja realizada antes ou logo após a montagem da geometria. Nela faz-se uma visualização
prévia dos sismogramas que estão geralmente no domínio do tiro. Como a perda de energia
durante a propagação da onda sísmica compromete a visualização dos dados, normalmente
são aplicados neles um ganho automático. Por fim, erros de geometria são corrigidos, e os
traços e tiros ruidosos são eliminados total ou parcialmente.
2.4 Silenciamento
A utilização do silenciamento não é restrita apenas à fase do pré-processamento, sendo sua
aplicação recomendada também antes da deconvolução e da análise de velocidade. Ela tem
Revisão de Processamento Sísmico 30
como finalidade anular o valor de amplitude de parte dos traços sísmicos, eliminando áreas
ruidosas do sismograma. A área ruidosa dos traços das famílias de tiro comum, compreendida
entre os tempos zero e os tempos da primeira chegada pode ser eliminada sem maiores
problemas definindo-se uma função silenciamento, assim como a onda direta e as refrações
sísmicas, presentes nos dados sísmicos de reflexão. O silenciamento interno é usado para
cancelar traços próximos de reflexões múltiplas que se alinham durante o empilhamento com
a mesma velocidade do sinal primário. Por afetar o sinal primário este processo é geralmente
evitado. O silenciamento externo procura atenuar as ondas diretas ou superficiais e as
refrações rasas, que geralmente têm forte amplitude e funcionam como ruído.
2.5 Correção de Amplitude
A correção de amplitude dos traços sísmicos se faz necessária devido a vários fatores contri-
buírem para a perda de energia e atenuação do sinal sísmico com o tempo de propagação
da onda elástica no interior da Terra, os quais podemos destacar a divergência esférica, a
absorção e as perdas por transmissão entre as interfaces.
2.6 Filtragem
As filtragens podem ser realizadas nos domínios da frequência e do tempo. A filtragem de
frequência tem como objetivo remover os componentes de frequências indesejados do dado
sísmico e passar o resto do dado, através do filtro, sem alterar as faixas desejadas. Ondas
superficiais, por exemplo, são usualmente observadas como eventos de baixa frequência e alta
amplitude e podem ser atenuadas com um filtro de frequência. A filtragem é normalmente
feita no domínio da frequência. A transformada de Fourier é necessária antes da filtragem e
sua transformada inversa é necessária depois.
Existem pacotes de processamento com 4 tipos de cortes de frequência ilustrados na
Figura 2.3:
• Passa banda - limita a faixa de frequência de um sinal eliminando ou atenuando faixas
baixas ou altas;
• Passa baixas - tem a função de atenuar ou remover frequências mais altas;
• Passa altas - tem a função de remover as frequências mais baixas;
• Rejeita banda - é justamente o inverso do passa banda.
Revisão de Processamento Sísmico 31
PASSA 
BAIXA
REJEITA 
BANDA
PASSA 
BANDA
PASSA 
ALTA
Figura 2.3: Os 4 tipos de corte de frequência utilizados em pacotes de processa-
mento. Figura modificada de Silva (2004).
2.7 Deconvolução
Deconvolver é obter a estimativa de um filtro inverso que quando convolvido com o pulso
básico, o converta em um impulso. Esse deve ser capaz de fornecer a resposta impulsional
da Terra quando aplicado ao traço sísmico.
A deconvolução é muito eficiente para se obter um aumento na resolução temporal ou
vertical dos traços sísmicos, além de ser bastante empregada na atenuação das reflexões
múltiplas e na remoção de parte das reverberações. Por esses e outros benefícios, torna-se um
dos elementos principais nos processamentos convencionais. Normalmente a deconvolução é
usada antes do empilhamento, mas também pode ser aplicada após o mesmo.
2.8 Análise de Velocidades
A analise de velocidades é uma das etapas mais importantes neste trabalho, pois nela,
determinaram-se as velocidades das camadas em subsuperfície que foram usadas nas seções
empilhada e migrada.
Em modelos de camadas planas horizontais, quando fazemos organização em famílias
CMP, teremos vários traços que correspondem a eventos acontecidos em subsuperfície, e esses
possuem um único ponto de incidência em profundidade. Essas reflexões de um determinado
refletor são representadas no domínio CMP por formas aproximadas de hipérboles.
Assumindo estes modelos organizado em famílias CMP é possível fazer a correção de
Revisão de Processamento Sísmico 32
retardo de chegada das reflexões causadas pelo afastamento entre fonte e receptor, com
relação ao tempo de incidência normal ao refletor. Essa correção é conhecida como correção
NMO.
2.9 Correção NMO
Em aquisições de dados sísmicos 2D, fontes e receptores são movidos mais ou menos ao
longo de uma linha reta. A distância entre a fonte e cada receptor é chamada afastamento.
A posição do CMP é definida como sendo o ponto médio entre uma fonte e um receptor.
Pares de fonte e receptor com a mesma posição de CMP são reunidos formando uma família
de CMPs, como pode ser visto através da Figura 2.4. As coordenadas de CMP e de meio
afastamento são dadas por:
xm =
4xG +4xS
2
, (2.1)
e
hm =
4xG −4xS
2
, (2.2)
onde, xG e xS são as distâncias relativas de uma fonte S e de um receptor G em relação ao
ponto central x0.
Revisão de Processamento Sísmico 33
Figura 2.4: Relação entre as coordenadas xS, xG, xm, h e os diferentes agrupamen-
tos. Cada ponto significa um traço sísmico.
Para um meio horizontalmente estratificado com velocidade constante, uma geometria
CMP compreende todos os raios que incidem no mesmo ponto refletor. Portanto, uma
família CMP contém informação redundante da subsuperfície, sendo esta a base para o
empilhamento CMP. Considerando que eventos em traços de diferentes afastamentos trazem
informações de um mesmo ponto comum do refletor, estas informações redundantes podem
ser somadas construtivamente aumentando a razão sinal/ruído.
Na Figura 2.5, considerando-se o ponto médio M, o tempo para o deslocamento no
caminho SDG é t(x), onde x é o valor possível de afastamento entre a fonte e o receptor
(SG). Definindo-se t(0) como o tempo para percorrer duas vezes o caminho MD, é possível
determinar t(x) usando o teorema de Pitágoras,
t(x)2 = t(0)2 +
(x
v
)2
, (2.3)
Revisão de Processamento Sísmico 34
Figura 2.5: Modelo de uma única camada onde S é a fonte, G é o geofone, M é
o ponto médio na superfície, X é a distância entre fonte e receptor na
superfície e D é o ponto de reflexão na base da camada.
onde v é a velocidade do meio e t(0) (t(0) = 2MD) é o tempo de percurso de afastamento
nulo, ou seja, o tempo de percurso medido para fonte e receptor coincidentes (x = 0). A
equação apresenta a forma matemática de uma hipérbole. A diferença de tempo ∆tNMO
entre o tempo de percurso t(x) (t(x) = SDG) para um afastamento específico e o tempo de
percurso para afastamento nulo t(0) é chamada de correção normal moveout (NMO). Em
outras palavras, o normal moveout descreve o efeito do afastamento no tempo de percurso,
como podemos ver na Figura 2.6.
Figura 2.6: Efeito de um único traço com um evento de reflexão à esquerda.
Aplica-se o processo de NMO no pré-empilhamento dos dados. A Figura 2.6 mostra o
efeito de um único traço comum evento da reflexão à esquerda. Usando uma função da
velocidade, o NMO ajusta o tempo original (em vermelho) para aquele que seria observado
no ponto médio (S/R). A linha azul é o tempo duplo de trânsito, que deve ser menor que
o tempo do trajeto vermelho. Assim, o trabalho do NMO é colocar no tempo de incidência
vertical t0, todos os eventos de reflexão com diferentes afastamentos. Esse efeito hiperbólico
pode ser removido através da correção de normal moveout que implica em trazer eventos de
Revisão de Processamento Sísmico 35
tempo de percurso t(x) para tempos de percurso de afastamento zero t(0). Assim, o valor
da velocidade média quadrática é:
V 2RMS =
1
t(0)
N∑
i=1
vi
2∆ti, (2.4)
sendo ∆ti o tempo duplo de percurso vertical através da i-ésima camada e vi a velocidade
intervalar da i-ésima camada.
A correção de NMO para dados ordenados por CMP requer a determinação de um
campo de velocidades VNMO. O próprio efeito de NMO é utilizado para determinar as
velocidades de empilhamento, através da análise de velocidade. O procedimento, portanto, é
escolher qual a velocidade que melhor horizontaliza uma reflexão e gera uma melhor coerência
no espectro de velocidades. Essa estratégia é repetida para cada evento de interesse ao
longo da seção sísmica, definindo um modelo de velocidades de empilhamento. No caso da
presença de múltiplas, o próprio NMO funciona como um filtro, já que esses eventos possuem
velocidades relativamente baixas se comparadas com as velocidades das reflexões primárias
que concorrem em tempo com a múltipla. As reflexões primárias serão, portanto, escolhidas
como eventos de interesse ao invés da múltipla.
Depois da definição de um modelo de velocidades, a correção de NMO pode ser apli-
cada a todos os traços dentro de uma CMP, resultando em um alinhamento dos dados no
respectivo tempo de percurso de afastamento nulo t(0), em outras palavras, os eventos são
horizontalizados.
O empilhamento CMP subsequente simplesmente soma as amostras de todos os traços,
para cada t(0). O resultado da soma é colocado no traço de afastamento nulo. Na presença
de ruído aleatório, esse processo aumenta a razão sinal-ruído (S/N) já que apenas a energia
da reflexão é somada construtivamente. Para minimizar esse efeito, um silenciamento é
aplicado nos pulsos estirados, a partir de um valor definido para o fator de estiramento.
Para um meio de velocidade constante e horizontalmente estratificado, o tempo adicional
∆t que uma reflexão sísmica apresenta com o registro do receptor afastado da fonte, quando
comparado com o tempo que esta mesma reflexão teria se a fonte e o receptor estivessem no
mesmo ponto é dado por:
∆t = t(x)− t(0), (2.5)
Revisão de Processamento Sísmico 36
onde,
t(x) =
[
t(0)2 +
(x
v
)2]1/2
, (2.6)
e,
∆tNMO =
√
1 +
(
x
vt0
)2
− 1. (2.7)
O ∆tNMO é a diferença em tempo de trânsito para um receptor em uma distância x da
fonte t(x) e o tempo de trânsito t(0) para uma distância de afastamento nulo. Dado que
os refletores nem sempre são horizontais e a velocidade do meio não é constante, o uso da
fórmula é geralmente uma aproximação. O erro decorrente da variação vertical da velocidade
do meio é minimizado adotando-se para v um valor um pouco maior que a velocidade média
no tempo t(0). Esta velocidade é chamada velocidade de empilhamento, sendo definida
como aquela que melhor corrige o conjunto dos traços CMP. A correção NMO depende do
afastamento e da velocidade. Em contraste com a correção estática, a correção ao longo do
traço pode diferir. A correção NMO é também chamada de correção dinâmica. Para um
modelo estratificado de camadas horizontais, com velocidades para N camadas dadas por
vj(j = 1, ..., N), Taner e Koehler (1969) definiram a seguinte aproximação para o tempo de
trânsito t:
t2(x) = C0 + C1x
2 + C2x
4 + C3x
6 + . . . , (2.8)
onde, C0 = t0, C1 = 1/V
2
RMS e C2, C3, são funções complexas que dependem da profundidade
e das velocidades intervalares.
Se forem considerados afastamentos pequenos entre traços, quando comparados a pro-
fundidade do refletor, a expressão (2.8) ao ser truncada pode ser escrita da seguinte forma:
t2(x) = t(0)2 +
x
V 2RMS
. (2.9)
Assim podemos concluir que supondo um modelo horizontalmente estratificado, a veloci-
dade média quadrática (VRMS) será igual á velocidade NMO. No programa de processamento
sísmico Focus é usado o módulo NMO, horizontalizando assim como os efeitos hiperbólicos.
Revisão de Processamento Sísmico 37
2.10 Empilhamento
Nesta etapa, os traços da família CMP podem ser todos somados após a correção NMO.
Todos os eventos sísmicos têm que estar horizontalizados e sob a forma de traços, podendo
ser somados de maneira construtiva. A soma construtiva destes traços é chamada de empi-
lhamento, e a imagem obtida desta é chamada de seção empilhada ou seção de afastamento
nulo.
O empilhamento dos dados através da técnica CMP, introduzido por Mayne (1962),
revolucionou a exploração sísmica. Pela primeira vez, a redundância de dados sísmicos
era realmente usada, melhorando então a razão sinal-ruído (S/N) pela soma construtiva de
eventos de reflexão e soma não-coerente do ruído aleatório.
2.11 Migração
A migração de dados sísmicos tem por objetivo corrigir a imagem distorcida (seção sísmica
empilhada ou pseudo-seção de afastamento nulo) que representa o campo de onda temporal
registrado na superfície. Ela transforma-o em outro campo, cujos refletores geológicos estão
verdadeiramente posicionados e as difrações colapsadas. A migração é uma modelagem
inversa uma vez que utiliza a seção sísmica empilhada para obter uma seção geológica real
da subsuperfície.
3
Inversão de Velocidades Intervalares
3.1 Fórmula de Dix
A fórmula de Dix foi deduzida a partir de um modelo geológico simples (Figura 3.1), de
camadas homogêneas e interfaces horizontais em 1955 por Charles Hewitt Dix. Ela tem por
objetivo obter as velocidades intervalares de um modelo geológico a partir das velocidades
RMS. A sua aplicação em modelos que apresentam mergulhos ou simplesmente refletores
curvos implicará em erros na determinação do campo de velocidades intervalares. Esses
erros são maiores quanto maior for a diferença entre o modelo estudado e o modelo de
camadas planas e horizontais.
v1, t1
v2, t2
v3, t3
R1R2S2S1
CDP
Figura 3.1: Modelo de camadas plano-horizontais. Um mesmo ponto comum em
profundidade é associado a dois pares fonte-receptor.
A velocidade intervalar corresponde à velocidade de propagação do pulso sísmico em um
dado meio ou camada geológica, enquanto que a velocidade RMS (Root Mean Square) pode
38
Inversão de Velocidades Intervalares 39
ter várias definições. Segundo Dix (1955), ela é definida como o inverso da inclinação da reta
tangente à curva T 2n(x)× x2 no ponto x = 0, isto é,
V 2RMS,n =
[
dT 2n(x)
dx2
]−1
x→0
, (3.1)
para um ponto qualquer x 6= 0, a velocidade RMS é dada por:
V 2RMS,n(M) =
[
dT 2n(x)
dx2
]−1
x=M
. (3.2)
Outra forma define esta como a soma quadrática média das velocidades intervalares v
das camadas que o pulso sísmico percorreu, ou seja,
V 2RMS(t) =
1
t
∫ t
0
v2(t′)dt′, (3.3)
ou ainda, discretizando:
V 2RMS(k) =
∑n
k=1 v
2
ktk∑n
k=1 tk
. (3.4)
A fórmula de Dix é representada por:
v2n =
V 2RMS,nT0,n − V 2RMS,n−1T0,n−1
T0,n − T0,n−1 , (3.5)
• vn é a velocidade intervalar na camada n;
• T0,n é o tempo duplo de trânsito da origem até a interface n, considerando-se afasta-
mento nulo entre a fonte e o receptor;
• VRMS,n é a velocidade RMS da interface n.
3.2 Determinação de Velocidades Intervalares como um
Problema Inverso
A obtenção de velocidades intervalares pode ser expressa como um problema inverso atravésda relação (1.5). Neste caso, temos que:
dj = TjV
2
RMS(Tj), j = 1, ...,M, (3.6)
Inversão de Velocidades Intervalares 40
e
mi = v
2
i , i = 1, ..., N. (3.7)
A matriz G, de dimensõesM×N representa o operador de integração numérica, proveni-
ente da discretização da equação (3.3). Considerando que o problema em questão apresenta
operadores não quadrados, será usada a decomposição em valores singulares (SVD). Neste
caso, determinamos o vetor dos parâmetros do modelo m, utilizando a equação (1.12). A
matriz G+ é dada pela equação (1.50). Por fim, substituindo as equações (1.50), (3.6) e (3.7)
na equação (1.12), temos:
m = G+d, (3.8)
onde m = (v2i ), G
+ = V Σ+UT e d = (TjV
2
RMS,j).
A equação (1.50) ainda pode ser obtida com a integração entre o SVD e o método dos
mínimos quadrados, bem como suas implicações. A solução do MMQ via SVD possui norma
mínima, cuja função objetivo é dada por:
φ(m) =mTm+ tT (d−Gm), (3.9)
ou
φ(m) =mTm+ tTd− tTGm, (3.10)
onde t é o vetor dos mutiplicadores de Lagrange.
Aplicamos o mesmo processo de minimização ao qual é submetido o MMQ tradicional,
ou seja,
∂φ(m)
∂mT
= 0. (3.11)
Dessa forma,
m−GT t = 0, (3.12)
Inversão de Velocidades Intervalares 41
ou
m = GT t. (3.13)
Substituindo a expressão (3.13) na equação (1.5),
d = Gm = GGT t. (3.14)
Assim, podemos isolar o vetor de mutiplicadores de Lagrange:
t = (GGT )+d, (3.15)
e ao substituir a expressão (3.15) na equação (3.13), teremos a solução da função objetivo:
m = GT (GGT )
+
d. (3.16)
3.3 SVD com Informação a Priori
O processo de inversão através do SVD tem a vantagem de poder incorporar informação a
priori. Para tal, a função objetivo que fora definida anteriormente será modificada para,
φ(m) = (m−mo)T (m−mo) + 2tT (d−Gm), (3.17)
ou
φ(m) = (m−mo)2 + 2dT t−mTGmT t, (3.18)
onde mo é a informação prévia do modelo e t é o vetor dos mutiplicadores de Lagrange.
Minimizando a função, temos:
∂φ(m)
∂mT
= 0, (3.19)
2(m−mo)− 2GT t = 0, (3.20)
Inversão de Velocidades Intervalares 42
m = GT t+mo. (3.21)
Se substituirmos a expressão (3.21) na equação (1.5), teremos:
d = Gm = G(GT t+mo). (3.22)
Desta forma, é possível isolar os mutiplicadores de Lagrange:
t = (GGT )+(d−Gmo), (3.23)
ao substituir o valor isolado da expressão (3.23) na equação (3.21), teremos a solução da
função objetivo (equação 3.24):
m = GT (GGT )
+
(d−Gmo) +mo. (3.24)
A informação a priori mo é incorporada duas vezes no resultado final do modelo inver-
tido, primeiro sendo mutiplicada pelo operador do sistema e subtraída dos dados observados,
e posteriormente adicionada, individualmente, aos parâmetros após a inversão do operador.
Note que se mo = 0, a equação (3.24) se reduz à equação (3.16), tal qual esperado. Neste
caso, a equação (3.24) se reduz à equação m =mo. Em resumo, se mo =m
ver
, temos como
resultado, m
est =mo.
3.4 SVD com Adição de Ruído
A adição do ruído é um meio de avaliar a robustez dos diferentes estudos feitos no capítulo
6. Neste caso, o método é robusto quando não apresenta grandes variações na exatidão
da solução obtida (erro da solução) na presença de níveis aceitáveis de ruído nos dados
observados (VRMS). Os dados observados do modelo foram contaminados com os seguintes
fatores de ruído: 0.001, 0.005, 0.01 e 0.05.
O ruído utilizado tem comportamento Gaussiano. Portanto, ele apresenta uma distribui-
ção de valores aleatórios que corresponde a uma função densidade de probabilidade chamada
normal ou Gaussiana.
Inversão de Velocidades Intervalares 43
A inserção de ruídos nos dados observados é definida como,
druii = d
obs
i + αrid
obs
i , (3.25)
ou
druii = d
obs
i (1 + αri), i = 1, ...,M. (3.26)
• druii é o dado contaminado com ruído;
• dobsi é o dado observado;
• α é o fator de ruído que controla o nível do ruído adicionado;
• ri é uma sequência aleatória com valores que variam de −0.5 a 0.5.
4
Entropia e Entropia Relativa Mínima
4.1 Introdução
O conceito de entropia foi definido diversas vezes ao longo da história por englobar diferentes
áreas de conhecimento. Todas essas definições tem um ponto em comum, onde a entropia
está associada ao grau de organização, nitidez e possibilidades dos sistemas.
• Domínio da Física Newtoniana
A Física Newtoniana dominou dos fins do século XVIII até fins do século XIX, des-
crevendo um universo em que tudo acontecia exatamente de acordo com uma lei, na
qual o universo era compacto, organizado, e onde todo futuro dependia estritamente
de todo o passado.
• Surgimento de Teorias Não-determinísticas
Em meados do século XIX, as teorias não-determinísticas ganham espaço em relação
à Física Newtoniana. Ela se baseia em um universo possível, mas incerto. Logo a
Física passou a não garantir aquilo que irá acontecer. Ela apenas pode garantir que
irá acontecer com uma grande probabilidade. Desse modo, não é possível comprovar
totalmente um conjunto de leis físicas atráves de nossos imperfeitos experimentos.
Neste caso, no universo possível e incerto, a entropia tende a aumentar com uma
tendência natural à perda de nitidez e passagem a estados de maior probabilidade.
Enfim, os sistemas tendem a se deteriorar e entrar em caos. Logo, Jaynes (1957) afirma
que apesar de a entropia ser um conceito físico primitivo, ela é mais fundamental do
que o conceito de energia.
44
Entropia e Entropia Relativa Mínima 45
• Conceito Termodinâmico de Entropia
A definição de entropia, segundo Clausius, está no contexto da termodinâmica clássica.
A termodinâmica clássica é a parte da Física que estuda o calor, considerado como uma
forma de energia, e suas relações com as demais formas (mecânica, química e elétrica).
Ela se sustenta sobre dois princípios gerais: Princípio da Conservação de Energia e
o Princípio da Entropia. O Princípio da Conservação de Energia afirma que, em um
sistema isolado, a soma total das várias formas de energia permanece constante, ou
seja, é conservada. O Princípio da Entropia define que, qualquer mudança que ocorre
em um sistema isolado é acompanhado por uma redução de energia disponível total do
sistema. Ou ainda: as mudanças que ocorrem em um sistema isolado resultam sempre
na degradação da energia.
Em geral, se um sistema termodinâmico reversível, a uma temperatura T, absorve ou
dissipa uma quantidade de calor dQ, diz-se que ele absorveu ou perdeu uma entropia
correspondente a (+)dQ/T e (−)dQ/T , respectivamente. Para um sistema irreversí-
vel, a entropia sempre aumenta em um processo no qual flui calor por uma diferença
finita de temperatura, ou seja, a entropia do universo (sistemas e vizinhanças) sempre
aumenta em cada processo irreversível. Uma vez que a entropia permanece constante
em um processo reversível, então uma afirmação mais geral para a segunda lei é: em
todo processo que se realiza em um sistema isolado, a entropia do sistema aumenta ou
permanece constante (Sears & Salinger, 1979).
• A Entropia Segundo a Termodinâmica Estatística
A termodinâmica estatística ou mecânica estatística foi desenvolvida desde o final do
século XIX, principalmente por Boltzmann na Alemanha e Gibbs nos Estados Unidos,
derivando a entropia com um novo postulado. A termodinâmica estatística não se
ocupa com considerações detalhadas de coisas como colisões de moléculas entre si. Em
vez disso, ela usa o fato de que as moléculas são muito numerosas e valores médios de
propriedades de um grande número de moléculas podem ser calculadas, mesmo sem
qualquer informação sobre moléculas específicas (Sears & Salinger, 1979). Considere
um sistema de moléculas cuja distribuição é dada pela função f , que por sua vez
depende das coordenadas q1, ..., qr, e momentos p1, ..., pr, destas moléculas em questão.
(No caso específico de equilíbrioa função é nC exp(�/κT ), que é a distribuição da lei de
Maxwell-Boltzmann). A entropia de Boltzmann, H, é matematicamente descrita em
uma forma mais geral por Tolman (1938), onde também são definidas as quantidades
Entropia e Entropia Relativa Mínima 46
que formam a função f :
H =
∫
...
∫
flog(f)dq1...dpr, (4.1)
onde H é a medição da condição de um sistema em relação ao estado de equilíbrio. A
quantidade H tende a decrescer com o tempo até um mínimo, onde o sistema alcança a
condição de equilíbrio. Neste caso, Boltzmann usou o conceito de negentropia, função
simétrica da entropia, que pretende representar a ordem num sistema físico qualquer.
• A Entropia Segundo a Teoria da Informação
Em 1949, Shannon propôs o conceito de entropia aplicado à Teoria da Informação. Ele
caracteriza à entropia como a medida de informação de um determinado sistema que
está relacionada com a quantidade de informação produzida em um sistema, a sua taxa
de produção, assim como a sua desorganização. Esse conceito de entropia, sua base
matemática e as implicações dessa técnica serão ilustrado com detalhes nesse capítulo.
4.2 O Conceito da Entropia na Teoria da Informação
Considere uma fonte m emitindom1,m2, ...,mn mensagens, com as probabilidades associadas
p1, p2, ..., pn (onde p1+p2+...+pn = 1). Define-se como informação contida em cada mensagem
mi, a grandeza Ii (Lathi, 1968),
Ii = log
(
1
pi
)
, (4.2)
sendo a informação média por mensagem emitida pela fonte,
N∑
i=1
piIi. (4.3)
A informação supracitada da fonte m é a entropia do sistema denotada por H(m).
H(m) =
N∑
i=1
piIi. (4.4)
Substituindo (4.2) em (4.4), chegamos a,
H(m) =
N∑
i=1
pi log
(
1
pi
)
. (4.5)
Entropia e Entropia Relativa Mínima 47
Logo, a entropia de uma fonte é função da probabilidade da mensagem. Antes do
experimento existe uma incerteza por não sabermos os resultados. Mas, após o exerimento,
a incerteza desaparece completamente ao se transformar em informação ganha (Rietsch,
1988). Como a entropia é uma medida de incerteza, a distribuição da probabilidade que
gera a máxima incerteza terá a máxima entropia. Isso acontece quando todas as mensagens
são equiprováveis, garantindo a maior possibilidade de eventos e, por consequência, a máxima
incerteza. Essa teoria pode ser provada matematicamente (Lathi, 1968).
Assim, se pi = pconstante = p, tem-se que,
N∑
i=1
pi = 1 = p
N∑
i=1
1 = pN, (4.6)
pela propriedade homogênea do somatório e C sendo uma constante real,
N∑
i=1
Cai = C
N∑
i=1
ai, (4.7)
de forma que,
N∑
i=1
1 = N + 1− 1 = N, (4.8)
p
N∑
i=1
1 = 1, (4.9)
pN = piN = 1, (4.10)
resultando em,
p = pi =
1
N
. (4.11)
Substituindo (4.11) em (??),
H(m) = −
N∑
i=1
1
N
log
(
1
N
)
, (4.12)
Entropia e Entropia Relativa Mínima 48
onde,
log
(
1
N
)
= log 1− logN = 0− logN = − logN, (4.13)
e
N∑
i=1
1
N
=
1
N
N∑
i=1
1 =
1
N
N = 1, (4.14)
onde,
N∑
i=1
1 = 1 + 1 + ...+ 1(Nvezes) = N. (4.15)
Neste caso a entropia é,
H(m) = logN, (4.16)
onde definimos a entropia em função do número de escolhas.
A negentropia η, citada anteriormente, é a contraposição da entropia, pois a entropia
do sistema sempre aumenta, assim como o seu grau de desordem. Ela é definida como a
negativa da entropia:
η(m) = −H(m). (4.17)
Geralmente, os sistemas abertos são mantidos, tentando deter o processo entrópico e
adquirir entropia negativa. Porém, a tendência à entropia e desorganização, mesmo que
armazene muito mais energia que a organização necessite armazenar (Araújo, 1986). Os
sistemas em geral tendem para o estado mais provável, ou de menor energia, ou de equilíbrio,
ou seja, de máxima entropia (Maciel, 1974). Esta tendência à máxima entropia - ou à
degradação da energia - corresponde a uma lei universal da natureza. Assim, é necessário
restringir a análise aos sistemas relativamente isolados e aos sistemas fechados, onde estes
não devem receber energia de nenhuma fonte externa, nem emitir energia para qualquer
terminal situado fora de sua superfície.
Entropia e Entropia Relativa Mínima 49
4.3 O Princípio da Entropia Máxima
Em 1957, Jaynes formalizou o conceito de máxima entropia e onde também analisou as
relações existentes entre a Mecânica Estatística e a Teoria da Informação. Na ausência de
informação a priori, Jaynes (1957), propôs uma concepção diferente sobre este problema,
onde ele afirma que a estimativa da máxima entropia é a menos tendenciosa de uma dada
informação. Por não haver conhecimento suficiente para determinar quais eventos tem a
probabilidade maior de acontecer, consideramos que as probabilidades dos eventos são iguais.
Logo, a maximização da entropia é uma metodologia de raciocínio lógico que garante o não
uso de idéias quaisquer inconsistentes no problema de predição.
O Princípio da Entropia Máxima (PME) é aplicável à problemas com dados incompletos,
podendo também envolver ou não uma situação repetitiva com um experimento probabilístico
(Jaynes, 1982). Uma prova da consistência do PME é dada por Tikochinsky et al. (1984),
onde se demonstra que a distribuição da máxima entropia restringida pelos valores médios é
a única indução consistente a partir de dados, para qualquer experimento que possa ser feito.
Na Geofísica, o PME é aplicado em análise espectral, no campo da geofísica da Terra sólida,
e na utilização da entropia máxima na relação da frequência com magnitude de terremotos
nos trabalhos de Berrill e Davis (1980), Shen e Mansinha (1983) e Dong et al. (1984). Além
disso, Rietsch (1977) e Rubincam (1982) mostraram a aplicação do PME na determinação
da densidade no interior da Terra.
4.4 O Princípio da Entropia Relativa Mínima
O Princípio da Entropia Relativa Mínima, em inglês Minimum Relative Entropy (MRE),
foi desenvolvido no campo da estatística por Kullback e Leibler (1951). Em 1957, Jaynes
propôs um conceito de fundamental importância na Teoria da Informação, o PME. O MRE,
baseando-se na Teoria da informação, foi generalizado a partir do PME proposto por Jaynes.
Os pesquisadores Good (1963), Jaynes (1968), Csiszar (1975) e Johnson (1979) também
estudaram o MRE após Kullback e Leibler (1951). O MRE já foi aplicado na geofísica nos
trabalhos de Jacobs e Van der Geest (1988), Lo et al. (1990), e Ulrych et al. (1990). Vale
ressaltar que o PME e o MRE encontram-se no trabalho pioneiro de Shannon (Shannon e
Weaver, 1949). A quantidade de informação I obtida na transmissão de uma mensagem mi
é definida para entropia relativa mínima como:
I = log
[
q(x)
p(x)
]
, (4.18)
Entropia e Entropia Relativa Mínima 50
onde p(x) é a função densidade de probabilidade prévia ou a probabilidade de que uma
determinada mensagem foi emitida, e q(x) é a função densidade de probabilidade posterior
ou a probabilidade de tal mensagem chegar até o destinatário. Na equação 4.18, a quantidade
de informação cresce com a probabilidade posterior (Wiener, 1948). Para o caso contínuo, a
entropia relativa é definida como (Wiener, 1948):
H(q, p) =
∫
qx log
[
q(x)
p(x)
]
dx. (4.19)
A principal diferença entre o PME e o MRE é o conhecimento e incorporação da função
densidade de probabilidade prévia ou a priori, relacionada à entropia relativa mínima. Se-
gundo Shore e Johnson (1980), a minimização da entropia relativa equivale a maximização
da entropia quando a função densidade de probabilidade é uniforme. O objetivo da entropia
relativa mínima é obter uma estimativa final q, da maneira (Shore e Johnson, 1980; Shore e
Johnson, 1983):
H(q, p) = minH(q′, p) (4.20)
onde q′ é a função densidade de probabilidade (FDP) verdadeira.
4.5 Aplicação da MRE em Problemas de Inversão
Nesse capítulo