pot05_Estruturas_Algebricas

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Universidade Aberta do Brasil 
Universidade Federal do Ceará 
Instituto UFC Virtual 
 
 
 
Atividade de Portfólio 05 
Aula 05: Corpos 
Portfólio da Aula 5, a demonstração dos teoremas 1, 2, 3 e 5 do Tópico 1 , no Texto, e a 
solução dos exercícios 1, 2, 4, 6, 8 e 10 da lista de exercícios da Aula 5 que se encontra 
no material de apoio e que você pode obter no link Aula 5. 
 
Tópico 01: Teoria Básica dos corpos. Subcorpos. 
Teorema 2:Todo corpo é um domínio de integridade. 
Demonstração: Temos de provar apenas que num corpo vale a lei do 
anulamento de produto. Para isso, sejam K um corpo e a, b K tais que ab = 0. 
Suponhamos, por exemplo, que a 0 e que, portanto, a é inversível. 
Multiplicando-se os dois membros da igualdade ab = 0 por ; 
 
Porém, como = b, então b = 0. 
Analogamente se demonstra que, se b 0, então a = 0. Então um produto 
de dois fatores de K não pode ser nulo sem que deles o seja, o que demonstra que K 
é um anel de integridade. 
 
Teorema 3:Todo domínio de integridade finito é um corpo. 
Demonstração: Seja D = { 0, d1, d2, ..., dn} um domínio de integridade finito. 
Para cada i {1, 2, ..., n} consideremos os produtos did2, ..., didn. São distintos dois 
a dois: didj = didk di(dj - dk) = 0; como di 0 e D não tem divisores de zero, 
necessariamente dj - dk = 0, isto é, dj = dk. 
Assim, os produtos didn percorrem todos os elementos não nulos de D; em 
particular, existe j tal que didj = 1, o que significa que di é invertível. Portanto, 
todo o elemento não nulo de D é invertível, logo D é um corpo. 
 
 
Lista de Exercícios 
1 - Verifique se cada um dos conjuntos dos números reais abaixo, munidos das 
operações usuais de "+" e "." são subcorpos dos reais; 
 
Para os conjuntos A e B serem corpos devem satisfazer aos três axiomas seguintes: 
1º (K,+) é um grupo comutativo 
2º (K-{0}, .) é um grupo comutativo. 
3º A operação "." é distributiva em relação à operação "+", isto é: 
x.(y + z) = x.y + x.z ∀ x.y, z K 
 
a) A = 
1º (a + b ) + (c + d ) = (e + f ) tese 
(a + c) + (b + d) Sendo a + c = e, b + d = f 
(e + f ) satisfaz ao axioma 1 
2º (a + b ).(c + d ) = (c + d ).(a + b ) 
ac + ad + cb + 2bd = ca + cb + da + adb 
(ac + 2bd) + (ad + cb) = (ca + 2db) + (cb + da) 
 
 
 
 
 
 
 
satisfaz ao axioma 2 
3º 
 
Usando a distributiva no 1º membro. 
 É subcorpo dos reais. 
 
 
b) B = 
 
 
1º ( a + b 
 
 ) + ( c + d 
 
 ) = ( k + j 
 
 ) 
(a + c) + (b + d) 
 
 , Sendo a + c = k e b + d = j 
( k + j 
 
 ) satisfaz ao axioma 1 
2° ( a + b 
 
 ).(c + d 
 
 ) = (c + d 
 
 ).(a + b 
 
 ) 
ac + ad 
 
 + bc 
 
 + bd 
 
 
bd 
 
 não é da forma { a + b 
 
 }, logo não é subcorpo. 
 
2 - Mostre que o conjunto é um subcorpo do corpo 
dos números reias e que a função f: definida por f (a+b ) = a - b 
é um automorfismo. 
Para mostrarmos que Q( ) é um subcorpo, basta mostrarmos que para 
quaisquer 
x = a + b , x' = a' + b' Q = (a + a') + (b + b') , como a + a', b + b' 
Q segue que x + x' Q( ). Analogamente: 
x.x' = ( a + b ).(a' + b' ) a.a' + a.b' + b.a' + b.b'.5 
(a.a' + b.b'.5) + (a.b' + b.a') 
Como a.a' + b.b'.5, a.b' + b.a' Q, então x.x' Q ). 
A função f é um homomorfismo. Com efeito, para quaisquer x = a + b , 
x' = a' + b' 
f ( x + x' ) = f ( ( a + a') + ( b + b' ) 
( a + a') - ( b + b') = (a - b ) + (a' + b' ) = f(x) + f(x') 
Além disso: 
f( x.x') = f (( a.a' + b.b'.5) + (a.b' + b.a') ) 
 
4 - Mostre que os únicos ideais de um corpo são os trivais. 
Seja k um corpo. Então os únicos ideais de k são trivais. 
Demonstração: 
Se I é um ideal de k tal que I {0}. Então tomamos a I{0} e obtemos 1 = 
 , de onde decorre que para todo b k, temos: 
b = b. 1 I, ou seja k C I C K, isto é, I = k. 
 
 
6 - Mostra que todo domínio de integridade finito é um corpo. 
Teorema 1.2 Todo o domínio de integridade finito é um corpo. 
Demonstração: Seja D = { 0, d1, d2, ..., dn} um domínio de integridade finito. 
Para cada i {1, 2, ..., n} consideremos os produtos did2, ..., didn. São distintos dois 
a dois: didj = didk di(dj - dk) = 0; como di 0 e D não tem divisores de zero, 
necessariamente dj - dk = 0, isto é, dj = dk. 
Assim, os produtos didn percorrem todos os elementos não nulos de D; em 
particular, existe j tal que didj = 1, o que significa que di é invertível. Portanto, 
todo o elemento não nulo de D é invertível, logo D é um corpo. 
 
8 - Mostre que o único subcorpo do corpo , p primo, é o próprio . 
O anel só é corpo se p é primo, e se todo subcorpo é o próprio . 
Demonstração: Suponha que p não é primo. Se p = 1 então = 
 
 
 que tem 
apenas um elemento, e então não pode ser corpo. Se p > 1 então p = a.b com a e b 
inteiros menores que p. Colocando k = pZ, temos: 
(k + a)(K + b) = k + ab = k 
Mas k é o elemento zero de 
 
 
, enquanto k + a e k + b não o são. Como em 
um corpo, o conjunto dos divisores de zero é vazio, segue que 
 
 
, não é um corpo. 
Em ambos os casos obtemos contradição, pois estamos supondo que é corpo, 
logo p é primo. Supondo que p é primo: k + 1 é o elemento unidade de 
 
 
, temos o 
inverso multiplicativo para um dado elemento k + n, com 1 n < p. Como cada 
elemento não nulo de , tem inverso, e é comutativo, segue que é um primo 
e todos os subcorpos com cardinalidade n será . 
 
10 - mostre que a função f: definida por f( ) = 
 é um automorfismo. 
Seja k = f( ) = . 
É um grupo cíclico tal que k é isomor f ao grupo de automorfismo , por isso 
 k = U( ) = { ; mdc (p,x) = 1}, como p é primo, x é primo entre si de p. 
Mostrar por contradição: Supor que não seja automorfismo, logo mdc (p, x) 1 
Seja a, b , tal que f( ) = = x 
Sendo = x', temos que x + x' , pelo automorfismo, então: 
 
Absurdo, pois se , a deixa de ser primo.