Funções de Variável Aleatória

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Funções de variável aleatória 
Valor esperado e variância 
Desigualdade de Chebyshev Página 1 de 6 
 
 
 
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Funções de variável aleatória 
 
Funções de variável aleatória 
 
Caso discreto 
 
• Suponhamos que X é uma variável 
aleatória que toma valores {x1,x2,...,xn} e tem 
função de probabilidade )( iX xp . 
• Então, Y = H(X) também é uma variável 
aleatória que toma valores 
)}(,),(),({ 2211 nn xHyxHyxHy === K com 
função de probabilidade )()( iXiY xpyp = . 
Se houver 2 ou + xi em que 
K== )()(
21 ii
xHxH , então 
K++= )()()(
21 iiiY
xpxpyp 
 
Exemplo: 
 
Imagina: 
X -2 1 2 3 
)(XpX 0.25 0.25 0.3 0.2 
E Y = X2. 
Então: 
X -2 1 2 3 
Y (-2)2 12 22 32 
Y 1 4 9 
)(YpY 0.25 0.25+0.3 0.2 
Caso contínuo 
 
• Suponhamos que X é uma variável aleatória 
que toma valores [a,b] e tem função de 
probabilidade )(xf X . 
• 1º método (apenas quando H(X) é monótona) 
Então Y = H(X) também é uma variável aleatória 
com função de distribuição de probabilidade 
y
xxfyf XY ∂
∂= )()( . 
Nota: este método é generalizável se se 
decompuser H(x) em secções monótonas. 
 
• 2º método (geral) 
Então Y = H(X) também é uma variável aleatória 
com função de distribuição de 
probabilidade:
y
yFyf YY ∂
∂= )()( , em que 
))(())(()()( YGXPyXHPyYPyFY ≤=≤=≤= ,
em que )()( 1 XHYG −= . 
• Se H for crescente, o domínio de fY(y) será 
[H(a),H(b)], se for decrescente, será [H(b),H(a)]. 
 
 
Exercício: 
 
Considere a variável aleatória X, uniformemente distribuída sobre [-1,1]. Obtenha 
a função densidade de probabilidade, g(y), de Y = 4 – X2. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área = 1 
-1 1 
1/2 
f(x) 
3 
y = 4 - x2 
4 
1 -1 
x x 
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• 1º método: 
43
140
140
140
041
10
01
:..
43,4
43,4
10,4
01,4
44 22
≤≤⇒

≤−≤
≤−≤⇒


≤−≤
≤−−≤−⇔

≤≤
≤≤−



≤≤−=
≤≤−−=⇒


≤≤−=
≤≤−−−=⇒−=⇔−=
y
y
y
y
y
x
x
ac
yyx
yyx
xyx
xyx
yxxy
 
Temos duas funções que partilham o mesmo domínio em Y (3 < y < 4), mas em X são 
domínios mutuamente exclusivos (-1 < x < 0 e 0 < x < 1), por isso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,0)(
3,0)(
43,
42
1
42
1
2
1
42
1
2
1)()()(
42
1
42
1
)4(
4
1
2
1
)4(
4
1
2
1
)4(
)4(
21
2
1
>=
<=
≤≤−=−+−=∂
∂+∂
∂=



∂
∂
∂
∂
=



−−
−=



∂
−∂
−
∂
−∂
−−=



∂
−∂
∂
−−∂
=∂
∂
yyg
yyg
y
yyyy
xxf
y
xxfyg
y
x
y
x
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
 
• 2º método: 
Descobre-se a função de distribuição acumulada de Y 
)44()44(
)4()4()()(
00
22
yXyXPyXyXP
yXPyXPyYPyG
xparaxpara
−−≤+−≥=−−≤−≥
=−≥=≤−=≤=
<≥ 4484476
U
48476 
0)(
:1
)41(
2
1
2
1)(
:10
1
4
=
>
−−=∂=
≤≤
∫ −
yG
xSe
yxyG
xSe
y
0)(
:1
)41(
2
1
2
1)(
:01
4
1
=
−<
−−=∂=
<≤−
∫ −−−
yG
xSe
yxyG
xSe
y
 
Como anteriormente: 
314141
314141
4301
4310
<⇒>−⇒−>−−⇒−<
<⇒>−⇒>−⇒>
≤≤⇒≤≤−
≤≤⇒≤≤
yyyx
yyyx
yx
yx
 
3 4 
1 
-1 
x 
 y = 
3 4 
1 
-1 
x 
 y +
3 4 
1 
-1 
x 
 y 
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Vem: 



>
≤≤−−
<
⇔



−−+−−=
41
43,41
3,0
1
)41(
2
1)41(
2
1
0
)(
y
yy
y
yyyG 
Logo, 



>
≤≤−
<
=∂
∂=
41
43,
42
1
3,0
)()(
y
y
y
y
y
yGyg 
 
 
Valor esperado e variância 
 
Valor esperado e variância 
 
Valor esperado é a média dos valores da v.a. 
Caso discreto 
 
∑==
i
iXi xpxXE )()( µ 
 
Valor esperado de uma função de v.a.: 
∑=
i
iXi xpxHXHE )()())(( 
 
Caso contínuo 
 
∫+∞∞− ∂⋅== xxfxXE X )()( µ 
 
Valor esperado de uma função de v.a.: 
xxfxHXHE X ∂= ∫+∞∞− )()())(( 
Propriedades: 
• Se X = C (constante), então E(C) = C 
• E(CX) = CE(X) 
• E(X + Y) = E(X) + E(Y) 
 
Variância é uma medida da diferença entre os valores da v.a. 
padrãodesvio
XEXEXV
−
−==
:
)()()( 222
σ
σ
 
Propriedades: 
• V(X + C) = V(X) com C = constante 
• V(CX) = C2V(X) com C = constante 
Independência de variáveis aleatórias: 
• Se X e Y forem v.a. independentes então E(XY) = E(X)E(Y) 
• Se X e Y forem v.a. independentes então V(X + Y) = V(X) + V(Y) 
 
 
Por definição, a função de 
distribuição acumulada é 
contínua e tende para 1. 
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Exercício: 
 
Seja X uma variável aleatória contínua, com função densidade de probabilidade 
(fdp) 10),1(6)( ≤≤−= xxxxf . Calcule o valor esperado e a variância de X. 
 
Resolução: 
 
20
1
2
1
10
3)()()(
10
3
5
1
4
16
54
6)66()()(
2
1
4
1
3
16
43
6)66()1(6)()(
2
22
1
0
541
0
431
0
22
1
0
431
0
321
0
1
0
=

−=−=
=

 −=

 −=∂−=∂⋅=
=

 −=

 −=∂−=∂−⋅=∂⋅==
∫∫
∫∫∫
XEXEXV
xxxxxxxfxXE
xxxxxxxxxxxfxXE µ
 
 
Desigualdade de Chebyshev 
 
Desigualdade de Chebyshev 
 
A desigualdade de Chebyshev serve para majorar a probabilidade de uma certa v.a., sabendo 
apenas a sua média (µ) e variância (σ2). 
( ) 21CCXP ≤≥− σµ 
 
Exercício: 
 
Num teste de cruzes são apresentadas 4 respostas possíveis para cada pergunta, das 
quais apenas uma está correcta. O examinado pode seleccionar (com cruzes) quaisquer 
dessas respostas ( desde 0 até 4 ), sujeitando-se à seguinte pontuação: 
 
+ 3 pontos --- por cada cruz certa 
− 1 pontos --- por cada cruz errada 
 
a) Seja Xn a pontuação obtida numa pergunta com n cruzes marcadas ao acaso 40( ≤≤ n ). 
i) Mostre que E(Xn) = 0, ∀n. Isto é, respondendo “à sorte” a pontuação é sempre 0. 
ii) Calcule V(Xn) (n = 0,...,4) 
 
b) Seja Sn a pontuação obtida num teste de 34 perguntas (máximo de 34 × 3 = 102) quando 
se marcam n cruzes marcadas ao acaso em cada pergunta ( 0 ≤ n ≤ 4 ). 
 
i) Determine o valor esperado e o desvio padrão de S1, S2 e S3. 
ii) Usando a desigualdade de Chebyshev, estime limites superiores para a 
probabilidade de S1 e S2 , S3 excederem 20 e 100 pontos. 
Sugestão: Atendendo à simetria de Sn em torno de 0, ).(2
1)( δδ ≤=≤ SPSP 
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Resolução: 
 
a) 
i) 
Xi Pontos possíveis nº de casos nº de casos para pontos E(Xi) 
X0 0: nao escolhe nenhum, não 
acerta nenhum 1
4
0 =C 140 =C 01
10 =×
X1 3: acerta -1: falha 441 =C 111 =C 331 =C 04
31
4
13 =×−×
X2 2: acerta um 
e falha outro 
-2: falha os 
dois 6
4
2 =C 33111 =CC 332 =C 06
32
6
32 =×−×
X3 1: acerta um 
e falha os 
outros 
-3: falha os 
três 443 =C 33211 =CC 133 =C 04
13
4
31 =×−×
X4 0: acerta um e falha os outros 
três 1
4
4 =C 144 =C 01
10 =×
 
ii) 
Xn E(Xn) E(Xn2) V(Xn) = E(Xn2) - E2(Xn) 
X0 0 01
102 =× 0 - 0 = 0 
X1 0 34
3)1(
4
13 22 =×−+× 3 - 0 = 3 
X2 0 46
3)2(
6
32 22 =×−+× 4 - 0 = 4 
X3 0 34
1)3(
4
31 22 =×−+× 3 - 0 = 3 
X4 0 01
102 =× 0 - 0 = 0 
 
b) 
i) 
Sn = 34Xn E(Sn) = E(34·Xn) = 34·E(Xn) V(Sn) = V(34·Xn) = 342·V(Xn)σ2 = V(Sn) 
S1 = 34X1 0)(34 1 =× XE 3468)(34 12 =× XV 9.58)( 1 == SVσ
S2 = 34X2 0)(34 2 =× XE 4624)(34 22 =× XV 68)( 2 == SVσ 
S3 = 34X3 0)(34 3 =× XE 3468)(34 32 =× XV 9.58)( 3 == SVσ
 
ii) 
2
2
2
2
2
2
1:..
)(1)(
kC
kCCkac
k
kXP
C
CXP
σ
σσ
σµσµ
=⇔=⇔=
≤≥−⇔≤≥−
 
 
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Queremos P(S1 > 20) e P(S1 > 100). 
 
173.0
100
9.58
2
1)100(
336.4
800
9.58
202
1)0200(
2
1)20(
2
1)20(
2
2
1
2
2
2
111
=⋅≤>
==⋅≤−>−=>=>
−
SP
SPSPSP
Chebyshevdededesigualda
kX
simetriaausando 44444 844444 76
87687644444 844444 76 σµ
 
Queremos P(S2 > 20) e P(S2 > 100). 
2312.0
100
68
2
1)100(
78.5
800
68
2
1)20(
2
2
2
2
2
=⋅≤>
=⋅≤>
SP
SP
 
Queremos P(S3 > 20) e P(S3 > 100). 
173.0
100
9.58
2
1)100(
336.4
800
9.58
2
1)20(
2
2
3
2
3
=⋅≤>
=⋅≤>
SP
SP