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Geometría - Una visión de la Planimetría

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Reseña histórica y 
conceptos previos
£/ hotel Luxor (Las Vegas) cuenta con una altura de 107 m y fue diseñado en vidrio 
negro, como una réplica de la gran pirámide de Cizeh, cuya altura es de 147 m.
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Reseña histórica--------- 1
---------/ y conceptos previos
OBJETIVOS
• Conocer el desarrollo histórico de la Geometría.
• Comprender la evolución de ia Geometría en el proceso social de la humanidad.
Entender por qué y para qué estudiamos Geometría.
• Conocer los conceptos básicos como figura geométrica, segmento, espacio métrico.
INTRODUCCIÓN
Si quisiéramos explicar qué es o qué estudia la Geometría no bastaría con presentar todas 
las geometrías elaboradas por el hombre desde hace dos mil quinientos años, pues estas han ido 
cambiando de acuerdo a nuestra evolución cultural. Al inicio, para Euclides solo representaba la ciencia 
de la extensión y de la medida (Geo = tierra; metrón = medida), mas en el siglo XVII, asombrados con 
la naciente álgebra, los geómetras - Fermat y Descartes inventan la llamada Geometría Analítica para 
dar lugar en el siglo XIX a la Geometría infinitesimal que se basó en los trabajos de Monge (el inventor 
de la Geometría Descriptiva).
Es con Poncelet que surge la Geometría sintética mientras que la mixta es desarrollada por 
Gergonne y Steiner. Posteriormente aparecen las geometrías no euclidianas.
Nuestra intención es esbozar una introducción del método axiomático, que es empleado por los 
geómetras contemporáneos, y para un mejor entendimiento del largo recorrido de la geometría por los 
diferentes métodos, reseñaremos los sucesos más importantes sin ignorar a los personajes con mayor 
influencia y definiremos algunos conceptos necesarios para el desarrollo de los siguientes capítulos.
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Lumbreras Editores Geom etría
RESENA HISTORICA
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Agrimensores midiendo un campo con una cuerda 
(Tensores de cuerdas).
El inicio de la geometría data desde mucho antes 
que la historia escrita, como una acumulación gradual 
de nociones intuitivas sobre la realidad objetiva (espacio 
físico y formas) que fueron resultado de simples 
observaciones.
A este periodo inicial de la geometría se le denomina 
primitivo, debido a que se realizaba en el transcurso 
de la lucha del hombre por su existencia y trataba de 
solucionar ciertas dificultades como la medición de 
parcelas de tierra, volúmenes de cuerpos, etc.
Herodoto (485 - 425 a.n.e.) es considerado el padre de la historia porque su trascendencia va mas 
allá de la simple narración de hechos, ya que no solo se dedicó a escribir lo que le contaban sino que fue 
un incansable viajero que recorrió todo el Egipto, la magna Grecia, etc. para poder interpretar la realidad.
Debido a sus aportes es también considerado uno de los 
primeros científicos, con respecto a las necesidades del 
hombre. Herodoto cuenta que Sesostris, rey de Egipto, 
repartió las tierras dando a cada egipcio una parcela, 
según un sorteo, para que sean pagadas anualmente. Si 
una de las parcelas era inundada por el Nilo, su dueño se 
dirigía al rey y este enviaba a los tensores de cuerdas, 
también conocidos como agrimensores (considerados 
ahora como primeros geómetras), quienes medían en 
cuánto disminuyó la parcela. Es sobre la base de estos 
resultados que se reducían los impuestos. Herodoto nos 
relata además que al primer rey de Egipto unificado,
Menes, se le atribuyen los conocimientos geométricos 
necesarios para realizar trabajos de nivelación de su 
territorio (hecho que se remonta a 3 000 años a.n.e.) así 
como el almacenamiento de la cosecha recogida de las 
parcelas.
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Pirámides de Egipto
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El Papiro de Rhind (1650 a.n.e) es una de las primeras 
recopilaciones de problemas matemáticos.
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CAPÍTU LO I Reseña histórica y conceptos previos
Las fuentes principales de información relacionadas con la geometría egipcia antigua son los 
papiros de Moscú (1850 a.n.e.) y Rhind (1650 a.n.e.), posiblemente escrito por Atunes, que contienen 25 
y 85 problemas respectivamente. También encontramos en el museo de Berlín, el más antiguo instrumento 
astronómico y topográfico existente, de una combinación plomada y vara de agrimensor que provienen 
del Egipto antiguo aproximadamente 1950 a.n.e.
Hasta donde la historia nos permite investigar el pasado, se descubre todavía presente una gran 
cantidad de material que puede llamarse geometría práctica o científica.
Los registros existentes más antiguos de la actividad del hombre en el campo de la geometría son 
unas tablas inscritas de arcilla cocida enterradas en Mesopotamia y que probablemente datan de los 
tiempos de los sumerios (aproximadamente 300 a.n.e.). También hay tablas cuneiformes babilónicas 
de la era del rey de Hammurabi, el imperio Nuevo Babilónico de Nabucodortosor y las eras siguientes 
persas y seleúcidas. De estas tablas se puede distinguir que la geometría antigua babilónica está muy 
relacionada con la medición práctica. Con los registros se puede deducir que no solo sabían calcular 
el área de una región rectangular, triangular (rectangular, isósceles), trapecio rectangular, sino también 
el volumen de un prisma recto con base trapecial rectangular. La longitud de la circunferencia se 
obtuvo al triplicar el diámetro y el área del círculo como un doceavo del cuadrado de la longitud de la 
circunferencia (ambos correctos para tí = 3 ) y el volumen de un cilindro circular recto al calcular el 
producto del área de la base por la altura. También hay cierta evidencia de que los babilonios antiguos 
utilizaban algunas fórmulas de manera incorrecta, por ejemplo:
i
 fery*
El triángulo rectángulo era bastante estudiado en la Edad Media por los astrólogos (Ceometría de 
la astrología, siglo X II).
ÁREA DE LA REGIÓN CUADRANGULAR
Los griegos consideraban al cuadrilátero como una región cuadrangular.
A = ( a + c )(b + cl)
donde a,b, c y d son las longitudes de los la 
cuadrilátero como una región cuadrangular.
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; Editores Geom etría
Astrónomos árabes estudiando el moví* 
miento de los astros en el observatorio de 
Estambul (siglo XV/).
En la Edad Media, las árabes siguieran 
estudiando la motemática sobre la base 
en los conocimientos griegos.
VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASE CUADRADA
h V =
h (a 2 + ab + b2)
donde h es la longitud de la altura, a y b son 
: las longitudes de los lados de las bases (bases 
“ ■cuadradas). -fe
En la matemática egipcia de aquel entonces no había defini­
ciones, axiomas, teoremas ni sus demostraciones, la exposición 
de los conocimientos matemáticos se reducía a ejemplos y pres­
cripciones destinadas a la solución de problemas aislados.
Sin embargo, el desarrollo de la geometría como ciencia tuvo 
lugar principalmente en la Grecia antigua, ahí se iba acumulando 
datos sobre las relaciones métricas en los triángulos, sobre las 
mediciones de áreas y volúmenes, relación de semejanza y de 
las proporciones de figuréis, secciones cónicas y problemas de 
construcción. Son los faraones de Egipto quienes edificaron 
sus tumbas en forma de pirámide, por lo cual los agrimensores 
necesitaron conocer ciertas propiedades geométricas de los 
cuerpos que usabetn en la construcción. Atenas, cuna del conocimiento griego.
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CAPÍTU LO I Reseña histórica y conceptos previos
A Tales de Mileto (aproximadamente 625-547 a.n.e.), filósofo y matemático griego, se le vincula 
la aparición de las primeras demostraciones de algunos teoremas de geometría. Es correcto señalar 
que Tales utilizaba los conocimientos teóricos para resolver problemas prácticos, como la medición

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