MAT Prova2016 Solução

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Resoluc¸a˜o Prova: A´lgebra Linear
Aluna: Erianne Farias do Nascimento∗
19 de Junho de 2016
1. o valor de k para o sistema ter soluc¸a˜o{
−4x+ 3y = 2
5x− 4y = 0
x− y = 2⇒ x = 2 + y
Temos: x = −8; y = −10
• Testando para k
2x− y = k ⇒ 2(−8)− (10) = −16 + 10 = −6
k deve ser igual a -6.
2. Definic¸a˜o e avaliac¸a˜o de subespac¸os vetoriais
Definic¸a˜o: Dado um subespac¸o vetorial V, um subconjunto W, na˜o vazio, sera´
um subespac¸o vetorial de V se:
i. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u+v ∈ W.
ii. Para quaisquer α ∈ <, u ∈ W tivermos α u ∈ W.
a. W=(x,y,z) ∈ <3| z=2x-y
v = (x1, y1, z1) e u = (x2, y2, z2), e z=2x-y⇒ 2x-y-z=0
i. v + u = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
2x-y-z=0: 2(x1 + x2)− (y1 + y2)− (z1 + z2) = 2x1 + 2x2y1 − y2 − z1 − z2 =
(2x1 − y1 − z1) + (2x2 − y2 − z2) = 0 + 0 = 0
ii. λ · v = (λx, λy, λz)
2x-y-z=0: 2λx− λy − λz ⇒ λ(2x− y − z) = λ · 0 = 0
∗PPGECON-CAA/UFPE. Email: erianne.farias@gmail.com
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W e´ subespac¸o de <3
b. U=(x,y,z) ∈ <3| xy=0
i. u+ v = (x1 + x2, y1 + y2)
xy=0: (x1 + x2)(y1 + y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 6= 0
U na˜o e´ subespac¸o de <3
3. Definic¸a˜o e aplicac¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares
a. Definic¸a˜o: Sejam V e W dois espac¸os vetorias. Uma transformac¸a˜o linear
e´ uma func¸a˜o de V em W, F : V → W , que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
i. Quaisquer que sejam u e v em V, F(u+v)=F(u)+F(v)
ii. Quaisquer que sejam k ∈ < e v ∈ V, F(kv)=kF(v)
b. T : <2 → <3
•A partir de v = αe1 + βe2 ⇒ (x, y) = α(−1, 1) + β(0, 1){
x = −α→ α = −x
y = α + β → β = y + x
• A partir de T (v) = αT (e1) + βT (e2)
T(x,y)= -x(3,2,1)+ (y+x)(1,1,0)→ T=[(-3x+y+x),(-2x+y+x),(-x)]
T(x,y)=[y-2x, y-x, -x]
c. S: <3 → <2
• (x,y,z)=α(1,−1, 0) + β(0, 1, 1) + γ(0, 0, 1)
x = α
y = −α + β → β = y + x
z = β + γ → γ = z − y − x
• S(x,y,z)=x(1,1)+(y+x)(2,2)+(z-y-x)(3,3)
S(x,y,z)=[(x+2y+2x+3z-3y-3x), (x+2y+2x+3z-3y-3x)]
S(x,y,z)=[(3z-y),(3z-y)]
d. S ◦ T
S(x,y,z)=[(3z-y),(3z-y)] e T(x,y)=[y-2x, y-x, -x]
S=[(3(-x)-(y-x) ),(3(-x)-(y-x) )]
S ◦ T=[(-2x-y),(-2x-y)]
4. Independeˆncia dos vetores u, v e w e (u+v),(u-v) e (u-2v+w)
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Considerando a combinac¸a˜o a(u+v)+b(u-v)+c(u-2v+w)=0
−−−−−−−−−−−−−u(a+b+c)+v(a-b-2c)+w(c)=0
• Pela indepedeˆncia linear dos vetores, u, v e w, tem-se:
a+b+c=0→ a+ b = 0→ 2b = 0
a-b-2c=0→ a− b = 0→ a = b = 0
c=0
• A soluc¸a˜o poss´ıvel a=b=c=0 torna a combinac¸a˜o dos vetores tambe´m linear-
mente independentes.
5. Definic¸a˜o e aplicac¸a˜o de I´nfimo e Supremo
Definic¸a˜o: i. Supremo: De um corpo ordenadoK e de um subconjunto limitado
superiormente X ⊂ K, tem que um elemento b ∈ K chama-se supremo do con-
junto X quando b e´ a menor das cotas superiores de X em K.
ii. I´nfimo: De um corpo ordenadoK e de um subconjunto limitado inferiormente
Y ⊂ K, tem que um elemento a ∈ K chama-se ı´nfimo do conjunto Y quando a e´
a maior das cotas inferiores de Y em K
6. Terceiro Axioma de Peano (Princ´ıpio da Induc¸a˜o): Se X ⊂ ℵ e´ um
subconjunto tal que 1 ∈ X e, para todo n ∈ X tem-se tambe´m s(n) ∈ X, enta˜o X
= N.
a. (a − 1)(1 + a + ... + an) = an+1 − 1, sendo X um subconjunto em que a
igualdade e´ va´lida.
• Testando para n=1: (a− 1)(1 + a1) = a(1 + a)− (1 + a)⇒ a+ a2 − a− 1
a2 − 1 = a(1+1) − 1, logo 1 ∈ X.
• testando para s(n)=n+1, supondo que a igualdade e´ va´lida para n:
(a− 1)(1 + a+ ...+ an + an+1) = (a− 1)(1 + a+ ...+ an) + (a− 1)(an+1)
Como (a− 1)(1 + a+ ...+ an) = an+1 − 1, temos an+1 − 1 + (a− 1)(an+1)
an+1(a− 1 + 1)− 1 = an+1+1 − 1, logo s(n) ∈ X.
b. a soma dos cubos de treˆs nu´meros naturais consecutivos ser div´ısivel
por 9
• Considere n, n+1, n+2 sa˜o treˆs nu´meros consecutivos e
f(n) = n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3
3
• testando para n=1
f(1) = 13 + 23 + 33 = 36 = 4(9), logo f(1) e´ divis´ıvel por 9
• testando para f(n+1), supondo que e´ divis´ıvel por 9 a f(n) = n3 + (n+ 1)3 +
(n+ 2)3
f(n+ 1) = (n+ 1)3 + (n+ 2)3 + (n+ 3)3 ⇒ f(n+ 1) = (n+ 1)3 + (n+ 2)3 +
n3 + 9n2 + 27n+ 27
Como (n+1)3 +(n+2)3 +n3 = f(n), temos f(n+1) = f(n)+9(n2 +3n+3)
Logo, f(n+1) e´ divis´ıvel por 9, ja´ que f(n) e o polinoˆmio restante sa˜o divis´ıveis
por 9.
7.Definic¸o˜es formais:
a. Um conjunto X ⊂ ℵ chama-se limitado quando existe um p ∈ ℵ tal que p ≥ n
seja qual for n ∈ X.
b. Um conjunto X diz-se enumera´vel quando e´ finito ou quando existe uma
bijec¸a˜o f : ℵ → X. Cada bijec¸a˜o f : ℵ → X chama-se uma enumerac¸a˜o dos
elementos de X.
c. Um subconjunto A ⊂ < chama-se um conjunto aberto quando todos os seus
pontos sa˜o interiores, isto e´, quando int(A)=A.
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