Material de apoio - unidade 7

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Bioestatística – Material de apoio – Unidade 7 
 
 
Testes de hipóteses 
 
Uma hipótese é uma pressuposição formulada acerca de um determinado problema, que está sujeita a 
comprovação. Esta comprovação é obtida por meio da realização de um teste de hipóteses. Na estatística, as 
hipóteses são formuladas para um ou mais parâmetros. 
 
Hipóteses 
 
De maneira geral, formulam-se duas hipóteses: uma denominada Hipótese Nula e sua notação é H0, e 
outra denominada Hipótese Alternativa, e sua notação é H1. A hipótese nula é uma afirmação que envolve 
sempre uma igualdade (afirmando que um parâmetro é igual, menor ou igual ou maior ou igual a um 
determinado valor), enquanto que a hipótese alternativa denota sempre uma diferença (afirmando que um 
parâmetro é diferente, menor ou maior que determinado valor). 
É importante considerar que os testes de hipóteses podem apenas testar a hipótese nula, verificando se 
há ou não evidência suficiente a favor dela. Assim, o resultado do teste permite decidir por não rejeitar a hipótese 
nula (concluindo-se que há evidência a favor dela) ou rejeitar a hipótese nula (concluindo-se que não há evidência 
em favor dela). 
 
Regra de decisão 
 
A hipótese nula é ou não rejeitada com base em um critério, chamado Regra de Decisão. A regra de 
decisão é formulada a partir dos valores assumidos pela estatística do teste (que, de maneira geral, expressa a 
distância, em erros-padrão, entre o valor considerado na hipótese nula e o verdadeiro valor do parâmetro) e o 
valor crítico (que expressa um valor referencial para essa distância, ou seja, determina se a diferença entre o valor 
considerado na hipótese nula e o valor verdadeiro do parâmetro é ou não significativa). 
 
Erros na decisão 
 
 Ao se decidir por não rejeitar ou rejeitar uma hipótese nula, pode-se cometer um erro, chamado erro de 
decisão. Como o teste de hipóteses baseia-se sempre em dados obtidos para amostras aleatórias representativas 
da população (e não para a população como um todo) a probabilidade de cometer esse erro SEMPRE EXISTE, mas 
pode-se fixar um valor máximo para ela, chamado de nível descritivo do teste ou nível de significância. 
 
Hipótese Nula 
Decisão 
Não rejeitar H0 Rejeitar H0 
Verdadeira  Erro TIPO 1 
Falsa Erro TIPO 2  
 
P(cometer erro tipo 1) = α 
P(cometer erro tipo 2) = β 
 
Procura-se sempre minimizar a probabilidade de se cometer o erro tipo 1, de forma que fixa-se um valor 
máximo para essa probabilidade. Assim, o nível de significância de um teste de hipóteses será a probabilidade 
de erro tipo 1, ou seja, α. 
 Distribuição t 
 
Ao tomarmos todas as amostras possíveis de mesmo tamanho de uma população com distribuição 
normal, geramos uma população de médias amostrais. Por propriedades da média de variáveis aleatórias e pelo 
Teorema do Limite Central, sabe-se que essas médias amostrais têm uma distribuição normal, com média igual à 
da variável original e variância igual à da distribuição original, ponderada pelo tamanho amostral. A esta 
distribuição das médias amostrais, denomina-se distribuição amostral das médias (D.A.M.). Assim, temos: 
 
 ̅ ( 
 
 
) 
Se a variância da variável ̅ é igual a 
 
 
 , então o desvio-padrão da variável, dado pela raiz quadrada da 
variância, será 
 
√ 
. 
 
A diferença ou distância entre uma média amostral e a média da população é medida, em erros-padrão, 
por meio da sua padronização (padronizar uma variável significa subtrair dela a média e dividir esse resultado 
pelo desvio-padrão): 
 
 
 ̅ 
 
√ 
⁄
 
 
(Expressão 1) 
 
A variável padronizada tem distribuição normal padrão, com média 0 e variância 1: 
 
 
 
Porém, na maior parte dos casos, não se conhece o desvio-padrão populacional σ, mas tem-se uma 
estimativa pontual de seu valor, o desvio-padrão amostral S. Substituindo-se S no lugar de σ na padronização das 
médias (expressão 1), tem-se: 
 
 
 ̅ 
 
√ 
⁄
 
 
Nesse caso, a nova variável T tem distribuição t com n-1 graus de liberdade: 
 
 
 
Testes de hipóteses para uma média com desvio-padrão conhecido. 
 
É comum na pesquisa científica levantarem-se hipóteses acerca da média populacional. É 
possível verificar se esta média é igual ou diferente a determinado valor (caso 1), ou se é menor (caso 2) 
ou maior que ele (caso 3). Assim, as hipóteses de um teste para uma média populacional podem ser: 
Caso 1: 
 
H0: μ = 
H1: μ 
Caso 2: 
 
H0: μ 
H1: μ < 
Caso 3: 
 
H0: μ 
H1: μ > 
 
Nesses casos, substitui-se o valor de μ 0 no lugar de μ na expressão 1, obtendo-se a distância, em erros-padrão, 
entre a média amostral obtida experimentalmente ( ̅) e a média populacional estipulada na hipótese ( ). Se 
essa distância é pequena, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre elas, ou seja, a hipótese nula. Caso essa 
distância seja grande, rejeita-se a hipótese de igualdade, concluindo-se que μ não é igual a . 
No caso 1, chamado teste BILATERAL, o valor referencial (valor crítico) para essa distância é 
 ⁄
. 
Nos casos 2 e 3, chamados testes UNILATERAIS, o valor referencial (valor crítico) para essa distância zα. 
Assim, quando o desvio-padrão populacional é conhecido, o teste para uma média consiste em calcular 
 
 ̅ 
 
√ 
⁄
 e comparar seu valor e comparar seu valor com o valor crítico: 
 
Regra de decisão no teste BILATERAL (CASO 1): 
Se | | < ⁄ , não se rejeita H0, concluindo-se que μ = 
Se | | > ⁄ , rejeita-se H0, concluindo-se que μ 
 
 
 
Regra de decisão no teste UNILATERAL À ESQUERDA (CASO 2): 
Se > - , não se rejeita H0, concluindo-se que 
Se < - , rejeita-se H0, concluindo-se que < 
 
 
 
Regra de decisão no teste UNILATERAL À DIREITA (CASO 3): 
Se < , não se rejeita H0, concluindo-se que 
Se > , rejeita-se H0, concluindo-se que > 
 
 
 
 
Testes de hipóteses para uma média com desvio-padrão desconhecido. 
 
 Como já vimos, quando o desvio-padrão populacional é desconhecido, utiliza-se como sua 
estimativa o desvio-padrão amostral. Nesse caso, o teste para uma média consiste em calcular 
 ̅ 
 
√ 
⁄
 e 
comparar seu valor com , em que α é o nível de significância do teste. 
 
Regra de decisão no teste BILATERAL (CASO 1): 
Se | | < , não se rejeita H0, concluindo-se que μ = 
Se| | > , rejeita-se H0, concluindo-se que μ 
 
 
 
Regra de decisão no teste UNILATERAL À ESQUERDA (CASO 2): 
Se > - , não se rejeita H0, concluindo-se que 
Se < - , rejeita-se H0, concluindo-se que < 
 
 
Regra de decisão no teste UNILATERAL À DIREITA (CASO 3): 
Se < , não se rejeita H0, concluindo-se que 
Se > , rejeita-se H0, concluindo-se que > 
 
 
 
Exemplo 1: Para mulheres com idades entre 18 e 24 anos, a pressão arterial sistólica é uma variável normalmente 
distribuído com desvio-padrão igual a 13,1 mmHg. Selecionou-se uma amostra de 30 mulheres nessa faixa etária 
e obteve-se uma média amostral de 122 mmHg. Com base nesses dados, é razoável supor, ao nível de 
significância de 5%, que a pressão arterial sistólica média na população de mulheres com idades entre 18 e 24 
anos é de no máximo que 120 mmHg? 
 
As hipóteses deste teste são: 
H0: μ 
H1: μ 
Portanto, este é um teste unilateral à direita, com desvio-padrão populacional conhecido (portanto um teste Z 
unilateral).√ 
⁄
 
 
 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
Como < , não se rejeita H0 e conclui-se que é razoável supor que a pressão arterial média 
populacional de mulheres com idades entre 18 e 24 anos é de no máximo 120 mmHg. 
 
Exemplo 2: Uma agência bancária localizada no bairro comercial de uma cidade desenvolveu um processo de 
aperfeiçoamento para atendimento aos clientes no horário de pico do almoço, do meio-dia às 13 horas. O tempo 
de espera (definido como o intervalo de tempo entre o momento em que o cliente entra na fila até seu 
atendimento no caixa) de todos os clientes atendidos naquele horário foi registrado ao longo de uma semana. Foi 
selecionada uma amostra aleatória de 15 atendimentos, que teve como tempo médio de espera 4,29 minutos e 
desvio-padrão do tempo de espera de 1,64 minutos. Ao nível de significância de 5%, existe evidência de que o 
tempo médio de espera desse horário seja menor que 5 minutos? 
 
Nesse caso, não se conhece o desvio-padrão populacional, mas se obteve o desvio-padrão de uma amostra 
aleatória da população de atendimentos no horário em questão. Dessa forma, o teste é realizado para desvio-
padrão populacional desconhecido, ou seja, trata-se de um teste t. 
As hipóteses do teste nesse caso são: 
 
H0: μ 
H1: μ 
Portanto, este é um teste t unilateral à esquerda. 
 
 
 
 
√ 
⁄
 
 
 
Como > - não se rejeita H0, concluindo-se que não há evidência de que o tempo de espera seja menor 
que 5 minutos.