0009 solucoeselon2

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Soluc¸o˜es dos exercı´cios de Ana´lise do livro de
Elon Lages Lima:Curso de ana´lise vol.1.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
16 de setembro de 2016
1
Suma´rio
1 Soluc¸o˜es-Curso de ana´lise vol.1 6
1.1 Notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Capı´tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Capı´tulo 2-Conjuntos finitos, Enumera´veis e na˜o-enumera´veis . . . . . 14
1.4 Capı´tulo 3 -Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.4 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.5 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.6 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.7 Questa˜o 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.8 Questa˜o 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.9 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.10 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.11 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.13 Questa˜o 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.14 Questa˜o 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.15 Questa˜o 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.16 Questa˜o 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.17 Questa˜o 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.18 Questa˜o 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4.19 Questa˜o 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2
SUMA´RIO 3
1.4.20 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4.21 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.22 Questa˜o 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.23 Questa˜o 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.24 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.25 Questa˜o 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.26 Questa˜o 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.27 Questa˜o 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.4.28 Questa˜o 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.4.29 Questa˜o 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4.30 Questa˜o 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4.31 Questa˜o 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.4.32 Questa˜o 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.4.33 Questa˜o 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.34 Questa˜o 35 e 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.35 Questa˜o 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.4.36 Questa˜o 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4.37 Questa˜o 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.4.38 Questa˜o 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4.39 Questa˜o 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.4.40 Questa˜o 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.4.41 Questa˜o 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.4.42 Questa˜o 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.4.43 Questa˜o 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.4.44 Questa˜o 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.4.45 Questa˜o 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4.46 Questa˜o 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4.47 Questa˜o 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4.48 Questa˜o 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.5 Capı´tulo 4-Sequeˆncias e se´ries de nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . 71
1.5.1 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5.2 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5.3 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
SUMA´RIO 4
1.5.4 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.5 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.6 Questa˜o 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.7 Questa˜o 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.8 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.9 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.10 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.11 Questa˜o 11a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.13 Questa˜o 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.14 Questa˜o 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.5.15 Questa˜o 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.5.16 Questa˜o 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.5.17 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.5.18 Questa˜o 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5.19 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5.20 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.5.21 Questa˜o 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.5.22 Questa˜o 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.23 Questa˜o 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.24 Questa˜o 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.5.25 Questa˜o 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.5.26 Questa˜o 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.5.27 Questa˜o 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.6 Capı´tulo 5-Topologia da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.6.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.6.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.6.3 questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.6.4 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.6.5 intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.6.6 int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.6.7 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.6.8 Questo˜es 7 e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 98
SUMA´RIO 5
1.6.9 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.6.10 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.6.11 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.6.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.6.13 Questa˜o 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.6.14 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.6.15 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.6.16 Questa˜o 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.6.17 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.7 Capı´tulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.7.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.7.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.7.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.7.4 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.7.5 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.8 Capı´tulo 8-Sequeˆncias e se´ries de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Capı´tulo 1
Soluc¸o˜es-Curso de ana´lise vol.1
Esse texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, cons-
tituı´do apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es
da parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu
Email rodrigo.uff.math@gmail.com.
Se houver alguma soluc¸a˜o errada, se quiser contribuir com uma soluc¸a˜o diferente
ou ajudar com uma soluc¸a˜o que na˜o consta no texto, tambe´m pec¸o que ajude enviando
a soluc¸a˜o ou sugesta˜o para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que
tenha ajudado com alguma soluc¸a˜o. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos
que estudam ana´lise pelo livro do Elon.
1.1 Notac¸o˜es
Denotamos (xn) uma sequeˆncia (x1, x2, · · · ). Uma n upla (x1, x2, · · · , xn) podemos
denotar como (xk)n1 .
O conjunto de valores de adereˆncia de uma sequeˆncia (xn) iremos denotar como
A[xn].
Usaremos a abreviac¸a˜o PBO para princı´pio da boa ordenac¸a˜o.
Denotamos f(x+ 1) − f(x) = ∆f(x).
Usando a notac¸a˜o Qxn =
xn+1
xn
.
Ac para o complementar do conjunto A.
6
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 7
1.2 Capı´tulo 1
Questa˜o 1
b Propriedade 1. Dados A e B, seja X com as propriedades
• A ⊂ X, B ⊂ X.
• Se A ⊂ Y e B ⊂ Y enta˜o X ⊂ Y.
Nessas condic¸o˜es X = A ∪ B, a unia˜o A ∪ B e´ o menor conjunto com subcon-
juntos A e B.
ê Demonstrac¸a˜o.
A primeira condic¸a˜o implica que A ∪ B ⊂ X. A segunda condic¸a˜o com Y = A ∪ B
implica X ⊂ A ∪ B. Das duas segue que A ∪ B = X.
Questo˜es 2,3 e 4
b Propriedade 2. A ∩ B e´ o menor subconjunto de A e B.
Seja X com
• X ⊂ A e X ⊂ B
• Se Y ⊂ A e Y ⊂ B enta˜o Y ⊂ X.
Nessas condic¸o˜es X = A ∩ B.
ê Demonstrac¸a˜o. Da primeira condic¸a˜o temos que X ⊂ A ∩ B. Da segunda
tomando Y = A ∩ B, que satisfaz Y ⊂ A e Y ⊂ B, enta˜o
A ∩ B ⊂ X
logo pelas duas incluso˜es A ∩ B = X.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 8
b Propriedade 3. Sejam A,B ⊂ E. enta˜o
A ∩ B = ∅⇔ A ⊂ Bc.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que E = B ∪ Bc onde B ∩ Bc = ∅.⇒).
Suponha por absurdo que A∩B = ∅ e na˜o vale A ⊂ Bc, enta˜o existe a ∈ A tal que
a /∈ Bc e por isso a ∈ B, mas daı´ A ∩ B 6= ∅ absurdo.⇐).
Suponha a ∈ A ∩ B enta˜o a ∈ A ⊂ Bc e a ∈ B o que e´ absurdo pois B e Bc sa˜o
disjuntos.
$ Corola´rio 1. Vale que A ∪ B = E⇔ Ac ⊂ B.
Pois
A ∪ B = E⇔ Ac ∩ Bc = ∅⇔
pelo resultado anterior
Bc ⊂ (Ac)c︸ ︷︷ ︸
A
⇔ Ac ⊂ B.
$ Corola´rio 2. Sejam A,B ⊂ E. A ⊂ B⇔ A ∩ Bc = ∅.
Sabemos que A ∩W = ∅⇔ A ⊂Wc por resultado que ja´ mostramos, tomando
W = Bc temos o resultado que desejamos.
Questa˜o 5
Z Exemplo 1. Deˆ exemplo de conjuntos A,B,C tais que
(A ∪ B) ∩ C 6= A ∪ (B ∩ C).
Sejam A = B 6= ∅ e C tal que C ∩A = ∅. Enta˜o
(A ∪ B) ∩ C = A ∩ C = ∅ 6= A ∪ (B ∩ C) = A ∪ ∅ = A.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 9
Questa˜o 6
b Propriedade 4. Se A,X ⊂ E tais que A ∩ X = ∅ e A ∪ X = E enta˜o X = Ac.
ê Demonstrac¸a˜o. Pelo que ja´ mostramos A∩X = ∅ enta˜o X ⊂ Ac. De A∪X = E
temos Ac ⊂ X, como temos Ac ⊂ X e X ⊂ Ac enta˜o tem-se a igualdade X = Ac.
Questa˜o 7
b Propriedade 5. Se A ⊂ B enta˜o B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A ∀ C.
Se existe C tal que B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A enta˜o A ⊂ B.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar a primeira afirmac¸a˜o. Seja x ∈ B ∩ (A ∪ C),
enta˜o x ∈ B e x ∈ A ∪ C. Se x ∈ A enta˜o x ∈ (B ∩ C) ∪ A e terminamos, se x /∈ A
enta˜o x ∈ B e x ∈ C e terminamos novamente pois e´ elemento de B ∩ C.
Agora a outra inclusa˜o. Se x ∈ (B ∩ C) ∪ A enta˜o x ∈ A ou x ∈ B ∩ C. Se x ∈ A
terminamos. Se x /∈ A enta˜o x ∈ B ∩ C e daı´ pertence a` B ∩ (A ∪ C) como querı´amos
demonstrar.
Agora a segunda propriedade. Suponha por absurdo que A 6⊂ B enta˜o existe x ∈ A
tal que x /∈ B, tal x pertence a` (B∩C)∪A pore´m na˜o pertence a` B∩ (A∪C) portanto
na˜o temos a igualdade, absurdo!.
Questa˜o 8
b Propriedade 6. Vale que A = B⇔ (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = ∅.
ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Se (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = ∅ enta˜o A ∩ Bc = ∅ e Ac ∩ B = ∅, logo por resultados
que ja´ provamos A ⊂ B da primeira relac¸a˜o e B ⊂ A da segunda, portanto A = B.⇒). Se A = B enta˜o A ∩ Bc = Ac ∩ B = ∅.
Questa˜o 9
b Propriedade 7. Vale que (A \ B) ∪ (B \A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar as duas incluso˜es.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 10
Seja x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A). Tal unia˜o e´ disjunta, pois se houvesse um em ambos
conjuntos, enta˜o pelo primeiro x ∈ A, x /∈ B pelo segundo x ∈ B, x /∈ A absurdo.
Se x ∈ A\B logo x ∈ A, x /∈ B portanto x ∈ A∪B e x /∈ A∩B logo x ∈ (A∪B)\(A∩B),
o caso de x ∈ (B\A) tambe´m implica inclusa˜o por simetria (trocar A por B na˜o altera).
Se x ∈ A ∪ B \ A ∩ B enta˜o x ∈ A ou x ∈ B e x /∈ A ∩ B logo x /∈ A e B
simultaneamente, isso significa que x ∈ A ou x ∈ B exclusivamente logo x ∈ (A\B)∪
(B \A).
Questa˜o 10
b Propriedade 8. Se
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∪ C) \ (A ∩ C)
enta˜o B = C, isto e´, vale a lei do corte para A∆B = A∆C.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que B 6= C, suponha sem perda de generalidade que
x ∈ B, x /∈ C. Vamos analisar casos.
Se x /∈ A enta˜o x /∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C) pore´m x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Se x ∈ A enta˜o x /∈ A ∪ B \ (A ∩ B) e x ∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C), portanto na˜o vale a
igualdade dos conjuntos.
Logo devemos ter B = C.
Questa˜o 11
b Propriedade 9. Valem as seguintes propriedades do produto cartesiano .
1. (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B× C).
2. (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B× C).
3. (A \ B)× C = (A× C) \ (B× C).
4. Se A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ enta˜o A× B ⊂ A ′ × B ′.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 11
1. Seja (x, y) ∈ (A ∪ B) × C, temos que y ∈ C se x ∈ A enta˜o (x, y) ∈ (A × C), se
x ∈ B enta˜o (x, y) ∈ (B×C) enta˜o vale (A ∪ B)×C ⊂ (A×C) ∪ (B×C). Agora
a outra inclusa˜o.
Temos que (A × C) ⊂ (A ∪ B) × C pois um elemento do primeiro e´ da forma
(x, y) com x ∈ A e y ∈ C que pertence ao segundo conjunto, o mesmo para
(B× C).
2. Tomamos (x, y) ∈ (A ∩ B)× C, enta˜o x ∈ A e x ∈ B, y ∈ C, logo (x, y) ∈ A× C
e (B× C) provando a primeira inclusa˜o, agora a segunda.
(x, y) ∈ (A× C) ∩ (B× C) enta˜o x ∈ A e B, y ∈ C logo (x, y) ∈ (A ∩ B)× C.
3. Sendo (x, y) ∈ (A \ B) × C enta˜o x ∈ A, x /∈ B e y ∈ C logo (x, y) ∈ (A × C) e
na˜o pertence a` B×C pois para isso seria necessa´rio x ∈ B o que na˜o acontece.
Agora a outra inclusa˜o, se (x, y) ∈ (A×C) \ (B×C) enta˜o x ∈ A e y /∈ C pore´m
x na˜o pode pertencer a` B pois esta˜osendo retirados elementos de B× C enta˜o
vale a outra inclusa˜o.
4. Seja (x, y) ∈ A×B enta˜o pelas incluso˜es A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ temos x ∈ A ′ e y ∈ B ′
portanto (x, y) ∈ A ′ × B ′.
Questa˜o 12
b Propriedade 10. Seja f : A→ B , enta˜o valem
1.
f(X) \ f(Y) ⊂ f(X \ Y)
X, Y subconjuntos de A.
2. Se f for injetiva enta˜o f(X \ Y) = f(X) \ f(Y).
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Seja z ∈ f(X) \ f(Y) enta˜o z = f(x) e na˜o existe y ∈ Y tal que z = f(y) enta˜o
z ∈ f(X \ Y) pois e´ imagem de um elemento x ∈ X \ Y.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 12
2. Ja´ sabemos que vale a inclusa˜o f(X) \ f(Y) ⊂ f(X \ Y). Vamos provar agora a
outra inclusa˜o f(X \ Y) ⊂ f(X) \ f(Y). Seja z ∈ f(X \ Y) enta˜o existe x ∈ X \ Y
portanto x ∈ X e x /∈ Y tal que f(x) = z. Se z ∈ f(Y) enta˜o existiria y ∈ Y tal
que f(y) = z mas como f e´ injetora x = y o que contraria x ∈ X \ Y, logo vale a
outra inclusa˜o e o resultado fica provado .
Questa˜o 13
b Propriedade 11. f : A→ B e´ injetora ⇔ f(A \ X) = f(A) \ f(X) ∀ X ⊂ A.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Ja´ fizemos na propriedade anterior.⇐). Suponha por absurdo que f na˜o e´ injetiva enta˜o existem a 6= x tais que
f(x) = f(a), seja X = {x}, vale que f(a) ∈ f(A \ X) pois a ∈ A,a /∈ X = {x} pore´m
f(a) /∈ f(A) \ f(X) enta˜o na˜o vale a igualdade, o que e´ absurdo.
Questa˜o 14
b Propriedade 12. Dada f : A→ B enta˜o
1. ∀ X ⊂ A temos X ⊂ f−1(f(X)).
2. f e´ injetora ⇔ f−1(f(X)) = X ∀ X ⊂ A.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. f−1(f(X)) e´ o conjunto dos elementos x ∈ A tal que f(x) ∈ f(X) enta˜o vale
claramente que X ⊂ f−1(f(X)), pois dado a ∈ X tem-se que f(a) ∈ f(X).
2. ⇒). Suponha f injetora, ja´ sabemos que X ⊂ f−1(f(X)) pelo item anterior, vamos
provar agora que f−1(f(X)) ⊂ X suponha por absurdo que exista y /∈ X tal
que f(y) ∈ f(X), f(y) = f(x) para y /∈ X e x ∈ X, enta˜o f na˜o e´ injetora o
que contraria a hipo´tese enta˜o deve valer a inclusa˜o que querı´amos mostrar e
portanto a igualdade dos conjuntos.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 13
⇐). Suponha que f−1f(X) = X, ∀ X ⊂ A, vamos mostrar que f e´ injetora.
Suponha que f na˜o e´ injetora enta˜o existem x 6= y tais que f(x) = f(y), sendo
X = {x}, Y = {y} daı´ f−1f(X) 6⊂ X pois Y ⊂ f−1f(X), Y 6⊂ X. O que e´ absurdo enta˜o
f e´ injetora.
Questa˜o 15
b Propriedade 13. Seja f : A→ B, enta˜o vale que
1. Para todo Z ⊂ B, tem-se f(f−1(Z)) ⊂ Z.
2. f e´ sobrejetiva ⇔, f(f−1(Z)) = Z ∀ Z, Z ⊂ B.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. f−1(Z) e´ subconjunto de A que leva elemento em Z por f, enta˜o e´ claro que a
imagem de tal conjunto por f esta´ contida em Z.
2. ⇒ ) Suponha que f seja sobrejetiva. Ja´ sabemos que para qualquer func¸a˜o f
vale que f(f−1(Z)) ⊂ Z, em especial vale para f sobrejetiva, temos que provar
que se f e´ sobrejetiva, vale a outra inclusa˜o Z ⊂ f(f−1(Z)).
Seja z ′ ∈ Z arbitra´rio enta˜o, existe x ∈ A tal que f(x) = z ′, pois f e´ sobrejetora
, daı´ x ∈ f−1(Z), pois tal e´ o conjunto de A que leva elementos em Z, mas isso
significa tambe´m que Z ⊂ f(f−1(Z)), pois um z ′ ∈ Z arbitra´rio e´ imagem de
elemento de f−1(Z), como querı´amos demonstrar.
⇐). Suponha que vale f(f−1(Z)) = Z, ∀ Z ⊂ B, vamos mostrar que f : A → B
e´ sobrejetiva . Seja y ∈ B qualquer, tomamos Z = {y}, temos que f(f−1(Z)) =
Z , em especial Z ⊂ f(f−1(Z)), portanto f(f−1(Z)) na˜o e´ vazio e daı´ f−1(Z)
tambe´m na˜o e´ vazio, sendo esse u´ltimo o conjunto dos elementos x ∈ A tais
que f(x) = z, logo f e´ sobrejetiva, pois z ∈ Z foi um elemento arbitra´rio tomado
no contradomı´nio e´ imagem de pelo menos um elemento de A.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 14
1.3 Capı´tulo 2-Conjuntos finitos, Enumera´veis e na˜o-
enumera´veis
Questa˜o 1
‡ Axioma 1. Existe uma func¸a˜o s : N→ N injetiva, chamada de func¸a˜o sucessor, o
nu´mero natural s(n) e´ chamado sucessor de n.
$ Corola´rio 3. Como s e´ uma func¸a˜o, enta˜o o sucessor de um nu´mero natural
e´ u´nico, isto e´, um nu´mero natural possui apenas um sucessor.
‡ Axioma 2. Existe um u´nico nu´mero natural que na˜o e´ sucessor de nenhum outro
natural, esse nu´mero simbolizamos por 1.
‡ Axioma 3 (Axioma da induc¸a˜o). Dado um conjunto A ⊂ N, se 1 ∈ A e ∀ n ∈ A
tem-se s(n) ∈ A enta˜o A = N.
b Propriedade 14. Supondo os axiomas 1 e 2 enta˜o o axioma 3 e´ equivalente
a proposic¸a˜o: Para todo subconjunto na˜o vazio A ⊂ N tem-se A \ S(A) 6= ∅.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Supondo o axioma (3) va´lido. Suponha por absurdo que exista A 6= ∅, A ⊂ N
tal que A \ S(A) = ∅ enta˜o A ⊂ S(A), isto e´, ∀ x ∈ A existe y ∈ A tal que x = s(y).
Sabemos que 1 /∈ A, pois se na˜o 1 ∈ A\S(A). Se n /∈ A, vamos mostrar que s(n) /∈ A.
Se fosse s(n) ∈ A, chegarı´amos em uma contradic¸a˜o com A ⊂ S(A), pois deveria
haver y ∈ A tal que s(y) = s(n) e por injetividade seguiria y = n ∈ A, o que contraria
a hipo´tese, logo S(n) /∈ A, A e´ vazio pois na˜o conte´m nenhum nu´mero natural, mas
consideramos que A na˜o e´ vazio como hipo´tese, absurdo!.⇐).
Pelo axioma 2 temos que 1 e´ o u´nico elemento de N\S(N), pelo axioma 1 temos que
S(N) ⊂ N daı´ temos N = {1}∪S(N) o que implica 1 ∈ A, ∀ n ∈ N s(n) ∈ A⇔ A = N.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 15
Questa˜o 2
b Propriedade 15. Dados m e n naturais enta˜o existe x natural tal que
x.n > m.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale n ≥ 1 daı´ multiplicando por m + 1 segue (m + 1)n ≥
m+ 1 > m logo (m+ 1)n > n.
Questa˜o 3
b Propriedade 16. Seja n0 ∈ N. Se A ⊂ N tal que n0 ∈ A e n ∈ A⇒ n+1 ∈ A
enta˜o todo x ∈ N com x ≥ a pertence a` A.
ê Demonstrac¸a˜o. Se a = 1 nada temos a fazer pois A = N. Se a > 1 enta˜o
a = b + 1 e´ sucessor de b. Vamos mostrar que b + n ∈ A ∀ n ∈ N. Sabemos que
b + 1 ∈ A. Supondo que b + n ∈ A enta˜o b + (n + 1) ∈ A daı´ por induc¸a˜o segue que
b + n ∈ A ∀ n ∈ N. Lembrando que x > b significa que existe p natural tal que
b + p = x, como b + p ∈ A ∀ p ∈ N enta˜o x ∈ A. Outro fato que usamos e´ que se
x > b enta˜o x ≥ b+ 1 = a pois na˜o existe natural entre b e b+ 1, b ∈ N.
Questa˜o 5
m Definic¸a˜o 1 (Antecessor). m ∈ N e´ antecessor de n ∈ N quando m < n mas
na˜o existe c ∈ N tal que m < c < n.
b Propriedade 17. 1 na˜o possui antecessor e qualquer outro nu´mero natural
possui antecessor.
ê Demonstrac¸a˜o. Na˜o vale m < 1 para algum natural m, logo 1 na˜o possui
antecessor. Agora para todo outro n ∈ N vale n > 1 logo existe p ∈ N tal que
p + 1 = n, vamos mostrar que p = m e´ o antecessor de n. Vale p < p + 1, logo
a primeira condic¸a˜o e´ satisfeita, a segunda condic¸a˜o tambe´m e´ satisfeita pois na˜o
existe c ∈ N tal que p < c < p + 1. Vamos mostrar agora que existe um u´nico
antecessor. Suponha existeˆncia de dois antecessores m e m ′ distintos enta˜o existe
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 16
um deles que e´ o maior, digamos m ′, daı´ m < m ′ e m ′ < n por transitividade segue
m < m ′ < n o que contraria a definic¸a˜o de antecessor, enta˜o existe um u´nico.
Questa˜o 6
Questa˜o 6 a)
b Propriedade 18. Mostrar que
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
.
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois
1∑
k=1
k = 1 = 1(2)
2
.
Supondo a validade para n
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
vamos provar para n+ 1
n+1∑
k=1
k =
(n+ 1)(n+ 2)
2
.
Por definic¸a˜o de somato´rio temos
n+1∑
k=1
k = (n+ 1) +
n∑
k=1
k = (n+ 1) + n(n+ 1)
2
= (n+ 1)(1+ n
2
) =
(n+ 1)(n+ 2)
2
onde usamos a hipo´tese da induc¸a˜o .
Questa˜o 6 b)
b Propriedade 19. Mostrar que
n∑
k=1
(2k− 1) = n2.
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 temos
1∑
k=1
(2k− 1) = 2.1− 1 = 1 = 12.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 17
supondo a validade para n,
n∑
k=1
(2k− 1) = n2
vamos provar para n+ 1
n+1∑
k=1
(2k− 1) = (n+ 1)2.
Usando a definic¸a˜o de somato´rio e hipo´tese da induc¸a˜o tem-se
n+1∑
k=1
(2k− 1) =
n∑
k=1
(2k− 1) + 2n+ 1 = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2 .Questa˜o 6 c)
Z Exemplo 2. Mostrar por induc¸a˜o que
(a− 1)
n∑
k=0
ak = an+1 − 1.
Para n = 1 temos
(a− 1)
1∑
k=0
ak = (a− 1)(a+ 1) = a2 − 1.
Supondo que (a − 1)
n∑
k=0
ak = an+1 − 1 vamos provar que (a − 1)
n+1∑
k=0
ak = an+2 − 1.
Por definic¸a˜o de somato´rio e pela hipo´tese da induc¸a˜o temos
(a− 1)
n+1∑
k=0
ak = (a− 1)an+1 + (a− 1)
n∑
k=0
ak = an+2 − an+1 + an+1 − 1 = an+2 − 1 .
Questa˜o 6 d)
Z Exemplo 3. Mostre que se n ≥ 4 enta˜o n! > 2n.
Para n = 4 vale 4! = 24 > 24 = 16. Suponha validade para n , n! > 2n, vamos
provar para n+ 1, (n+ 1)! > 2n+1. Multiplicando n! > 2n por n+ 1 de ambos lados
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 18
segue que
(n+ 1)! > (n+ 1)︸ ︷︷ ︸
>2
2n > 2.2n = 2n+1 .
Questa˜o 7
b Propriedade 20 (Unicidade da fatorac¸a˜o em primos). Seja n ∈ N,n > 1. Se
n =
m∏
k=1
pk =
s∏
k=1
qk onde cada pk e qk sa˜o primos, na˜o necessariamente distintos
enta˜o m = s e pk = qk∀ k , apo´s, se necessa´rio, uma renomeac¸a˜o dos termos.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar usando o segundo princı´pio da induc¸a˜o, para
n = 2 a propriedade vale. Suponha a validade para todo t < n vamos provar que
nessas condic¸o˜es vale para n.
n = pm
m−1∏
k=1
pk = qs
s−1∏
k=1
qk
pm divide o produto
s∏
k=1
qk enta˜o deve dividir um dos fatores, por exemplo qs (se
na˜o, renomeamos os termos), como pm|qs enta˜o pm = qs
pm
m−1∏
k=1
pk = pm
s−1∏
k=1
qk ⇒ m−1∏
k=1
pk =
s−1∏
k=1
qk = n0 < n
como n0 e´ menor que n, usamos a hipo´tese da induc¸a˜o, que implica m − 1 = s − 1,
qk = pk de k = 1 ate´ m− 1, daı´ segue que m = n e qk = pk de k = 1 ate´ m.
questa˜o 8
b Propriedade 21. Sejam A e B conjuntos com n elementos, enta˜o o nu´mero
de bijec¸o˜es de f : A→ B e´ n!
ê Demonstrac¸a˜o.
Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1, tem-se uma func¸a˜o A = {a1} e B = {b1}, f : A→ B
tal que f(a1) = b1. Supondo a validade para conjuntos com n elementos, vamos
provar que vale para conjuntos com n + 1 elementos. Tomando A = {ak, k ∈ In+1}
e B = {bk, ∈ In+ 1}, dado s ∈ In+1, fixamos as bijec¸o˜es f com f(a1) = bs daı´ a
quantidade dessas func¸o˜es e´ dada pela quantidade de bijec¸o˜es de A \ {a1} em B \ {bs},
que e´ n! para cada s variando de 1 ate´ n+ 1, o total enta˜o e´ (n+ 1)n! = (n+ 1)!.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 19
$ Corola´rio 4. O mesmo vale se A = B.
Questa˜o 9
Questa˜o a)
b Propriedade 22. Se A e B sa˜o finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m
enta˜o A ∪ B e´ finito com |A ∪ B| = m+ n.
ê Demonstrac¸a˜o. Existem bijec¸o˜es f : In → A, g : Im → B. Definimos h :
Im+n → A ∪ B como h(x) = f(x) se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x− n) se 1+ n ≤ x ≤ m+ n
(1 ≤ x− n ≤ m), como h e´ bijec¸a˜o segue o resultado.
b Propriedade 23. Se A e B sa˜o conjuntos finitos na˜o necessariamente dis-
juntos vale a relac¸a˜o
|A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|.
ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos A como a unia˜o disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B),
daı´ |A|− |A ∩ B| = |A \ B| agora escrevemos A ∪ B = (A \ B) ∪ B, unia˜o disjunta logo
|A ∪ B| = |A \ B|+ |B|
usando a primeira expressa˜o segue que
|A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|.
b Propriedade 24. Se A e B sa˜o conjuntos finitos na˜o necessariamente dis-
juntos vale a relac¸a˜o
|A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|.
ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos A como a unia˜o disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B),
daı´ |A|− |A ∩ B| = |A \ B| agora escrevemos A ∪ B = (A \ B) ∪ B, unia˜o disjunta logo
|A ∪ B| = |A \ B|+ |B|
usando a primeira expressa˜o segue que
|A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 20
Questa˜o b)
$ Corola´rio 5. Podemos deduzir a identidade para treˆs conjuntos
|A ∪ B ∪ C|,
tomamos B ′ = B ∪ C e aplicamos o resultado para dois conjuntos
|A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B ∪ C|− |A ∩ [B ∪ C]| =
= |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|[A∩B]∪[A∩C]| = |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C|
logo
|A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C|− |B ∩ C|− |A ∩ B|− |A ∩ C|+ |A ∩ B ∩ C|
Questa˜o c)
b Propriedade 25 (Princı´pio da inclusa˜o- exclusa˜o). Sejam n conjuntos finitos
(Ak)
n
1 , seja I o multiconjunto das combinac¸o˜es das intersec¸o˜es desses n conjuntos,
enta˜o
|
n⋃
k=1
Ak| =
∑
K∈I
|K|(−1)nk
onde onde nk e´ o nu´mero de intersec¸o˜es em K.
Questa˜o 10
b Propriedade 26. Seja A finito. Existe uma bijec¸a˜o g : In → A para algum n,
pois A e´ finito, a func¸a˜o f : A→ A e´ injetiva ou sobrejetiva ⇔ g−1 ◦ f ◦ g : In → In
e´ injetiva ou sobrejetiva, respectivamente.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Se f e´ injetiva ou sobrejetiva enta˜o g−1◦f◦g : In → In e´ injetiva ou sobrejetiva,
por ser composic¸a˜o de func¸o˜es com essas propriedades.⇐). Seja g−1 ◦f◦g : In → In sobrejetiva vamos mostrar que f tambe´m e´ sobrejetiva.
Dado y ∈ A vamos mostrar que existe x ∈ A tal que f(x) = y. Como g : In → A e´
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 21
sobrejetiva enta˜o existe x1 ∈ In tal que g(x1) = y e pelo fato de g−1◦f◦g ser sobrejetiva
enta˜o existe x2 ∈ In tal que g−1(f(g(x2))) = x1 = g−1(y) como g−1 e´ injetiva segue que
f(g(x2)) = y logo f e´ sobrejetiva.
Se g−1 ◦ f ◦ g e´ injetiva enta˜o f e´ injetiva. Sejam x, y quaisquer em A, existem
x1, x2 ∈ In tais que g(x1) = x, g(x2) = y. Vamos mostrar que se f(x) = f(y) enta˜o
x = y.
Se f(x) = f(y) enta˜o f(g(x1)) = f(g(x2)) e g−1(f(g(x1))) = g−1(f(g(x2))) com g−1◦f◦g
segue que x1 = x2 que implica g(x1) = g(x2), isto e´, x = y.
b Propriedade 27. Seja A um conjunto finito. f : A → A e´ injetiva ⇔ e´
sobrejetiva.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
Consideramos o caso f : In → In, se f for injetiva enta˜o f : In → f(In) e´ uma
bijec¸a˜o com f(In) ⊂ In. fn na˜o pode ser parte pro´pria de In pois se na˜o f−1(In) → In
seria bijec¸a˜o de um conjunto com sua parte pro´pria, logo f(In) = In e f : In → In e´
bijec¸a˜o.⇐). Se f for sobrejetiva enta˜o para cada y ∈ In (imagem) podemos escolher x ∈ In
(domı´nio) tal que f(x) = y e daı´ definir g : In → In tal que g(y) = x, g e´ injetiva, pois
f e´ func¸a˜o, logo pelo resultado ja´ mostrado g e´ bijetora, implicando que f tambe´m e´.
Questa˜o 11
b Propriedade 28 (Princı´pio das gavetas de Dirichlet- Ou princı´pio da casas
dos pombos.). Se temos m conjuntos (Ak)m1 e n elementos n > m, com
n∑
k=1
|Ak| = n
enta˜o existe At em (Ak)m1 tal que |At| > 1.
Esse resultado diz que se temos n elementos e m conjuntos tais que n > m
enta˜o deve haver um conjunto com pelo menos 2 elementos.
ê Demonstrac¸a˜o. Supondo que |Ak| ≤ 1 ∀ k enta˜o aplicando a soma
n∑
k=1
em
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 22
ambos lados dessa desigualdade temos
n =
n∑
k=1
|Ak| ≤ m⇒ n ≤ m
o que contraria a hipo´tese de n > m ,portanto deve valer |At| > 1 para algum t ∈ In.
Questa˜o 12
b Propriedade 29. Seja A um conjunto com n elementos, enta˜o o nu´mero de
func¸o˜es injetivas f : Ip → A e´ p−1∏
k=0
(n− k).
ê Demonstrac¸a˜o. Se p > n o resultado vale pois na˜o existe func¸a˜o injetiva de
f : Ip → A, pois se na˜o f : Ip → f(A) seria bijec¸a˜o e f(A) ⊂ A daı´ A iria possuir um
subconjunto com p elementos que e´ maior que o nu´mero de elementos de A, o que e´
absurdo. Iremos provar o resultado para outros valores de p ≤ n. Para p = 1 temos
n func¸o˜es, que sa˜o
f1(1) = a1, f2(1) = a2, · · · , fn(1) = an.
Suponha que para Ip temos
p−1∏
k=0
(n − k) func¸o˜es que sa˜o injetivas, vamos mostrar
que para Ip+1 temos
p∏
k=0
(n − k) func¸o˜es. Seja o conjunto das func¸o˜es f : Ip+1 → A
injetivas, podemos pensar o conjunto das f restritas a` Ip tendo
p−1∏
k=0
(n−k) func¸o˜es, por
hipo´tese da induc¸a˜o , agora podemos definir essas func¸o˜es no ponto p+1, onde temos
n − p escolhas, para cada uma dessas escolhas temos
p−1∏
k=0
(n − k) func¸o˜es, portanto
temos um total de (n− p)
p−1∏
k=0
(n− k) =
p∏
k=0
(n− k) func¸o˜es.
Questa˜o 13
b Propriedade 30. Se X possuin elementos enta˜o tal conjunto possui
(
n
p
)
subconjuntos com p elementos.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 23
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar por induc¸a˜o sobre n e p livre. Para n = 0
ele so´ possui um subconjunto com 0 elementos
(
0
0
)
= 1 e para outros valores de
p > 0 ∈ N vale
(
0
p
)
= 0.
Suponha que para um conjunto qualquer A com n elementos, temos
(
n
p
)
sub-
conjuntos, agora podemos obter um conjunto com n + 1 elementos, adicionando um
novo elemento {an+1}, continuamos a contar os
(
n
p
)
subconjuntos que contamos com
elementos de A e podemos formar mais subconjuntos com p elementos adicionando
o ponto {an+1} aos conjuntos com p− 1 elementos, que por hipo´tese da induc¸a˜o temos(
n
p− 1
)
, enta˜o temos no total
(
n
p− 1
)
+
(
n
p
)
=
(
n+ 1
p
)
pela identidade de Stifel,
como querı´amos demonstrar.
Questa˜o 14
b Propriedade 31. Seja |A| = n enta˜o |P(A)| = 2n.
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, se n = 1, enta˜o A = {a1} possui dois
subconjuntos que sa˜o ∅ e {α1}. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n
elementos tenha |P(B)| = 2n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos
implica |P(C)| = 2n+1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos
(por hipo´tese da induc¸a˜o), sk de k = 1 ate´ k = 2n, que tambe´m sa˜o subconjuntos de
C, pore´m podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a unia˜o do elemento {a},
logo no total temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto,
pois na˜o temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.
Questa˜o 15
Z Exemplo 4. Existe g : N→ N sobrejetiva tal que g−1(n) e´ infinito para cada
n ∈ N.
Seja f : N → N definida como f(n) = k se n e´ da forma n = pαkk onde pk
e´ o k-e´simo nu´mero primo e f(n) = n caso contra´rio, f e´ sobrejetiva e existem
infinitos n ∈ N tais que f(n) = k para cada k natural.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 24
Questa˜o 16
b Propriedade 32. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} e´ enumera´vel.
ê Demonstrac¸a˜o. Definimos a func¸a˜o f : Pn → Nn da seguinte maneira: Dado
A = {x1 < x2 < · · · < xn}, f(A) = (x1, · · · , xn). Tal func¸a˜o e´ injetiva pois dados
A = {xk, k ∈ In} e B = {yk, k ∈ In} na˜o pode valer xk = yk para todo k, pois se na˜o
os conjuntos seriam iguais.
Se trocamos N por outro conjunto X enumera´vel o resultado tambe´m vale, basta
definir uma func¸a˜o f : Pn → Xn e g : X → N injetiva, enumeramos um subconjunto
finito qualquer com n elementos A ⊂ X como A = {x1, · · · , xn} onde g(x1) < g(x2) <
· · · < g(xn) e definimos f(A) = (x1, · · · , xn).
$ Corola´rio 6. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N e´ enumera´vel pois
Pf =
∞⋃
k=1
Pk
e´ unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis. O mesmo vale trocando N por um
conjunto enumera´vel qualquer A.
Questa˜o 17
b Propriedade 33. X e´ finito ⇔ existe f : X → X que so´ admite subconjuntos
esta´veis ∅ e X.
ê Demonstrac¸a˜o. Iremos considerar sempre conjuntos na˜o vazios.⇒). Suponha X finito, enta˜o X = {a1, · · · , an}, definimos f : X→ X como f(a1) = a2,
f(a2) = a3, em geral f(ak) = ak+1 se k < n e f(an) = a1. f na˜o possui subconjunto
esta´vel diferente de X, pois, suponha um conjunto Y 6= X esta´vel, a1 na˜o pode perten-
cer ao conjunto, pois se na˜o f(a1) = a2 ∈ Y, f(a2) = a3 ∈ Y ate´ f(an−1) = an ∈ Y enta˜o
terı´amos Y = X o que e´ absurdo, da mesma maneira se at ∈ Y enta˜o f(at) = at+1 ∈ Y,
f(at+1) = at+2 ∈ Y, em menos de n aplicac¸o˜es da func¸a˜o teremos f(an−1) = an ∈ Y
e daı´ f(an) = a1 ∈ Y o que implica Y = X, logo na˜o podemos ter outro subconjunto
esta´vel ale´m de X com a func¸a˜o f definida acima.⇐).
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 25
Suponha X infinito, vamos mostrar que qualquer func¸a˜o f : X→ X possui subcon-
junto esta´vel Y 6= X.
Tomamos a1 ∈ X, consideramos f(a1) := a2 se a1 = a2 paramos e temos o conjunto
Y = {a1} 6= X pois X e´ infinito, se na˜o continuamos a aplica a func¸a˜o f(a2) := a3, se
a3 = a2 ou a1 enta˜o paramos e tomamos Y = {a1, a2}, continuamos o processo recur-
sivamente f(ak) : ak+1 se ak+1 e´ igual a algum dos elementos de {a1, · · · , ak}, enta˜o
paramos o processo e tomamos Y = {a1, · · · , ak}, se para todo k ∈ N os elementos
ak+1 = f(ak) na˜o pertencem ao conjunto {a1, · · · , ak}, enta˜o temos um conjunto
= {a2 = f(a1), f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , f(an) = an+1, · · · }
tomamos tal conjunto como Y e temos
f(Y) = {f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , } ⊂ Y
podemos observar que Y 6= X pois a1 /∈ Y. Assim concluı´mos nossa demonstrac¸a˜o.
Questa˜o 18
b Propriedade 34. Seja f : A → A injetiva, tal que f(A) 6= A, tomando
x ∈ A\f(A) enta˜o os elementos fk(x) de O(x) = {fk(x), k ∈ N} sa˜o todos distintos.
Estamos denotando fk(x) pela k-e´sima composic¸a˜o de f com ela mesma.
ê Demonstrac¸a˜o. Para todo t vale que ft e´ injetiva, pois a composic¸a˜o de
func¸o˜es injetivas e´ injetiva.
Se existisse k 6= t tal que fk(x) = ft(x), t > k , enta˜o existe p > 0 ∈ N tal que
t = k+ p
fk+p(x) = fk(fp(x)) = fk(x)
por injetividade de fk segue que fp(x) = x, logo x ∈ f(A) o que contraria a hipo´tese
de x ∈ A \ f(A). Portanto os elementos sa˜o distintos.
Questa˜o 19
b Propriedade 35. Se A e´ infinito enta˜o existe func¸a˜o injetiva f : N→ A.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 26
ê Demonstrac¸a˜o. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente
x1 ∈ A e definimos f(1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A \
n⋃
k=1
{xk} definido
f(n+ 1) = xn+1. A \
n⋃
k=1
{xk} nunca e´ vazio pois A e´ infinito. f e´ injetora pois tomando
m > n tem-se f(n) ∈
m−1⋃
k=1
{xk} e f(m) ∈ A \
m−1⋃
k=1
{xk}.
$ Corola´rio 7. Existe func¸a˜o injetiva de um conjunto finito B num conjunto
infinito A, usamos o mesmo processo do exemplo anterior, mas o processo para
depois de definir a func¸a˜o |B| pontos.
b Propriedade 36. Sendo A infinito e B finito existe func¸a˜o sobrejetiva g :
A→ B.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe func¸a˜o injetiva f : B → A, logo f : B → f(B) ⊂ A e´
bijec¸a˜o, possuindo inversa g−1 : f(B) → B. Considere a func¸a˜o f : A → B definida
como f(x) = g−1(x) se x ∈ f(B) e f(x) = x1 ∈ B se x /∈ f(B), f e´ func¸a˜o sobrejetiva.
Questa˜o 20
Questa˜o 20-a)
b Propriedade 37. O produto cartesiano finito de conjuntos enumera´veis e´
enumera´vel.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja
s∏
k=1
Ak o produto cartesiano dos conjuntos Ak enu-
mera´veis, enta˜o para cada k existe uma func¸a˜o fk : N→ Ak que e´ sobrejetiva, enta˜o
definimos a func¸a˜o f : Ns → s∏
k=1
Ak dada por
f(xk)
s
1 = (fk(xk))
s
1
,isto e´,
f(x1, · · · , xs) = (f1(x1), · · · , fs(xs))
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 27
como tal func¸a˜o e´ sobrejetiva e Ns e´ enumera´vel segue que
s∏
k=1
Ak e´ enumera´vel.
$ Corola´rio 8. Se X e´ finito e Y e´ enumera´vel, enta˜o F(X, Y) e´ enumera´vel. Basta
considerar o caso de X = In, enta˜o F(X, Y) =
n∏
k=1
Y = Yn, que e´ enumera´vel.
Questa˜o 20-b)
b Propriedade 38. Para cada f : N → N seja Af = {n ∈ N | f(n) 6= 1}. O
conjunto M das func¸o˜es, f : N→ N tais que Af e´ finito e´ um conjunto enumera´vel.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja Bn o conjunto das f : N → N, tais que |Af| = n,
vamos mostrar inicialmente que Bn e´ enumera´vel. Cada f : N→ N e´ uma sequeˆncia
(f(1), f(2), f(3), · · · , f(n), · · · ), os elementos de Bn sa˜o as sequeˆncias que diferem da
unidade em exatamente n valores. Para cada elemento f de Bn temos n termos
diferentes de 1, que sera˜o simbolizados por
f(k1), f(k2), · · · , f(kn) onde k1 < k2 < · · · < kn
definimos g : Bn → Nn como
g(f) = (p
f(k1)
k1
, p
f(k2)
k2
, · · · , pf(kn)kn )
onde cada pt e´ o t-e´simo primo. A func¸a˜o definida dessa forma e´ injetora, pois se
vale g(f) = g(h) enta˜o
(p
f(k1)
k1
, p
f(k2)
k2
, · · · , pf(kn)kn) = (q
f(k ′1 )
k ′1
, q
f(k ′2)
k ′2
, · · · , qf(k ′n)k ′n )
por unicidade de fatorac¸a˜o em primos segue que qt = pt e kt = k ′t ∀ t.
Agora escrevemos M =
∞⋃
k=1
Bk e´ uma unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis,
portanto o conjunto das func¸o˜es f : N→ N tais que Af e´ finito e´ enumera´vel.
Questa˜o 21
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 28
Z Exemplo 5. Exprimir N =
∞⋃
k=1
Nk onde os conjuntos sa˜o infinitos e dois a
dois disjuntos.
Tome Nk+1 = {pαkk , αk ∈ N onde pk o k-e´simo primo} e N1 = N \
∞⋃
k=2
Nk, cada
um deles e´ infinito, sa˜o disjuntos e sua unia˜o da´ N.
Questa˜o 22
Z Exemplo 6. f : N × N → N definida como f(m,n) = 2m−1(2n − 1) e´ uma
bijec¸a˜o. Dado um nu´mero natural n qualquer, podemos escrever esse nu´mero
como produto dos seus fatores primos
n =
n∏
k=1
pαkk = 2
α1 .
n∏
k=2
pαkk
como os primos maiores que 2 sa˜o ı´mpares e o produto de ı´mpares e´ um nu´mero
ı´mpar enta˜o n = 2m(2n − 1). Agora vamos mostrar que a func¸a˜o e´ injetora seja
f(m,n) = f(p, q)
2m(2n− 1) = 2p(2q− 1)
se m 6= p os nu´meros sera˜o diferentes pela unicidade de fatorac¸a˜o (2s − 1 na˜o
possui fatores 2 pois sempre e´ ı´mpar), enta˜o devemos ter m = p, daı´ segue que
n = q e termina a demonstrac¸a˜o.
Questa˜o 23
b Propriedade 39. Todo conjunto A ⊂ N e´ enumera´vel.
ê Demonstrac¸a˜o. Se A e´ finito enta˜o A e´ enumera´vel. Se A e´ infinito podemos
enumerar seus elementos da seguinte maneira x1 = minA, xn+1 = minA \
n⋃
k=1
{xk}, daı´
A =
∞⋃
k=1
{xk}
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 29
pois se existisse x ∈ A tal que x 6= xk daı´ terı´amos x > xk para todo k que e´ absurdo,
pois nenhum conjunto infinito de nu´meros naturais e´ limitado superiormente. A
func¸a˜o x definida e´ injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela e´ a u´nica
bijec¸a˜o crescente entre A e N. Suponha outra bijec¸a˜o crescente f : N → A. Deve
valer f(1) = x1, pois se fosse f(1) > x1 enta˜o f na˜o seria crescente. Supondo que
vale f(k) = xk ∀ k ≤ n ∈ N vamos mostrar que f(n + 1) = xn+1, na˜o pode valer
f(n + 1) < xn+1 com f(n + 1) ∈ A pois a func¸a˜o e´ injetora e os possı´veis termos ja´
foram usados em f(k) com k < n + 1, na˜o pode valer f(n + 1) > xn+1 pois se na˜o a
func¸a˜o na˜o seria crescente, ela teria que assumir para algum valor x > n+ 1 o valor
de xn+1, a u´nica possibilidade restante e´ f(n + 1) = xn+1 o que implica por induc¸a˜o
que xn = f(n) ∀ n ∈ N.
Questa˜o 24
b Propriedade 40. Todo conjunto infinito se decompo˜e como unia˜o de uma
infinidade enumera´vel de conjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.
ê Demonstrac¸a˜o. Todo conjunto X infinito possui um subconjunto infinito
enumera´vel E = {b1, b2, · · · , bn, · · · }, tomamos b2k = xk e formamos o conjunto A =
{x1, x2, · · · , xn, · · · }. Definimos Bk = {xαkpk , αk ∈ N}, onde pk e´ o k-e´simo primo e
B0 = A \
∞⋃
k=1
Bk, cada um desses conjuntos B0, B1, · · · e´ infinito e todos sa˜o disjuntos,
vale A =
∞⋃
k=0
Bk , definimos B−1 = (E ∪ X) \ A que e´ infinito e na˜o possui elemento e
disjunto com todo outro Bk, com isso temos
X =
∞⋃
k=−1
Bk
que e´ uma unia˜o enumera´vel de conjuntos infinitos disjuntos.
Questa˜o 25
m Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o caracterı´stica). Sejam um conjunto A e V um subcon-
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 30
junto qualquer de A, definimos
Cv(t) = 0 se x /∈ V
Cv(t) = 1 se x ∈ V
b Propriedade 41. Sejam X, Y ⊂ A. Valem as propriedades.
• Cx∩y = CxCy
• Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅.
• Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy.
• CA\X = 1− Cx.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Cx∩y = CxCy. Temos dois casos a analisar, se t ∈ X ∩ Y enta˜o
Cx∩y(t) = 1 = Cx(t)︸ ︷︷ ︸
1
Cy(t)︸ ︷︷ ︸
1
,
se t /∈ X ∩ Y podemos supor t /∈ Yenta˜o
Cx∩y(t) = 0 = Cx(t)Cy(t)︸ ︷︷ ︸
0
.
• Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅.
Analisamos treˆs casos.
1. Se t ∈ X ∩ Y enta˜o Cx∪y(t) = 1, Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) = 1+ 1− 1 = 1, logo
vale a igualdade.
2. Se t /∈ X ∩ Y e t ∈ X ( sem perda de generalidade), enta˜o Cx∪y(t) = 1,
Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) = 1+ 0− 0 = 1, logo vale a igualdade.
3. Agora o u´ltimo caso, se t /∈ X, Y, Cx∪y(t) = 0 e Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) =
0+ 0− 0 = 0, valendo novamente a igualdade.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 31
Cx∪y = Cx + Cy ⇔ Cx∩y = 0⇔ Cx∩y(t) = 0 ∀ t ∈ A, isso significa que X e Y sa˜o
disjuntos.
• Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy. ⇒). Analisamos treˆs casos
1. t /∈ Y e t /∈ Y daı´ t /∈ x e vale Cx(t) = 0Cy(t).
2. Se t ∈ Y e t /∈ x enta˜o Cx(t) = 0 ≤ Cy(t) = 1.
3. Se t ∈ Y tem-se t ∈ Y daı´ Cx(t) = 1 ≤ 1 = Cy(t).
Em qualquer caso vale a desigualdade.
⇐). Suponha que X na˜o esteja contido em Y , enta˜o existe t tal que t ∈ X, t /∈ Y
portanto vale cx(t) = 1 e cy(t) = 0 e na˜o se verifica a desigualdade.
• CA\X = 1− Cx.
Analisamos dois casos
1. Se t /∈ X enta˜o CA\X(t) = 1 = 1− Cx(t)︸ ︷︷ ︸
0
.
2. Se t ∈ X CA\X(t) = 0 = 1− Cx(t)︸ ︷︷ ︸
1
.
Questa˜o 26
b Propriedade 42. O conjunto das sequeˆncias crescentes de nu´meros naturais
na˜o e´ enumera´vel.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja A o conjunto das sequeˆncias crescentes de nu´meros
naturais. Suponha que seja enumera´vel, enta˜o existe uma bijec¸a˜o x : N→ A
x1 = (y(1,1), y(2,1), y(3,1), y(4,1), · · · )
x2 = (y(1,2), y(2,2), y(3,2), y(4,2), · · · )
...
xn = (y(1,n), y(2,n), y(3,n), y(4,n), · · · )
vamos mostrar que existe uma sequeˆncia crescente que sempre escapa a essa
enumerac¸a˜o, tomamos a sequeˆncia s como
s = (y(1,1)+1 , y(2,2)+y(1,1)+1 , y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1, y(4,4)+y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1 , · · · )
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 32
denotando y(0,0) = 1 o t-e´simo termo da sequeˆncia acima e´ st =
t∑
k=0
y(k,k), tal
sequeˆncia e´ crescente e ela difere de cada xt na t-e´sima coordenada, portanto ela
na˜o pertence a enumerac¸a˜o, o que e´ absurdo, portanto o conjunto das sequeˆncias
crescentes e´ na˜o enumera´vel.
Questa˜o 27
b Propriedade 43. Sejam (N, s) e (N ′, s ′) dois pares formados por um conjunto
e uma func¸a˜o em que ambos cumprem os axiomas de Peano. Enta˜o existe uma
u´nica bijec¸a˜o f : N→ N ′ tal que f(1) = 1 ′, f(n+ 1) = f(n) + 1 ′ e vale ainda que
• f(m) + f(n) = f(m+ n)
• f(m.n) = f(m)f(n)
• m < n⇔ f(m) < f(n).
ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro vamos provar que f deve ser obrigatoriamente da
forma f(n) = n ′ ∀ n ∈ N, por induc¸a˜o sobre n, a propriedade vale para n = 1,
suponha a validade para n, vamos provar para n+ 1
f(n+ 1) = f(n) + 1 ′ = n ′ + 1 ′ = s ′(n) = (n+ 1) ′.
Enta˜o para todo n ∈ N fica provado que f(n) = n ′, f e´ u´nica por construc¸a˜o, sendo
tambe´m sobrejetora.
• Vale que f(m)+f(n) = f(m+n), vamos provar por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1
ela vale por definic¸a˜o da func¸a˜o, supondo a validade para n, vamos provar para
n+ 1
f((m+ n) + 1) = f(m+ n) + f(1) = f(m) + (f(n) + f(1)) = f(m) + f(n+ 1)
logo fica provada a propriedade. f e´ injetiva, pois se houvessem dois valores
distintos m > n tais que f(m) = f(n) enta˜o existe p ∈ N tal que n + p = m,
aplicando a func¸a˜o temos f(n) + f(p) = f(m) = f(n), isto e´ n ′ + p ′ = n ′ enta˜o
n ′ > n ′ o que e´ absurdo, portanto a func¸a˜o e´ injetiva.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 33
• f(m.n) = f(m)f(n). Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 ela vale. Suponha validade
para n, vamos provar para n+ 1
f(m.(n+ 1)) = f(mn+m) = f(m)f(n) + f(m) = f(m)[f(n) + 1] = f(m)f(n+ 1)
como querı´amos provar.
• m < n⇔ f(m) < f(n). ⇒). Se vale m < n enta˜o existe p ∈ N tal que m+p = n
e daı´ aplicando f tem-se m ′+p ′ = n ′ o que implica n ′ > m ′, isto e´, f(n) > f(m).
⇐) Da mesma forma se f(m) < f(n) enta˜o m ′ < n ′ e daı´ existe p ′ tal que
m ′+ p ′ = n ′ ⇒ f(m+ p) = f(n) que por injetividade segue m+ p = n, portanto
n > m.
1.4 Capı´tulo 3 -Nu´meros reais
1.4.1 Questa˜o 1
Questa˜o1-1◦
Primeiro provamos um lema, depois a questa˜o pedida.
b Propriedade 44.
a
d
+
c
d
=
a+ c
d
.
ê Demonstrac¸a˜o.
a
d
+
c
d
= d−1a+ d−1c = d−1(a+ c) =
a+ c
d
por distributividade do produto em relac¸a˜o a soma.
b Propriedade 45.
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
.
ê Demonstrac¸a˜o.
a
b
+
c
d
=
a
b
d
d
+
c
d
b
b
=
ad
bd
+
cb
db
=
ad+ bc
bd
.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 34
Questa˜o 1-2◦
b Propriedade 46.
a
b
.
c
d
=
ac
bd
.
ê Demonstrac¸a˜o.
a
b
.
c
d
= a.b−1.c.d−1 = ac.b−1.d−1 = ac.(bd)−1 =
ac
bd
.
1.4.2 Questa˜o 2
Questa˜o 2-1◦
b Propriedade 47. Para todo m inteiro vale
am.a = am+1.
ê Demonstrac¸a˜o. Para m natural vale pela definic¸a˜o de poteˆncia, agora para
m = −n,n > 0 ∈ N um inteiro vamos provar a−n.a = a−n+1. Para n = 1 temos
a−1a = a−1+1 = a0 = 1.
Vamos provar agora para n > 1, n− 1 > 0
a−n = (an)−1 = (an−1a)−1 = a−n+1a−1
multiplicando por a de ambos lados a−n.a = a−n+1 como querı´amos demonstrar.
b Propriedade 48.
am.an = am+n.
ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro seja m um inteiro qualquer e n natural, vamos provar
a identidade por induc¸a˜o sobre n, para n = 0 vale
am.a0 = am = am+0
para n = 1 vale
ama1 = ama = am+1.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 35
Supondo va´lido para n
am.an = am+n
vamos provar para n+ 1
am.an+1 = am+n+1
temos
am.an+1 = amana = am+n.a = am+n+1 .
Agora para −n com n natural , se m e´ natural temos que a propriedade ja´ foi
demonstrada
ama−n = am−n
se m e´ inteiro negativo temos
ama−n = am−n
pois o inverso de ama−n e´ a−man = a−m+n propriedade que ja´ esta´ provada por −m
e n serem naturais e am−nan−m = 1 por unicidade do inverso de = a−man = a−m+n
e´ ama−n logo fica provado para n e m inteiros. Para poteˆncia negativa −n podemos
fazer como se segue
ama−n = (a−m)−1(an)−1 = (a−man)−1 = (a−m+n)−1 = am−n.
Questa˜o 2-2◦
b Propriedade 49.
(am)n = amn
para m e n inteiros.
ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro por induc¸a˜o para m inteiro e n natural
(am)0 = 1 = am.0
(am)1 = am = am.1.
Supondo va´lido para n
(am)n = amn
vamos provar para n+ 1
(am)n+1 = am(n+1)
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 36
temos pela definic¸a˜o de poteˆncia e pela hipo´tese da induc¸a˜o que
(am)n+1 = (am)nam = amnam = amn+m = am(n+1)
onde usamos a propriedade do produto de poteˆncia de mesma base. Para n inteiro
negativo
(am)−n = ((am)n)−1 = (amn)(−1) = a−mn.
1.4.3 Questa˜o 3
Z Exemplo 7. Se xk
yk
=
xs
ys
para todos k, s ∈ In, num corpo K, prove que dados,
ak ∈ K, k ∈ In tais que
n∑
k=1
akyk 6= 0 tem-se
n∑
k=1
akxk
n∑
k=1
akyk
=
x1
y1
.
Chamando x1
y1
= p temos xk
yk
= p logo xk = pyk e a soma
n∑
k=1
akxk = p
n∑
k=1
akyk
logo
n∑
k=1
akxk
n∑
k=1
akyk
= p =
x1
y1
.
1.4.4 Questa˜o 4
m Definic¸a˜o 3 (Homomorfismo de corpos). Sejam A,B corpos. Uma func¸a˜o
f : A→ B chama-se um homomorfismo quando se tem
f(x+ y) = f(x) + f(y)
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 37
f(x.y) = f(x).f(y)
f(1A) = 1B
para quaisquer x, y ∈ A. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmos
sı´mbolos e escrevemos f(1) = 1.
b Propriedade 50. Se f e´ homomorfismo enta˜o f(0) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos
f(0+ 0) = f(0) + f(0) = f(0)
somando −f(0) a ambos lados segue
f(0) = 0.
b Propriedade 51. Vale f(−a) = −f(a).
ê Demonstrac¸a˜o. Pois
f(a− a) = f(0) = 0 = f(a) + f(−a)
daı´ f(−a) = −f(a).
$ Corola´rio 9.
f(a− b) = f(a) + f(−b) = f(a) − f(b).
b Propriedade 52. Se a e´ invertı´vel enta˜o f(a) e´ invertı´vel e vale f(a−1) =
f(a)−1.
ê Demonstrac¸a˜o.
f(a.a−1) = f(1) = 1 = f(a).f(a−1)
enta˜o pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)−1 = f(a−1).
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 38
b Propriedade 53. f e´ injetora.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y tais que f(x) = f(y), logo f(x)−f(y) = 0, f(x−y) =
0, se x 6= y enta˜o x− y seria invertı´vel logo f(x− y) na˜o seria nulo, enta˜o segue que
x = y.
b Propriedade 54. Se f : A→ B com f(x+ y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x)f(y)
para x, y arbitra´rios, enta˜o f(x) = 0 ∀ x ou f(1) = 1.
ê Demonstrac¸a˜o. f(1) = f(1.1) = f(1)f(1), logo f(1) = f(1)2 por isso f(1) = 1 ou
f(1) = 0. Se f(1) = 0 enta˜o f(x.1) = f(x)f(1) = 0, f(x) = 0 ∀ x.
1.4.5 Questa˜o 5
b Propriedade 55. Se f : Q→ Q e´ um homomorfismo enta˜o f(x) = x ∀ x ∈ Q.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale que f(x + y) = f(x) + f(y), tomando x = kh e y = h
fixo, tem-se
f((k+ 1)h) − f(kh) = f(h)
aplicamos a soma
n−1∑
k=0
de ambos lados, a soma e´ telesco´pica e resulta em
f(nh) = nf(h)
tomando h = 1 segue que f(n) = n, tomando h = p
n
segue
f(n
p
n
) = f(p) = p = nf(
p
n
)⇒ f(p
n
) =
p
n
.
1.4.6 Questa˜o 6
1.4.7 Questa˜o 7
1.4.8 Questa˜o 8
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 39
b Propriedade 56. Seja K um conjunto onde valem todos os axiomas de corpo,
exceto a existeˆncia de inverso multiplicativo. Seja a 6= 0. f : K→ K com f(x) = ax
e´ bijec¸a˜o ⇔ ∃ a−1 ∈ K.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). A func¸a˜o e´ sobrejetora logo existe x tal que f(x) = 1 = ax
portanto a e´ invertı´vel com a−1 = x ∈ K.⇐). Dado qualquer y ∈ K tomamos x = ya−1 daı´ f(x) = aa−1y = y e a func¸a˜o e´
sobrejetiva. f tambe´m e´ injetiva, pois se f(x1) = f(x2), ax1 = ax2 implica por lei do
corte que x1 = x2.. Em geral f e´ injetiva ⇔ vale a lei do corte por essa observac¸a˜o.
b Propriedade 57. Seja K finito. Vale a lei do corte em A ⇔ existe inverso
para cada elemento na˜o nulo de K,
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se vale a lei do corte, pela propriedade anterior tem-se
que para qualquer a 6= 0 em K, f : K→ K com f(x) = ax e´ injetiva, como f e´ injetiva
de K em K que e´ um conjunto finito, enta˜o f e´ bijetiva, o que implica a ser invertı´vel.⇐). A volta e´ trivial pois existeˆncia de inverso implica lei do corte.
1.4.9 Questa˜o 9
Z Exemplo 8. O conjunto dos polinoˆmios de coeficiente racionais Q[t] na˜o
e´ um corpo, pois por exemplo o elemento x na˜o possui inverso multiplicativo, se
houvesse haveria
n∑
k=0
akx
k tal que x
n∑
k=0
akx
k = 1 =
n∑
k=0
akx
k+1 o que na˜o e´ possı´vel
pois o coeficiente do termo independente x0 e´ zero em
n∑
k=0
akx
k+1 e deveria ser 1.
O conjunto dos inteiros Z na˜o e´ um corpo, pois na˜o possui inverso multipli-
cativo para todo elementos, por exemplo na˜o temos o inverso de 2.
1.4.10 Questa˜o 10
b Propriedade 58. Dados x, y ∈ R, x2 + y2 = 0 ⇔ x = y = 0.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 40
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒).Suponha que x 6= 0, enta˜o x2 > 0 e y2 ≥ 0 de onde segue
que x2 + y2 > 0 , absurdo enta˜o deve valer x2 = 0 ⇒ x = 0 logo temos tambe´m
y2 = 0⇒ y = 0, portanto x = y = 0.⇐). Basta substituir x = y = 0 resultando em 0.
1.4.11 Questa˜o 11
Z Exemplo 9. A func¸a˜o f : K+ → K+ com f(x) = xn, n ∈ N e´ crescente.
Sejam x > y > 0 enta˜o xn > yn pois xn =
n∏
k=1
x >
n∏
k=1
y = yn, por propriedade de
multiplicac¸a˜o de positivos. Se f : Q+ → Q+, Q+ o conjunto dos racionais positivos,
enta˜o f na˜o e´ sobrejetiva para n = 2, pois na˜o existe x ∈ Q tal que x2 = 2 ∈ Q+.
f(K+) na˜o e´ um conjunto limitado superiormente de K, isto e´, dado qualquer
x ∈ K existe y ∈ K+ tal que yn > x. O limitante superior do conjunto, se existisse,
na˜o poderia ser um nu´mero negativou ou zero, pois para todo y positivo tem-se
yn positivo, que e´ maior que 0 ou qualquer nu´mero negativo. Suponha que x
positivo seja, tomando y = x+ 1 temos yn = (x+ 1)n ≥ 1+nx > x, logo f(K+) na˜o
e´ limitado superiormente.
1.4.12 Questa˜o 12
b Propriedade 59. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, enta˜o o
conjunto F(X,K) munido de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de func¸o˜es e´ um anel comuta-tivo com unidade, na˜o existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em
um anel comutativo com unidade temos as propriedades, associativa, comutativa,
elemento neutro e existeˆncia de inverso aditivo, para adic¸a˜o. valendo tambe´m a
comutatividade, associatividade, existeˆncia de unidade 1 para o produto e distri-
butividade que relaciona as duas operac¸o˜es.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale a associatividade da adic¸a˜o
((f+ g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f+ (g+ h))(x)
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 41
• Existe elemento neutro da adic¸a˜o 0 ∈ K e a func¸a˜o constante 0(x) = 0 ∀ x ∈ K,
daı´
(g+ 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x).
• Comutatividade da adic¸a˜o
(f+ g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+ f)(x)
• Existe a func¸a˜o sime´trica, dado g(x), temos f com f(x) = −g(x) e daı´
(g+ f)(x) = g(x) − g(x) = 0.
• Vale a associatividade da multiplicac¸a˜o
(f(x).g(x)).h(x) = f(x).(g(x).h(x))
• Existe elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 ∈ K e a func¸a˜o constante I(x) =
1 ∀ x ∈ K, daı´
(g.I)(x) = g(x).1 = g(x).
• Comutatividade da multiplicac¸a˜o
(f.g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g.f)(x)
Por u´ltimo vale a distributividade (f(g + h))(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) +
f(x)h(x) = (f.g+ f.h)(x).
Na˜o temos inverso multiplicativo para toda func¸a˜o, pois dada uma func¸a˜o, tal
que f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x 6= 1 em K, na˜o existe func¸a˜o g tal que g(1)f(1) = 1,
pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra func¸a˜o gera a identidade.
1.4.13 Questa˜o 13
b Propriedade 60. Sejam x, y > 0 . x < y ⇔ x−1 > y−1.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Como y > x e x−1 e y−1 sa˜o positivos, multiplicamos
a desigualdade por x−1y−1 em ambos lados x−1y−1y > x−1y−1x implicando x−1 > y−1,
enta˜o se y > x temos 1
x
>
1
y
.⇐). Se x−1 > y−1 . x, y sa˜o positivos, multiplicamos a desigualdade por xy em
ambos lados, de onde segue que y > x.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 42
1.4.14 Questa˜o 14
b Propriedade 61. Sejam a > 0 em K e f : Z → K com f(n) = an. Nessas
condic¸o˜es f e´ crescente se a > 1, decrescente se a < 1 e constante se a = 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Para qualquer n ∈ Z vale f(n+1)−f(n) = an+1−an = an(a−1),
an e´ sempre positivo, enta˜o o sinal da diferenc¸a depende do sinal de a− 1. Se a = 1
vale f(n + 1) = f(n) ∀ n ∈ Z logo f e´ constante, se a − 1 < 0, a < 1 enta˜o
f(n + 1) − f(n) < 0, f(n + 1) < f(n), f e´ decrescente e finalmente se a − 1 > 0, a > 1
enta˜o f(n+ 1) > f(n) e a func¸a˜o e´ crescente.
Perceba que as propriedades citadas valem para todo n ∈ Z, por exemplo no caso
de a > 1 temos
· · · < f(−4) < f(−3) < f(−2) < f(−1) < f(0) < f(1) < f(2) < f(3) < · · · < f(n) < f(n+1) < · · ·
analogamente para os outros casos.
1.4.15 Questa˜o 15
Z Exemplo 10. Para todo x 6= 0 real, prove que (1+ x)2n > 1+ 2nx.
Se x > −1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se
x < −1 vale 1 + x < 0 pore´m elevando a uma poteˆncia par resulta num nu´mero
positivo, por outro lado 2nx < −2n logo 1 + 2nx < 1 − 2n < 0 enta˜o (1 + x)2n e´
positivo e 1+ 2nx e´ negativo, logo nesse caso vale (1+ x)2n > 1+ 2nx .
1.4.16 Questa˜o 16
Z Exemplo 11. Se n ∈ N e x < 1 enta˜o (1 − x)n ≥ 1 − nx, pois de x < 1 segue
que −x > −1 e daı´ aplicamos a desigualdade de Bernoulli (1 + y)n ≥ 1 + ny com
y = −x.
1.4.17 Questa˜o 17
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 43
$ Corola´rio 10. Se a e a+ x sa˜o positivos, enta˜o vale
(a+ x)n ≥ an + nan−1x.
Pois a+ x
a
= (1 + x
a
) > 0 enta˜o podemos aplicar a desigualdade de Bernoulli
(1+ y)n ≥ 1+ ny com y = x
a
, resultando em
(a+ x)n ≥ an + nan−1x.
Se a 6= 0, arbitra´rio em R, podendo agora ser negativo, substituı´mos y = x
a
em
(1+ x)2n > 1+ 2nx. chegando na desigualdade
(a+ x)2n > a2n + a2n−12nx.
Se vale x
a
< 1 enta˜o da desigualdade (1 − y)n ≥ 1 − ny, novamente tomamos
y =
x
a
de onde segue
(a− x)n ≥ an − an−1nx.
1.4.18 Questa˜o 18
b Propriedade 62. Sejam sequeˆncias (ak) , (bk) em um corpo ordenado K onde
cada bk e´ positivo, sendo
a1
b1
o mı´nimo e an
bn
o ma´ximo dos termos da sequeˆncia
de termo ak
bk
enta˜o vale
a1
b1
≤
n∑
k=1
ak
n∑
k=1
bk
≤ an
bn
.
ê Demonstrac¸a˜o. Para todo k vale a1
b1
≤ ak
bk
≤ an
bn
⇒ bka1
b1
≤ ak ≤ bkan
bn
pois
bk > 0, aplicamos a soma
n∑
k=1
em ambos lados, de onde segue
n∑
k=1
bk
a1
b1
≤
n∑
k=1
ak ≤
n∑
k=1
bk
an
bn
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 44
dividindo por
n∑
k=1
bk que e´ positivo, temos finalmente
a1
b1
≤
n∑
k=1
ak
n∑
k=1
bk
≤ an
bn
.
1.4.19 Questa˜o 19
b Propriedade 63 (Multiplicatividade).
|a||b| = |a.b|
para a e b reais quaisquer.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale que |x.y|2 = (x.y)2 = x2y2 e (|x||y|)2 = |x|2|y|2 = x2.y2
os quadrados desses nu´meros sa˜o iguais e eles sa˜o na˜o negativos, enta˜o segue que
|x.y| = |x||y|.
ê Demonstrac¸a˜o.[2] |a.b| =
√
(a.b)2 =
√
a2.b2 =
√
a2.
√
b2 = |a||b|.
b Propriedade 64. Se x 6= 0 enta˜o | 1
x
| =
1
|x|
.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale |x|| 1
x
| = |
x
x
| = 1 daı´ | 1
x
| e´ inverso de |x|, sendo 1
|x|
.
$ Corola´rio 11 (Preserva divisa˜o).
|
x
y
| =
|x|
|y|
.
1.4.20 Questa˜o 20
b Propriedade 65.
n∏
k=1
|ak| = |
n∏
k=1
ak|
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 45
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o, para n = 1 vale, supondo para n nu´meros
n∏
k=1
|ak| = |
n∏
k=1
ak|
vamos provar para n+ 1
n+1∏
k=1
|ak| = |
n+1∏
k=1
ak|
temos
n+1∏
k=1
|ak| =
n∏
k=1
|ak|.|an+1| = |
n∏
k=1
ak||an+1| = |
n∏
k=1
akan+1| = |
n+1∏
k=1
ak| .
b Propriedade 66 (Desigualdade triangular generalizada). Sejam g(k) definida
para k inteiro ,a, b ∈ Z, enta˜o vale
|
b∑
k=a
g(k)| ≤
b∑
k=a
|g(k)|.
ê Demonstrac¸a˜o. Para cada k vale
−|g(k)| ≤ g(k) ≤ |g(k)|
aplicando o somato´rio em ambos lados segue
−
b∑
k=a
|g(k)| ≤
b∑
k=a
g(k) ≤
b∑
k=a
|g(k)|
que implica
|
b∑
k=a
g(k)| ≤ |
b∑
k=a
|g(k)|| =
b∑
k=a
|g(k)|
pois os termos |g(k)| somados sa˜o na˜o negativos ,logo a soma desses termos e´ na˜o-
negativa e o mo´dulo da soma e´ igual a soma.
b Propriedade 67. A identidade que provamos acima vale para nu´meros reais,
vamos provar agora por induc¸a˜o que se vale |z+w| ≤ |z|+ |w| para quaisquer z,w
enta˜o vale
|
n∑
k=1
zk| ≤
n∑
k=1
|zk|
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 46
de maneira que possa ser usada para nu´meros complexos , normas e outras estru-
turas que satisfazem a desigualdade triangular.
ê Demonstrac¸a˜o.[2] Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 tem-se
|
1∑
k=1
zk| = |z1| ≤
1∑
k=1
|zk| = |z1|
logo vale. Supondo a validade para n
|
n∑
k=1
zk| ≤
n∑
k=1
|zk|
vamos provar para n+ 1
|
n+1∑
k=1
zk| ≤
n+1∑
k=1
|zk|.
Da hipo´tese da induc¸a˜o somamos |zn+1| em ambos lados, logo
|
n+1∑
k=1
zk| = |zn+1 +
n∑
k=1
zk| ≤ |zn+1|+ |
n∑
k=1
zk| ≤
n+1∑
k=1
|zk|
Vejamos outras1 demonstrac¸o˜es da desigualdade triangular
1.4.21 Questa˜o 22
Vamos resolver um caso mais geral do problema.
m Definic¸a˜o 4 (Mediana). Dada uma sequeˆncia finita (yk)n1 seus termos podem
ser rearranjados para forma uma sequeˆncia na˜o-decrescente (xk)n1 . A mediana X˜
e´ definida da seguinte maneira
• Se n e´ ı´mpar X˜ = xn+1
2
.
• Se n e´ par X˜ =
xn
2 +1 + x
n
2
2
.
1Essas demonstrac¸o˜es aprendi com Pedro Kenzo, obrigado por compartilhar as soluc¸o˜es.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 47
Z Exemplo 12. Seja (xk)n1 uma sequeˆncia crescente f : R → R com f(x) =
n∑
k=1
|x− xk|. Se x < x1 enta˜o
f(x) = −nx+
n∑
k=1
xk
logo f e´ decrescente parax < x1. Tomando x > xn
f(x) = nx−
n∑
k=1
xk
logo f e´ crescente para x > xn.
Seja agora x ∈ [xt, xt+1), t variando de 1 ate´ n− 1
f(x) =
t∑
k=1
(x− xk) −
n∑
k=t+1
(x− xk) = (2t− n)x+
t∑
k=1
xk −
n∑
k=t+1
xk
portanto a func¸a˜o e´ decrescente se t < n
2
e crescente se t > n
2
, de t = 1 ate´
t = bn
2
c em cada intervalo [xt, xt+1) a func¸a˜o e´ decrescente, sendo bn2 c segmentos
decrescentes, de t = bn
2
c+ 1 ate´ n− 1, temos n− 1− bn
2
c segmentos crescentes.
• Se n e´ ı´mpar f e´ decrescente em [xbn2 c, xbn2 c+1) e crescente em [xbn2 c+1, xbn2 c+2)
logo o ponto xbn2 c+1 = xn+12 e´ o u´nico ponto de mı´nimo.
• Se n e´ par a func¸a˜o e´ constante em [xn
2
, xn
2 +1), todos os pontos desse intervalo
sa˜o pontos de mı´nimo. Em especial o ponto
xn
2
+ xn
2 +1
2
e´ ponto de mı´nimo.
Concluı´mos que um ponto de mı´nimo acontece sempre na mediana da sequeˆncia.
Z Exemplo 13. Achar o mı´nimo da func¸a˜o f(x) =
n∑
k=1
|x − k| para n ı´mpar e
para n par.
Trocando n por 2n temos que o mı´nimo acontece no ponto x 2n
2
= xn = n,
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 48
substituı´mos enta˜o tal valor na func¸a˜o
2n∑
k=1
|n− k| =
n∑
k=1
|n− k|+
2n∑
k=n+1
|n− k| =
n∑
k=1
(n− k) +
2n∑
k=n+1
(−n+ k) =
=
n∑
k=1
(n− k) +
n∑
k=1
(k) =
n∑
k=1
n = n.n = n2.
portanto o mı´nimo de
2n∑
k=1
|x− k| e´ n2.
• min{|x− 1|+ |x− 2|} = 1
• min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|} = 4
• min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|} = 9
• min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|+ |x− 7|+ |x− 8|} = 16.
Agora para n ı´mpar, trocamos n por 2n+1 o mı´nimo acontece no ponto x (2n+1)+1
2
=
xn+1 = n+ 1, aplicando na func¸a˜o temos
2n+1∑
k=1
|n+1−k| =
n+1∑
k=1
|n+1−k|+
2n+1∑
k=n+2
|n+1−k| =
n+1∑
k=1
(n+1−k)+
2n+1∑
k=n+2
−(n+1)+k =
=
n∑
k=1
(n+ 1− k) +
n∑
k=1
k =
n∑
k=1
(n+ 1) = n(n+ 1).
• min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|} = 2
• min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|} = 6
• min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|+ |x− 7|} = 12
• min{|x−1|+ |x−2|+ |x−3|+ |x−4|+ |x−5|+ |x−6|+ |x−7|+ |x−8|+ |x−9|} = 20.
1.4.22 Questa˜o 23
b Propriedade 68. |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε.
ê Demonstrac¸a˜o. Partindo da desigualdade |a − b| < ε, somamos |b| a ambos
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 49
lados
|a− b|+ |b| < ε+ |b|
e usamos agora a desigualdade triangular
|a| ≤ |a− b|+ |b| < ε+ |b|
daı´ segue
|a| ≤ ε+ |b|.
Da mesma forma vale se |a − b| < ε enta˜o |b| ≤ ε + |a| ⇒ |b| − ε ≤ |a| e com
|a| ≤ ε+ |b|. temos
|b|− ε ≤ |a| ≤ ε+ |b|.
Vimos que |a− b| < ε implica |a| < |b|+ ε, mas como a ≤ |a| segue a < |b|+ ε.
1.4.23 Questa˜o 24
b Propriedade 69. Dado um corpo ordenado K , sa˜o equivalentes
1. K e´ arquimediano.
2. Z e´ ilimitado superiormente e inferiormente.
3. Q e´ ilimitado superiormente e inferiormente.
ê Demonstrac¸a˜o.
• 1 ⇒ 2. N ⊂ Z enta˜o Z e´ ilimitado superiormente. Suponha por absurdo que
Z seja limitado inferiormente, enta˜o existe a ∈ K tal que a < x ∀ x ∈ Z, logo
−a > −x, pore´m existe n natural tal que n > −a⇒ −n︸︷︷︸
∈Z
< a o que contraria a
hipo´tese.
• 2⇒ 3 . Z ⊂ Q portanto Q e´ ilimitado superiormente e inferiormente.
• 3 ⇒ 1 . Para todo y ∈ K existe a
b
∈ Q com a, b > 0 naturais tal que a
b
> y,
daı´ a > yb, podemos tomar y = x
b
, logo a > x, a ∈ N, portanto N e´ ilimitado
superiormente e o corpo e´ arquimediano.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 50
1.4.24 Questa˜o 25
b Propriedade 70. Seja K um corpo ordenado. K e´ arquimediado ⇔ ∀ ε > 0
em K existe n ∈ N tal que 1
2n
< ε.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Como K e´ arquimediano, enta˜o ∀ ε > 0 existe n ∈ N tal que n > 1
ε
⇒ n+ 1 >
n >
1
ε
por desigualdade de Bernoulli temos 2n > n+ 1 > 1
ε
⇒ 1
2n
< ε.
⇐). Se ∀ ε > 0 em K existe n ∈ N tal que 1
2n
< ε, tomamos ε = 1
x
, x > 0
arbitra´rio enta˜o x < 2n, com 2n = m ∈ N enta˜o K e´ arquimediano, N na˜o e´ limitado
superiormente.
1.4.25 Questa˜o 26
b Propriedade 71. Seja a > 1, K corpo arquimediano, f : Z→ K com f(n) = an,
enta˜o
• f(Z) na˜o e´ limitado superiormente.
• inf(F(Z)) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale que a > 1 enta˜o a = p + 1 onde p > 0, por desigualdade de Bernoulli
temos (p + 1)n ≥ 1 + pn. ∀ x > 0 ∈ K existe n tal que n > x
p
⇒ pn > x ⇒
(p+ 1)n ≥ 1+ pn > x, logo f(Z) na˜o e´ limitado superiormente.
• 0 e´ cota inferior de f(Z) pois vale 0 < an ∀ n ∈ Z. Suponha que exista x tal
que 0 < x < am ∀ m ∈ Z, sabemos que existe n ∈ N tal que an > 1
x
daı´
x >
1
an
= a−n, absurdo, enta˜o 0 deve ser o ı´nfimo.
1.4.26 Questa˜o 27
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 51
b Propriedade 72. Se s e´ irracional e u 6= 0 e´ racional enta˜o u.s e´ irracional.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que s e´ irracional e u.s seja racional, enta˜o u.s = p
q
com p 6= 0 e q 6= 0 inteiros e como u 6= 0 e´ racional ele e´ da forma u = j
v
, j 6= 0 e
v 6= 0, inteiros, logo
j
v
s =
p
q
multiplicando por v
j
ambos lados segue
s =
p.v
j.q
que e´ um nu´mero racional, logo chegamos a um absurdo.
b Propriedade 73. Se s e´ irracional e t racional, enta˜o s+ t e´ irracional.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha s + t racional, enta˜o s + t = p
q
daı´ s = p
q
− t que
seria racional por ser diferenc¸a de dois racionais, um absurdo enta˜o segue que s+ t
e´ irracional.
Z Exemplo 14. Existem irracionais a e b tais que a+b e a.b sejam racionais.
Exemplos a = 1+
√
5 , b = 1−
√
5 daı´ a+ b = 2 e a.b = 1− 5 = −4.
1.4.27 Questa˜o 28
b Propriedade 74. Sejam a, b, c, d racionais enta˜o
a+ b
√
2 = c+ d
√
2⇔ a = c e b = d.
ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Se a = c e b = d a temos a+ b√2 = c+ d√2.⇒). Suponha a + b√2 = c + d√2 enta˜o a − c = √2(d − b), se d = b enta˜o a = c
e terminamos, se na˜o vale que
a− c
d− b
=
√
2
o que e´ absurdo pois
√
2 e´ irracional.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 52
1.4.28 Questa˜o 29
Z Exemplo 15. O conjunto da forma {x + y√p} onde x e y sa˜o racionais e´
subcorpo dos nu´meros reais.
• O elemento neutro da adic¸a˜o 0 pertence ao conjunto. Pois 0 = 0+ 0
√
p
• O elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 pertence ao conjunto. Pois 1 = 1+0
√
p
• A adic¸a˜o e´ fechada. Pois x+ y
√
p+ z+w
√
p = x+ z+ (y+w)
√
p.
• O produto e´ fechado. Pois (x+y
√
p)(z+w
√
p) = xz+xw
√
p+yz
√
p+y.wp.
• Dado x ∈ A implica −x ∈ A. Pois dado x+y√p temos o sime´trico −x−y√p.
• Dado x 6= 0 ∈ A tem-se x−1 ∈ A. Pois dado x+ y√p temos inverso
x− y
√
p
x2 − y2p
como inverso multiplicativo.
Z Exemplo 16. O conjunto dos elementos da forma a+ bα onde α = 3√2 na˜o
e´ um corpo pois o produto na˜o e´ fechado, vamos mostrar que α2 na˜o pertence ao
conjunto.
Suponha que α2 = a+ bα enta˜o α3 = aα+ bα2 = 2 substituindo a primeira na
segunda temos que
aα+ b(a+ bα) = aα+ ab+ b2α = α(b2 + a) + ab = 2⇒ α(b2 + a) = 2− ab
se b2 + a 6= 0 enta˜o α = 2− ab
b2 + a
o que e´ absurdo pois α e´ irracional, enta˜o
devemos ter a = −b2, multiplicamos a expressa˜o aα + bα2 = 2 por α, de onde
segue aα2 + 2b = 2α, substituindo α2 = a+ bα nessa u´ltima temos
a(a+ bα) + 2b = a2 + abα+ 2b = 2α⇒ α(2− ab) = 2b+ a2
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 53
se 2 6= ab chegamos num absurdo de α = 2b+ a
2
2− ab
, temos que ter enta˜o 2 = ab
e a = −b2 de onde segue 2 = −b3, pore´m na˜o existe racional que satisfaz essa
identidade, daı´ na˜o podemos escrever α2 da forma a + bα com a e b racionais,
portanto o produto de elementos na˜o e´ fechado e assim na˜o temos um corpo.
1.4.29 Questa˜o 30
b Propriedade 75. Sejam a, b ∈ Q+. √a +
√
b e´ racional ⇔ √a e √b sa˜o
racionais.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).Se a = b enta˜o 2
√
a ∈ Q o que implica √a =
√
b ∈ Q. Agora o caso de a 6= b.
Suponha que
√
a +
√
b e´ racional enta˜o seu inverso tambe´m racional , que e´√
a−
√
b
a− b
, daı´
√
a−
√
b ∈ Q , a soma (√a+
√
b)+(
√
a−
√
b) = 2
√
a ∈ Q logo √a ∈ Q,
a diferenc¸a de nu´meros racionais tambe´m e´ um nu´mero racional (
√
a+
√
b) −
√
a =√
b, portanto
√
a e
√
b sa˜o racionais.⇐). A volta vale pois a soma de racionais e´ um racional.
1.4.30 Questa˜o 31
b Propriedade 76. Sejam A ⊂ R na˜o vazio limitado e c ∈ R, enta˜o
1. c ≤ sup(A)⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c− ε < x.
2. c ≥ inf(A)⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c+ ε > x.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c− ε < sup(A). Dado ε > 0 fixo, se na˜o existisse
x ∈ A tal que c− ε < x enta˜o c− ε seria cota superior menor que o supremo, o
que e´ absurdo, contraria o fato do supremo ser a menor das cotas superiores.
⇐). Suponha por absurdo que fosse c > sup(A), poderı´amos tomar c−sup(A) =
ε daı´ c− c+ sup(A) = sup(A) < x o que e´ absurdo.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 54
2. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c+ ε < inf(A). Dado ε > 0 fixo, se na˜o existisse
x ∈ A tal que c + ε > x enta˜o c + ε seria cota superior menor que o ı´nfimo, o
que e´ absurdo, contraria o fato do ı´nfimo ser a menor das cotas inferiores.
⇐). Suponha por absurdo que fosse c < inf(A), poderı´amos tomar inf(A)−c = ε
daı´ x < c+ inf(A) − c = inf(A) o que e´ absurdo.
1.4.31 Questa˜o 32
Z Exemplo 17. Seja A = { 1
n
| n ∈ N} . Mostre que infA = 0. Sabemos que 0
e´ uma cota inferior, agora vamos mostrar que 0 e´ a menor delas. Dado 0 < x, x
na˜o pode ser cota inferior, pois existe n natural tal que 1
n
< x, logo 0 e´ o ı´nfimo.
1.4.32 Questa˜o 33
b Propriedade 77. Se A e´ limitado inferiormente e B ⊂ A enta˜o inf(A) ≤
inf(B).
ê Demonstrac¸a˜o. infA e´ cota inferior de A, logo tambe´m e´ cota inferior de B,
sendo cota inferior de B vale infA ≤ infB, pois inf B e´ a maior cota inferior de B.
b Propriedade 78. Se A e´ limitado superiormente e B ⊂ A enta˜o sup(A) ≥
sup(B).
ê Demonstrac¸a˜o. Toda cota superior de A e´ cota superior de B, logo o sup(A)
e´ cota superior de B, como sup(B) e´ a menor das cotas superiores de B segue que
sup(A) ≥ sup(B).
$ Corola´rio 12. Se A e B sa˜o conjuntos limitados com B ⊂ A enta˜o vale
sup(A) ≥ sup(B) ≥ inf(B) ≥ inf(A) pois temos sup(A) ≥ sup(B) e inf(A) ≤
inf(B), tendo ainda que sup(B) ≥ inf(B).
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 55
1.4.33 Questa˜o 34
b Propriedade 79. Sejam A,B ⊂ R tais que para todo x ∈ A e todo y ∈ B se
tenha x ≤ y. Enta˜o supA ≤ inf B.
ê Demonstrac¸a˜o. Todo y ∈ B e´ cota superior de A, logo supA ≤ y para cada
y pois supA e´ a menor das cotas superiores, essa relac¸a˜o implica que supA e´ cota
inferior de B logo supA ≤ inf B, pois inf B e´ a maior cota inferior.
b Propriedade 80. supA = inf B ⇔ para todo ε > 0 dado , existam x ∈ A e
y ∈ B com y− x < ε.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇐, usamos a contrapositiva. Na˜o podemos ter inf B < supA
pela propriedade anterior, enta˜o temos forc¸osamente que inf B > supA, tomamos
enta˜o ε = inf B− supA > 0 e temos y− x ≥ ε para todo x ∈ A e y ∈ B pois y ≥ inf B
e supA ≥ x de onde segue −x ≥ − supA, somando esta desigualdade com a de y
tem-se y− x ≥ inf B− supA = ε.⇒ , Se supA = inf B. Enta˜o sendo para qualquer ε > 0, supA − ε
2
na˜o e´ cota
superior de A, pois e´ menor que o supA (que e´ a menor cota superior), da mesma
maneira infA+ ε
2
na˜o e´ cota inferior de B, enta˜o existem x ∈ A e y ∈ B tais que
supA− ε
2
< x ≤ supA = inf B ≤ y < inf B+ ε
2
inf B− ε
2
< x ≤ y < inf B+ ε
2
de onde segue inf B− ε
2
< x, −x < ε
2
− inf B e y < inf B+ ε
2
somando ambas tem-se
y− x < ε.
1.4.34 Questa˜o 35 e 36
b Propriedade 81. Se c > 0 enta˜o sup(c.A) = c. supA.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja a = supA. Para todo x ∈ A tem-se x ≤ a, de onde segue
cx ≤ ca, assim ca e´ cota superior de cA. Seja d tal que d < ca enta˜o d
c
< a logo d
c
na˜o e´ cota superior de A, implicando a existeˆncia de pelo menos um x tal que d
c
< x,
d < cx de onde segue que d na˜o e´ cota superior de cA, assim ca e´ a menor cota
superior de cA logo o supremo.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 56
b Propriedade 82. Se c > 0, inf cA = c infA.
ê Demonstrac¸a˜o.
Seja a = infA, enta˜o vale a ≤ x para todo x, multiplicando por c segue ca ≤ cx
de onde concluı´mos que ca e´ cota inferior de cA. Seja d tal que ca < d, enta˜o
a <
d
c
, implicando que d
c
na˜o e´ cota inferior de A assim existe x ∈ A tal que
x <
d
c
⇒ cx < d, logo d na˜o e´ cota inferior de cA, implicando que c.a e´ a maior
cota inferior, logo o ı´nfimo do conjunto.
b Propriedade 83. Se c < 0 enta˜o inf(cA) = c supA.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja a = supA . Tem-se x ≤ a para todo x ∈ A, multiplicando
por c segue cx ≥ ca para todo x ∈ A. Enta˜o ca e´ uma cota inferior de cA. Se d > ca
tem-se d
c
< a como a e´ supremo, isso significa que existe x ∈ A tal que d
c
< x logo
d > cx, assim esse d na˜o e´ cota inferior, implicando que ca e´ a menor cota inferior,
enta˜o ı´nfimo do conjunto.
A questa˜o 35 segue da pro´xima propriedade com c = −1.
b Propriedade 84. Se c < 0 enta˜o sup(cA) = c infA.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja b = infA enta˜o vale b ≤ x para todo x ∈ A, multipli-
cando por c segue cb ≥ cx assim cb e´ cota superior de cA. Agora tome d tal que
cb > d segue b < d
c
, como b e´ ı´nfimo existe x ∈ A tal que x < d
c
, cx > d assim esse
d na˜o pode ser cota superior de cA, enta˜o cb e´ a menor cota superior, logo o ı´nfimo.
1.4.35 Questa˜o 37
Item I
Sejam A,B ⊂ R, conjuntos limitados .
b Propriedade 85. O conjunto A + B = {x + y | x ∈ A,y ∈ B} tambe´m e´
limitado.
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 57
ê Demonstrac¸a˜o. Se A e´ limitado , existe t tal que |x| < t para todo x ∈ A e se
B e´ limitado existe u tal que |y| < u ∀ y ∈ B. Somando as desigualdades e usando
desigualdade triangular segue |x| + |y| < u + t e |x + y| ≤ |x| + |y| < u + t logo o
conjunto A+ B e´ limitado.
Item II
b Propriedade 86 (Propriedade aditiva). Vale sup(A+ B) = sup(A) + sup(B).
ê Demonstrac¸a˜o. Como A,B sa˜o limitidados superiomente, temos supA := a e
supB := b, como vale a ≥ x e b ≥ y para todos x, y ∈ A,B respectivamente segue que
a+ b ≥ x+ y logo o conjunto A+ B e´ limitado superiormente. Para todo e qualquer
ε > 0 existem x, y tais que
a < x+
ε
2
, b < y+
ε
2
somando ambas desigualdades-segue-se que
a+ b < x+ y+ ε
que mostra que a+ b e´ a menor cota superior, logo o supremo, fica valendo enta˜o
sup(A+ B) = sup(A) + sup(B).
Item III
b Propriedade 87. inf(A+ B) = infA+ inf B.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam a = infA e b = infB enta˜o ∀x, y ∈ A,B tem-se a ≤ x,
b ≤ y de onde segue por adic¸a˜o a+ b ≤ x+ y, assim a+ b e´ cota inferior de A+ B.
∃x, y ∈ A,B tal que ∀ε > 0 vale x < a + ε
2
e y < b + ε
2
pois a e b sa˜o as maiores
cotas inferiores, somando os termos das desigualdades segue x + y < a + b + ε, que
implica que a+ b e´ a maior cota inferior logo o ı´nfimo.
1.4.36 Questa˜o 38
m Definic¸a˜o 5 (Func¸a˜o limitada). Seja A ⊂ R, f : A→ R e´ dita limitada quando
o conjunto f(A) = {f(x) | x ∈ A}, se f(A) e´ limitado superiormente enta˜o dizemos
CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 58
que f e´ limitada superiormente e caso f(A) seja limitado inferiormente dizemos
que A e´ limitado inferiormente.
Seja uma func¸a˜o limitada f : V → R.
m Definic¸a˜o 6.
sup f := sup f(V) = sup{f(x) | x ∈ V}
m Definic¸a˜o 7.
inf f := inf f(V) = inf{f(x) | x ∈ V}
b Propriedade 88. A func¸a˜o soma de duas func¸o˜es limitadas e´ limitada.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale |f(x)| ≤M1 e |g(x)| ≤M2 ∀ x ∈ A enta˜o
|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤M1 +M2 =M
portando a func¸a˜o soma f + g de duas