Apostila de Equações Diofantinas

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA: Estruturas Algébricas I
PROFESSORA: Msc. Ivone Cristina Barros Pedroza
EQUAÇÕES DIOFANTINAS
Introdução
Diofanto de Alexandria (aprox. 300d.C) foi um grande matemático que dedicou - se à resolução de problemas. Sua mais importante obra foi a Aritmética, uma coleção de 13 livros nos quais o autor reuniu cerca de 150 problemas resolvidos através de operações numéricas, nas quais demonstra seu alto grau de habilidade e engenho. Também chamado de “pai da álgebra”, devido a sua contribuição na introdução de notações algébricas, Diofanto utilizou abreviações para a subtração, a igualdade e a incógnita. 
Encontramos na Antologia Grega um problema que é apresentado sob a forma de epitáfio: 
Eis o túmulo que encerra Diofanto, maravilha de contemplar. Com um artifício aritmético a pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo na adolescência; um sétimo em seguida, foi passado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho desgraçado e, no entanto, bem amado! apenas tinha atingido a metade da idade que viveu seu pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando sua própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofanto, antes de chegar ao termo de sua existência. 
Em linguagem algébrica o epigrama da Antologia seria traduzido pela equação: 
na qual x representa o número de anos que viveu Diofanto. 
Resolvendo essa equação, achamos . Trata-se, afinal, de uma equação muito simples do 1º grau com uma incógnita.
Equações Diofantinas 
	A resolução de vários problemas de aritmética recai na resolução, em números inteiros, de equações do tipo:
Com 
	Tais equações são chamadas Equações Diofantinas Lineares em homenagem a Diofanto de Alexandria.
Definição 1: Equação diofantina linear, é uma equação da forma:
em que a, b, c, são números inteiros. Uma solução de uma equação diofantina linear é um par de inteiros que satisfaz a equação. 
Exemplos 1: Veja as seguintes equações diofantinas:
 solução seria etc
 não tem solução, pois o primeiro membro será sempre par e o segundo membro é ímpar.
É, então natural perguntar-se em que condições tal equação possui soluções e, caso as tenha, como determina-lás?
Condição de Existência de Solução 
Teorema 1: A equação diofantina linear tem solução se, e somente se, divide c. 
A seguir apresentamos dois casos particulares muito importantes do teorema acima. 
Corolário 1: Se “a” e “b” são inteiros primos entre si, então a equação tem solução, qualquer que seja o inteiro “c”.
Corolário 2: A equação tem solução se e somente se, “a” e “b” são inteiros primos entre si.
Soluções da Equação 
Teorema 2: Se o e se é uma solução particular da equação diofantina , então todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas: 
onde t é um inteiro arbitrário. 
Teorema 3: Se divide c, ou seja, e se o par de inteiros é uma solução particular da equação diofantina linear , então todas as outras soluções desta equação são dadas pela fórmula:
 
onde t é um inteiro arbitrário. 
Questões Resolvidas
Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares:
Solução: 
Determinemos o , divide 40, a equação possui solução. 
Usando o algoritmo da divisão, temos: 
Vamos escrever o mdc 8 como combinação linear de 56 e 72. 
Como queremos resolver a equação multipliquemos a última igualdade acima por 5, temos:
Logo, , é a solução particular da equação. A solução geral é:
ou
Solução: 
Determinemos o , divide 18, a equação possui solução. 
Usando o algoritmo da divisão, temos: 
Vamos escrever o mdc 6 como combinação linear de 24 e 138. 
Como queremos resolver a equação: multipliquemos a última igualdade acima por 3, temos:
Logo, , é a solução particular da equação. A solução geral é:
ou
Solução: 
Determinemos o , não divide 77, a equação não possui solução. 
Solução: 
Determinemos o , divide 31, a equação possui solução. 
Usando o algoritmo da divisão, temos: 
Vamos escrever o mdc 1 como combinação linear de 11 e 30. 
Como queremos resolver a equação: multipliquemos a última igualdade acima por 31, temos:
Logo, , é a solução particular da equação. A solução geral é:
ou
Solução: 
Determinemos o , divide 54, a equação possui solução. 
Usando o algoritmo da divisão, temos: 
Vamos escrever o mdc 9 como combinação linear de 27 e - 18. 
Como queremos resolver a equação: multipliquemos a última igualdade acima por 6, temos:
Logo, , é a solução particular da equação. A solução geral é:
ou
Solução: 
Determinemos o , divide 21, a equação possui solução. 
Usando o algoritmo da divisão, temos: 
Vamos escrever o mdc 1 como combinação linear de 13 e - 7. 
Como queremos resolver a equação: multipliquemos a última igualdade acima por 21, temos:
Logo, , dando a solução geral:
ou
Solução: 
Determinemos o , não divide 22, a equação não possui solução. 
Solução: 
Determinemos o , divide 72, a equação possui solução. 
Usando o algoritmo da divisão, temos: 
Vamos escrever o mdc 3 como combinação linear de 21 e 12. 
Como queremos resolver a equação: multipliquemos a última igualdade acima por 24, temos:
Logo, , dando a solução geral:
ou
Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
 
Solução: 
A equação geral desta equação é: 
Devemos inicialmente calcular o , temos que:
Então a equação geral é: 
Como queremos as soluções positivas, devemos ter:
Da 1a desigualdade, tiramos: 
Da 2a desigualdade, tiramos: 
Sendo assim, a solução será , dando uma infinidade de soluções positivas. 
Solução: 
Devemos inicialmente calcular o , temos que:
Então a equação geral é: 
Como queremos as soluções positivas, devemos ter:
Da 1a desigualdade, tiramos: 
Da 2a desigualdade, tiramos: 
Então não há soluções positivas. 
Solução: 
Devemos inicialmente calcular o , temos que:
Então a equação geral é: 
Como queremos as soluções positivas, devemos ter:
Da 1a desigualdade, tiramos: 
Da 2a desigualdade, tiramos: 
Logo todos os valores de t no intervalo , satisfazem o problema. 
Solução: 
Devemos inicialmente calcular o , temos que:
Então a equação geral é: 
Como queremos as soluções positivas, devemos ter:
Da 1a desigualdade, tiramos: 
Da 2a desigualdade, tiramos: 
Logo os valores de t que satisfazem as duas condições são: .
Quando 
Quando 
Solução: 
Devemos inicialmente calcular o , temos que:
Então a equação geral é: 
Como queremos as soluções positivas, devemos ter:
Da 1a desigualdade, tiramos: 
Da 2a desigualdade, tiramos: 
Portanto não há soluções positivas. 
Solução: 
Devemos inicialmente calcular o , temos que:
Então a equação geral é: 
Como queremos as soluções positivas, devemos ter:
Da 1a desigualdade, tiramos: 
Da 2a desigualdade, tiramos: o que nos dá o intervalo ou dando os valores: 
Para 
Para 
Para 
Solução: 
Devemos inicialmente calcular o , temos que:
Então a equação geral é: 
Como queremos as soluções positivas, devemos ter:
Da 1a desigualdade, tiramos: 
Da 2a desigualdade, tiramos: 
Então todos os valores de satisfazem o problema, dando infinitas soluções positivas.