Respostas_e_Justificativas_ED_Complementos_de_Fsica__Eng._4_Semestre_UNIP.pdf

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Exercício 1 – Resposta E 
Na posição de equilíbrio a elongação da mola é igual a amplitude do movimento: 
Fm=k.ym 
Na análise das forças, o módulo da força da mola acaba sendo igual a força peso: 
Fm=P 
k.ym=m.g 
k.0,05=4.10 
k=800 (N/m) 
A energia mecânica do sistema é dada por EM=0,5.k.(ym)^2 
EM=0,5.800.0,05^2 
EM=1 J 
Como no estado de equilíbrio tem apenas energia cinética, a energia cinética acaba sendo 
igual a energia mecânica do sistema. 
EM=ECequilíbrio=1 J 
 
Exercício 2 – Resposta B 
A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial em qualquer posição 
do movimento, então: 
EM=EC+EP 
Logo: 
1=0,5.m.v^2+0,5.k.x^2 
Substituindo: 
2=4.v^2+800.0,02^2 
4.v^2=1,68 
v=0,648 m/s 
 
 
 
Exercício 3 – Resposta D 
Calcula o valor da pulsação por w=2.pi.f 
w=2.3,14.2,5 
w=15,7 
Calcula a amplitude através da fórmula dada: 
ym=(y(0)^2+(v(0)/w)^2)^1/2 
ym=(0,011^2+(0,011/15,7)^2)^1/2 
ym=0,0146 m = 1,46 cm 
 
 
Exercício 4 – Resposta A 
A amplitude da velocidade de um MHS é calculada por vm=ym.w 
vm=1,46.15,7 
vm=22,9 (cm/s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5 – Resposta D 
Primeiro analisamos as forças envolvidas no movimento: 
-Fm-Fv=Fr 
Fm = Força da mola; Fv = Força viscosa; e Fr = Força resultante. 
-y.k-v.b=m.a 
Substitui se o que der e resolve se a equação diferencial: 
-y.32000 -v.640 -80.a=0 (divide por 80) 
-y.400-v.8 -a=0 
Resolvendo a equação diferencial, chega-se ao seguinte: 
y=e^(-4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] 
Derivando a equação acima obtemos a equação da velocidade: 
V=-4. e^(-4t) .[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] + e^(-4t) .[-19,6.A.sen(19,6t) + 19,6.B.cos(19,6t)] 
Substituindo as condições iniciais, descobre-se o valor de A e de B, chegando a equação do 
movimento completa: 
y= e^(-4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)] 
Agora termina-se de resolver o exercício: 
y(0,4) = e^(-4.0,4).[0,492.cos(19,6.0,4) + 0,609.sen(19,6.0,4)] 
y(0,4) = 0,202.[0,0069+0,6089] 
y(0,4) = 0,124 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6 – Resposta E 
Para saber onde o instante em que o corpo passa pela origem deve -se igualar a equação do 
movimento a zero e descobrir a raiz de mais baixo valor. 
0 = e^(-4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)] 
A raiz de mais baixo valor será obtida pela parte oscilante da equação, então: 
0 = 0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t) 
- 0,492.cos(19,6t) = + 0,609.sen(19,6t) 
-0,492/0,609 = tg(19,6t) 
tg(19,6t) = -0,808 
19,6t = -0,679 
O valor encontrado é negativo, a tangente tem uma periodicidade de Pi rad, então basta 
somar Pi ao valor de - 0,679: 
19,6t=2,462 
t = 0,126 s 
 
 
Exercício 7 – Resposta D 
Em amortecimento crítico o valor equivalente a metade da razão entre a constante de 
viscosidade e a massa, é igual à velocidade angular inicial que é igual a raiz quadrada da razão 
entre a constante elástica e a massa, logo: 
0,5.b/m = (k/m)^(1/2) 
0,5.b/80 = (32000/80)^(1/2) 
0,00625.b = 20 
b = 3200 N.s/m 
 
 
 
 
Exercício 8 – Resposta B 
A equação que descreve uma situação de amortecimento crítico é: 
y= (C1 + C2.t).e^(-g.t) 
Aplicando as condições iniciais e calculando o valor de g, encontramos a equação: 
g = 0,5.b/m 
g = 20 
0,1 = (C1 + C2.0). e^(-20.0) 
0,1 = (C1 +0).1 
0,1 = C1 
v = C2.e^(-g.t) + (0,1 + C2.t).(-20).e^(-20.0t) 
2 = C2.e^(-g.t0) + (0,1 + C2.0).(-20).e^(-20.0) 
2=C2 -2 
C2 = 4 
y = (0,1 + 4.t). e^(-20.0t) 
As raízes da equação nos darão os instantes em que o corpo está na posição de equilíbrio: 
0 = (0,1 + 4.t). e^(-20.0t) 
0 = (0,1 + 4.t) 
-0,1 = 4.t 
t = -0,025 s 
E a outra raiz, como não existe logaritmo de zero, colocamos um numero muito pequeno no 
lugar de zero = 0,001 
0,001 = e^(-20.0t) 
-6,9077 = -20.t 
t= 0,345 s 
A diferença entre os dois instantes dará o intervalo necessário para que o corpo volte para 
posição de equilíbrio: 
T = 0,345 - (- 0,025) 
T = 0,37 s 
 
Exercício 9 – Resposta C 
A = 2.ym.cos[(Pi/4).0,5] 
A = 2.1.cos[Pi/8] 
A = 1,85 mm 
 
Exercício 10 – Resposta D 
Para descobrir a diferença de fase pedida, basta usar a mesma equação usada no exercício 
anterior, porém sem substituir o valor da fase e substituir a amplitude. 
2 = 2.1.cos[o.0,5] 
1 = cos[0,5.o] 
0,5.o = arccos(1) 
0,5.o = 0 
o = 0 
 
Exercício 11 – Resposta A 
Para descobrir a velocidade transversal na posição e instante pedido, basta derivar a equação 
do movimento no tempo, assim se obtém a equação da velocidade transversal, então depois 
basta substituir os valores de tempo e posição: 
y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3] 
vt = 15.sen[Pi.x/4].(- 30.Pi)sen[30.Pi.t + Pi/3] 
vt = -1414.sen[Pi.x/4]. sen[30.Pi.t + Pi/3] 
vt (2;2) = -1414.sen[Pi.2/4]. sen[30.Pi.2 + Pi/3] 
vt (2;2) = -1225 cm/s 
 
 
 
 
Exercício 12 – Resposta E 
Para descobrir a amplitude da oscilação em dado ponto e em dado instante, basta pegar a 
parte da equação que é o termo da amplitude e substituir a condições: 
y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3] 
A = 15.sen[Pi.x/4] 
A (2;2) = 15.sen[Pi.2/4] 
A (2;2) = 15 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 13 – Resposta C 
Primeiro descobrimos as densidades lineares de cada fio: 
d1 = 2,6.0,01 = 0,026 g/cm 
d1 = 0,0026 kg/m 
d2 = 7,8.0,01 = 0,078 g/cm 
d2 = 0,0078 kg/m 
 
Agora através da equação que relaciona a frequência com comprimento de onda, tensão na 
corda e densidade linear, substituímos os valores que temos de cada parte da corda e 
igualamos as equações: 
f1 = [n1/(2.L1)].[F/d1]^(1/2) 
f2 = [n2/(2.L2)].[F/d2]^(1/2) 
Igualam-se as duas equações e substitui as variáveis conhecidas: 
[n1/(2.0,6)].[100/0,0026]^(1/2) = [n2/(2.0,866)].[100/0,0078]^(1/2) 
[n1/(2.0,6)]^2.1 /2,6 = [n2/(2.0,866)]^2.1/7,8 
n1 = [3,74.(n2)^2/23,4]^(1/2) 
n1 = 0,4.n2 
n2 = 2,5.n1 
Uma vez que se descobriu a relação entre o numero da corda de aço e o numero da corda de 
alumínio, isolamos a razão n2/n1: 
n2/n1= 2,5 
n2/n1= 2/5 (Na forma de fração mais simplificada) 
Onde n2 = 5, que corresponde ao aço e n1 = 2, que corresponde ao alumínio. 
Através das propriedades no fio de aço ou no fio de alumínio, é possível determinar a 
frequência. 
f = [ n1 / (2. L1) ].[ ( F/d1 ) ^ (1/2) ] 
f = [ 2 / (2. 0,6) ].[ ( 100/0,0026 ) ^ (1/2) ] 
f = 327 Hz 
f = 1034 Hz 
Exercício 14 – Resposta E 
Visto que no exercício anterior determinou-se o numero de ventre de cada parte da corda 
temos o numero total de ventres = 7, logo o numero total de nós é 8, descontando os nós das 
extremidades, temos: 
Nnós = 6. 
 
 
Exercício 15 – Resposta D 
Primeiro identificamos em qual parte do gráfico está o instante pedido, então calculamos o 
fluxo magnético nesta parte do gráfico: 
Calculando o fluxo magnético entre 0 e 2 segundos. 
f = 0,2.t.(PI.r^2) = 0,2.t.(3,14.3,99^2) 
f = -10.t 
E = df/dt = -10 
Portanto o módulo da força eletromotriz é: 10 V 
 
Exercício 16 – Resposta B 
Primeiro identificamos em qual parte do gráfico está o instante pedido, então calculamos o 
fluxo magnético nesta parte do gráfico: 
Calculando o fluxo magnético entre 5 e 10 segundos. 
f = -0,08.(PI.3,99^2).t 
f = -4.t 
E= +4 V 
E = R.I 
4 = 20.I 
I = 0,2 A 
Sentido horário. 
 
Exercício 17 – Resposta E 
Req = R1.R2/(R1 + R2) 
Req = 10.15/(10 + 15) 
Req = 6 ohm 
I = (B.l/Req).v 
I = (0,5.0,4/6).20 
I = 0,667 A 
 
Exercício 18 – Resposta B 
Uma vez que já temos a corrente,calculada no exercício anterior, basta substituir na equação 
P = I^2.Req 
P = 0,667^2.6 
P = 2,67 W 
 
Exercício 19 – Resposta D 
Primeiro calculamos o valor de k: 
c = w/k 
k = 10^15/3.10^8 
k = 3,33.10^6 
O vetor velocidade de propagação é igual ao produto vetorial entre o campo elétrico e o 
campo magnético dividido pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo: 
cv = Ev x Bv/( Bv .Bv) 
-3.10^8.i = [(E.k) x (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).j]/((10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x)^2) 
(3.10^8.k). (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) = E.k 
E = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) (N/C) 
Ev = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).k (N/C) 
 
Exercício 20 – Resposta A 
Primeiro calculamos o valor médio do vetor poynting 
S = 0,5.8,85.10^-12.3.10^8.900 
S = 1,19 
Agora calculamos a energia eletromagnética: 
Dw = S.A.Dt 
Dw = 1,19.3.7200 
Dw = 25807 J 
 
 
Exercício 21 – Resposta A 
Como o campo magnético é uniforme na região e varia somente com o tempo, não há a 
necessidade da integração. 
f = B.n.A 
f = (0,2t^2 – 2,4t +6,4)k.k.(0,5.0,5) 
f(2) = (0,2.(2)^2 – 2,4.(2) +6,4).0,25 
f(2) = 0,6 weber 
f(9) = (0,2.(9)^2 – 2,4.(9) +6,4).0,25 
f(9) = 0,25 weber 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 22 – Resposta E 
Através da derivada temporal da equação que descreve o fluxo, obtemos a equação da força 
eletromotriz. 
E = - (0,1t - 0,6) 
E(2) = - (0,1.(2) – 0,6) 
E(2) = 0,4 V 
I(2) = 0,4/40 
I(2) = 0,01 A (anti-horário) 
 
E(9) = - (0,1.(9) – 0,6) 
E(9) = -0,3 V 
I(9) = - 0,3/40 
I(9) = - 0,0075 A (horário) 
 
Exercício 23 – Resposta B 
Primeiro deve-se descobrir a função que descreve o fluxo em função do tempo: 
f = B.A 
O campo magnético não varia em função do tempo porém a área varia em função do tempo: 
A = 0,5.w.t.r^2 
A = 0,5.300.t.0,25^2 
A = 9,375 m^2 
Portanto o fluxo é: 
f = 0,1.9,375.t 
f = 0,9375 wb 
Agora basta fazer a derivada temporal negativa do fluxo que obtem-se a força eletromotriz: 
E(0---P1) = - 0,9375 V 
 
Exercício 24 – Resposta C 
O potencial de cada ponta da barra será o mesmo, logo a diferença de potencial entre eles 
será zero. 
Vp2 – Vp1 = 0 V 
 
Exercício 25 – Resposta D 
O fluxo magnético quando não há variação de área com o tempo é 
f = B.n.A 
f = (0,5 – 0,125t).1,7.2,1 
f = 1,785 – 0,44625t 
A derivada temporal negativa do fluxo é a fem: 
E = 0,44625 
I = E/R 
I = 0,44625/25 
I = 0,01785 A (anti-horário) 
 
 
Exercício 26 – Resposta B 
A força necessária para manter a barra em repouso é calculada pela formula: 
F = I.L.B 
F = 0,01785.1,7.0,5 
F = 0,0152 N 
O sentido é contrário ao da força que movimenta a barra, logo: 
F = -0,0152i N 
 
 
 
Exercício 27 – Resposta C 
Existem duas formulas para calcular a intensidade da onda, uma relaciona a potência com a 
área e a outra relaciona a amplitude do campo elétrico com a velocidade da luz e constante de 
permissividade elétrica: 
I = P/A 
I = [e.c.(Em)^2]/2 
0,25/(4.Pi.r^2) = [8,85.10^-12.3.10^8.(0,2)^2]/2 
r^2 = 370 
r = 19,4 m 
 
Exercício 28 – Resposta E 
Considerando que o sentido de propagação da onda é j positivo, a direção e sentido do campo 
magnético, no dado instante em que o campo elétrico é i negativo, é k positivo. 
Bv = +kB 
 
 
Exercício 29 – Resposta A 
A direção e o sentido de uma onda eletromagnética é igual a direção e sentido do produto 
vetorial do campo elétrico com o campo magnético. 
v = (i) x (k) 
v = (-j) 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 30 – Resposta E 
A velocidade de propagação da onda eletromagnética é igual ao valor da velocidade da luz, 
mas também é obtida pela razão entre o produto vetorial do campo elétrico e campo 
magnético pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo. 
 c = (E x B)/(B.B) 
3.10^8 = E/B 
E = 3.10^8.91,5.10^-6 
E = 27450 V/m 
 
Exercício 31 – Resposta A 
A intensidade da onda é a razão entre a potência e a área. 
I = P/A 
I = 0,02/(Pi.10^-12) 
I = 6,366.10^9 
A intensidade da onda também pode ser calculada em uma formula que contém a amplitude 
do campo elétrico. 
6,366.10^9 = 0,5.8,85.10^-12.3.10^8.(Em)^2 
(Em)^2 = 4,796.10^12 
Em = 2,19.10^6 V/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 32 – Resposta A 
A equação do campo magnético tem a parte oscilante igual a do campo elétrico, logo só 
precisa calcular a amplitude do campo magnético e descobrir a direção e sentido. 
B = E/c 
B = 1,1.10^6/(3.10^8) 
B = 3,7.10^-3 T 
A direção e sentido da velocidade de propagação da onda é igual ao do produto vetorial do 
campo elétrico pelo campo magnético. 
/c/ = /E/ x /B/ 
-k= j x (ai + bj + ck) 
-k = -ka +ic 
c = 0 
a = 1 
Logo, a direção e o sentido do vetor campo magnético é i positivo: 
B = 3,7.sen(5,9.10^6.z + 1,77.10^15.t).i (Wb/m^2) 
 
 
Exercício 33 – Resposta B 
A curva A, é característica de um amortecimento fraco, visto que oscila antes de estabilizar. 
A curva B estabiliza o movimento antes que a curva A, porém, apenas depois que a curva C, 
isso ocorre devido ao alto valor do coeficiente de resistência viscosa, logo a curva B, é 
característica de um amortecimento supercrítico. 
A curva C é a primeira a estabilizar, isso quer dizer que a relação entre o coeficiente de 
resistência viscosa e a constante elástica possui a melhor relação possível, característica do 
amortecimento crítico. 
A, C, B. 
 
 
 
Exercício 34 – Resposta C 
A posição inicial pode ser definida por interpretação do gráfico: 
y(0) = 0,2 m 
No gráfico há uma reta tangente as curvas no instante zero. O coeficiente angular desta reta é 
igual a derivada temporal da equação de posição no instante zero, que é por definição a 
velocidade da partícula no instante zero. 
v(0) = (0,5 – 0,2)/0,2 
v(0) = 1,5 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 35 – Resposta E 
Analisando o gráfico podemos extrair a posição inicial do termo da amplitude, ou seja, 
considerando apenas a curva exponencial auxiliar: 
ym.e^-=0,4 
 ym = 0,4 m 
Agora que temos a amplitude inicial, podemos calcular a fase inicial com o auxilio da curva 
principal, ou seja, a curva que descreve o movimento. A posição inicial da partícula é 0,2 m. 
0,2 = 0,4.cos(o) 
o =arccos(0,5) 
o = -Pi/3 
Agora através do período podemos calcular a velocidade angular. Pelo gráfico temos que o 
período é 1,4 s. 
w = 2.Pi/1,4 
w = 1,43.Pi (rad/s) 
Falta descobrir o valor de g (gama). Para isso pegamos um ponto conhecido no gráfico, vamos 
pegar o ponto (1;-0,2). 
-0,2 = 0,4.e^-.cos(1,43.Pi - Pi/3) 
-0,5 = -e-.0,954 
1/1,84 = e^-
- = -0,61 
 = 0,61 
Agora montamos a equação: 
y = 0,4.e^(-0,61t).cos(1,43.Pi.t - Pi/3) (SI) 
 
 
 
 
 
 
Exercício 36 – Resposta B 
Primeiro calcular a velocidade angular inicial, w0. 
W^2 = (w0)^2 – g^2 
(1,43.Pi)^2 = (w0)^2 –(0,61)^2 
(w0)^2 = 20,55 
w0 = 4,5 rad/s 
Agora calculamos o k da mola: 
(4,5)^2 = k/m 
(4,5)^2.0,8 = k 
k = 16,44 N/m 
Agora calculamos o coeficiente de viscosidade: 
0,61 = c/(2.0,8) 
c = 0,976 N.s/m 
Agora calculamos o grau de amortecimento: 
B = g/w0 = 0,61/4,5 
B = 0,135 
 
 
Exercício 37 – Resposta C 
Primeiro calculamos o valor de gama. 
g = (k/m)^(1/2) 
g = (16,43/0,8)^(1/2) 
g = 4,53 
Agora calculamos o valor da constante de viscosidade. 
g = c/2m 
4,53 = c/(2.0,8) 
c = 7,25 N/(m/s) 
Exercício 38 – Resposta A 
Uma vez que temos o valor de gama, basta descobrir as constantes através de pontos do 
gráfico:0,2 = A1 
Agora com a velocidade inicial descobrimos a outra constante A2: 
1,5 = [-4,53.0,2 +A2] 
2,41 = A2 
Agora montamos a equação: 
y = [0,2 +2,41.t].e^(-4,53t) (SI) 
 
Exercício 39 – Resposta A 
Com o valor do grau de amortecimento calculamos o coeficiente de resistência viscosa: 
1,2836 = g/w0 
g = c/2m 
w0 = (K/m)^(1/2) 
Logo, 
1,2836 = (c/2m).[(m/k)^(1/2)] 
1,6476 = [(c2)/2,56].[0,8/16,43] 
86,624 = c^2 
c = 9,307 N/(m/s) 
 
 
 
 
 
Exercício 40 – Resposta B 
Primeiro calculamos o valor de w0 e do g: 
w0 = (16,43/0,8)^(1/2) 
w0 = 4,532 rad/s 
g = 9,307/1,6 
g = 5,817 
Agora com as condições iniciais y(0) = 0,2 m, e v(0) = 1,5 m/s, calculamos as constantes A1 e 
A2. 
0,2 = A1 + A2 
A2 = 0,2 – A1 
e, 
1,5 = A1.[-5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + A2.[-5,817 - (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] 
1,5 = A1.[-5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + .( 0,2 – A1)[-5,817 - (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] 
1,5 = A1.(-2,1703) + (0,2 – A1).(- 9,4637) 
3,393 = 7,2934.A1 
A1 = 0,465 
A2 = 0,2 – 0,465 
A2 = - 0,265 
Agora basta montar a equação e simplificar: 
y = 0,465.e^(-5,817+3,6467)t – 0,265.e^(-5,817-3,6467)t 
y = 0,465.e^(-2,17)t – 0,265. e^(-9,46)t (SI)