Prova 2 Fisica III D Cesar Zen com soluções

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F´ısica III-D. 2a Avaliac¸a˜o 1
Nome:
Questo˜es
1. (a) A partir da ana´lise da equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell e da lei de Faraday, responda
porque campos magne´ticos devidos a campos ele´tricos varia´veis sa˜o expressivamente
mais fracos do que campos ele´tricos devidos a campos magne´ticos varia´veis. Estas
propriedades tem alguma relac¸a˜o com a existeˆncia ou na˜o de monopo´los magne´ticos?
Resposta: a Lei de Ampe`re-Maxwell, que pode ser escrita na forma∮
C
~B · d~` = µ0
(
I + �0
d
dt
∫
S
~E · nˆ dS
)
,
−→ µ0 I + µ0 �0 d
dt
∫
S
~E · nˆ dS ,
relaciona campos magne´ticos e campos ele´tricos varia´veis. A lei de Faraday∮
C
~E · d~`= − d
dt
∫
S
~B · nˆ dS ,
relaciona campos ele´tricos com campos magne´ticos varia´veis. Utilizando a definic¸a˜o
da velocidade da luz no va´cuo:
c =
1√
�0µ0
= 3× 108m/s ,
obtemos para o produto �0µ0
1
c2
= �0µ0 =
1
(3× 108m/s)2 << 1 .
Portanto, o segundo termo da equac¸a˜o∮
C
~B · d~` = µ0
(
I + �0
d
dt
∫
S
~E · nˆ dS
)
,
−→ µ0 I + µ0 �0 d
dt
∫
S
~E · nˆ dS ,
que caracteriza a relac¸a˜o entre um campo magne´tico e um campo ele´trico varia´vel,
e´ expressivamente menos relevante do que o primeiro termo, que na˜o conte´m campo
ele´trico varia´vel. O mesmo na˜o ocorre na expressa˜o∮
C
~E · d~`= − d
dt
∫
S
~B · nˆ dS ,
que caracteriza campos ele´tricos e campos magne´ticos varia´veis, respondendo assim a
questa˜o acima colocada. Quanto a` questa˜o “Estas propriedades tem alguma relac¸a˜o
com a existeˆncia ou na˜o de monopo´los magne´ticos?”, a resposta a esta indagac¸a˜o sera´
apresentada no item (c).
(b) Verifique o valor nume´rico da velocidade da luz de uma onda eletromagne´tica se
propagando no va´cuo, c, usando a expressa˜o matema´tica que relaciona c a µ0 e �0, e
mostre que esta expressa˜o esta´ dimensionalmente correta.
c =
√√√√ 1(
µ0�0
) = √ 1
4pi × 10−7mkg/C2 × 8, 8541878× 10−12C2s2/(kgm3)
=
√
8, 987552× 1016m2/s2 = 2, 9979× 108m/s = velocidade da luz .
2 Ce´sar A. Zen Vasconcellos. Departamento de F´ısica (IF-UFRGS).
(c) Suponha que monopolos magne´ticos existam. Quais seriam as modificac¸o˜es a
serem feitas nas equac¸o˜es de Maxwell, em suas formulac¸o˜es diferenciais e integrais, de
modo a manter a sua consisteˆncia formal? Quais seriam as unidades correspondentes a`
carga magne´tica e a` densidade de carga magne´tica no SI? O fluxo de campo magne´tico
em uma superf´ıcie fechada seria nulo? Por que?
Lei de Gauss na forma diferencial para o magnetismo na presenc¸a de monopo´los
magne´ticos:
~∇ · ~B = µ0qm .
Equac¸a˜o dimensional da expressa˜o acima:
[B] = [T ] =
[HA
m2
]
.
Lei de Gauss na forma integral para o magnetismo na presenc¸a de monopo´los magne´ticos:
ΦB =
∮
S
~B · nˆ dS = µ0ρm .
Desta expressa˜o, vemos que o fluxo de campo magne´tico em uma superf´ıcie fechada
na˜o seria nulo. Equac¸a˜o dimensional da expressa˜o acima:
[Bm2] = [Tm2] =
[HAm2
m2
]
=
[
HA
]
.
[µ0qm] =
[H
m
qm
]
=
[
HA
]
→ qm = mA (carga magne´tica) .
A densidade de carga magne´tica leva a` equac¸a˜o dimensional:
[
qm/V
]
=
[
mA
V
]
=[
A/m2
]
.
Nova Lei de Faraday: ∮
C
~E · d~`= − d
dt
∫
S
~B · nˆ dS − µ0Im .
Como se percebe, caso monopo´los magne´ticos existissem, a Lei de Ampe`re-Maxwell
na˜o sofreria modificac¸a˜o, mas a Lei de Faraday sim. No entanto, esta modificac¸a˜o na˜o
alteraria o termo que conte´m a presenc¸a de campos magne´ticos varia´veis, somente
acrecentaria um termo de corrente magne´tica, similar ao termo de corrente ele´trica
existente na Lei de Ampe`re-Maxwell. Portanto, a resposta a` questa˜o anterior e´: na˜o,
aqueles resultados referentes ao item (a) na˜o dependem da existeˆncia de monopo´los
magne´ticos.
2. Uma onda eletromagne´tica se propaga no va´cuo e seu vetor campo ele´trico ~E (em
unidades SI) e´ dado pela seguinte expressa˜o:
~E(x, y, z)→ Ex = 250(V/m)sen
[
2pi
(
6× 1014t− 2× 106z
)]
; Ey = 0; Ez = 0 .
(a) Determinar a frequeˆncia, o per´ıodo, o comprimento de onda e a fase inicial do
campo ~E.
w = 2pif = 2pi × 6× 1014Hz → f = 6× 1014Hz ; T = 1/f = 1, 66× 10−15s ;
λ =
2pi
k
=
2pi
2pi × 2× 106 = 500nm ; fase inicial = φ(x, t)|x=0;t=0 = 0 .
F´ısica III-D. 2a Avaliac¸a˜o 3
(b) Indicar a direc¸a˜o de polarizac¸a˜o da onda. Direc¸a˜o de polarizac¸a˜o: xˆ. Este tipo de
polarizac¸a˜o e´ tambe´m chamada de linear. Direc¸a˜o de propagac¸a˜o: zˆ.
(c) Escrever a expressa˜o do campo magne´tico ~B correspondente:
~B(x, y, z)→ Bx = 0 ; By = 250
c︸︷︷︸
8,33×10−7T
sen
[
2pi
(
6× 1014t− 2× 106z
)]
; Bz = 0 .
(d) Uma onda eletromagne´tica propaga-se no ar com velocidade praticamente igual a`
da luz no va´cuo (c = 3× 108m/s), enquanto o som propaga-se no ar com velocidade
aproximada de 330m/s. Desejamos produzir uma onda aud´ıvel que se propague no ar
com o mesmo comprimento de onda daquelas correspondentes a transmisso˜es de ra´dio
em frequ¨eˆncia modulada (FM) de 100MHz (100 × 106Hz). Qual deve ser o valor da
frequ¨eˆncia da onda aud´ıvel correspondente?
A velocidade da luz no va´cuo, c, pode ser escrita na forma
c = λva´cuo × fva´cuo = λva´cuo × 100× 106Hz → λva´cuo = 3m.
Usando a condic¸a˜o λva´cuo = λar
λva´cuo = λar =
var
far
→ far = var
λar
=
330m/s
3m
= 110Hz.
3. (a) Uma pessoa esta´ vestindo uma camisa que possui impresso o nu´mero 54. Se essa
pessoa se olhar em um espelho plano, como ela vera´ a imagem do nu´mero 54?
Figura 1:
Figura 2:
Para compreender os fundamentos desta pergunta e´ necessa´rio compreender como se
da´, em um espelho plano, a formac¸a˜o de imagens. A figura (1) pode auxiliar este
4 Ce´sar A. Zen Vasconcellos. Departamento de F´ısica (IF-UFRGS).
entendimento. E´ preciso compreender, em primeiro lugar, que as principais proprie-
dades de um espelho plano sa˜o a simetria entre os pontos objeto e imagem e que a
maior parte da reflexa˜o que acontece e´ regular. Em segundo lugar, para se determinar
a imagem em um espelho plano basta imaginarmos que o observador veˆ um objeto
que parece estar atra´s do espelho, isto ocorre pois o prolongamento do raio refletido
passa por um ponto imagem virtual, atra´s do espelho. Nos espelhos planos, o objeto e
a respectiva imagem teˆm sempre naturezas opostas, ou seja, quando um e´ real o outro
deve ser virtual, portanto, para se obter geometricamente a imagem de um objeto
pontual, basta trac¸ar por ele, atrave´s do espelho, uma reta e marcar sime´tricamente
o ponto imagem. Assim sendo, demonstramos na figura (1), como se daria a imagem
correspondente a` pergunta apresentada.
Figura 3:
(b) A um aluno foi dada a tarefa de medir a altura do pre´dio da escola que frequ¨entava.
O aluno, enta˜o, pensou em utilizar seus conhecimentos de o´tica geome´trica e mediu,
em determinada hora da manha˜, o comprimento das sombras do pre´dio e a dele pro´prio
projetadas na calc¸ada. Facilmente chegou a` conclusa˜o de que a altura do pre´dio da
escola era de cerca de 22,1m. As medidas por ele obtidas para as sombras foram,
respectivamente, 10,4m e 0,8m. Qual e´ a altura do aluno? A figura (2) permite
deduzirmos que:
H
h
=
D
d
→ h = H × d
D
=
22, 1m× 0, 8m
10, 4m
= 1, 70m.
4. O campo magne´tico de uma onda eletromagne´tica que se propaga no ar e´ dado (em
unidades SI) por
~B = 10−7 sen
(
1015t+
2pix
λ
)
T kˆ ;
Determinar: a) o sentido de propagac¸a˜o da onda eletromagne´tica; o sentido de pro-
pagac¸a˜o da onda eletromagne´tica e´ −xˆ.
b) o comprimento de onda;
w = 2pif = 1015s−1 → f = 10
15
2pi
; c = λ× f → λ = c/f = 1, 88× 10−6m.
c) a expressa˜o do campo ele´trico correspondente;
~E = 10−7 × c︸ ︷︷ ︸
=30V/m
sen
(
1015t+
2pix
λ
)
jˆ ;
F´ısica III-D. 2a Avaliac¸a˜o 5
d) a energia me´dia por unidade de tempo e por unidadede a´rea que a onda eletro-
magne´tica transporta;
S¯ =
1
2
c�0E
2
0 =
(
1
2
× 3× 108 × 30
2
4pi × 9× 109
)
W/m2 = 1, 2W/m2 .
e) a energia que a onda eletromagne´tica transporta atrave´s de uma superf´ıcie A de
2m2 durante um tempo T = 3 horas.
E¯ = S¯TA = 1, 2× 2× 3600× 3 J = 25.900J .
5. (a) Seja um raio luminoso cujo campo ele´trico tem uma componente que esta´ oscilando
no plano da pa´gina e outra componente oscilando perpendicularmente ao plano da
pa´gina. Quando o raio de luz passar de um meio, com ı´ndice de refrac¸a˜o n1, a
outro, com ı´ndice de refrac¸a˜o n2, a onda sofre refrac¸a˜o. Defina o aˆngulo de Brewster,
representado por θB. Que fenoˆmeno f´ısico este aˆngulo representa? Qual e´ a relac¸a˜o
entre θB, n2 e n1? Demonstre esta relac¸a˜o.
A figura (4) auxilia a dar uma resposta a esta indagac¸a˜o.
Figura 4: A Lei de Brewster define o aˆngulo de Brewster (aˆngulo de polarizac¸a˜o): aˆngulo
de incideˆncia para o qual o processo de reflexa˜o da onda eletromagne´tica, — supondo-
a, na me´dia, como composta de apenas duas componentes —, anula completamente uma
das componentes da onda. Com isso, a onda refletida so´ tem na me´dia uma componente,
paralela a` superf´ıcie de reflexa˜o, sendo n1 o ı´ndice de refrac¸a˜o do meio de incideˆncia da luz
e n2 o ı´ndice de refrac¸a˜o do meio onde ocorre o processo de refrac¸a˜o. Uma onda refletida
deve-se a` emissa˜o dos dipolos induzidos no material apo´s absorc¸a˜o da onda incidente. E´
um fato bem conhecido que um dipolo ele´trico oscilante na˜o emite na direc¸a˜o do eixo do
dipolo. Portanto, a direc¸a˜o de propagac¸a˜o da onda refletida deve coincidir com a direc¸a˜o
perpendicular ao eixo do dipolo. Na˜o e´ dif´ıcil compreender a condic¸a˜o θB + θ2 = pi/2, se
considerarmos que a luz refletida e´ emitida pelos ele´trons do material do meio 2, que sa˜o
postos em movimento pela onda transmitida e emitem como dipolos vibrando na direc¸a˜o
do campo ele´trico da onda transmitida. Se a condic¸a˜o θB + θ2 = pi/2 for satisfeita e a luz
for polarizada paralela ao plano de incideˆncia, essa e´ a mesma direc¸a˜o da onda refletida. Os
dipolos na˜o podem emitir na sua direc¸a˜o de vibrac¸a˜o, logo na˜o pode haver onda refletida. Se
a luz e´ polarizada na direc¸a˜o perpendicular, em nenhuma situac¸a˜o a vibrac¸a˜o dos ele´trons
sera´ na mesma direc¸a˜o da onda refletida, logo essa componente e´ (parcialmente) refletida
para qualquer aˆngulo de incideˆncia.
6 Ce´sar A. Zen Vasconcellos. Departamento de F´ısica (IF-UFRGS).
(b) Suponha que o ı´ndice de refrac¸a˜o de um material, para a luz violeta (λ = 4000A˚),
seja igual a 1, 565 e que, para a luz vermelha (λ = 7000A˚), seja igual a 1, 515. Deter-
mine a raza˜o entre as velocidades da luz vermelha e da luz violeta no interior deste
material.
vvermelha
vvioleta
=
c/nvermelha
c/nvioleta
=
nvioleta
nvermelha
= 1, 033 .
(c) Um feixe de luz verde tem comprimento de onda de 600nm no ar. Qual o com-
primento de onda dessa luz, em nm, dentro da a´gua, onde a velocidade da luz vale
somente 75% do seu valor no ar?
λH2O =
λva´cuo
nH2O
=
600nm
1, 3
= 461, 5nm .