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AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 1 - 2016–2 − Coloque seu nome e nu´mero de matr´ıcula na folha de resposta em PDF que sera´ enviada para correc¸a˜o. − Esta questa˜o possui dois itens. Questa˜o 1 [2,5 pontos] A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funciona´rio em uma viagem para encontrar um cliente, para agilizar a aprovac¸a˜o de alguns contratos pendentes. O funciona´rio deve embarcar para encontrar o cliente na semana que comec¸a no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que comec¸a no dia 8 e termina no dia 14. Chamaremos de poss´ıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos crite´rios acima. Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 e´ uma poss´ıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 e´ outra poss´ıvel viagem. Ida em 1 e volta em 6 na˜o e´ uma poss´ıvel viagem, pois a volta na˜o esta´ na semana de 8 a 14. O nu´mero de dia´rias de uma poss´ıvel viagem e´ a diferenc¸a entre as datas de ida e volta, isto e´, v− i, onde i e´ a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a poss´ıvel viagem que comec¸a no dia 2 e termina no dia 11 tem 11− 2 = 9 dia´rias. (a) Explique como e por que uma poss´ıvel viagem pode ser representada por um par ordenado. (b) Denote por I o conjunto de datas poss´ıveis para a ida do funciona´rio e por R o conjunto das datas poss´ıveis para sua volta. Represente os conjuntos I e R, enumerando seus elementos. (c) De acordo com sua resposta ao item (a) e utilizando os conjuntos I e R descritos no item (b), determine como representar o conjunto V de todas as poss´ıveis viagens, sem ter que listar todos os seus elementos. (d) Como o funciona´rio tera´ muito trabalho em sua ida ao cliente, uma poss´ıvel viagem e´ consi- derada proveitosa se tiver a durac¸a˜o de, no m´ınimo, 9 dia´rias. Se P e´ o conjunto de todas as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que P ⊂ V . (e) Represente o conjunto P enumerando seus elementos. O prec¸o da passagem de ida no dia i e´ representado por p(i). Assim, p(2) e´, por exemplo, o prec¸o da passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o prec¸o da passagem de volta no dia v e´ representado por p′(v). Assim, p′(10) e´ o prec¸o da passagem de volta no dia 10. Os prec¸os das passagens, para cada dia, sa˜o dados abaixo: Viagem de ida: Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7 Prec¸o em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00 Viagem de volta: Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14 Prec¸o em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00 Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00. Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2 O custo de uma poss´ıvel viagem e´ dado pela soma dos prec¸os das passagens de ida e de volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria. Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00. Note que 12− 3 e´ o nu´mero de dia´rias. O custo-benef´ıcio de uma poss´ıvel viagem e´ obtido dividindo o custo pelo nu´mero de dia´rias. Assim, a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef´ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00. Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se o custo benef´ıcio for menor do que R$ 500,00. (f) Qual e´ o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef´ıcio desta viagem? (g) Se A e´ o conjunto das viagens via´veis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade. Diga por que A ⊂ V . (h) A empresa quer que a viagem de seu funciona´rio seja proveitosa e via´vel. Represente, por meio de uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V , P e A, bem como as operac¸o˜es entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes crite´rios. Por razo˜es de foro ı´ntimo, o funciona´rio diz que na˜o pode voar a`s quintas-feiras e sextas-feiras, que caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As poss´ıveis viagens que possuem algum voo nestas datas sa˜o chamadas, pelo funciona´rio, de amaldic¸oadas, e o conjunto das viagens amaldic¸oadas e´ denotado por M . (i) Represente, por uma propriedade, o conjunto M . (j) Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M . (k) A empresa resolveu compreender as questo˜es ı´ntimas de seu funciona´rio e na˜o deseja submeteˆ-lo a uma viagem amaldic¸oada, afinal, ele na˜o seria nada produtivo nessas circunstaˆncias. Deter- mine, por uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V, P,A e M e suas operac¸o˜es, o conjunto D das viagens que o funciona´rio podera´ fazer. (l) Represente o conjunto D enumerando seus elementos. [Em algum momento, voceˆ precisara´ calcular o custo-benef´ıcio das viagens. Se prestar atenc¸a˜o ao que esta´ sendo pedido, voceˆ na˜o precisara´ calcular o custo-benef´ıcio de todas as poss´ıveis viagens (que sa˜o muitas!!!)] Soluc¸a˜o: (a) Uma poss´ıvel viagem pode ser pensado como um par ordenado, pois e´ determinada pela escolha de dois valores, a data de ida e a data de volta, sendo importante a ordem destes valores. Este par pode ser escrito como (i, v), onde i e´ a data de ida e v a de volta. (b) I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e R = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. (c) A data de ida de uma poss´ıvel viagem pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a de volta a {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Assim, (i, v) ∈ I ×R. Portanto, V = I ×R. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 3 (d) P = {(i, v) ∈ V | v − i > 9}. Temos que P ⊂ V pois todas as viagens proveitosas (isto e´, todos os elementos de P ) sa˜o, pela pro´pria definic¸a˜o, poss´ıveis viagens (isto e´, elementos de V ). (e) P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)} (f) O custo da viagem de ida em i e volta em v e´ dado pela soma do prec¸o p(i) da passagem de ida e com o prec¸o p′(v) da volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria, que sendo o nu´mero de dia´rias e´ dado por v − i. Assim, o custo desta viagem sera´ p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00. O custo-benef´ıcio desta viagem sera´ o custo dividido pelo nu´mero de dia´rias, isto e´, p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00 v − i . (g) Utilizando o item acima, podemos escrever A = { (i, v) ∈ V ∣∣∣∣ p(i) + p′(v) + (v − i)× 300, 00v − i 6 500, 00 } O subconjunto das viagens via´veis e´ um subconjunto de V pela pro´pria definic¸a˜o de viagem via´vel: “uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se...”. Assim, viagens via´veis sa˜o aquelas, escolhidas dentre as poss´ıveis, que cumpram uma dada propriedade, logo, toda viagem via´vel (todo elemento de A) e´ tambe´m uma poss´ıvel viagem (um elemento de V ). (h) As viagens que a empresa gostaria que o funciona´rio fizesse sa˜o proveitosas, logo pertencem a P , e via´veis, pertencendo portanto a A. Assim, o conjunto destas viagens e´ dada pelo conjunto P ∩ A. (i) As viagens amaldic¸oadas sa˜o as poss´ıveis viagens (i, v) ∈ V para as quais a data de ida i seja 5 ou 6 ou a de volta seja 12 ou 13. Assim M = {(i, v) ∈ V | i = 6 ou i = 5 ou v = 12 ou v = 13} (j) Listando os elementos, temos M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14), (1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12), (1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}. (k) O conjunto M das viagens que o funciona´rio podera´ fazer sera´ o conjunto das viagens ao mesmo tempo proveitosas e via´veis, obtido no item vi, excluindo as amaldic¸oadas, logo D = (P ∩ A)−M. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 4 (l) Para encontrarmos os elementos do conjunto D = (P ∩ A) −M , precisamos descobrir os que esta˜o em (P ∩A) e retirar os que estejam em M . Os elementos de (P ∩A) sa˜o os que esta˜o ao mesmo tempo em P em em A, logo, para cada elementode P , vamos verificar se ele tambe´m esta´ em A. Pelo item (e), P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)}, Por agora, vamos calcular o custo benef´ıcio de todas estas viagens para descobrir quem tambe´m e´ elemento de A (no final da questa˜o, veremos que nem seria necessa´rio fazer todas estas contas, mas, por enquanto, vamos com cuidado). Elemento de P Custo-benef´ıcio (1, 10) 2000 + 600 + 9 · 300 9 ' 588, 89 (1, 11) 2000 + 700 + 10 · 300 10 = 570, 00 (1, 12) 2000 + 800 + 11 · 300 11 ' 554, 55 (1, 13) 2000 + 900 + 12 · 300 12 ' 541, 67 (1, 14) 2000 + 1200 + 13 · 300 13 ' 546, 15 (2, 11) 1500 + 700 + 9 · 300 9 ' 544, 44 (2, 12) 1500 + 800 + 10 · 300 10 = 530, 00 (2, 13) 1500 + 900 + 11 · 300 11 ' 518, 18 (2, 14) 1500 + 1200 + 12 · 300 12 = 525, 00 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 5 Elemento de P Custo-benef´ıcio (3, 12) 1000 + 800 + 9 · 300 9 = 500, 00 (3, 13) 1000 + 900 + 10 · 300 10 = 490, 00 (3, 14) 1000 + 1200 + 11 · 300 1 = 500, 00 (4, 13) 700 + 900 + 9 · 300 9 ' 477, 78 (4, 14) 700 + 1200 + 10 · 300 10 = 490, 00 (5, 14) 500 + 1200 + 9 · 300 9 ' 488, 89 Assim, P ∩ A = {(3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)} Como M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14), (1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12), (1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}. temos (P ∩ A)−M = {(3, 14), (4, 14)}. Pode parecer que fizemos muitas contas na tabela acima, e fizemos mesmo! Mas se tive´ssemos pensado antes de sair calculando, ter´ıamos percebido que na˜o era necessa´rio calcular o custo- benef´ıcio das viagens (1, 12), (1, 13), (2, 12), (2, 13), (3, 12), (3, 13), (4, 13) e (5, 13), pois estas viagens sa˜o elementos de M e, assim, na˜o estariam em (P ∩ A) −M , independente do custo-benef´ıcio. Assim, bastava termos calculado os custos benef´ıcio de (1, 10), (1, 11), (1, 14), (2, 11), (2, 14), (3, 14) e (4, 14). As contas se reduziriam a` metade! Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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