resumo laplace

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fontes de pesquisa para àqueles que desejam se aprofundar um pouco mais no conteúdo. 
Além disso, lembre-se de levar as dúvidas para as aulas de modo que possamos sanar juntos toda e 
qualquer dificuldade. 
Lembre-se: o bom aprendizado dos conteúdos está diretamente ligado ao esforço e dedicação de cada um. 
Bom estudo! 
 
TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE 
 
A transformação de Laplace é um método para resolver as equações diferenciais lineares que 
surgem na Matemática aplicada à Engenharia. O método consiste essencialmente em três etapas. Na 
primeira, a equação diferencial dada é transformada em uma equação algébrica (equação subsidiária). 
Em seguida, esta última equação é resolvida por manipulações puramente algébricas. Finalmente, a 
solução da equação subsidiária é transformada em sentido contrário, de tal maneira que forneça a 
solução desejada da equação diferencial original. 
Desta maneira, a transformação de Laplace reduz o problema de resolver a equação 
diferencial a um problema algébrico. E ainda levam em conta as condições iniciais sem a necessidade 
de determinar primeiro a solução geral para dela, então, obter uma solução particular. Quando 
aplicamos o método clássico a uma equação não homogênea, precisamos em primeiro resolver a 
equação homogênea correspondente, enquanto a transformação de Laplace fornece a solução da 
equação não homogênea de mediata.Na presente parte, vamos a transformação de Laplace de um 
ponto de vista prático e conhecer várias aplicações importantes para a Engenharia. 
 
1. Transformada de Laplace 
 
Seja f(t) uma dada função que é definida para todos os valores positivos de t. Multiplicamos f(t) 
por e-st e integramos em relação a t de zero ao infinito. Então, se a integral resultante existe, ela será 
uma função de s, digamos F(s). 
F s e f t dtst( ) ( ) .


0
 
A função F(s) é chamada a transformada de Laplace da função original f(t) e será representada 
por L (f). Assim: 
(1) F(s) = L (f) =

 
0
ste
 f(t)dt 
A operação realizada sobre f(t) é chamada transformação de Laplace. 
A função original f(t) em (1) é chamada a transformada inversa ou, simplesmente, a inversa de 
F(s) e será representada por L -1(F), Assim, escreveremos: 
f(t) = L -1(F) 
Representaremos a função original por uma letra minúscula e sua transformada pela mesma 
letra maiúscula. 
 
 
 
Exemplos: 
 
Veremos que a transformação de Laplace possui várias propriedades gerais, em conseqüência 
das quais as transformadas de muitas funções podem ser ouidas de maneira fácil. A propriedade mais 
importante da transformação de Laplace é a enunciada no seguinte Teorema . 
 
Teorema 1 (Linearidade). A transformação de Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer 
funções f(t) e g(t) cujas transformadas de Laplace existam e quaisquer constantes a e b temos 
L 
  atbgtaf  )()(
 L (f) +bL (g), onde a e b são constantes. 
Por definição, L
   dttbgtafetbgtaf st )()()()(
0
 


 
adttgebdttfea stst  



 )()( 00
L 
bf )(
L 
)(g
 
Exemplos: 
A seguir, uma lista de algumas funções elementares e de suas transformadas. 
Quadro 1: Algumas Funções Elementares f(t) e suas transformadas de Laplace L(f) 
 f(t) L 
)(f
 f(t) L 
)(f
 
1
1 
1 1/s 6 eat 
as 
1
 
2
2 
t 1/s2 7 cos t s
s2 2
 
3
3 
t2 2!/s3 8 sen t 
22 

s
 
4
4 
tn 
n inteiro positivo 
n
sn
!
1
 9 cosh at 
22 as
s

 
5
5 
ta 
a positivo 
( )a
sa


1
1
 10 senhat a
s a2 2
 
 
Quando conhecemos as transformadas do quadro, quase todas as transformadas de que 
necessitamos podem ser obtidas pelo emprego de alguns Teorema s gerais simples que examinamos 
nas seções seguintes. 
As fórmulas (1), (2) e (3) no quadro são casos especiais da fórmula (4). Esta decorre de (5) e 
de 

(n + 1) = n! onde n é um inteiro não negativo. A fórmula (5) pode ser demonstrada a partir da 
definição: 
 
1. Para demonstrar a fórmula (5) no quadro1, temos 
 
 
 
L
.)(
0
dttet asta 


 
Fazemos st = z. Então, dt = dx/s. 
L
1010
)1(1
)(



 





  a
ax
a
a
xa
s
a
dxxe
sx
d
s
x
et
 (s > 0) 
A fórmula (4) decorre da fórmula (5) e (n + 1) = n! onde n é um inteiro positivo. As três 
primeiras fórmulas na Tabela são casos especiais da fórmula (4). 
 
2. Para demonstrar as fórmulas (7) e (8) fazemos a = i na fórmula (6). Segue-se 
L
.
))((
1
)(
222222     sis ss isisis isise ti
 
 
Por outro lado, pelo Teorema 1, 
L
)( tie 
L 
 )(cos tisent 
 L
it )(cos
L
).( tsen
 
Igualando as partes real e imaginária destas equações, obtemos as fórmulas (7) e (8). 
 
3. A fórmula (10) pode ser demonstrada de maneira semelhante. Outras transformadas podem ser 
oriundas empregando a propriedade importante seguinte. 
Teorema 2 (Primeiro Teorema do Deslocamento). Se L
)()( sFf 
 quando s > a, segue-se que 
L   )()( asFtfate  (s >  + a); 
isto é, a substituição de s por s - a na transformada corresponde à multiplicação da função 
original por eat. 
Demonstração. Por definição, 
F s e f t dtst( ) ( )


0
 
e, portanto, 
 



 dttfeedttfeasF
atstas t )([)()(
0
)(
0
L )(tfate 
Exemplos: 
 
Enunciamos a seguir condições suficientes simples para a existência da transformada de 
Laplace de uma função. Estas condições consistem em que f seja contínua em intervalos (piecewise 
continuous) e |f| não cresça demasiadamente rápido à medida que t se aproxima do infinito. Inicialmente 
damos a definição de continuidade em intervalos. 
Uma função f’(t) é dita contínua em intervalos sobre um intervalo finito a  t  b, se ela é 
definida no intervalo e é tal que o intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos, em 
 
 
 
cada um dos quais f’(t) é contínua e possui limites finitos quando t se aproxima de cada extremidade a 
partir do interior. 
Decorre da definição que os saltos finitos são as únicas descontinuidades que uma função 
contínua em intervalos pode possuir; estas são conhecidas como descontinuidades ordinárias. Além do 
mais, é claro que a classe das funções contínuas em intervalos inclui todas as funções contínuas. 
Teorema 3 (Teorema de Existência) Seja f’(t) uma junção que é contínua m intervalos sobre qualquer 
intervalo finito em t > 0 e satisfaz a 
(2) 
f t Meat( ) 
 para qualquer t > 0 e para 
certas constantes  e M. Então, a transformada de Laplace existe para todo s > . 
Demonstração. Como f’(t) é contínua em intervalos, e-st f’(t) é integrável sobre qualquer 
intervalo finito sobre o eixo t e de (2), 
L
)(f

as
M
dtseMdtatMestedttfstedttfste
t





 )(00)(0)(0
 s >  
Isto completa a demonstração. 
As condições do Teorema 3, são práticas para a maioria das aplicações, e é simples 
determinar se uma função satisfaz ou não a uma desigualdade da forma (2). Por exemplo, satisfazem à 
condição (2) 
(3) cosh t < et, tn < n! et (n = 0, 1, ...) para qualquer t > 0 
e qualquer função que é limitada em valor absoluto para todo t  0, tal como um seno ou um 
co-seno de uma variável real. Um exemplo de função que não satisfaza uma relação da forma (2) é a 
função et2, porque, por maiores que escolhamos os números M e  em (2) 
e t2
 > Meat para qualquer t > t0 
onde t0 é um número suficientemente grande que depende de M e . 
Devemos notar que as condições no Teorema 3 são suficientes em lugar de necessárias. Por 
exemplo, a função 
1
t
 é infinita para t = 0, mas sua transformada de Laplace existe; de fato, de 
acordo com a definição e tendo em vista que 
  12  
, obtemos 
L
  .
2
112
1
0
12
1
0
2
1
ss
dxxxe
s
dttstet















  
Se a transformada de Laplace de uma dada função existe, ela é determinada de maneira 
unívoca. Reciprocamente, podemos mostrar que duas funções que possuem a mesma transformada 
não podem diferir sobre um intervalo de cumprimento positivo, se bem que elas possam diferir em 
vários pontos isolados. Como isto não possui importância nas aplicações, podemos dizer que a inversa 
de uma dada transformada é essencialmente única. Em particular, se duas funções contínuas possuem 
a mesma transformada, elas são completamente idênticas. 
 
 
 
2. Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrais 
A derivação e a integração de f’(t) correspondem à multiplicação e divisão da transformada: 
)(sF
L 
 f
 
 A importância desta propriedade da transformação de Laplace é porque desta maneira as 
operações do cálculo infinitesimal podem ser substituídas por simples operações algébricas sobre as 
transformadas. 
Teorema 1 (Derivada de f’(t)). Suponhamos que f’(t) seja contínua para t  0, e possua uma derivada 
f’(t) contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito situado em 
 t  0. Então a transformada de Laplace da derivada f’(t) existe, quando s > 

 e 
(1) L (f’’) = sL (f) - f(0) s > 

 
Demonstração. Consideramos em primeiro lugar o caso em que f’(t) é contínua para t  0. Então, de 
acordo com a definição e mediante uma integração por partes: 
L
.)(0
0
)()('0)'( dttf
stestfstedttfsef
t 






 

 
Quando f’(t) é contínua em intervalos, a demonstração é bem semelhante; neste caso, o 
intervalo de integração da integral original deve ser dividido em intervalos parcial tais que f’ seja 
contínua em cada um deles. Aplicando (1) à derivada de segunda ordem f’(t), obtemos: 
L (f’) = s L (f’) – f’ (0) = s[s L (f) – f (0)] – f (0) isto é, 
 (2) L (f’’’) = s2 L (f) – sf (0) – f ’ (0) 
Semelhantemente, (3) 
 L (f’’’’) = s3 L (f) – s2 f (0) – sf’ (0) – f’’’ (0) 
 Por indução, obtemos então a seguinte extensão do Teorema 1: 
Exemplos: 
Teorema 2 (Derivada de Ordem n Qualquer). Sejam f’(t) e suas derivadas f’(t), f”(t),..., f(n-1)(t) funções 
contínuas para t 0, que satisfazem (2), para certos valores de 

 e de M, e seja a derivada f(n)(t) 
contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito na faixa t 0. Então, a transformada de Laplace de 
f(n)(t) existe quando s > 

, e é dada pela fórmula 
 (4) L (f n) = sn L
       .0...0'0 121   nnn ffsfsf