Rotação de eixos

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GEOMETRIA ANALÍTICA I 
Dirce Uesu Pesco
08/05/2012
Rotação dos eixos
CÔNICAS
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS
 Equação geral do segundo grau a duas variáveis x e y
onde A, B e C não são simultaneamente nulos 
 Se A=B=C=0, então Dx + E y + F = 0 , equação da 
reta no plano.
 Caso I : B=0 
 Caso II : 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS
 Equação geral do segundo grau a duas variáveis x e y
onde A, B e C não são simultaneamente nulos 
 Caso II : 
 Vimos exemplos de circunferência, parábola, elipse e 
hipérbole para o caso B=0
Teorema:
Se os eixos coordenados são girados de um ângulo θ em torno de 
sua origem O como ponto fixo e se as coordenadas de qualquer 
ponto P são (x,y) e (x´,y´) antes e depois da Rotação, respecti-
vamente, então as equações de transformação das antigas para as 
novas coordenadas são:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Observe a figura. Seja P(x,y)
ordenada AP sobre o eixo x,
ordenada A’P sobre o eixo x’,
segmento OP, tal que
Considere o ângulo entre POA’ 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
Substituindo, tem-se 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
Substituindo, tem-se 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
Substituindo, tem-se 
hipérbole equilátera.
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
Substituindo, tem-se 
hipérbole equilátera.
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:
Considere a equação do segundo grau . Sabendo que,
Determine a natureza da curva. 
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Foi dado o ângulo de rotação para a equação xy = 2.
Como podemos saber de antemão o ângulo de rotação?
Como podemos determinar a rotação conveniente, para determinar
a natureza da curva?
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Foi dado o ângulo de rotação para a equação xy = 2.
Como podemos saber de antemão o ângulo de rotação?
Como podemos determinar a rotação conveniente, para determinar
a natureza da curva?
Exercício: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva.
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Foi dado o ângulo de rotação para a equação xy = 2.
Como podemos saber de antemão o ângulo de rotação?
Como podemos determinar a rotação conveniente, para determinar
a natureza da curva?
Exercício: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva.
Obs: O ângulo de rotação do exercício é de . Como determinar?
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Como determinar o ângulo de rotação? 
Considere a equação do segundo grau, 
Onde
Vamos aplicar as equações de rotação em (*),
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Como determinar o ângulo de rotação? 
Considere a equação do segundo grau, 
Onde
Vamos aplicar as equações de rotação em (*),
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Como determinar o ângulo de rotação? 
Considere a equação do segundo grau, 
Onde
Vamos aplicar as equações de rotação em (*),
Agrupando os termos semelhantes nas novas variáveis, temos: 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Agrupando os termos semelhantes nas novas variáveis, temos:
onde : 
Se em (*), podemos determinar um ângulo de rotação tal
que o termo misto seja eliminado, ou seja, B’ = 0 em (**) 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Se em (*), podemos determinar um ângulo de rotação tal
que o termo misto seja eliminado, ou seja, B’ = 0 em (**) 
Dois casos a considerar:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Se em (*), podemos determinar um ângulo de rotação tal
que o termo misto seja eliminado, ou seja, B’ = 0 em (**) 
Dois casos a considerar:
Se , 
Se 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Se em (*), podemos determinar um ângulo de rotação tal
que o termo misto seja eliminado, ou seja, B’ = 0 em (**) 
Dois casos a considerar:
Se , como , então 
Se 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Se em (*), podemos determinar um ângulo de rotação tal
que o termo misto seja eliminado, ou seja, B’ = 0 em (**) 
Dois casos a considerar:
Se , como , então 
Se 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Se em (*), podemos determinar um ângulo de rotação tal
que o termo misto seja eliminado, ou seja, B’ = 0 em (**) 
Dois casos a considerar:
Se , como , então 
Se 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Resumindo
Teorema: A equação geral do segundo grau
quando , pode ser transformada em 
(onde falta o termo misto) por rotação dos eixos coordenados 
tal que: 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo:Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva?
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva?
Solução:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva?
Solução:
Como
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva?
Solução:
Como
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva?
Solução:
Como
Como 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva?
Solução:
Como
Como 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exemplo: Considere a equação do segundo grau
Determine a natureza da curva?
Solução:
Como
Como 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Para determinar as variáveis da equação:
Somando os termos abaixo:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Para determinar as variáveis da equação:
Somando os termos abaixo:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Para determinar as variáveis da equação:
Somando os termos abaixo:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Para determinar as variáveis da equação:
Somando os termos abaixo:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Para determinar as variáveis da equação:
Somando os termos abaixo:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Para determinar as variáveis da equação:
Somando os termos abaixo:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Para determinar as variáveis da equação:
Somando os termos abaixo:
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Em resumo, dada a equação
onde 
Para determinar as coordenadas dos focos, vértices, centro, assín-
totas e diretriz, quando existirem, determine o ângulo de rotação θ,
tal que:
Se 
Se
(*) pode ser transformada em 
onde seus coeficientes são ia suqe: 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando 
existirem.
A= 4 como A = C 
B = 2
C = 4
D=E=0 
F=-15 
Determine os coeficientes de 
Então, subst em temos
Elipse com eixo focal em y’. 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando 
existirem.
Elipse com eixo focal em y’.
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando 
existirem.
Elipse com eixo focal em y’.
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando 
existirem.
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando 
existirem.
A= 11 como
B =
C = 1
D=E=0 
F=-32 
Determine os coeficientes de 
Então, subst. em temos
Hipérbole com eixo focal em x’. 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando 
existirem.
hipérbole com eixo focal no eixo x’
e centro em (0,0).
Usando obtém-se as coordenadas dos vértices e focos 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando 
existirem.
Assintotas:
Usando
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Mostre que se
Então : 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Mostre que
e 
Use as seguintes identidades trigonométricas: 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando existirem.
Solução: 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando existirem.
Solução: 
A = 9, B = -24, C=16, D=-40 E=-30 
Usando e 
e (calcule)
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando existirem.
Solução: 
A = 9, B = -24, C=16, D=-40 E=-30 
Usando e
Observe na figura o ângulo de rotação! 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando existirem.
Solução: 
A = 9, B = -24, C=16, D=-40 E=-30.
Vamos calcular os coeficientes de
Então 
Parábola com eixo focal paralelo ao eixo x’. 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando existirem.
Solução: Parábola com eixo focal paralelo ao eixo x’. 
Diretriz 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Exercício: Determine a natureza da equação
Encontre seus vértices, focos, centro, assíntotas e diretriz quando existirem.
Use o Geogebra para auxiliar na construção da figura, mas somente após 
resolver algebricamente toda a questão conforme indicado nos exercícios 
anteriores. 
CÔNICAS – ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS