Exercício de Cálculo Numérico

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xercício: CCE0117_EX_A1_201505462771 Matrícula: 201505462771 
Aluno(a): CLEMILDES DOS SANTOS Data: 01/12/2016 21:04:17 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201505684259) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2). 
 - 3/4 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201505661701) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se: 
 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201505619671) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 -5 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201506135969) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, 
em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, 
o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento 
matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam 
números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR: 
 
 Estas funções possuem em suas 
representações gráficas pontos que são 
denominados vértice da parábola. 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201505619669) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 -8 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201505755972) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é 
definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao 
domínio Rassocia o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 Função quadrática. 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201505755962) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, respectivamente. Se a matriz transposta de 
(ABC) é do tipo 5 x 4, então m + n + p + r é 
 
 16 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201505744506) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P-
Q. Determine o valor de a + b + c + d + e: 
 
 15 
 
Aluno: CLEMILDES DOS SANTOS Matrícula: 201505462771 
Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Considere o conjunto de instruções: Enquanto A ≥ B faça A = A - B Fim enquanto Se os 
valores iniciais de A e B são, respectivamente, 12 e 4, determine o número de vezes que 
a instrução será seguida. 
 
 
 
 3 
 
 
 
2. 
 
 
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
 
 
 
 apenas I é verdadeira 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, 
sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, 
o valor de a é: 
 
 
 
 2 
 
 
 
4. 
 
 
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o 
conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. 
Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de 
soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao 
cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
 
Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não 
analíticos de obtenção do resultado. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. 
Qual o erro relativo associado? 
 
 
 
 0,8% 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
6. 
 
 
Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e 
encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 
1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo. 
 
 
 
 
 0,1667 
 
 
 
 
7. 
 
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método 
da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os 
erros absoluto e relativo valem, respectivamente: 
 
 
 
 2.10
-2 e 1,9% 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
8. 
 
 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua 
representação por um valor aproximado" apresenta a definição de: 
 
 
 
 Erro absoluto 
 
Aluno: CLEMILDES DOS SANTOS Matrícula: 201505462771 
Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em 
torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 
 
 Bisseção 
 
 
 
2. 
 
 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos 
extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1 
 
 
 
 1 e 2 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da 
raiz, e os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração 
seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 
 
 
 
 1,5 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o 
intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração 
seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: 
 
 
 
 [1,10] 
 
 
 
5. 
 
 
Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos 
numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um 
destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se 
conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 
2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método 
de investigação das raízes. 
 
 
 
 [2,3] 
 
 
 
 
6. 
 
 
Os métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma 
função de uma variável real, consistem em determinar a solução (ou soluções) real ou 
complexa "c" a partir de processos iterativos iniciados por umvalor x0. Com relação às 
afirmações a seguir, identifique a FALSA. 
 
 
 
 
No método da bisseção, utilizamos o fato de que se f(a).f(b)>0, sendo "a" e "b" as 
extremidades de um intervalo numérico, então pode-se afirmara que f(x0)=0 para 
algum valor de x0 neste intervalo. 
 
 
 
7. 
 
 
A função f(x)=2x-3x=0 possui dois zeros: um no intervalo [0,1] e outro no intervalo 
[3,4].Obtenha os zeros dessa função, respectivamente, em ambos intervalos usando o método da 
bisseção com ε=10-1 com 4 decimais. 
 
 
 
 0,4375 e 3,3125 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e 
os valores iniciais para pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração 
seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 
 
 
 
 -6 
 
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Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método 
das Secantes. Assim, considerando-se como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 
2,4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 
 
 
 
 
 2,63 
 
 
 
2. 
 
 
Em nossa vivência matemática, lidamos com diversas funções, incluindo 
aquelas denominadas de transcendentais (seno, cosseno, exponencial, 
logarítma etc) e as funções polinomiais, que seguem o padrão 
f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+....+an, onde os coeficientes designados pela 
letra "a" são, no âmbito de nosso estudo, números reais. Para resolver 
equações expressas com estes tipos de funções, podemos utilizar 
métodos numéricos entre os quais o Método do Ponto Fixo ou Método 
Iterativo Linear. Considerando as características deste método, 
só NÃO podemos citar: 
 
 
 
 
 
O método do ponto fixo é utilizado para funções, contínuas ou não, que apresentam 
alguma raiz em um intervalo numérico. [a,b]. 
 
 
 
3. 
 
 
Em Ciência, é comum nos depararmos com equações em relação as quais 
devemos determinar raízes por métodos não analíticos, mas sim por 
métodos numéricos. Entre os métodos famosos, encontra-se o 
denominado Método de Newton-Raphson, que se baseia em obter 
sucessivas aproximações da raiz procurada a partir da expressão 
xn+1=xn- f(x) / f'(x), onde f '(x) é a primeira derivada da função. 
Considerando estas informações, determine após duas interações o valor 
da raiz da equação x2+x-6=0 partindo-se do valor inicial x0=1,5. Assinale 
a opção CORRETA. 
 
 
 
 
 Valor da raiz: 2,00. 
 
 
 
 
4. 
 
 
O Método do Ponto Fixo é largamente utilizado para a obtenção de 
raízes de equações polinomiais, utilizando uma função equivalente que, 
alimentada com um valor inicial x0, poderá convergir para um valor 
representante da raiz procurada. Considerando a equação x2+x-6=0 e a 
técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a 
g(x0)=√(6-x) e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há 
convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA. 
 
 
 
 
 
 
 Há convergência para o valor 2. 
 
 
 
5. 
 
 
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de 
raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. 
Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do 
ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique 
se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique 
a resposta CORRETA. 
 
 
 
 
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz. 
 
 
 
 
6. 
 
 
O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) 
como: f(x)=φ(x)-x=0, assim para calcular a raiz da equação x2-
3x+ex=2 empregando o MPF, determine qual função abaixo NÃO 
corresponde a uma função de iteração. 
 
 
 
 
 
 
 φ(x)=-x2+3x+2 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a função polinomial f(x) = 2x5 + 4x + 3. Existem vários 
métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, 
Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos 
como ponto inicial x0= 0 a próxima iteração (x1) será: 
 
 
 
 
 -0,75 
 
 
 
8. 
 
 
Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até 
que o critério de convergência seja satisfeito. Pode ser um critério de 
parada, considerando ε a precisão: 
 
 
 
 
 O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 
 
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Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
O Método de Gauss-Jacobi representa uma poderosa ferramenta que utilizamos para 
resolver sistemas lineares, baseado na transformação de um sistema Ax=B em um 
sistema xk=Cx(k-1)+G. Neste Método, comparamos as soluções obtidas em duas iterações 
sucessivas e verificamos se as mesmas são inferiores a uma diferença considerada como 
critério de parada. Considerando o exposto, um sistema de equações lineares genérico 
com quatro variáveis x1, x2, x3 e x4 e um critério de parada representado por 0,050, 
determine qual a menor interação que fornece uma solução aceitável referente a variável 
x1: 
 
 
 
 Terceira interação: |x1
(3) - x1(2)| = 0,030 
 
 
 
2. 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. 
Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
 
 Sempre são convergentes. 
 
 
 
3. 
 
 
Um dos métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações lineares é aquele 
denominado Método de Gauss-Seidel. Porém, o método só nos conduz a uma solução se 
houver convergência dos valores encontrados para um determinado valor. Uma forma de 
verificar a convergência é o critério de Sassenfeld. Considerando o sistema a seguir e os 
valore dos "parâmetros beta" referentes ao critério de Sassenfeld, escolha a 
opção CORRETA. 
 5x1+x2+x3=5 
 3x1+4x2+x3=6 
 3x1+3x2+6x3=0 
 
 
 
 Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema converge. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Na resolução de sistemas de equações lineares é possívela a utilização de métodos 
diretos, como o de Gauss-Jordan. Com relação aos métodos diretos é correto afirmar 
que: 
 
 
 
 
Fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de 
arredondamento. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
5. 
 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O 
cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas 
lineares assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
 
Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares 
deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial 
escolhida, o métodopode não convergir para a solução do sistema. 
 
 
 
 
6. 
 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema 
utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes 
métodos: 
 
 
 
 
o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não 
conseguir. 
 
 
 
 
7. 
 
 
O método de Gauss-Jacobi é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. 
Como todo método iterativo, existe a possibilidade ou não de convergência. Um dos 
critérios adotados para garantir a convergência é denominado: 
 
 
 
 Critério das linhas 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos 
expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um 
sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a 
relação destes sistemas. 
 
 
 
 Método de Newton-Raphson. 
 
 Gabarito Comentado 
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Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial 
de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método 
como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), 
(3,7) e (2,5). 
 
 
 
 y=2x+1 
 
 
 
 
 f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados. 
 
 
 
 
3. 
 
 
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um 
experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e 
(2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a 
função M1 gerada é igual a: 
 
 
 
 -x
2 + 2x 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
4. 
 
 
Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método 
de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função: 
 
 
 
 3x - 1 
 
 
 
 
5. 
 
 
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um 
experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e 
(2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a 
função M0 gerada é igual a: 
 
 
 
 (x
2 - 3x + 2)/2 
 
 
 
 
6. 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor 
que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de 
encontrá-lo, dentre as quais podemos citar: 
 
 
 
 o método de Lagrange 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método 
de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo 
pode representar este polinômio? 
 
 
 
 X
19 + 5X + 9 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
8. 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos 
pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) 
que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios 
abaixo pode ser P(x) 
 
 
 
 Um polinômio do terceiro grau 
 
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Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da 
integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos. 
 
 
 
 0,242 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
2. 
 
 
A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a 
integração de polinômios de que grau? 
 
 
 
 
 primeiro 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os ¨n¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) Suponha 
que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos 
pelo método de Newton. A fórmula de Newton para o polinômio 
interpolador impõe que 
 
 
 
 
 Que a função e as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] 
 
 
 
4. 
 
 
 
O valor de aproximado da integral definida utilizando 
a regra dos trapézios com n = 1 é: 
 
 
 
 
 20,099 
 
 
 
5. 
 
 
Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até 
que o critério de convergência seja satisfeito. Que desigualdade abaixo 
pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a 
precisão desejada: 
 
DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real. 
 
 
 
 
 Mod(xi+1 - xi) < k 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
6. 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais 
definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta 
resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como 
regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o 
intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b 
¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da 
integral definida: 
 
 
 
 
 Varia, aumentando a precisão 
 
 
 
 
7. 
 
 
Integrais definidas de uma função podem ser interpretadas como a área 
sob a curva limitada a um determinado intervalo, porém a execução do 
cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, 
necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. 
Considerando o exposto, determine a área sob a função f(x)=x2+1 no 
intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o 
resultado com três casas decimais. 
 
 
 
 
 
Integral = 
1,760 
8. 
 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos 
retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos 
congruentes. Aplicando este método para resolver a integral 
definida com a n = 10, cada base h terá que valor? 
 
 
 
 
 
 0,2 
 
 Gabarito Comentado 
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Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, 
exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros 
métodosatravés de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através 
R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a 
integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha 
R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas 
decimais. 
 
 
 
 0,351 
 
 
 
 
2. 
 
 
Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da 
Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da 
Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-
b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, 
considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha 
R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas 
decimais. 
 
 
 
 0,313 
 
 
 
 
3. 
 
 
Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos 
fornecem boas aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. 
Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela que apresenta expressão 
relacionada a este método. 
 
 
 
 R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] 
 
 
 
4. 
 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas 
numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo 
diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
 
Permite a 
obtenção 
de diversos 
pontos que 
originam 
uma função 
passível de 
integração 
definida. 
5. 
 
Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as 
seguintes afirmações: 
 
I - É um método de alta precisão 
II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo 
método do trapézio 
III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
 
 
É correto afirmar que: 
 
 
apenas 
I e 
II são 
corretas 
6. 
 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este 
método é correto afirmar que: 
 
 
 
 
É um método de pouca precisão 
 
 
Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do 
trapézio 
 
 
 
7. 
 
 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e 
superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 
^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h. 
 
 
 
 1/2 
 
 
 
8. 
 
 
Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais 
definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. 
Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg: 
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios 
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos 
trapézios 
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter 
aproximações preliminares 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 
 
 
 Todas as afirmativas estão erradas. 
 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 
Aluno: CLEMILDES DOS SANTOS Matrícula: 201505462771 
Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá 
ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo 
de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma 
curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os 
pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. 
 
 
Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e 
passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 3 
 
 
 
 
2. 
 
 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de 
equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é 
igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto 
associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
 1,34 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
3. 
 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos 
equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de 
funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem 
é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução 
do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" 
representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere 
o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
 2 
 
 
-1 
 
 
 
 
4. 
 
 
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com 
a condição inicial dada, considerando duas divisões do intervalo entre x0 e 
xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
 
 
 
 1,6667 
 
 
 
5. 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y 
+ 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2] 
em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, 
determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
 
 
 3 
 
 
7 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a E.D.O. y¿ = x + y, com a condição de contorno y(0) = 1 e h=1. A solução da EDO 
empregando o método de Euler calculada no intervalo [0; 5] é: (Demonstre os cálculos) 
 
 
 
 58 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y 
+ 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em 
apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, 
determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada. 
 
 
 
 23 
 
 Gabarito Comentado 
Aluno: CLEMILDES DOS SANTOS Matrícula: 201505462771 
Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua 
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões 
que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, 
onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição 
inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição. 
 
 
 
 
0,5 
 
 
2 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
0,25 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, 
onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial 
é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição. 
 
 
 
 
1/2 
 
 
1 
 
 0 
 
 
3 
 2 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a E.D.O. y' = x + y, com a condição de contorno y(0) = 1 e h=1. A solução da EDO empregandoo 
método de Euler calculada no intervalo [0; 4] é: (Demonstre os cálculos) 
 
 
 
 27 
 
 
2 
 
 
58 
 
 12 
 
 
5 
 
 
 
 
4. 
 
 
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com a condição 
inicial dada, considerando que não há divisão do intervalo entre x0 e xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
 
 
 
 1,0000 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a equação diferencial y'= e2x, sendo y uma função de x. Sua solução 
geral é 
 y(x)=(e2x/2) + C , onde C é uma constante. Se a condição inicial é tal que 
 y(12)=e2, determine o valor de C para esta condição. 
 
 
 
 C = 0 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dado o problema de valor inicial xy' = x - y e y(2) = 2, 
determine y(2,01) com h = 0,1. 
 
 
 
 
1,02 
 
 2,0002 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A 
solução geral desta EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um número irracional 
cujo valor aproximado é 2,718. Considerando a condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da 
constante k para esta condição. 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
8. 
 
 
Considere a equação diferencial y=e3x, sendo y uma função de x. Sua solução 
geral é y(x) = (e3x/3) + C , onde C é uma constante. Se a condição inicial é tal 
que y(13)=e3, determine o valor de C para esta condição. 
 
 
 
 C = 0 
 
Avaliação: CCE0117_AV1_201505462771 » CÁLCULO NUMÉRICO 
Tipo de Avaliação: AV1 
Aluno: 201505462771 - CLEMILDES DOS SANTOS 
Professor: 
ACACIO PONTES CALLIM 
JULIO CESAR JOSE RODRIGUES JUNIOR 
Turma: 9022/AV 
Nota da Prova: 10,0 de 10,0 Nota do Trab.: 0 Nota de Partic.: 0 Data: 08/10/2016 18:32:36 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201506135886) Pontos: 1,0 / 1,0 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da 
variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do 
tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em 
função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica 
f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos 
fornece informação sobre a angulação da reta. 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201506135969) Pontos: 1,0 / 1,0 
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, 
em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, 
o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento 
matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam 
números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR: 
 
 Estas funções possuem em suas representações 
gráficas pontos que são denominados vértice da 
parábola. 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201505619681) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro 
relativo. 
 
 0,026 E 0,023 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201505619682) Pontos: 1,0 / 1,0 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor 
aproximado" apresenta a definição de: 
 
 Erro 
absoluto 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201506136044) Pontos: 1,0 / 1,0 
Os métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável 
real, consistem em determinar a solução (ou soluções) real ou complexa "c" a partir de processos iterativos 
iniciados por um valor x0. Com relação às afirmações a seguir, identifique a FALSA. 
 
 No método da bisseção, utilizamos o fato de que se f(a).f(b)>0, sendo "a" e "b" as extremidades de 
um intervalo numérico, então pode-se afirmara que f(x0)=0 para algum valor de x0 neste intervalo. 
 
No método da falsa posição, existe um critério de parada para os processos reiterados adotados, 
semelhante ao que podemos verificar em outros métodos numéricos. 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201506136049) Pontos: 1,0 / 1,0 
Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção 
de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva 
divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. 
Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado 
no método de investigação das raízes. 
 
 
[5,6] 
 [2,3] 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201506126178) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor 
arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e 
encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: 
 
 Método de Newton-Raphson 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201506136068) Pontos: 1,0 / 1,0 
Em Ciência, é comum nos depararmos com equações em relação as quais devemos determinar raízes por 
métodos não analíticos, mas sim por métodos numéricos. Entre os métodos famosos, encontra-se o 
denominado Método de Newton-Raphson, que se baseia em obter sucessivas aproximações da raiz procurada 
a partir da expressão xn+1=xn- f(x) / f'(x), onde f '(x) é a primeira derivada da função. Considerando estas 
informações, determine após duas interações o valor da raiz da equação x2+x-6=0 partindo-se do valor inicial 
x0=1,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 Valor da raiz: 2,00. 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201506136673) Pontos: 1,0 / 1,0 
Ao realizarmos a modelagem matemática de um problema analisado pela pesquisa operacional, acabamos 
originando um sistema de equações lineares que, na maioria das vezes, devido a sua grande extensão exige 
bastante nos processos de resolução. Para nos auxiliar nesta árdua tarefa, existem os métodos numéricos, nos 
quais a representação matricial do sistema de equações é essencial. 
Considerando o sistema a seguir, encontre a opção que o represente através de uma matriz aumentada ou 
completa. 
 
x +3z=2 
5y+4z=8 
4x+2y=5 
 
 1 3 0 2 
0 4 5 8 
4 0 2 5 
 
 1 2 0 3 
0 8 5 4 
4 5 2 0 
 
 1 2 0 3 
4 5 8 0 
1 2 0 3 
 
 1 0 3 2 
0 5 4 8 
4 2 0 5 
 
 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201506136087) Pontos: 1,0 / 1,0 
Um dos métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações lineares é aquele denominado Método de 
Gauss-Seidel. Porém, o método só nos conduz a uma solução se houver convergência dos valores encontrados 
para um determinado valor. Uma forma de verificar a convergência é o critério de Sassenfeld. Considerando o 
sistema a seguir e os valore dos "parâmetros beta" referentes ao critério de Sassenfeld, escolha a 
opção CORRETA. 
 5x1+x2+x3=5 
 3x1+4x2+x3=6 
 3x1+3x2+6x3=0 
 
 
Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge. 
 
Beta 1= 1,4, beta 2=0,8 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge. 
 Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema converge. 
 
Beta 1= 0,3, beta 2=0,2 e beta 3=0,8, o que indica que o sistema converge. 
 
Beta 1= 0,2, beta 2=0,9 e beta 3=0,4, o que indica que o sistema converge.