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1 CADERNO DE MATEMÁTICA NOVO ENEM (II) •Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais;grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos;posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências;trigonometria do ângulo agudo. I. ÂNGULOS 1. Definição Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto. Em que: OA e OB são os lados do ângulo. O é o vértice do ângulo. Ângulos importantes medida ângulo figura graus radianos reto 90º 2 raso 180º de uma volta 360º 2 Observação: 1º = 60' (1 grau = 60 minutos) 1' = 60'' (1 minuto = 60 segundos) 2. Ângulo agudo É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto. O A B Indica-se: AOB ^ ou O A B O B A O A B 2 3. Ângulo obtuso É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. 4. Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. 5. Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. 6. Ângulos opostos pelo vértice São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro. 7. Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes. + 90º + 180º e são opostos pelo vértice. e são opostos pelo vértice. bissetriz 3 8. Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados: Ângulos correspondentes: a e , b e , c e , d e Ângulos alternos internos: c e , d e Ângulos alternos externos: a e , b e Ângulos colaterais internos: c e , d e Ângulos colaterais externos: a e , b e Propriedades: Ângulos alternos internos são congruentes. Ângulos alternos externos são congruentes. Ângulos correspondentes são congruentes. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine: a) o ângulo que somado ao dobro do seu complemento vale 140º. b) o ângulo que somado à quarta parte do seu suplemento vale 90º. 2. A soma de dois ângulos é 126º e um deles vale o dobro do complemento do outro. Determine esses dois ângulos. 3. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 80º. Calcule esses dois ângulos sabendo que a medida de um deles é igual a 3 5 da medida do outro. 4. Na figura, sabendo que AB // DE , determine a medida do ângulo x. 5. (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo mede: a) 7 8 rad b) 5 16 rad c) 7 4 rad d) 7 16 rad e) 5 8 rad 6. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10º e x + 50º. Um deles mede: a) 20º b) 70º c) 30º d) 80º e) 50º 7. (UFMG) Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AOB ^ , ON é a bissetriz do ângulo BOC ^ e OP é a bissetriz do ângulo COD ^ . A soma POD ^ + MON ^ é igual a: a) 2 rad b) 4 rad c) 6 rad d) 3 rad e) rad r s a b c d t A B C D E 25º 120º x O D A M P B C N 4 d) 1 e) 0 8. (FGV-SP) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r // u. O valor, em graus, de (2x + 3y) é: a) 64º c) 520º e) 580º b) 500º d) 660º 9. (EPCAR) Na figura, considere que r // s. Com relação ao número que expressa a medida do ângulo x, pode-se afirmar que é um a) número ímpar. b) divisor de 30. c) múltiplo de 7. d) múltiplo comum de 4 e 16. e) número primo maior que 18. 10. (UFES) Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3 + vale: a) 225º b) 195º c) 215º d) 175º e) 185º 11. (MACK-SP) Na figura, AB¯¯ é paralelo a CD¯¯ . O valor de sen x é: a) 2 2 b) 3 3 c) 1 2 II. TEOREMA DE TALES Um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais. Consequência 20º 120º y x u r t s r s 2x + 90º 4x 68 x r s 15º 90º 120º A C B D 75º 45º x Hipótese: r1 // r2 // r3 t1 e t2 são transversais Tese: AB¯¯ BC¯¯ = DE¯¯ EF¯¯ r1 r2 r3 t1 t2 A D B E C F A M N B C A M N B C A M N B C 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12. (CESGRANRIO-RJ) As retas r1, r2 e r3 são paralelas e ox comprimentos dos segmentos de transversais são indicados na figura. então x é igual a: a) 4 1 5 b) 15 2 c) 5 d) 8 5 e) 6 13. (MACK-SP) Na figura abaixo, temos a // b // c. O valor de x é: a) 3 2 b) 3 c) 4 3 d) 2 e) 1 14. (U.F. Uberlândia-MG) Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t nos pontos indicados na figura. Sabendo-se que MR 6 cm, os valores dos segmentos PM, OS e QS são, respectivamente: a) 9 cm; 15 cm; 10 cm b) 15 cm; 10 cm; 9 cm c) 10 cm; 15 cm; 9 cm d) 10 cm; 9 cm; 15 cm e) 9 cm; 10 cm; 15 cm III. POLÍGONOS 1. Nomenclatura Seja o polígono da figura. r1 r2 r3 x 15 1 1 5 3 3 4x + 1 2 3x a b c s r r t P M S R Q A B C D Em que: A, B, C e D são os vértices do polígono. AB¯¯ , BC¯¯ , CD¯¯ e DA¯¯ são os lados do 6 Quando todo e qualquer par de pontos R e S, tomados na região poligonal, determinar um segmento RS¯¯ completamente interno à região, o polígono é convexo. Caso contrário o polígono é não-convexo ou côncavo. Tipos de polígonos convexos: triângulo — 3 lados quadrilátero — 4 lados pentágono — 5 lados hexágono — 6 lados heptágono — 7 lados octógono — 8 lados eneágono — 9 lados decágono — 10 lados undecágono — 11 lados dodecágono — 12 lados pentadecágono — 15 lados icoságono — 20 lados 2. Número de diagonais de um polígono O número de diagonais d de um polígono de n lados é dado por: 3. Soma das medidas dos ângulos internos e externos Considere o polígono de n lados da figura. Si i1 + i2 + … + in 2Si (n 2) 180º 2 Se e1 + e2 + … + en 2Se 360º 2 Observações: 1. Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e ângulos congruentes, logo: A F B C D E d = n(n 3) 2 A1 A2 A3 A4 An i1 i2 i3 i4 in e1 e2 e3 e4 en a e a e a e a e a e ae a e a e a i a i a i a i a i a i a i a i Ângulo interno ai = 2 Si n 2 Ângulo externo ae = 2 Se n = 360º n 2 7 2. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15. (PUC-SP) Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 36º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º 16. (FEI-SP) O ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 o número de lados é: a) 60º b) 72º c) 108º d) 150º e) 120º 17. (ITA-SP) A soma das medidas dos ângulo internos de um polígono regular é 2160º. Então o número de diagonais desse polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 18. (MACK-SP) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 7 2 do seu ângulo externo é: a) icoságono. b) dodecágono. c) decágono. d) eneágono. e) octógono. 19. (FGV-SP) A soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono é: a) 900º b) 1080º c) 1260º d) 1800º e) 2340º 20. (MACK-SP) O número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440º, é: a) 20 b) 27 c) 35 d) 44 e) n.r.a. RESPOSTAS 1- 40º e 60º 5-D 9-B 13-D 17-C 2- 540 e 72º 6-A 10-B 14-C 18-D 3- 60º e 100º 7-A 11-C 15-E 19-C 4- x=85º 8-B 12-E 16-E 20-C ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo Central É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. 2 = AB ⁀ 2 A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele enxerga. 4. Ângulo Inscrito É o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os seus lados são cordas. A B O 8 = AB ⁀ 2 2 A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele enxerga. Observação: Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. 5. Ângulo de Vértice Interno = AB ⁀ + CD ⁀ 2 2 A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados. 6. Ângulo de Vértice Externo = AB ⁀ CD ⁀ 2 2 A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados. 7. Ângulo de Segmento É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à circunferência. A V B O A B C D V C D A B V A B C O ABC é retângulo. A B O 9 = AB ⁀ 2 2 A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco por ele determinado. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 1. Relação entre duas cordas Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra. 2. Relação métrica das secantes. Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte inteira. 3. Relação métrica entre secante e tangente. Quando, de um ponto exterior, traçamos uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a média proporcional entre a medida da secante inteira e a medida de sua parte externa. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01-(UFSC) No teste abaixo, dê o somatório das afirmações corretas. Dada a circunferência de centro O, onde AB¯¯ é uma corda e t é uma tangente no ponto B, então, com base na figura abaixo, é correto afirmar: 01. OB¯¯ é perpendicular a t. 02. O ângulo ABC ^ () é um ângulo de segmento, e o ângulo AVB ^ () é um ângulo inscrito. 04. + 90º 08. 16. 1 2 O B D A C P PA PB PC PD B D C A P O PA PB PC PD (PA)2 PB PC B C P O R A t V A B C O t 10 32. 1 2 02- (FGV-SP) A medida do ângulo ADC ^ inscrito na circunferência de centro O é: a) 125º b) 110º c) 120º d) 100º e) 135º 03-(UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. A medida do ângulo assinalado é: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º 04-(Unissantos-SP) Na figura abaixo, o valor de x é: a) 31º b) 38º c) 48º d) 50º e) 60º 05-(MACK-SP) O quadrilátero ABCD da figura é inscritível. O valor de x é: a) 36º b) 48º c) 50º d) 52º e) 54º 06-(CESGRANRIO-RJ) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo . Se o arco AMB ⁀ mede 130º, o ângulo mede: a) 25º b) 30º c) 40º d) 45º e) 50º 07-(UCBA) A medida do ângulo x, representado na figura, é: a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º O A B C D 35º 20º O 100º x P O A B 3 raio = 3 O x 128º C B A D B O A M 80º x 11 e) 30º 08-(UFES) Na figura, a medida de , em graus, é: a) 50º b) 52º c) 54º d) 56º e) 58º 09-(FATEC-SP) Na figura ao lado, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Se 150º e 50º, então é igual a: a) 30º b) 45º c) 35º d) 15º e) 20º 10-(PUC-SP) No círculo, O é o centro, AB¯¯ 2 e AC¯¯ 3. Então vale: a) 75º b) 60º c) 45º d) 30º e) 15º 11-(ITA-SP) Considere uma circunferência de centro O e diâmetro AB. Tome um segmento BC¯¯ tangente à circunferência de modo que o ângulo ABC ^ meça 30º. Seja D o ponto de encontro da circunferência com o segmento AC¯¯ e DE¯¯ o segmento paralelo a AB¯¯, com extremidade sobre a circunferência. A medida do segmento DE¯¯ será igual a: a) metade da medida de AB¯¯. d) dois terços da medida de AB¯¯. b) um terço da medida de AB¯¯. e) metade da medida de AE¯¯ . c) metade da medida de BC¯¯ . 12-(VUNESP-SP) Sejam A, B, C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo: a) é acutângulo. c) é obtusângulo. e) pode ser eqüilátero. b) é retângulo. d) não é isósceles. 13-(UFES) Inscreve-se um triângulo numa semicircunferência cujo diâmetro coincide com um dos lados do triângulo. Os outros lados do triângulo medem 5 cm e 12 cm. O raio da circunferência mede: a) 13 2 cm b) 13 cm c) 15 2 cm d) 5 cm e) faltam dados para calcular tal raio. 14-(FUVEST-SP) O valor de x na figura é: a) 20 3 b) 3 5 c) 1 O E D C M B A A C O B C B O A 2 x 3 10 12 d) 4 e) 5 15-(UEFS-BA) Na figura, são dados AE¯¯ EC¯¯ = 1 3 , BE¯¯ = 8 cm e ED¯¯ 6 cm.O comprimento de AC¯¯ , em cm, é: a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 16-(EPCAR-SP) De um ponto P, traça-se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o segmento PT¯¯ da tangente mede 8 cm de o segmento PB¯¯ da secante mede 16 cm, qual deve ser, em m 2 , a área do círculo, se a secante contém o diâmetro do mesmo? a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36f) 17-(MACK-SP) Na figura, AB¯¯ 7 m, AD¯¯ 6 m e DE¯¯ 4 m. Então BC¯¯ é igual a: a) 24 7 m b) 5 m c) 12 m 1 1 d) 11 m e) n.r.a. 1 1 18-(PUC-SP) Na circunferência da figura, de centro O e raio igual a 9 m, sabe-se que a tangente PB¯¯ 2 PA¯¯ . A distância do ponto P à circunferência é: a) 12 m b) 24 m c) 6 m d) 3 m e) n.r.a. RESPOSTAS Questões A lt e rn a ti v a s 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 63 B C D E D A B C O T A B P A D B E C O A C B P 13 E Área das Principais Figuras Planas A tabela a seguir mostra as fórmulas usadas para calcular a área das principais figuras planas. Elas serão muito utilizadas em Geometria métrica espacial. Retângulo a b S = ab Quadrado a S = a a 2 Paralelogramo S =ah a h Trapézio b h B (B + b)h 2 S = Losango 2 Dd S = D d ATIVIDADES DE SALA 01.Ache a área total da figura a seguir. 80 cm 80 cm 140 cm 30 cm 02.Ache a área de um retângulo, sabendo que a diagonal mede 10m e o perímetro é igual a 28m. 03.(Cesgranrio) Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4m 2 . Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais de metragem a ladrilhar. Calcule a metragem de ladrilhos que se deve comprar. 04.(UFPE) Na figura abaixo, P é o ponto médio do segmento AD do paralelogramo ABCD. Calcule a área, em metros quadrados, do triângulo APB sabendo-se que a área do paralelogramo é 136m 2 . A B CD P 05.A área do trapézio da figura é igual a 22m 2 . Calcule x. BXA D C9 m 3 m 14 06.Veja as medidas de um terreno pentagonal, na figura. 40 m30 m 40 m 30 m a) Determine a área da superfície desse terreno. b) Calcule o preço do terreno se o metro quadrado custa R$ 30,00. 07.Um losango é interno a uma circunferência de 6cm de raio, de maneira que a diagonal maior do losango coincide com o diâmetro da circunferência. Sabendo que um dos ângulos internos do losango tem 60°, calcule a área desse losango. 08.Seu José possui um terreno retangular e pretende dividi-lo entre seus quatro filhos de maneira que cada um deles receba um terreno também retangular, de acordo com a figura abaixo. Se as áreas de três desses terrenos são 125,6 m, 109,9 m 2 e 105 m 2 , determine, em m 2 , a metade da área do quarto terreno. 09.As três paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de jornais serão pintadas com tinta esmalte. Algumas dimensões da banca aparecem na figura abaixo. 3, 0 m 2, 5 m 2,5 m 4,0 m A parede do fundo é retangular e as outras duas são trapézios retângulos congruentes. Cada lata da tinta usada permite pintar 4m 2 . Nessas condições, a quantidade de tinta necessária para executar a tarefa é a) 4 latas e meia b) 5 latas c) 5 latas mais 4 1 de lata d) 5 latas e meia e) Entre 5 latas e meia e 6 latas 10.A área do trapézio retângulo, representado na figura, é igual a Obs: utilize 7,13 6 cm 5 cm 60º a) 19,50 cm 2 b) 25,50 cm 2 c) 33,15 cm 2 d) 39,00 cm 2 e) 40,80 cm 2 Triângulo qualquer 2 A b h 2 2 Triângulo eqüilátero 2 A a 2 3 4 2 Triângulo escaleno 2A p(p a)(p b)(p c) 2 p a + b + c 2 (semi-perímetro) h b a a a a c b 15 Triângulo qualquer dado um ângulo ATIVIDADES DE SALA 01.Ache a área de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é igual a 45dm. 02.(Vunesp-SP) A área de um triângulo retângulo é 12dm 2 . Se um dos catetos é 3 2 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse triângulo. 03.(FGV-SP) Na figura, AD é perpendicular a AB , A Dˆ B = 30°, A Cˆ B = 60° e DC = 10cm. Calcule a área do triângulo DCB. 10 cmD B AC 60°30° 04.A área de um triângulo pode ser calculada em função das medidas a, b e c de seus lados. Basta usar a fórmula, atribuída ao matemático grego Herão (séc. I d.c.). S = c) - (p . b) - (p . a) - (p . p , onde p = 2 c b a . Calcule a área do triângulo ABC da figura, onde as medidas indicadas estão em centímetros. A 8 C9B 7 05.Calcule a área do hexágono regular da figura. E F A B C D 20 cm 06.Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 cm. A área do triângulo BCE, em cm 2 , é: a) 3 2 b) 2 3 c) 23 d) 32 e) 3 07. Observe estas figuras: 30 40 40 90 Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12cm na parte da frente da casa. Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado dessa casa é de: a) 0,72 m 2 a c b A B C A ab sen C ^ 2 A bc sen A ^ 2 A ac sen B ^ 2 16 b) 0,96 m 2 c) 1,22 m 2 d) 1,44 m 2 08. Na figura abaixo vemos uma “malha” composta de 55 retângulos iguais. Em três dos nós da malha são marcados os pontos A, B e C, vértices de um triângulo. Considerando-se a área S de cada retângulo, a área do triângulo ABC pode ser expressa por: a) 24 S b) 18 S c) 12 S d) 6 S e) 4 S 09. Na figura ao lado, cada quadradinho da malha tem lado 1. A área do quadrilátero ABCD é: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 10. Internamente ao quadrado ABCD foram construídos dois triângulos eqüiláteros de lados iguais a 4, conforme figura. A B CD E A área do triângulo BCE é: a) 8 b) 34 c) 2 d) 22 e) 3 34 RelaçõesTrigonométricas no Triângulo Retângulo C a b A Bc ATIVIDADES DE SALA seno hipot. oposto cat. co-seno hipot. adjac. cat. tangente adjac. cat. oposto cat. 17 01. (FUVEST-SP) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AB um ângulo de 30°. Sabendo-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h. após 3 horas de percurso, a distância a que o móvel se encontra de AB é de: a) 75 km b) 75 3 km c) 50 3 km d) 75 2 km e) 50 km 02. (PUC-RS) De um ponto A, no solo, visando a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30° e 45°, respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a: A 45° 30° C B a) 3 b) 2 c) 2 3 d) 2( 3 +1) e) 2( 3 +3) 03. (UNIFOR-CE) Um coqueiro tem 6 m de altura e seu topo é visto dos pontos A e B, sob ângulo de45° e 30°, como representa a figura a seguir. A 30° 6 45° B Se esses pontos estão alinhados com base do coqueiro, quantos metros, aproximadamente, A dista de B? (para seus cálculos, suponha que 2 = 1,4 e 3 = 1,7) a) 9,5 b) 9,6 c) 12 d) 16,4 e) 18,9 04. (VUNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão e a mesma altura. Se AB = 2m e BĈA mede 30°, então a medida da extensão de cada degrau é: A CB a) m 3 32 b) m 3 2 c) m 6 3 d) m 2 3 e) m 3 3 GABARITO 01-A 02-D 03-D 04-E Relações num Triângulo Qualquer I. Lei dos Senos As medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro da circunferência circunscrita. A a R C c O B b II. Lei dos Cossenos O quadrado de um lado, é a soma dos quadrados dos lados restantes, menos o duplo produto desses dois lados pelo co-seno do ângulo que eles formam. 2R Csen c Bsen b Asen a a2 = b2 + c2 – 2 . b . c cos A b2 = a2 + c2 – 2 . a . c cos B c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C 18 ATIVIDADES DE SALA 01- (UNIFOR-CE) Na figura abaixo os ângulos têm as medidas indicadas em graus e os segmentos têm as medidas indicadas em centímetros. 30° 2 45° 1105° valor de x é: a) 2 )13.(2 b) 2 23 c) 2 5 d) 23 e) 5 02-(CENTEC-BA) Considere-se um triângulo ABC, de lados a, b e c, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Se a = 3 cm, b = 1 cm e C = 120°, então o perímetro desse triângulo mede: a) (4- 13 ) cm b) 4 cm c) (4 + 7 ) cm d) (4 + 13 ) cm e) 17 cm 03-(UNIP-SP) Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual a x, então a área do círculo, em cm 2 , será igual a: a) 50 b) 75 c) 100 d) 125 e) 150 04-(FATEC-SP) Dada a figura: onde o ângulo AĈD = e o comprimento de AC = 3: a) BC = 3 sen b) BC = -3 cos c) BC = 3 1 tg d) BC = -3 sen e) BC = 3 cos 05. (VUNESP-SP) O quadrilátero abaixo representa a planta de um terreno plano. Seus ângulos internos B e C medem, respectivamente, 90° e 135° e os lados AB , BC , CD têm o mesmo comprimento, igual a 30 m. Nestas condições, a área do terreno vale, em m 2 : D BA C135° 30 30 a) 450 . ( 3 + 1) b) 450 . ( 2 + 1) c) 450 . ( 3 - 1) d) 450 . ( 2 -1) e) 450 06. (MACK-SP) A área do triângulo OPQ assinalada na figura é: 4 __ x Q O a) 4 15 b) 8 15 c) 2 d) 3 e) 4 07. (CESGRANRIO) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120°. A maior diagonal desse paralelogramo mede: a) 5 b) 6 c) 40 d) 37 e) 6,5 08. (FGV-SP) Qual é a área do triângulo da figura abaixo: 8 45°30° 24105° a) 4 b) ( 2 +1) c) 8 ( 3 +1) d) 2 ( 2 +1) e) ( 3 +1) GABARITO 01-A 02-D 03-C 04-B 05-B 06-B 07-D 08-C Círculo 1 19 R C S = R 2 Setor Circular S = 2 R2 360 R2 S = Em graus Em radianos R C Coroa Circular S = (R - r )2 2 R Cr Segmento Circular RC E m rad ianos S = R 2 2 ( - sen ) ATIVIDADES DE SALA 01.Sabendo que r = 10cm, calcule a área da região hachurada na figura. r r r r 02.Ache a área da região hachurada da figura. Dados: R1 = 3m, R2 = 5m. 03.Uma praça é formada de um retângulo de comprimento 100m e largura 40m e dois semi-círculos com o diâmetro coincidindo como lado menor do retângulo. 3 m 40 m 3 m 100 m Em torno da praça será construída uma calçada de 3m de largura, cujo preço por metro quadrado é de R$ 50,00. Calcule o custo total desse projeto. 04.Calcule a área de um setor circular de amplitude 120°, num círculo de diâmetro 30cm. 05.Dois círculos concêntricos têm raios iguais a 50cm e 40cm, conforme indica a figura. 30° Calcule a área da superfície rachurada. 06.Calcule a área do segmento circular da figura abaixo. Use = 3,14 e 3 = 1,73. R 2 R 1 20 C 6 cm 6o° 07. O comprimento da curva representada pela figura é: 1 8 0 º 1 2 0 º 1 5 0 º 1 8 c m 1 2 c m 3 0 c m 1 8 c m 1 2 c m 3 0 c m a) 53 b) 60 c) 120 d) 43 e) 96 08. Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo. Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia? a) 122,8 cm b) 102,4 cm c) 92,8 cm d) 50 cm e) 32,4 cm 09. No final de um curso de Geometria, o professor fez um experimento para saber a razão entre os diâmetros de duas bolinhas de gude de tamanhos diferentes. Primeiro, colocou a bola menor num recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível da água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, colocando a bola maior, observou que o nível da água subiu 12,0 mm. O professor concluiu que a razão entre o diâmetro da bola maior e o diâmetro da bola menor é igual a: a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 10. Se todos os círculos da figura são de raio igual a 5 metros, o comprimento do caminho de A até B que passa pelos centros dos círculos é a) m2100 b) m211 c) m110 d) m21010 e) igual à metade do perímetro do retângulo. 11. Na figura, ABCD é um quadrado e o arco AP tem centro em D. Se a área assinalada mede 8 4 , o perímetro do quadrado é igual a: 21 A B CD P a) 2 b) 24 c) 4 d) 2 e) 8 12. Na figura abaixo têm-se dois círculos concêntricos, de raios iguais a 4 cm e 8 cm, e a medida de um ângulo central, em radianos 0 10 A área da superficie sombreada, em centímetros quadrados, é igual a a) 5 16 b) 3 c) 5 12 d) 5 9 e) 5 4 PRISMA 1. Definição de prisma Sejam e dois planos paralelos distintos. Consideremos uma região poligonal com n lados contida em e uma reta r que intercepta os planos e nos pontos A e B respectivamente. Chama-se prisma, a união de todos os segmentos paralelos ao segmento de reta AB , com uma extremidade na região poligonal e a outra extremidade em . 2. Elementos A1A2A3…An e B1B2B3…Bn são polígonos côngruos e paralelos chamados de bases. 11BA , 22BA , … nnBA são segmentos côngruos e paralelos chamados arestas laterais. Os segmentos 3221 AA,AA , … n1n AA , 1nAA , 3221 BB,BB , … n1n BB , 1nBB são chamados arestas das bases. A1A2B2B1, A2A3B3B2, … são paralelogramos chamados faces laterais. 3. Classificação Prisma reto é todo prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases. Prisma oblíquo é todo prisma cujas arestas laterais são oblíquas aos planos que contém as bases. Prisma regular é todo prisma reto cuja base é um polígonoregular. 4. Nomenclatura Os prismas são chamados triangulares, quadrangulares, pentagonais, etc, conforme as bases sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc. Triangular Quadrangular Pentagonal 5. Áreas B B B B B A A AA A A A B B 2 1 3 h 1 2 4 3 r r S h s 4 22 Área de uma face lateral é a área de um dos polígonos que constitui uma face lateral do prisma. Se o prisma for regular, todas as faces laterais terão mesma área. Área lateral é a soma das áreas de todas as faces laterais de um prisma. Área total é a soma das áreas de todas as faces do prisma. Assim, sendo AL a área lateral de um prisma, AB a área de uma das bases e AT a área total, temos: AT = 2 . AB + AL h A B 6. Volume Definição Volume de um sólido é um número, associado a ele, que exprime a razão existente entre o espaço por ele ocupado e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária. Volume dos primas O volume V de um prisma com área da base AB e altura h, é dado por: V = AB . h PARALELEPÍPEDO E CUBO 1. Paralelepípedo Paralelepípedo é todo prisma cujas bases são paralelogramos. PARALELEPÍPEDO RETO PARALELEPÍPEDO OBLÍQUO 2. Paralelepípedo reto-retângulo Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo é todo paralelepípedo reto cujas bases são retângulos. 3. Área total A B F G E C D H c b a No paralelepípedo reto-retângulo da figura, de dimensões a, b e c, temos: AABCD = AEFGH = a . b ABFGC = AAEHD = a . c AABFE = ADCGH = b . c Assim, sendo AT a área total do paralelepípedo, temos: AT = 2 . (ab + ac + bc) 4. Volume Sendo V o volume de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c, e considerando um dos retângulos cujos lados medem a e b, por exemplo, como base, temos: V = AB . h = (a . b) . c V = a . b . c A B hc b a 5. Diagonal Sejam D a medida da diagonal AG do paralelepípedo reto- retângulo de dimensões a, b e c da figura e d a medida da diagonal EG da face EFGH. No triângulo retângulo EFG temos: (EG) 2 = (FG) 2 + (EF) 2 d 2 = a 2 + b 2 No triângulo retângulo AEG temos: (AG) 2 = (EG) 2 + (AE) 2 D 2 = d 2 + c 2 Assim, D 2 = a 2 + b 2 + c 2 D = 222 cba A B F G E C D H c b a 6. Cubo Cubo é todo paralelepípedo reto-retângulo cujas seis faces são quadradas, ou seja, a = b = c. Num cubo de aresta a, sendo AT a área total, D a medida da diagonal e V o volume do cubo, temos: At = 6a 2 , D = a 3 e V = a 3 23 D a a a ATIVIDADES (PRISMAS) 01) Considere caixas iguais com a forma de um prisma retangular como a representada na figura. 12 cm 20 cm 5 cm Uma certa quantidade dessas caixas é reunida para se ter um pacote com a forma de um prisma retangular, como se vê na figura abaixo. O volume do pacote, usando o metro cúbico como unidade, a) é igual a 19 m3. b) está entre 0,5 m3 e 0,8 m3. c) é igual a 1,9 m3. d) está entre 0,1 m3 e 0,3 m3. e) é inferior a 0,02 m3. 02) Na figura abaixo tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e EFDE . A D B F C E Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é a) 144 b) 156 c) 160 d) 168 e) 172 03) Considere o paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas medem 5, 1 e 3 , como mostra a figura. Um plano passando por uma aresta forma com a base um ângulo de 60º e divide o paralelepípedo em dois sólidos. O volume do sólido que contém PQ é: 60º P Q 5 1 3 a) 314 b) 2/39 c) 2/37 d) 2/3 e) 3/3 04) Suponha que o bolo mostrado na tira abaixo apóie-se sobre um suporte circular feito de chocolate que, por sua vez, encontra-se sobre uma mesa de madeira de tampo retangular, cujas dimensões são 0,90 m de comprimento, 0,80 m de largura e 0,02 m de espessura. Assim, a parte dura que o Cebolinha mordeu diz respeito apenas a um pedaço do tampo da mesa. 24 Fonte: Jornal O Estado de S. Paulo – 13/10/01 Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma regular triangular, cuja aresta da base mede 6 cm, o volume de madeira do pedaço equivale a que porcentagem do volume do tampo da mesa? (Use 7,13 ) a) 0,2125% b) 0,425% c) 2,125% d) 4,25% e) 21,25% GABARITO 01-E 02-D 03-B 04-A PIRÂMIDES 1. Definição e elementos Dados um plano , um ponto V, tais que V e uma região poligonal S do plano , chama-se pirâmide à união de todos os segmentos VP onde P S. O ponto V é denominado vértice e a região poligonal S é denominada base da pirâmide. A A V B B C C h V D D P S E F F Na pirâmide da figura temos: Arestas laterais: ,VC,VB,VA Faces laterais: VAB, VBC, VCD, … Arestas da base: ,CD,BC,AB Altura da pirâmide: h (distância de V a ) 2. Natureza As pirâmides são triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais, … etc, conforme suas bases sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, … etc. 3. Pirâmide Reta e Pirâmide Regular Uma pirâmide é RETA quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano é o centro do polígono da base. Uma pirâmide é denominada REGULAR quando é reta e o polígono da base é regular. A M B g V E D h O F C R a Na pirâmide regular da figura, temos: a) OA = R é o raio da circunferência circunscrita à base e é denominado simplesmente raio da base; b) OM = a é denominado apótema da base; c) VM = g é denominado apótema da pirâmide (altura de uma face lateral); d) g 2 = a 2 + h 2 e) (VA) 2 = R 2 + h 2 4. Cálculo de áreas e volumes Para qualquer pirâmide, tem-se: Área lateral (A1) É a soma das áreas das faces laterais da pirâmide. Assim: A1 = A1 + A2 + A3 … , + An, onde A1, A2, A3, …, An são as áreas das faces laterais. Área total (A1) É a soma da área lateral e a área da base Assim: At = Al + Ab Volume (V) É a Terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura. Assim: V = hAb 3 1 TETRAEDRO REGULAR E TRONCOS DE PIRÂMIDES 1. Tetraedro regular É a pirâmide triangular que possui as seis arestas congruentes entre si. a a a a a A altura, a área total e o volume de um tetraedro regular de aresta a são dados, respectivamente, por: 25 h = 3 6a A t = 3a2 V = 12 23a 2. Secção Paralela à base de uma pirâmide A’ A B’ B C’ Secção C H Quando interceptamos todas as arestas laterais da pirâmide por um plano paralelo à base, que não contém esta e nem o vértice, obtemos uma secção poligonal tal que: 1) As arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma razão: H h VC VC VB VB VA VA ''' 2) A secção obtida e a base são polígonos semelhantes. 3) A razão entre as áreas da secção (As) e da base (Ab) é igual ao quadrado da razão entre suasdistâncias ao vértice. 2 b s H h A A 4) A razão entre o volume da pirâmide menor (v), que foi formada pela intersecção do plano e o volume da pirâmide maior (V) é igual ao cubo da razão entre suas alturas. 3 H h V v 5) A “parte” (região) da pirâmide compreendida entre a base e a citada secção é denominada TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS. ATIVIDADES (PIRÂMIDES) 01) Uma pirâmide de base quadrada e altura h é cortada por um plano paralelo à base, a uma altura h/2, conforme a figura. A razão entre o volume do tronco da pirâmide abaixo de e o volume da pirâmide menor formada acima de é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. 02) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12cm e apótema da base medindo 5cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 20% b) 16% c) 15% d) 12% e) 10% 03) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m 3 , então, o volume do cubo, em m 3 , é igual a: a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 04) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m e que a altura da pirâmide será de 4m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será 26 a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4. 05-Considere uma pirâmide regular de base quadrada, cujo comprimento da aresta da base é igual a 2cm. Efetuando-se um corte, na pirâmide, paralelo a essa base na altura de 1cm, o tronco dessa pirâmide, assim obtido, tem valor igual a 3 3 5 cm . Dessa forma, a altura da pirâmide é igual a a) cm 5 224 b) cm 7 122 c) cm 7 24 d) cm 3 524 e) cm 7 622 GABARITO 01-E 02-E 03-D 04-D 05-E CILINDROS 1. Definição e elementos Sejam e planos paralelos (distintos), r uma reta interceptando os planos e e S uma região circular contida em a, que não tem ponto em comum com r. Chama-se cilindro de base circular a união de todos os segmentos 'QQ paralelos a r, com Q e Q’ . Q Q’ A A’ S h h é altura do cilindro (distância entre a e b) S é base do cilindro 'AA é geratriz g 2. Cilindro circular reto (cilindro de revolução) Definição e Elementos Cilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução é o sólido gerado por uma rotação completa de uma região de retângulo em torno de um de seus lados. BC é o eixo do cilindro AD é a geratriz da superfície lateral AB = DC = R é o raio da base A B D R C Secção Meridiana É a intersecção do cilindro com um plano que contém o seu eixo ( BC na figura anterior). A B D E F C O retângulo AEFD é uma secção meridiana do cilindro circular reto da figura. Cálculo de Áreas e Volumes Área da Base (Ab) É a área de um círculo de raio R. Assim: Ab = R 2 Área Lateral (Al) A superfície lateral é equivalente a um retângulo de dimensões 2R (comprimento da circunferência da base) e h Assim: Al = 2 R h 27 2 R 2 R h h R CORTE Área Total (At) É a soma das áreas das bases com a área lateral. Assim: At = Al + 2 . Ab Volume (V) Todo cilindro é equivalente a um prisma de mesma altura e mesma área da base. V = Ab . h 3. Cilindro eqüilátero É todo cilindro de base circular cuja secção meridiana é um quadrado. h AA’ B B’ RR A secção meridiana A’ABB’ é um quadrado. Assim: h = 2R ATIVIDADES (CILINDRO) 01) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras abaixo. Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, a quantidade preparada, em litros, foi de: Use = 3,14 a) 1,95 b) 1,64 c) 1,58 d) 1,19 e) 1,01 02) Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos, como mostra a figura a seguir. Entre um copo e outro, existe uma divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o formato de um cilindro circular reto, com altura de 14cm e volume de 126 cm 3 . Com base nesses dados, pode-se dizer que o comprimento interno da caixa de papelão, em cm, será igual a: (use =3,14). a) 36 b) 41 c) 12 d) 17 e) 48 03) Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e base com 20cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40cm, conforme indicado na figura. 60cm 20cm 40cm Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobre 25%. 28 Considerando igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: a) 210 b) 3 210 c) 1210 d) 3 1210 04) Carlos é um rapaz viciado em beber refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros de altura com uma base de 2 metros de diâmetro e pensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se ele estivesse cheio de refrigerante diet?” Considerando = 3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet por dia, pose-se afirmar que ele consumirá o líquido do reservatório em um período de: a) 86 dias. b) 86 meses. c) 86 anos. d) 8,6 anos. e) 860 meses. GABARITO 01-B 02-B 03-D 04-D CONES 1. Definição e elementos Seja um plano , um ponto V e um círculo contido em . Chama-se cone circular a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo considerado. V h g No cone circular da figura têm-se os seguintes elementos: - Vértices: É o ponto V citado na definição. - Base É o círculo citado na definição - Altura É a distância (h) do vértice ao plano da base. - Geratrizes: São os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base. - Raio da base É o raio do círculo g citado na definição. 2. Cone reto Definição e Elementos Um cone circular é dito reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Na figura, temos: VO = h é altura do cone OB = R é o raio da base. VB = g é a geratriz g 2 = h 2 + R 2 V g B R 0 h Secção Meridiana É a intersecção do cone reto com um plano que contém a reta VO (eixo de rotação). A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles, cuja área é dada por:ASM = R . h V g B A 0 h O triângulo isósceles VAB é uma secção meridiana do cone circular reto da figura. Desenvolvimento das Superfícies Lateral e Total de um Cone Reto A superfície lateral de um cone circular de raio da base R e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco tem comprimento 2 R. 29 SETOR 2 R R BASE g R Assim, sendo Ab a área da base, Al a área lateral e At a área total desse cone circular reto, temos: Ab = R 2 Al = 2 R2g Al = R g At = Al + Ab At = R (g + R) Volume do Cone Todo cone é equivalente a uma pirâmide de base equivalente e de mesma altura. V = 3 hAb ou V = 3 hR2 3. Cone eqüilátero Um cone circular reto é dito eqüilátero quando a sua secção meridiana é um triângulo eqüilátero: V gg h B RR A No cone eqüilátero da figura, tem-se AB = AV = BV. Assim: g = 2 R e h = R 3 TRONCO DO CONE 1. Tronco de cone de bases paralelas Seccionando-se um cone por um plano paralelo à base do mesmo, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um tronco de cone de bases paralelas. r H R Sendo R e r os raios das bases e h a altura do tronco de cone de bases paralelas, tem-se que a sua área total e o seu volume são dados respectivamente por: Al = g . (R + r) e V = 3 H (R 2 + r 2 + R . r) ATIVIDADES (CONE) 01) Na rotação triângulo ABC da figura abaixo em torno da reta r, o lado AB descreve um ângulo de 270°. Desta forma, o sólido obtido tem volume: . A B C 6 4 r a) 48 b) 144 c) 108 d) 72 e) 36 02) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão a b entre as dimensões do paralelepípedo é 2 3 e o volume do cone é . Então, o comprimento g da geratriz do cone é 30 a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11 03) Um abajur em formato de cone eqüilátero está sobre uma escrivaninha, de modo que, quando aceso, projeta sobre esta um círculo de luz (veja figura abaixo). Se a altura do abajur, em relação à mesa, for H = 27 cm, a área do círculo iluminado, em cm 2 , será igual a a) 243. b) 270. c) 250. d) 225. 04) Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que sua capacidade é de 100 ml, a altura h é igual a: 1 0 c m h a) 20 cm b) 16 cm c) 12 cm d) 8 cm e) 4 cm 05-O volume do sólido gerado pela rotação completa da figura a seguir, em torno do eixo e, é, em cm 3 : 2 cm 3 cm 3 cm e 6 cm a) 38 b) 54 c) 92 d) 112 e) 128 06-Um depósito de água, de 2m de altura, tem forma de um “pedaço” de um cone. Os segmentos de reta contidos nas laterais com extremidades nas retas de mesma direção que contêm os diâmetros dos círculos da base e superior, quando prolongados, interceptam-se no ponto V, que dista 6m do centro do círculo da base. Dado que o raio do círculo superior mede 2m e o do círculo da base mede 1,5m, o volume do depósito é igual a: a) 8 m 3 b) 3m 6 37 c) 3m 3 40 d) 37 m 3 e) 25 m 3 GABARITO 01-E 02-D 03-A 04-C 05-E 06-B ESFERAS E PARTES 1. Superfície esférica É a superfície gerada pela revolução completa de uma semicircunferência. (ABA’) em torno de seu diâmetro (AA’), como mostra a figura. 31 A área de uma superfície esférica de raio R é dada por: ASE = 4 R 2 O volume de uma esfera de raio R é dado por: Vesf = 3 4 R 3 Fuso esférico Af = o o2 90 R Cunha esférica Vc = o o3 270 R ATIVIDADES (ESFERA) 01) Uma fábrica de sucos estima que necessita de 27 laranjas de 8cm de diâmetro cada, para produzir um litro de suco concentrado. Para efeito dessa estimativa, a empresa assume que as laranjas são esferas. Contudo, devido às entressafra, as únicas laranjas disponíveis no mercado apresentam diâmetro de 6cm. Nessas condições, o número mínimo de laranjas necessárias para a produção de um litro de suco concentrado sra igual a a) 48 b) 54 c) 64 d) 70 02) Na famosa cidade de Sucupira, foi eleito um monumento de concreto com pedestal em forma de uma esfera de raio igual a 5m, em homenagem ao anti-herói “Zeca Diabo”. O cidadão “Nézinho do Jegue” foi informado de que, apesar de o preço do metro cúbico do concreto ser 260 reais, o custo total do concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil reais. Nézinho do Jegue verificou, então, que houve um superfaturamento a) menor que 50 mil reais. b) entre 50 e 200 mil reais. c) entre 200 e 300 mil reais. d) entre 300 e 400 mil reais. e) acima de 400 mil reais. Obs.: Considere = 3,14 03) A Medicina Alternativa tem conquistado importantes vitórias no combate às enfermidades modernas, graças ao idealismo de alguns médicos, nutricionistas, biólogos e naturistas que, ao redor do mundo, pesquisam o valor medicinal das frutas, dos legumes, das ervas, da argila e da água. Um tratamento sugerido por esses estudos indica a ingestão diária do suco de 1 limão no primeiro dia, dois limões no segundo dia, e assim sucessivamente, até o décimo dia, quando, então, se deve fazer a regressão para o suco de um limão por dia. Suponha que uma pessoa tenha resolvido fazer esse tratamento. No quinto dia, essa pessoa colocou o suco em uma taça cônica, de altura 120 mm e volume Vt. O suco ocupou um volume Vs, atingindo a altura de 90 mm. Considerando que cada limão tinha 5,4 ml de suco, é correto afirmar que a razão t s V V é a) 4 3 b) 64 9 c) 27 16 d) 64 27 e) 16 9 04)Observe esta figura: A D E B F C 32 Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3cm e ADEF é um quadrado, cujo lado mede 1cm.Considere o sólido gerado pela rotação de 360º, em torno da reta AB, da região hachurada na figura: Sabe-se que o volume de uma esfera de raio r é igual a 3 rπ4 3 . Assim sendo, esse sólido tem um volume de a) 14 cm 3 b) 15 cm 3 c) 16 cm 3 d) 17 cm 3 05)Internamente, a cúpula do teto de um teatro tem a forma da superfície de uma semi-esfera , cujo raio mede 4 m . Se um galão de tinta é suficiente para pintar 21m2, o número necessário de galões para realizar todo o serviço de pintura interna da cúpula é , aproximadamente... a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 06)Quatro esferas de raio 3m foram colocadas num plano e são tangentes duas a duas. Nestes pontos de contato foi aplicado um adesivo de modo que seus centros tornam-se vértices de um quadrado. Uma quinta esfera de mesmo volume foi colocada sobre as anteriores (tangente a elas). O volume da pirâmide cujos vértices são os centros das cinco esferas é, em m 3 , igual a: a) 224 . b) 236 . c) 248 . d) 260 . e) 272 . 07)Uma caixa cúbica de aresta 1m está vazia. No seu interior são colocadas 1 000 esferas maciças, cada uma delas com diâmetro de 10cm. Os espaços vazios são preenchidos com x litros de água. Em seguida, a caixa é esvaziada. Colocam-se agorano seu interior 1.000.000 de esferas maciças, cada uma delas com diâmetro de 1 cm. Os espaços vazios são preenchidos com y litros de água. É correto afirmar que a relação entre x e y é: a) x = 10y b) y = 10x c) x = 100y d) y = 100x e) x = y 08)Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo significa que a área do fuso esférico determinado por é: a) 20 m 2 . b) 15 m 2 . c) 10 m 2 . d) 5 m 2 . e) m 2 . GABARITO 01-C 02-D 03-D 4-D 5-D 6-B 7-E 8-A REVISÃO DE GEOMETRIA Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta. 01- (ENEM) Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais, tendo assim empregado: (A) 100 bolinhas. (B) 300 bolinhas. (C) 1000 bolinhas. (D) 2000 bolinhas. (E) 10000 bolinhas. 02-(ENEM) Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa idéia organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, como mostra a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela conseguiu colocar 33 na caixa: (A) 729 bolinhas. (B) 984 bolinhas. (C) 1000 bolinhas. (D) 1086 bolinhas. (E) 1200 bolinhas. As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura.O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas. 03-(ENEM) Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior número de voltas por pedalada? 04-(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde =3? (A) 1,2 m (B) 2,4 m (C) 7,2 m (D) 14,4 m (E) 48,0 m 05-(ENEM) Com relação ao funcionamento de uma bicicleta de marchas, onde cada marcha é uma combinação de uma das coroas dianteiras com uma das coroas traseiras, são formuladas as seguintes afirmativas: I. numa bicicleta que tenha duas coroas dianteiras e cinco traseiras, temos um total de dez marchas possíveis onde cada marcha representa a associação de uma das coroas dianteiras com uma das traseiras. II. em alta velocidade, convém acionar a coroa dianteira de maior raio com a coroa traseira de maior raio também. III. em uma subida íngreme, convém acionar a coroa dianteira de menor raio e a coroa traseira de maior raio. Entre as afirmações acima, estão corretas: (A) I e III apenas. (B) I, II e III. (C) I e II apenas. (D) II apenas. (E) III apenas. Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada. 06-(ENEM) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é: 34 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 07-(ENEM) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem realizadas é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 08-(ENEM) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: (A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. (B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. (C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. (D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. (E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 09-(ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume. A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é: 10-(ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m x 100m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08g. Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente: (A) 800. (B) 10000. (C) 320000. (D) 400000. (E) 5000000 11-(ENEM) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões: I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante. II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica. 1ª dobra 2ª dobra 35 III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de: (A) 30%. (B) 22%. (C) 15%. (D) 12%. (E) 5%. 12-(ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros. Os sólidos são fabricados nas formas de I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm. II. um cubo de aresta 2 cm. III. uma esfera de raio 1,5 cm. IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm. V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm. O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos (A) I, II e III. (B) I, II e V. (C) I, II, IV e V. (D) II, III, IV e V. (E) III, IV e V. 13-(ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição) A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deveráter a forma de um: (A) triângulo. (B) quadrado. (C) pentágono. (D) hexágono . (E) eneágono. 14-(ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é: 36 15-(ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 16-(ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível. Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas): Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de (A) 84 cm x 62 cm (B) 84 cm x 124 cm (C) 42 cm x 31 cm (D) 42 cm x 62 cm (E) 21 cm x 31 cm 17-(ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado,conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que (A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. (B) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. (C) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. (D) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. (E) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 18-(ENEM) Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de: (A) R$ 8,20. (B) R$ 8,40. (C) R$ 8,60. (D) R$ 8,80. (E) R$ 9,00. 19-(ENEM) Os três recipientes da figura têm formas diferentes,mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se : (A)V1 = V2 = V3 (B)V1 < V3 < V2 (C) V1 = V3 < V2 (D) V3 < V1 < V2 (E) V1 < V2 = V3 20-(ENEM) Uma artesa confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartoes de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras 37 abaixo). Unindo dois lados opostos do cartao, de duas maneiras, a artesa forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será: (A) o triplo. (B) o dobro. (C) igual. (D) a metade. (E) a terca parte. 21-(ENEM) Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão e igual a: (A) 1,8 m. (B) 1,9 m. (C) 2,0 m. (D)2,1 m. (E) 2,2 m. 22-(ENEM) Representar objetostridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898- 1972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensionais, a exemplo da litografia Belvedere, reproduzida ao abaixo. Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo tridimensional real? A) B) 38 C) D) E) 23-(ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a: A) 4 cm². B) 8 cm². C) 12 cm². D) 14 cm². E) 16 cm². 24-(ENEM) A figura ao abaixo mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, A )a quantidade de água economizada foi de 4,5 m³. B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm. C) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros. D ) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m³ de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas. 25-(ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulotenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3). 39 De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da seqüência apresentada acima é: A) B) C) D) E) 26-(ENEM) O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros. Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? A ) 25 min. D) 1,5 min. B )15 min. E) 0,15 min. C )2,5 min. 27-(ENEM) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB=BC/2, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5 é lado do quadrado. Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele A) duplicasse a medida do lado do quadrado. B )triplicasse a medida do lado do quadrado. C )triplicasse a área do quadrado. D )ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. E) ampliasse a área do quadrado em 4%. 28-(ENEM) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos. FIGURA A FIGURA B Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009. 40 É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça: A )1 após girá-la 90° no sentido horário. B )1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. C )2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. D )2 após girá-la 180° no sentido horário. E )2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. GABARITO 1-C 8-D 15-A 22-E 2-D 9-A 16-D 23-B 3-A 10-E 17-E 24-B 4-C 11-B 18-B 25-C 5-A 12-C 19-B 26-D 6-B 13-B 20-B 27-C 7-C 14-E 21-D 28-C
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