Lista 1 Equações Diferenciais

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Lista de exercícios nº 1 
 
*1) Verifique que 𝑦 = 𝑒−
𝑥
2 é uma solução da equação diferencial 2𝑦′ + 𝑦 = 0. 
 
*2) Verifique que 𝑦 =
6
5
−
6
5
𝑒−20𝑥 é uma solução da equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 20𝑦 = 24 = 0. 
 
**3) Verifique que 𝑦 = 𝑒3𝑥cos⁡(2𝑥) é uma solução da equação 𝑦′′ − 6𝑦′ + 13𝑦 = 0. 
 
**4) Verifique que 𝑦 = −(cos 𝑥). ln⁡(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥) é uma solução da equação 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑡𝑔𝑥. 
 
**5) Verifique que 𝑦 = 𝑥 + 4√𝑥 + 2 é uma solução da equação (y-x)𝑦′ = 𝑦 − 𝑥 + 8. 
 
**6) Verifique que 𝑦 = 5𝑡𝑔(5𝑥) é uma solução da equação 𝑦′ = 25 + 𝑦2. 
 
***7) Verifique que 𝑦 =
1
4−𝑥2
 é uma solução da equação 𝑦′ = 2𝑥𝑦2. 
 
***8) Verifique que 𝑦 = (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)−
1
2 é uma solução da equação 2𝑦′ = 𝑦3𝑐𝑜𝑠𝑥. 
 
*9) Verifique que 𝑦 = 𝑐. 𝑒𝑥 onde 𝑐 é uma constante é uma solução da equação 𝑦′ = 𝑦. 
 
**10) Verifique que 𝑦 =
1
𝑥2+𝑐
 onde 𝑐 é uma constante é uma solução de 𝑦′ + 2𝑥𝑦2 = 0. 
 
**11) Verifique que 𝑥 = 𝑐. cos(4𝑡) + 𝑘. 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) onde 𝑐 e 𝑘 são constantes é uma família de soluções 
da equação 𝑥′′ + 16𝑥 = 0. 
 
*12) Encontre o valor de 𝑚 para que 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 seja solução da equação 𝑦′ + 2𝑦 = 0. 
 
**13) Encontre o valor de 𝑚 para que 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 seja solução da equação 5𝑦′ = 2𝑦. 
 
***14) Encontre o valor de 𝑚 para que 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 seja solução da equação 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0. 
 
**15) Encontre o valor de 𝑚 para que 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 seja solução da equação 2𝑦′′ + 7𝑦′ − 4𝑦 = 0. 
 
***16) Encontre o valor de 𝑚 para que 𝑦 = 𝑥𝑚 seja solução da equação 𝑥𝑦′′ + 2𝑦′ = 0. 
 
***17) Encontre o valor de 𝑚 para que 𝑦 = 𝑥𝑚 seja solução de 𝑥2𝑦′′ − 7𝑥𝑦′ + 15𝑦 = 0. 
 
*18) Seja 𝑦 = 𝑐. 𝑒𝑥, onde 𝑐 é constante, uma solução de 𝑦′ = 𝑦, determine 𝑦 tal que 𝑦(0) = 3. 
 
**19) Seja 𝑦 = 𝑐. 𝑒𝑥 uma solução de 𝑦′ = 𝑦, determine 𝑦 tal que 𝑦(1) = −2. 
 
**20) Seja 𝑥(𝑡) = 𝑐. cos(4𝑡) + 𝑘. 𝑠𝑒𝑛(4𝑡), onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções da 
equação 𝑥′′ + 16𝑥 = 0, determine 𝑥(𝑡) tal que 𝑥 (
𝜋
2
) = −2 e 𝑥′ (
𝜋
2
) = 1. 
 
*21) Seja 𝑦 =
1
(1+𝑐𝑒−𝑥)
 onde 𝑐 é constante, uma solução para 𝑦′ = 𝑦 − 𝑦2, encontre a solução para o 
problema de valor inicial (PVI) que consiste nesta equação e na condição 𝑦(0) = −
1
3
. 
 
**22) Seja 𝑦 =
1
(1+𝑐𝑒−𝑥)
 onde 𝑐 é uma constante, uma solução da equação 𝑦′ = 𝑦 − 𝑦2, encontre a 
solução para o PVI que consiste nesta equação e na condição 𝑦(0) = −
1
3
. 
 
***23) Seja 𝑦 =
1
(1+𝑐𝑒−𝑥)
 onde 𝑐 é uma constante, uma solução da equação 𝑦′ = 𝑦 − 𝑦2, encontre a 
solução para o PVI que consiste nesta equação e na condição 𝑦(−1) = 2. 
 
***24) Seja 𝑦 =
1
𝑥2+𝑐
 onde 𝑐 é uma constante, uma solução da equação 𝑦′ + 2𝑥𝑦2 = 0, encontre a 
solução para o PVI que consiste nesta equação e na condição 𝑦(2) =
1
3
. 
 
***25) Seja 𝑦 =
1
𝑥2+𝑐
 onde 𝑐 é uma constante, uma solução da equação 𝑦′ + 2𝑥𝑦2 = 0, encontre a 
solução para o PVI que consiste nesta equação e na condição 𝑦(−2) =
1
2
. 
 
***26) Seja 𝑦 =
1
𝑥2+𝑐
 onde 𝑐 é uma constante, uma solução da equação 𝑦′ + 2𝑥𝑦2 = 0, encontre a 
solução para o PVI que consiste nesta equação e na condição 𝑦(0) = 1. 
 
***27) Seja 𝑦 =
1
𝑥2+𝑐
 onde 𝑐 é uma constante, uma solução da equação 𝑦′ + 2𝑥𝑦2 = 0, encontre a 
solução para o PVI que consiste nesta equação e na condição 𝑦 (
1
2
) = −4. 
 
*28) Seja 𝑥 = 𝑐. cos(𝑡) + 𝑘. 𝑠𝑒𝑛(𝑡), onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções de 𝑥′′ + 𝑥 = 0. 
Encontre uma solução para o PVI dadas as condições iniciais 𝑥(0) = −1 e 𝑥′(0) = 8. 
 
***29) Seja 𝑥(𝑡) = 𝑐. cos(𝑡) + 𝑘. 𝑠𝑒𝑛(𝑡), onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções de 
𝑥′′ + 𝑥 = 0. Encontre uma solução para o PVI dadas as condições iniciais 𝑥 (
𝜋
2
) = 0 e 𝑥′ (
𝜋
2
) = 1. 
 
***30) Seja 𝑥(𝑡) = 𝑐. cos(𝑡) + 𝑘. 𝑠𝑒𝑛(𝑡), onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções de 
𝑥′′ + 𝑥 = 0. Encontre uma solução para o PVI dadas as condições iniciais 𝑥 (
𝜋
6
) =
1
2
 e 𝑥′ (
𝜋
6
) = 0. 
 
***31) Seja 𝑥(𝑡) = 𝑐. cos(𝑡) + 𝑘. 𝑠𝑒𝑛(𝑡), onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções de 
𝑥′′ + 𝑥 = 0. Encontre uma solução para o PVI dadas as condições iniciais 𝑥 (
𝜋
4
) = √2 e 𝑥′ (
𝜋
4
) = 2√2. 
 
***32) Seja 𝑦 = 𝑐. ex + 𝑘. 𝑒−𝑥, onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções de 𝑦′′ − 𝑦 = 0. 
Encontre uma solução para o PVI dadas as condições iniciais 𝑦(0) = 1 e 𝑦′(0) = 2. 
 
**33) Seja 𝑦 = 𝑐. ex + 𝑘. 𝑒−𝑥, onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções de 𝑦′′ − 𝑦 = 0. 
Encontre uma solução para o PVI dadas as condições iniciais 𝑦(1) = 0 e 𝑦′(1) = 𝑒. 
 
***34) Seja 𝑦 = 𝑐. ex + 𝑘. 𝑒−𝑥, onde 𝑐 e 𝑘 são constantes, uma família de soluções de 𝑦′′ − 𝑦 = 0. 
Encontre uma solução para o PVI dadas as condições iniciais 𝑦(−1) = 5 e 𝑦′(−1) = −5. 
 
Respostas: 12) 𝑚 = −2 13) 𝑚 =
2
5
 14) 𝑚 = 2⁡𝑜𝑢⁡𝑚 = 3 15) 𝑚 = −4⁡𝑜𝑢⁡𝑚 =
1
2
 
16) 𝑚 = −1⁡𝑜𝑢⁡𝑚 = 0 17) 𝑚 = 3⁡𝑜𝑢⁡𝑚 = 5 18) 𝑦(𝑥) = 3𝑒𝑥 19) 𝑦(𝑥) = −2𝑒𝑥−1 20) 𝑥(𝑡) = −2. cos(4𝑡) +
1
4
. 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) 
21) 𝑦 =
1
(1−4𝑒−𝑥)
 22) 𝑦 =
1
(1−4𝑒−𝑥)
 23) 𝑦 =
1
(1−
1
2
𝑒−𝑥−1)
 24) 𝑦 =
1
𝑥2−1
 25) 𝑦 =
1
𝑥2−2
 26) 𝑦 =
1
𝑥2+1
 
27) 𝑦 =
1
𝑥2−
1
2
 28) 𝑥 = −cos(𝑡) + 8𝑠𝑒𝑛(𝑡) 29) 𝑥 = −cos(𝑡) 30) 𝑥 =
√3
4
cos(𝑡) +
1
4
𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
31) 𝑥 = −cos(𝑡) + 3𝑠𝑒𝑛(𝑡) 32) 𝑦 =
3
2
. ex −
1
2
. 𝑒−𝑥 33) 𝑦 =
1
2
. ex −
1
2
. 𝑒2−𝑥 34) 𝑦 = 5. 𝑒−𝑥−1