Cálculo Numérico ( apostila 1, 2, 3 )

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Apostila de Introdução
Aos Métodos Numéricos
PARTE II
2o Semestre - 2002
Profa. Salete Souza de Oliveira Buffoni
2
Índice
SISTEMAS LINEARES....................................................................................................................3
INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................3
MÉTODOS DIRETOS: ELIMINAÇÃO DE GAUSS ...................................................................................4
Sistema linear com n=3 ...............................................................................................................5
Exemplo: ......................................................................................................................................7
SISTEMAS LINEARES....................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.
Minimizando erros numéricos: Estratégia de Pivoteamento.....................................................10
Avaliando os erros na solução de um sistema linear ................................................................12
QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS ............................................................................................15
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL .............................................................................16
Introdução..................................................................................................................................16
Descrição do Método.................................................................................................................17
Exemplo: ....................................................................................................................................18
CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL .............................20
Critério de Sassenfeld ................................................................................................................20
Critério das Linhas ....................................................................................................................21
QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS..............................................................................................24
SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................25
3
 Sistemas Lineares
 Introdução
Um sistema linear consiste em um conjunto de n equações lineares envolvendo m variáveis (xi).
Uma equação linear é aquela que só apresenta termos que são proporcionais às variáveis (termos do
tipo ai⋅xi), isto é, não apresenta nenhuma função aplicada a variável xi, como xn, ln(x), cos(x), como
ilustrado abaixo envolvendo m variáveis (x1, x2, x3,...,xm):
bxaxaxaxa mm =⋅++⋅+⋅+⋅ L332211
Um sistema linear quadrado é aquele em que o número de variáveis é igual ao número de
equações (m=n). Portanto, um sistema linear quadrado pode ser escrito na forma:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
L
M
L
L
2211
22222121
11212111
Resolver um sistema linear significa encontrar os valores numéricos das variáveis x1, x2,
x3,..., xn que satisfazem todas as equações do sistema.
Duas perguntas fundamentais devem ser feitas em relação a um sistema linear:
9 Existe solução para o sistema linear?
9 Em caso afirmativo, será que ela é única?
Cada sistema linear estudado deve ser analisado a fim de se obter as respostas para essas
perguntas. Três casos são possíveis:
9 O sistema não possui nenhuma solução (sistema impossível);
9 O sistema possui uma solução (sistema possível e único);
9 O sistema possui infinitas soluções.
É preciso manter em mente essas três possibilidades de comportamento de um sistema linear
a fim de evitar surpresas e poder interpretar a solução de um problema.
4
Sistemas de equações lineares aparecem com bastante freqüência na resolução de problemas
práticos envolvendo as mais variadas situações. Estima-se que aproximadamente 75% dos
problemas científicos envolvem a resolução de um sistema de equações lineares. Um exemplo pode
ser visto no livro texto de M. A. G. Ruggiero.
Os métodos usados na resolução de sistemas lineares podem ser de dois tipos: diretos ou
iterativos. Métodos diretos são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a
solução exata do sistema linear, caso ela exista. Métodos iterativos são equivalentes àqueles vistos
no módulo passado: a partir de uma estimativa inicial, repetimos determinado cálculo diversas
vezes, utilizando sempre a estimativa da etapa anterior como estimativa para a etapa seguinte.
 Métodos Diretos: Eliminação de Gauss
O método direto que abordaremos no curso é o método da eliminação de Gauss. Neste método
procuramos reescrever um sistema linear quadrado como um sistema linear triangular, isto é, um
sistema da forma:
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
=⋅
=⋅++⋅
=⋅++⋅+⋅
M
L
L
22222
11212111
Esse sistema é de fácil resolução. Partindo-se da solução da última equação, que é dada por:
nn
n
n a
b
x =
obtém-se o resultados das outras equações recursivamente, isto é:
ii
n
ij
jiji
i a
xab
x
∑
+=
⋅−
= 1
A fim de se transformar um sistema linear quadrado em um sistema linear triangular,
manipula-se as equações multiplicando-as por determinados fatores numéricos e subtraindo-as uma
5
das outras de forma a zerar os termos apropriados. Da álgebra linear, sabemos que essas operações
não alteram a solução do sistema.
Vamos verificar como essa manipulação pode ser feita para um sistema de 3 equações e 3
variáveis e depois podemos generalizar o procedimento para n dimensões.
 Sistema linear com n=3
Um sistema linear quadrado com n=3 é dado pelas equações:
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅
A fim de resolver esse sistema pelo método de eliminação de Gauss, vamos transforma-lo
em um sistema linear triangular, como mencionado anteriormente. Inicialmente, vamos multiplicar
a primeira equação pelo fator:
11
21
21 a
a
m =
e subtraí-la da segunda equação. Essa primeira equação é chamada de linha pivô e o elemento a11 é
o elemento pivô. Pela expressão de m21 conclui-se que o elemento pivô não pode ser nulo. Caso isso
ocorra, essa linha deve ser trocada por outra linha que não apresente o pivô igual a zero.
Com essa operação, o sistema se transforma em:
3333232131
2323222
1313212111
0
bxaxaxa
bxaxa
bxaxaxa
=⋅+⋅+⋅
′=⋅′+⋅′+
=⋅+⋅+⋅
onde,
12212222 amaa ⋅−=′
13212323 amaa ⋅−=′
12122 bmbb ⋅−=′
6
Em seguida, podemos multiplicar a primeira equação (a linha pivô) por:
11
31
31 a
a
m =
e subtraí-la da terceira equação.
Com essa operação, o sistema se transforma em:
3333232
2323222
1313212111
0
0
bxaxa
bxaxa
bxaxaxa
′=⋅′+⋅′+
′=⋅′+⋅′+
=⋅+⋅+⋅
onde,
12313232 amaa ⋅−=′
13313333 amaa ⋅−=′
13133 bmbb ⋅−=′
Note que, com essas operações, conseguimos transformar a segunda linha do sistema na
forma triangular. Para finalizarmos a triangulação do sistema, basta “zerar” o termo de x2 na terceira
equação. Para isso, vamos utilizar o mesmo procedimento usado anteriormente. Desta vez, a
segunda linha será a linha pivô e o elemento a’22 será o elemento pivô, que deve ser diferente de
zero. Mais uma vez, caso esse elemento seja nulo, essa linha deve ser trocada por outra linha que
não apresente um pivô igual zero. Caso isso não seja possível, ou seja, todas as outras linhas
apresentam o pivô nulo, o sistema não terá solução determinada.
Portanto, vamos multiplicar a segunda linha pelo fator:
22
32
32 a
a
m ′
′=
e subtraí-la da terceira equação.Com essa operação, o sistema se transforma em:
7
3333
2323222
1313212111
0 bxa
bxaxa
bxaxaxa
′′=⋅′′+
′=⋅′+⋅′
=⋅+⋅+⋅
onde,
23323333 amaa ′⋅−′=′′
23233 bmbb ′⋅−′=′′
Com isso, obtivemos o sistema linear triangular que desejávamos. Esse sistema pode ser
resolvido de maneira recursiva, sendo o resultado dado por:
33
3
3 a
b
x ′′
′′= ,
22
33
3
232
22
3232
2 a
a
bab
a
xab
x ′
′′
′′⋅′−′
=′
⋅′−′=
e
11
33
3
13
22
33
3
232
121
11
3132121
1 a
a
b
a
a
a
bab
ab
a
xaxab
x
′′
′′⋅−








′
′′
′′⋅′−′
⋅−
=⋅−⋅−=
Esse procedimento pode ser estendido facilmente para sistemas com n>3. A única diferença
será o número maior de operações a serem realizadas.
 Exemplo:
Vamos resolver o sistema de 4 equações e 4 incógnitas, dado por:
601082
48104
4111236
7532
432
4321
4321
4321
−=⋅+⋅−⋅−
=⋅+⋅+−⋅
=⋅+⋅+⋅−⋅
−=⋅+⋅+−⋅
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
8
Para facilitar a resolução do problema, vamos representa-lo na forma de uma matriz
aumentada, que corresponde a uma matriz cujos elementos são os fatores aii, e ela é “aumentada”
incluindo-se os fatores bi. Portanto, o sistema acima ficará na forma:








−−−
−
−
−−
6010820
481014
4111236
75312
A primeira linha será a linha pivô e o número 2 é o elemento pivô. Vamos utilizar essa linha
e esse elemento para zerar o primeiro elemento de cada linha seguinte. Portanto, multiplicando a
primeira linha por 6/2=3 e subtraindo-a da segunda linha, teremos:
( ) ( )








−−−
−
=⋅−−−=⋅−=⋅−=⋅−−−=⋅−
−−
6010820
481014
25374435113331203130326
75312
Podemos realizar a mesma operação para as outras duas linhas. Porém, vamos multiplicar a
primeira linha pelo fator 4/2=2 antes de subtraí-la da terceira linha, e no caso da quarta linha, não
precisamos realizar nenhuma operação, pois seu primeiro elemento já é igual a zero. Portanto,
teremos a matriz aumentada:
( ) ( ) 







−−−
=⋅−−−=⋅−=⋅−=⋅−−−=⋅−
−
−−
6010820
1827422584231012110224
254300
75312
Vamos continuar a triangulação do sistema zerando os elementos da segunda coluna da
terceira e quarta linha. Porém, devemos notar que a segunda linha, que seria a linha pivô desta
etapa, apresenta o elemento pivô igual a zero. Portanto, não podemos utiliza-la como linha pivô
nesta etapa. Devemos troca-la por outra linha. Vamos prosseguir, trocando a segunda linha pela
terceira. Com isso, a terceira linha passa a ser a linha pivô. Mais que isso, não precisamos realizar
nenhuma operação com a segunda linha, pois ela já apresenta o elemento da segunda coluna igual a
9
zero. Portanto, basta multiplicar a nova linha pivô por –2/1=-2 e subtrai-la da quarta linha, ou seja,
teremos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 








−=−⋅−−=−⋅−−=−⋅−−=−⋅−−
−
−
−−
242186062210024802120
254300
182410
75312
A próxima etapa corresponderia a operação que anularia o elemento da terceira coluna da
quarta linha. Porém, esse elemento já é nulo. Portanto, já podemos obter a solução desse sistema,
que será dada por:
x4 = -24/6 = -4
x3 = [25 – (-4)⋅(-4)]/3 = 3
x2 = [18 – (-2) ⋅(-4) – 4⋅3]/1 = -2
e
x1 = [-7 - 5⋅(-4) - 3⋅3 – (-1)⋅(-2)]/2 = 1
10
Minimizando erros numéricos: Estratégia de Pivoteamento
Um problema que pode ocorrer durante a resolução de um sistema linear pelo método da eliminação
de Gauss se refere a erros de arredondamento ou truncamento durante as operações envolvidas. A
fim de ilustrar esse problema e definirmos um procedimento que pode minimiza-lo, vamos
considerar o seguinte exemplo. Seja o sistema linear:
3814222
134311027
57524
321
321
321
=⋅+⋅+⋅
=⋅−⋅+⋅
=⋅+⋅+
xxx
xxx
xxx
Antes mesmo de resolve-lo pelo método de eliminação de Gauss, podemos notar que ele
apresenta uma solução exata dada por x1=1, x2=1 e x3 =1 (substitua esses valores nas equações do
sistema acima para verificar que realmente eles correspondem à solução exata). Porém, vamos
resolve-lo utilizando esse método e, para ilustrar o problema provocado por arredondamentos,
vamos utilizar apenas 3 algarismos significativos durante todos os cálculos e comparar o resultado
obtido com essa solução exata. Ou seja, vamos supor que estamos usando uma calculadora que
representa números com apenas 3 algarismos.
Iniciamos a resolução do sistema escrevendo-o na forma de uma matriz aumentada, ou seja:








−
3814222
134311027
575241
A primeira linha será a linha pivô e devemos multiplica-la pelo fator 27/1 e subtrai-la da
segunda linha. Em seguida, multiplicamos essa linha por 22/1 e a subtraímos da terceira linha.
Portanto, teremos: (Fazendo truncamento)








×−=⋅−×−=⋅−−=⋅−=⋅−
×−=⋅−×−=⋅−−=⋅−=⋅−
33
33
1021.15722381013.1522214864222012222
1041.157271341040.1522732427110012727
575241
Em seguida, a segunda linha será a linha pivô e devemos multiplica-la pelo fator –86/2=-43
e subtrai-la da terceira linha, ou seja, teremos:
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 









×−=
=×−⋅−−×−
×−=
=×−⋅−−×−=⋅−−−
×−×−
4
33
4
33
33
1018.6
1041.1431021.1
1013.6
1040.1431013.1
0243860
1041.11040.120
575241
Com isso terminamos a triangulação do sistema, que será dado por:
4
3
4
3
3
3
2
321
106.18106.13
1014.110 40.12
57524
×−=⋅×−
×−=⋅×−⋅
=⋅+⋅+
x
xx
xxx
A partir dai, podemos calcular a solução desse sistema. A solução do sistema será dada por:
x3 = -61800/(-61300)=1.01
x2 =[ -1410 – (-1400)⋅1.01]/2 = 0.0
x1 = [57 - 52⋅1.01 -4⋅0.0]/1 = 4.5
Note que essa solução é muito diferente da solução exata que deveríamos ter encontrado. E
essa discrepância foi resultado dos arredondamentos e truncamentos que fizemos durante o cálculo
dos valores das variáveis xi.
A fim de minimizar os efeitos de arredondamento na solução de um sistema linear, utiliza-se
a chamada estratégia de pivoteamento. Nessa estratégia, no início de cada etapa em que uma coluna
da matriz aumentada deve ser zerada, escolhemos como linha pivô aquela que apresenta o elemento
pivô de maior módulo.
Portanto, no exemplo acima, iniciaríamos a solução do sistema trocando a segunda linha
pela primeira, pois a segunda linha apresenta um elemento pivô (primeiro elemento da linha) maior
que a primeira linha (27 > 1). Ou seja, teremos:







 −
3814222
575241
134311027
Em seguida, multiplicamos a primeira linha (linha pivô) por 1/27 e a subtraímos da segunda
linha. Também devemos multiplica-la por 22/27 e subtrai-la da terceira linha. Com isso, teremos:
12
( )
( ) 







−=⋅−=−⋅−−=⋅−=⋅−
=⋅−=−⋅−−=⋅−=⋅−
−
7113427
22385.16327
22146.8711027
22202727
2222
5213427
1571.52327
15207.011027
1402727
11
134311027
Mais uma vez, antes de iniciar a próxima etapa, devemos procurar pela linha que apresenta o
elemento pivô (o primeiro elemento não nulo) de maior módulo. Neste caso, será a terceira linha.
Portanto, vamos trocá-la pela segunda linha, o que resulta na matriz aumentada:








−
−−
−
521.5207.00
715.166.870
134311027
Vamos agora multiplicar a linha pivô por (–0.07)/(-87.6) e subtrai-la da terceira linha, ou
seja:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 







=−⋅−−−=⋅−−−=−⋅−−−−
−−
−
1.52716.87
07.0521.525.166.87
07.01.5206.876.87
07.007.00
715.166.870
134311027
A solução do sistema triangular que resultou dessas operações é dada por:x1 = 52.1/52.1 = 1.0
x2 = [-71-16.5⋅1.0]/(-87.6) = 0.999
x3 = [134 – (-3)⋅1.0 – 110⋅0.999]/27 = 1.0
Portanto, obtivemos uma solução muito próxima da solução exata do sistema utilizando a
estratégia do pivoteamento.
 Avaliando os erros na solução de um sistema linear
Como vimos na seção anterior, devido aos erros numéricos de arredondamento ou truncamento e
devido ao grande número de operações realizadas na resolução de sistemas lineares, o resultado que
obtemos está sujeito a erros, ou seja, pode não representar a solução exata do problema. Portanto,
precisamos sempre avaliar a solução obtida, ou seja, precisamos nos perguntar qual é o erro do
resultado que obtivemos.
13
Para facilitar a visualização de como podemos avaliar esses erros, vamos escrever um
sistema de equações lineares da forma matricial, ou seja, o sistema linear:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
L
M
L
L
2211
22222121
11212111
pode ser escrito como,
A⋅x = b
onde,








=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
 ,








=
nx
x
x
x M
2
1
 e








=
nb
b
b
b M
2
1
Ao resolver esse sistema devido aos erros numéricos cometidos, obtemos como solução, ao
invés dos valores x, valores que chamaremos de x’. Portanto, o erro será dado por:
Erro = x – x’.
14
Uma operação simples que podemos realizar para verificar a diferença entre o valor real (x)
e o valor que obtivemos (x’) é calcularmos:
 A⋅x’ = b’
Podemos em seguida calcular a diferença entre b e b’, que chamaremos de resíduos:
Resíduo = b – b’
Quanto menor for o resíduo, menor será o erro que cometemos. Note que o resíduo não é o
erro, mas apenas uma estimativa do mesmo, pois:
Resíduo = b – b’ = A⋅x - A⋅x’ = A⋅(x – x’) = A⋅erro
15
Quarta Lista de Exercícios
1 ) O que é um sistema de equações lineares quadrado?
2 ) A fim de se poder interpretar a resolução de um sistema de equações lineares é preciso saber
quais são os possíveis tipos de soluções que podemos encontrar. Cite os três tipos de soluções
possíveis de um sistema linear e comente o que você faria em cada caso.
3 ) No método de eliminação de Gauss, um sistema linear quadrado é transformado em um sistema
triangular. Qual a vantagem de se fazer isso?
4 ) Dado o sistema linear,
72.48.26.3
15.21.4
84.24.25.1
2.822.3
41
421
431
321
=⋅+⋅
=+⋅+⋅
=⋅−⋅+−
=⋅++⋅
xx
xxx
xxx
xxx
Encontre sua solução através do método de eliminação de Gauss.
16
Métodos Iterativos: Gauss-Seidel
 Introdução
É bastante comum encontrarmos sistemas lineares que envolvem uma grande porcentagem de
coeficientes nulos. Esses sistemas são chamados de sistemas esparsos. Para esses tipos de sistemas,
o método de Eliminação de Gauss não é o mais apropriado, pois ele não preserva essa esparsidade,
que pode nos ser útil por facilitar a resolução do sistema. Um método mais apropriado para esse tipo
de sistema é o método iterativo de Gauss-Seidel.
Este método consiste em encontrar, dada uma estimativa inicial xi
0, uma seqüência de
estimativas xi
k que após um número suficientemente grande de iterações convirja para a solução do
sistema de equações.
nnnn x x x x
 
 x x x x
 x x x x
 x x x x
 x x x x
210
4
2
4
1
4
0
4
3
2
3
1
3
0
3
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
1
1
0
1
MMMM
→→→
Uma outra vantagem deste método é o fato de não estar tão suscetível ao acúmulo de erros
de arredondamento como o método de Eliminação de Gauss. Porém, como todo processo iterativo,
este método sempre apresentará um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real
conforme o número de iterações realizadas. Além disso, também precisamos nos preocupar com a
convergência desse método.
17
 Descrição do Método
Seja o seguinte sistema de equações:
nb nx.nna 1nx.1nna ... 3x.na 2x.na 1x.na
 
 
3b nx.n3a 1nx.1n3a ... 3x.33a 2x.32a 1x.31a
2b nx.n2a 1nx.1n2a ... 3x.23a 2x.22a 1x.21a
1b nx.n1a 1nx.1n1a ... 3x.13a 2x.12a 1x.11a
1321 =+−−++++
=+−−++++
=+−−++++
=+−−++++
M
Isolando xi a partir da linha i, temos :
( )
( )
( )
( )11,21
311,32322313
33
3
211,23231212
22
2
111,13132121
11
1
......
1
 
....
1
....
1
....
1
21 −−
−−
−−
−−
−−−−=
−−−−=
−−−−=
−−−−=
nnnnnn
nn
n
nnnn
nnnn
nnnn
xaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
M
18
O processo iterativo é obtido a partir dessas equações, fazendo:


 +−−−−+−+−=+


 −−−−−+−+−=+


 −−−−−−+−=+


 −−−−−−−=+
1k
1nx.1n,na...
1k
2x.2na
1k
1x.1nanbnna
11k
nx
k
nx.n3a
k
1nx.1n,3a...
1k
2x.32a
1k
1x.31a3b33a
11k
3x
k
nx.n2a
k
1nx.1n,2a...
k
3x.23a
1k
1x.21a2b22a
11k
2x
k
nx.n1a
k
1nx.1n,1a...
k
3x.13a
k
2x.12a1b11a
11k
1x
Como todo processo iterativo, precisamos definir um critério de parada. Podemos usar a
diferença relativa entre duas iterações consecutivas para estabelecer o critério de parada. Define-se
por diferença relativa a expressão:












≠
=
=
≠−
≤≤
=
+
+
+
+
+
=+
 0 x 
 0 x 
 se 1 
0 x x se 0 
0 x se 
x
k
ixx .Máx 
ni1 
d
 
k
i
 
1k
i
 
k
i 
1k
i
 
1k
i
1k
i
1k
i
1k
R
 
Quando o valor de dR
k+1 for pequeno o bastante para a precisão desejada, podemos para o
processo iterativo.
 Exemplo:
Resolva:
19
.210.5 kRd com
0z6y3x3
6zy4x3
5zyx5
−≤
=++
=++
=++
( )
( )
( ) ( )yxzyxz
zxy
zyx
+−=⇒+−=
−−=
−−=
2
1
33
6
1
36
4
1
5
5
1
kx k
xd
ky k
yd
kz kzd
k
Rd
-1 - 0 - 1 - -
0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379
1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293
1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066
1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,013
 x = 1,002 y = 0,998 z = -1
Verificação:
5.(1,002) + (0,998) + (-1) = 5,008 ≅ 5 ok
3.(1,002) + 4.(0,998) + (-1) = 5,998 ≅ 6 ok
3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 ok
20
Critérios de Convergência do Método de Gauss-Seidel
Como todo processo iterativo, a sua convergência para a solução exata não é garantida para
qualquer sistema. Existem certas condições que devem ser satisfeitas por um sistema de equações
lineares para se garantir a convergência do método. Uma condição suficiente, porém não necessária,
para a convergência do método de Gauss-Seidel para um dado sistema linear, corresponde ao
Critério de Sassenfeld.
 Critério de Sassenfeld
Vamos definir as quantidades βi dadas por:
∑
=
⋅=
n
j
jaa 2
1
11
1
1β
e


 +⋅⋅= ∑∑
+=
−
=
n
ij
ij
i
j
jij
ii
i aaa 1
1
1
1 ββ , para i = 2, 3, ..., n.
onde n é a ordem do sistema linear que queremos resolver e aij são os coeficientes das equações que
compõem esse sistema.O Critério de Sassenfeld garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado
sistema linear se a quantidade M, definida por:
i
ni
M βmax
1 ≤≤
=
for menor que 1 (M<1).
 Exemplo:
Mostre que a solução do sistema linear dado pelas equações:
0.1048.02.14.0
0.12.02.01.0
8.73.06.036.0
4.02.02.02
4321
4321
4321
4321
−=⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅++⋅−⋅−
−=⋅−⋅−⋅+⋅
=⋅+⋅−+⋅
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
convergirá pelo método de Gauss-Seidel.
21
Para realizar essa verificação, vamos utilizar o critério de Sassenfeld. Inicialmente, é preciso
se calcular os valores das quantidades βi. No caso do sistema acima, elas serão dadas por:
( )
( )
( )
( ) 2736.0358.08.044.02.17.04.0
4
1
358.02.044.02.07.01.0
1
1
44.03.06.07.06.0
3
1
7.02.02.01
2
1
4
3
2
1
=⋅+⋅+⋅⋅=
=+⋅+⋅⋅=
=++⋅⋅=
=++⋅=
β
β
β
β
Em seguida, é preciso verificar qual dessas quantidades tem o maior valor. Neste caso, será
a quantidade β1 que é igual a 0.7 (maior valor entre todos os βi). Portanto, como:
7.0max
41
==
≤≤
i
i
M β
é menor que 1, sabemos que a solução desse sistema irá convergir usando o método de Gauss-
Seidel.
 Critério das Linhas
Existe um outro critério que pode garantir a convergência do método de Gauss-Seidel para um dado
sistema, chamado de critério das linhas. Segundo esse critério, um determinado sistema irá
convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ij
j
ij aa <∑
≠=1
, para i=1, 2, 3, ..., n.
 Exemplo:
O sistema do exemplo acima satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de
maneira quase imediata, observando-se que:
22
4.28.02.14.04
5.02.02.01.01
5.13.06.06.03
4.12.02.012
43424144
34323133
24232122
14131211
=++=++>=
=++=++>=
=++=++>=
=++=++>=
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
É importante notar alguns detalhes sobre esses critérios. Ambos os critérios mencionados
acima são condições suficientes, porém não são necessárias para garantir a convergência da solução
de um sistema linear pelo método de Gauss-Seidel. Isso significa que um sistema pode não
satisfazer esses critérios e ainda convergir.
Por exemplo, um sistema pode não satisfazer o critério das linhas e satisfazer o critério de
Sassenfeld, o que garantirá sua convergência.
 Exemplo:
Seja o sistema:
1826
2310
21
21
=⋅+⋅
=+⋅
xx
xx
Note que esse sistema não satisfaz o critério das linhas, pois:
62 2122 =<= aa
porém, ele satisfaz o critério de Sassenfeld:
( ) 3.01.06
2
1
1.01
10
1
2
1
=⋅⋅=
=⋅=
β
β
 ⇒ 13.0max
41
<==
≤≤
i
i
M β
que garantirá sua convergência.
Outra observação importante se refere à ordem com que as equações aparecem no sistema.
Apesar da ordem das equações não alterar a solução do sistema, ela pode alterar a convergência do
mesmo pelo método da Gauss-Seidel.
 Exemplo:
Seja o sistema:
23
1535
19104
21
21
=⋅+⋅
=⋅+⋅−
xx
xx
Na forma como ele está representado acima, ele não satisfaz o critério das linhas (verifique
isso), portanto sua convergência não é garantida. Porém, se trocarmos a ordem das duas equações, o
sistema satisfaz esse critério, e sua convergência pelo método de Gauss-Seidel é garantida
(verifique isso também).
24
Quinta Lista de Exercícios
1 ) No método de Gauss-Seidel, como em todo método iterativo, a convergência na
resolução do problema para a solução procurada não é sempre garantida. Que
condição um sistema linear deve satisfazer para que esse método convirja para a sua
solução?
2 ) Dado o sistema linear,
923
1
33
321
21
31
=⋅++⋅
=−
=+⋅
xxx
xx
xx
Verifique se o método de Gauss-Seidel convergiria para o sistema acima:
(a) Segundo o critério das linhas;
(b) Segundo o critério de Sassenfeld;
(c) O que você pode concluir da solução dos dois itens anteriores?
3 ) Dado o sistema linear,
12
12
12
12
43
432
21
321
=⋅+−
=−⋅+−
=−⋅
=−⋅+
xx
xxx
xx
xxx
(a) O sistema irá convergir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, isto é, ele satisfaz o critério
de Sassenfeld?
(b) Se as duas primeiras linhas forem trocadas, ele satisfaz o critério de Sassenfeld? O que se
pode afirmar sobre a convergência do sistema?
(c) Encontre sua solução através do método de Gauss-Seidel usando como estimativa inicial os
valores (x1 =0, x2 =0, x3 =0, x4 =0) e utilize como critério de parada M
k < 0,5.
25
Sexta Lista de Exercícios
1 ) O que é e para que serve a estratégia de pivoteamento?
2 ) Cite três características do Método de Gauss-Seidel que é comum a todo processo iterativo.
3 ) Dado o sistema linear,
11243
9427
32
321
321
321
=⋅−⋅+⋅
=⋅+⋅−⋅
−=−−⋅
xxx
xxx
xxx
encontre sua solução através do método de eliminação de Gauss utilizando a estratégia do
pivoteamento.
4 ) Dado o sistema linear,
79.042
57.155
94.54
321
321
321
=⋅+⋅+
−=−⋅+−
=++⋅
xxx
xxx
xxx
(d) Verifique que o sistema irá convergir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, isto é, que ele
satisfaz o critério de Sassenfeld;
(e) Encontre sua solução através do método iterativo de Gauss-Seidel usando como estimativa
inicial os valores (x1 =0, x2 =0, x3 =0) e utilize como critério de parada a condição M
k < 0,5.
26
Referências Bibliográficas
RUGGIERO/LOPES - Cálculo Numérico. Makron Books
CHAPRA/CARRALE - Numerical Methods for Engineers. Ed. McGrawHill
CONTE - Elementos de Análise Numérica. Ed. Globo
BARROSO - Cálculo Numérico - Ed. Harper & How do Brasil
MARCELO G. MUNHOZ- Notas de Aula - FACENS