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HENRIQUE SILVA MARTINS GRR20085241 VIBRAÇÕES MECÂNICAS – TRABALHO FINAL Trabalho apresentado como requisito parcial para aprovação na disciplina de Vibrações Mecânicas, do Departamento de Engenharia Mecânica, Setor de Tecnologia, da Universidade Federal do Paraná. CURITIBA 2013 Dada a estrutura abaixo: Dados: L=600mm b=40mm h=4mm Material: alumínio ρ=2700 kg/m³ E=7,1*1010 N/m² 1. As primeiras 5 frequências naturais e seus modos de vibrar correspondentes. Usar 10, 20 e 40 elementos e verificar o erro na última frequência. Os modos de vibrar para as 5 primeiras frequências naturais podem ser vistos nas figuras de 1 a 3: Para N=10: Figura 1: Modos de vibrar para N=10 Modo 1: fn1 = 9.04 Hz ou ômega1 = 56.8354 rad/s Modo 2: fn2 = 56.06 Hz ou ômega2 = 352.2178 rad/s Modo 3: fn3 = 155.39 Hz ou ômega3 = 976.3446 rad/s Modo 4: fn4 = 301.33 Hz ou ômega4 = 1893.3108 rad/s Modo 5: fn5 = 492.58 Hz ou ômega5 = 3094.9809 rad/s Para N=20: Figura 2: Modos de vibrar para N=20 Modo 1: fn1 = 9.0767 Hz ou Ω1=57.0307 rad/s Modo 2: fn2 = 56.7223 Hz ou Ω2=356.3965 rad/s Modo 3: fn3 = 158.4195 Hz ou Ω3=995.3791 rad/s Modo 4: fn4 = 309.6226 Hz ou Ω4= 1945.4163 rad/s Modo 5: fn5 = 510.4618 Hz ou Ω5= 3207.3258 rad/s Para N=40: Figura 3: Modos de vibrar para N=40 Modo 1: fn1 = 9.0845 Hz ou Ω1= 57.0798 rad/s Modo 2: fn2 = 56.8915 Hz ou Ω2= 357.4596 rad/s Modo 3: fn3 = 159.196 Hz ou Ω3= 1000.258 rad/s Modo 4: fn4 = 311.7559 Hz ou Ω4= 1958.8198 rad/s Modo 5: fn5 = 515.0155 Hz ou Ω5= 3235.9379 rad/s Observa-se que para as frequências mais baixas como a primeira, o número de elementos não influencia muito: varia de 9.04 Hz a 9.08 Hz. Já para as frequências mais altas temos uma grande diferença ao aumentar o número de elementos, como para a quinta: que varia de 492,58 Hz a 515,01 Hz. Assim, para um refinamento maior da malha poder-se-ia encontrar uma frequência natural mais correta para um modo de vibração maior. 2. Obter as inertâncias para k (ponto de resposta) 200, 400 e 590 mm do engaste s (ponto de excitação) 60 mm Figura 4: inertância experimental para k em 200mm (obtido experimentalmente) Figura 5: inertância experimental para k em 400mm (obtido experimentalmente) Figura 6: inertância experimental para k em 590mm (obtido experimentalmente) Inertâncias obtidas experimentalmente no laboratório de vibrações com a excitação em s=60mm e resposta obtida de k=200mm, k=400mm e k= 590mm. As frequências naturais são: Para k=200mm: fn1=10,31Hz fn2=59,38Hz fn3=163,8Hz Para k=400mm: fn1=10,31Hz fn2=59,69Hz fn3=164,1Hz Para k=590mm: fn1=10Hz fn2=58,75Hz fn3=163,1Hz 3. Comparar os resultados anteriores com inertância equivalente obtida numericamente (no MatLab). Considere ξ = 0,002 com i = 1 a N Para obter os seguintes gráficos de inertância foram usados: N=60; k=20 para 200 mm; k=40 para 400 mm; k=59 para 590 mm; s=6. Figura 7: Inertância para resposta em 200 mm e excitação em 60 mm. (obtido numericamente) Figura 8: Inertância para resposta em 400 mm e excitação em 60 mm. (obtido numericamente) Figura 9: Inertância para resposta em 590 mm e excitação em 60 mm. (obtido numericamente) Podemos verificar uma grande similaridade entre os gráficos das inertâncias obtidos experimentalmente e numericamente. Os valores de picos se aproximam bastante. O fato de os picos serem um pouco mais elevados é ligado ao amortecimento da viga no experimento. Observa-se também a presença de antirressonâncias em faixas de frequências parecidas com as frequências em que elas se apresentaram nos ensaios experimentais. Erros: Tabela 1: Erro entre freq numerica e experimental Frequência de ressonância [Hz] Experimental Numérico Erro N=10 10,31 9,04 12% 59,38 56,06 6% 163,8 155,39 5% N=20 10,31 9,08 12% 59,69 56,7 5% 164,1 158,42 3% N=40 10 9,08 9% 58,75 56,89 3% 163,1 159,19 2% Podemos verificar que o erro diminui para maiores números de elementos e para as frequências naturais mais elevadas. Portanto fica claro que uma malha mais refinada (maior número de elementos) nos dá uma precisão melhor nos cálculos. 4. Calcular estes valores, e comparar, usando a teoria da dinâmica do contínuo. Consultar RAO: Da teoria temos que para nosso modelo: wn=(βn l)²*(EI/pAl4)1/2 Em [Hz] teremos: fn=[(βn l)²*(EI/pAl4)1/2]/(2*pi) β1l=1.875104 β2l=4.694091 β3l=7.854757 Com isso podemos calcular as frequências naturais, f1=9,208846558 Hz f2=57,71085723 Hz f3=161,5920624 Hz Erros: Tabela 2: Erro entre freq obtida pela teoria da dinâmica do continuo e experimental Frequência de ressonância [Hz] Experimental N=10, 20 e 40 Teoria Dinâmica do Contínuo Erro 10,31 9,208846558 11% 59,38 57,71085723 3% 163,8 161,5920624 1% 10,31 9,208846558 11% 59,69 57,71085723 3% 164,1 161,5920624 2% 10 9,208846558 8% 58,75 57,71085723 2% 163,1 161,5920624 1% Podemos verificar que o erro pela teoria da dinâmica do contínuo é menor do que os erros obtidos numericamente, isso para esses casos específicos. 5. Programa MATLAB: clc clear all close all % Parametros modais de uma viga engastada livre. % % Coeficientes de Influencia % % % Dados % L = 0.6; % Longitude da viga b = 40.e-3; % Largura da viga h = 4.e-3; % Espessura da viga E = 7.1e10; % Modulo de Young do Al I = b*h^3/12; % Momento de segunda ordem de area A = b*h; % Area da seçao transversal ni = 0.33; % Coeficiente de Poisson ro = 2770; % Densidade do Al N=60; %23 k=40; %1 s=6; %22 le = L/N; % Longitude de cada elemento me = b*h*le*ro; % Massa de cada elemento % numero de coordenadas generalizadas M = zeros(N); A = zeros(N); for i=1:N M(i,i)=me; a(i)=i*le; x(i)=i*le; end M(N,N)= me/2; for i=1:N for j=1:N if x(j) <= a(i) A(i,j)=1/(E*I)*(-x(j)^3/6 + a(i)*x(j)^2/2); else A(i,j)=1/(E*I)*(1/6*(x(j)-a(i))^3 - x(j)^3/6 + a(i)*x(j)^2/2); end end end % Inversao de A K = inv(A); %+++ %+++ %+++ %+++ %1a Parte %Cálculo de frequências naturais e modos de vibrar %Passo 1 L=sqrt(M); Li=inv(L); % Passo 2 Ktil=Li*K*Li; % passo 3 [V,D]=eig(Ktil); omn=sqrt(diag(D)); % frequências naturais em rad/s % apresentação das frequências naturais [omn,in]=sort(omn); Vaux=[V(:,in(1)) V(:,in(2)) V(:,in(3)) V(:,in(4)) V(:,in(5))]; V=Vaux; disp('As frequências naturais, em rad/s, são') disp(' ') for i=1:length(omn) disp(['ômega',num2str(i),' = ',num2str(omn(i)),' rad/s']) end disp(' ') disp('As frequências naturais, em Hz, são') disp(' ') for i=1:length(omn) disp(['fn',num2str(i),' = ',num2str(omn(i)/(2*pi)),' Hz']) end disp(' ') %+++ %+++ %+++ %+++ % Problema de autovalores [F,L]=eig(K,M); % F matriz de autovetores nao ortonormalizados (matriz modal) % L matriz espectral [lam,I]=sort(diag(L)); for ii=1:length(L) FF(:,ii)=F(:,I(ii)); end % Teste de ortogonalidade F=FF; Mr = F.'*M*F; Kr = F.'*K*F; % Mr(1:5,1:5); % Kr(1:5,1:5); % Ortonomalizacao de F atraves da matriz de massa for i=1:N F(:,i) = F(:,i)/ Mr(i,i)^0.5; end Mr = F.'*M*F; Kr = F.'*K*F; fn=sqrt(lam)/2/pi; figure(1) plot(x,F(:,1),x,F(:,2),x,F(:,3),x,F(:,4),x,F(:,5))xlabel('Distância da viga') ylabel('Amplitude modal') legend('modo1', 'modo2', 'modo3', 'modo4', 'modo5') title('MODOS DE VIBRAR') print('-dpng','modosdevibrar.png','-r200') ksi = 2e-3; NN=3; for j=1:300 f=j; alfa=0.; for jj=1:NN alfa=alfa+(F(k,jj)*F(s,jj))/(-(2*pi*f)^2+(2*pi*fn(jj))^2+i*2*ksi*(2*pi*fn(jj))*(2*pi*f)); end alfaks(j)=alfa; freq(j)=f; end Inerks=-(2*pi*freq).^2.*alfaks; % figure(4) % plot(freq,20*log10(abs(alfaks))) % xlabel('Frequencia') % ylabel('módulo da receptância') % %legend('lll') % title('VIGA - SEM MASSA - Receptância') % verificar % %print('-dpng','receptancia.png','-r200') figure(5) plot(freq,20*log10(abs(Inerks))) xlabel('Frequencia') ylabel('módulo de Inertância H') % %legend('lll') title('Inertância') % print('-dpng','inertancia590.png','-r200') % % %----------------- % % % %Graficos experimentais % data=xlsread('Mag_I_200_60'); % freqexp=data(:,1); % real=data(:,2); % % % % % figure(6) % plot(freqexp,real) % xlabel('Frequência (Hz)') % title ('Inertâncias k=200mm') % print('-dpng','inertancia_experimentalk200.png','-r200') % %%% % data=xlsread('Mag_I_400_60'); % freqexp=data(:,1); % real=data(:,2); % % % % % figure(7) % plot(freqexp,real) % xlabel('Frequência (Hz)') % title ('Inertâncias k=400mm') % print('-dpng','inertancia_experimentalk400.png','-r200') % % % % % %Close All % data=xlsread('Mag_I_590_60'); % freqexp=data(:,1); % real=data(:,2); % % % % % figure(8) % plot(freqexp,real) % xlabel('Frequência (Hz)') % title ('Inertâncias k=590mm') % print('-dpng','inertancia_experimentalk590.png','-r200') %
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