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Trabalho FInal Vibes 2013-2

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HENRIQUE SILVA MARTINS
GRR20085241
VIBRAÇÕES MECÂNICAS – TRABALHO FINAL
Trabalho apresentado como requisito parcial para aprovação na disciplina de Vibrações Mecânicas, do Departamento de Engenharia Mecânica, Setor de Tecnologia, da Universidade Federal do Paraná.
CURITIBA
2013
Dada a estrutura abaixo:
Dados:
L=600mm
b=40mm
h=4mm
Material: alumínio
ρ=2700 kg/m³
E=7,1*1010 N/m²
1. As primeiras 5 frequências naturais e seus modos de vibrar correspondentes. Usar 10, 20 e 40 elementos e verificar o erro na última frequência.
	Os modos de vibrar para as 5 primeiras frequências naturais podem ser vistos nas figuras de 1 a 3:
Para N=10:
Figura 1: Modos de vibrar para N=10
Modo 1: fn1 = 9.04 Hz ou ômega1 = 56.8354 rad/s
Modo 2: fn2 = 56.06 Hz ou ômega2 = 352.2178 rad/s
Modo 3: fn3 = 155.39 Hz ou ômega3 = 976.3446 rad/s
Modo 4: fn4 = 301.33 Hz ou ômega4 = 1893.3108 rad/s
Modo 5: fn5 = 492.58 Hz ou ômega5 = 3094.9809 rad/s
Para N=20:
Figura 2: Modos de vibrar para N=20
Modo 1: fn1 = 9.0767 Hz ou Ω1=57.0307 rad/s
Modo 2: fn2 = 56.7223 Hz ou Ω2=356.3965 rad/s
Modo 3: fn3 = 158.4195 Hz ou Ω3=995.3791 rad/s
Modo 4: fn4 = 309.6226 Hz ou Ω4= 1945.4163 rad/s
Modo 5: fn5 = 510.4618 Hz ou Ω5= 3207.3258 rad/s
Para N=40:
Figura 3: Modos de vibrar para N=40
Modo 1: fn1 = 9.0845 Hz ou Ω1= 57.0798 rad/s
Modo 2: fn2 = 56.8915 Hz ou Ω2= 357.4596 rad/s
Modo 3: fn3 = 159.196 Hz ou Ω3= 1000.258 rad/s
Modo 4: fn4 = 311.7559 Hz ou Ω4= 1958.8198 rad/s
Modo 5: fn5 = 515.0155 Hz ou Ω5= 3235.9379 rad/s
Observa-se que para as frequências mais baixas como a primeira, o número de elementos não influencia muito: varia de 9.04 Hz a 9.08 Hz.
Já para as frequências mais altas temos uma grande diferença ao aumentar o número de elementos, como para a quinta: que varia de 492,58 Hz a 515,01 Hz.
Assim, para um refinamento maior da malha poder-se-ia encontrar uma frequência natural mais correta para um modo de vibração maior.
2. Obter as inertâncias para
k (ponto de resposta) 200, 400 e 590 mm do engaste
s (ponto de excitação) 60 mm
Figura 4: inertância experimental para k em 200mm (obtido experimentalmente)
Figura 5: inertância experimental para k em 400mm (obtido experimentalmente)
Figura 6: inertância experimental para k em 590mm (obtido experimentalmente)
	Inertâncias obtidas experimentalmente no laboratório de vibrações com a excitação em s=60mm e resposta obtida de k=200mm, k=400mm e k= 590mm.
	As frequências naturais são:
Para k=200mm:
fn1=10,31Hz
fn2=59,38Hz
fn3=163,8Hz
Para k=400mm:
fn1=10,31Hz
fn2=59,69Hz
fn3=164,1Hz
Para k=590mm:
fn1=10Hz
fn2=58,75Hz
fn3=163,1Hz
3. Comparar os resultados anteriores com inertância equivalente obtida numericamente (no MatLab). Considere ξ = 0,002 com i = 1 a N
Para obter os seguintes gráficos de inertância foram usados:
N=60;
k=20 para 200 mm;
k=40 para 400 mm;
k=59 para 590 mm;
s=6.
Figura 7: Inertância para resposta em 200 mm e excitação em 60 mm. (obtido numericamente)
Figura 8: Inertância para resposta em 400 mm e excitação em 60 mm. (obtido numericamente)
Figura 9: Inertância para resposta em 590 mm e excitação em 60 mm. (obtido numericamente)
Podemos verificar uma grande similaridade entre os gráficos das inertâncias obtidos experimentalmente e numericamente. Os valores de picos se aproximam bastante. O fato de os picos serem um pouco mais elevados é ligado ao amortecimento da viga no experimento. 
Observa-se também a presença de antirressonâncias em faixas de frequências parecidas com as frequências em que elas se apresentaram nos ensaios experimentais.
Erros:
	
Tabela 1: Erro entre freq numerica e experimental
	
	Frequência de ressonância [Hz]
	
	
	Experimental
	Numérico
	Erro
	N=10
	10,31
	9,04
	12%
	
	59,38
	56,06
	6%
	
	163,8
	155,39
	5%
	
	 
	 
	 
	N=20
	10,31
	9,08
	12%
	
	59,69
	56,7
	5%
	
	164,1
	158,42
	3%
	
	 
	 
	 
	N=40
	10
	9,08
	9%
	
	58,75
	56,89
	3%
	
	163,1
	159,19
	2%
	Podemos verificar que o erro diminui para maiores números de elementos e para as frequências naturais mais elevadas. Portanto fica claro que uma malha mais refinada (maior número de elementos) nos dá uma precisão melhor nos cálculos.
4. Calcular estes valores, e comparar, usando a teoria da dinâmica do contínuo. Consultar RAO:
	Da teoria temos que para nosso modelo:
wn=(βn l)²*(EI/pAl4)1/2
	Em [Hz] teremos: 
fn=[(βn l)²*(EI/pAl4)1/2]/(2*pi)
β1l=1.875104
β2l=4.694091
β3l=7.854757
Com isso podemos calcular as frequências naturais,
f1=9,208846558 Hz
f2=57,71085723 Hz
f3=161,5920624 Hz
Erros:
Tabela 2: Erro entre freq obtida pela teoria da dinâmica do continuo e experimental
	Frequência de ressonância [Hz]
	
	Experimental
N=10, 20 e 40
	Teoria Dinâmica do Contínuo
	Erro
	10,31
	9,208846558
	11%
	59,38
	57,71085723
	3%
	163,8
	161,5920624
	1%
	 
	 
	 
	10,31
	9,208846558
	11%
	59,69
	57,71085723
	3%
	164,1
	161,5920624
	2%
	 
	 
	 
	10
	9,208846558
	8%
	58,75
	57,71085723
	2%
	163,1
	161,5920624
	1%
Podemos verificar que o erro pela teoria da dinâmica do contínuo é menor do que os erros obtidos numericamente, isso para esses casos específicos.
5. Programa MATLAB:
clc
clear all
close all
 
% Parametros modais de uma viga engastada livre.
%
% Coeficientes de Influencia
%
%
% Dados
%
L = 0.6; % Longitude da viga
b = 40.e-3; % Largura da viga
h = 4.e-3; % Espessura da viga
E = 7.1e10; % Modulo de Young do Al
I = b*h^3/12; % Momento de segunda ordem de area
A = b*h; % Area da seçao transversal
ni = 0.33; % Coeficiente de Poisson
ro = 2770; % Densidade do Al 
 
 
N=60; %23
k=40; %1
s=6; %22
 
le = L/N; % Longitude de cada elemento
me = b*h*le*ro; % Massa de cada elemento % numero de coordenadas generalizadas
 
M = zeros(N);
A = zeros(N);
 
for i=1:N
 M(i,i)=me;
 a(i)=i*le;
 x(i)=i*le;
end
M(N,N)= me/2;
 
for i=1:N
 for j=1:N
 if x(j) <= a(i)
 A(i,j)=1/(E*I)*(-x(j)^3/6 + a(i)*x(j)^2/2);
 else
 A(i,j)=1/(E*I)*(1/6*(x(j)-a(i))^3 - x(j)^3/6 + a(i)*x(j)^2/2);
 end
 end
end
 
% Inversao de A 
 
K = inv(A);
 
%+++
%+++
%+++
%+++
 
%1a Parte
%Cálculo de frequências naturais e modos de vibrar
 
%Passo 1
L=sqrt(M);
Li=inv(L);
 
% Passo 2
Ktil=Li*K*Li;
 
% passo 3
[V,D]=eig(Ktil);
omn=sqrt(diag(D)); % frequências naturais em rad/s
% apresentação das frequências naturais
[omn,in]=sort(omn);
Vaux=[V(:,in(1)) V(:,in(2)) V(:,in(3)) V(:,in(4)) V(:,in(5))];
V=Vaux;
disp('As frequências naturais, em rad/s, são')
disp(' ')
for i=1:length(omn)
 disp(['ômega',num2str(i),' = ',num2str(omn(i)),' rad/s'])
end
disp(' ')
disp('As frequências naturais, em Hz, são')
disp(' ')
for i=1:length(omn)
 disp(['fn',num2str(i),' = ',num2str(omn(i)/(2*pi)),' Hz'])
end
disp(' ')
%+++
%+++
%+++
%+++
 
 
% Problema de autovalores
 
[F,L]=eig(K,M); % F matriz de autovetores nao ortonormalizados (matriz modal)
 % L matriz espectral
 
 
[lam,I]=sort(diag(L));
for ii=1:length(L)
 FF(:,ii)=F(:,I(ii));
end
 
% Teste de ortogonalidade
F=FF;
Mr = F.'*M*F;
Kr = F.'*K*F;
 
% Mr(1:5,1:5);
% Kr(1:5,1:5);
 
% Ortonomalizacao de F atraves da matriz de massa
 
for i=1:N
 F(:,i) = F(:,i)/ Mr(i,i)^0.5;
end
 
Mr = F.'*M*F;
Kr = F.'*K*F;
 
fn=sqrt(lam)/2/pi;
 
figure(1)
plot(x,F(:,1),x,F(:,2),x,F(:,3),x,F(:,4),x,F(:,5))xlabel('Distância da viga')
ylabel('Amplitude modal')
legend('modo1', 'modo2', 'modo3', 'modo4', 'modo5')
title('MODOS DE VIBRAR')
print('-dpng','modosdevibrar.png','-r200')
 
ksi = 2e-3;
 
NN=3;
 
for j=1:300
 f=j;
 alfa=0.;
 for jj=1:NN
 alfa=alfa+(F(k,jj)*F(s,jj))/(-(2*pi*f)^2+(2*pi*fn(jj))^2+i*2*ksi*(2*pi*fn(jj))*(2*pi*f)); 
 end
 alfaks(j)=alfa;
 freq(j)=f;
end
 
Inerks=-(2*pi*freq).^2.*alfaks;
 
% figure(4)
% plot(freq,20*log10(abs(alfaks)))
% xlabel('Frequencia')
% ylabel('módulo da receptância')
% %legend('lll')
% title('VIGA - SEM MASSA - Receptância') % verificar
% %print('-dpng','receptancia.png','-r200')
 
figure(5)
plot(freq,20*log10(abs(Inerks)))
xlabel('Frequencia')
ylabel('módulo de Inertância H')
% %legend('lll')
title('Inertância')
% print('-dpng','inertancia590.png','-r200')
% 
% %-----------------
% 
% % %Graficos experimentais 
% data=xlsread('Mag_I_200_60');
% freqexp=data(:,1);
% real=data(:,2);
% % 
% % 
% figure(6)
% plot(freqexp,real)
% xlabel('Frequência (Hz)')
% title ('Inertâncias k=200mm')
% print('-dpng','inertancia_experimentalk200.png','-r200')
% %%%
% data=xlsread('Mag_I_400_60');
% freqexp=data(:,1);
% real=data(:,2);
% % 
% % 
% figure(7)
% plot(freqexp,real)
% xlabel('Frequência (Hz)')
% title ('Inertâncias k=400mm')
% print('-dpng','inertancia_experimentalk400.png','-r200')
% 
% % 
% % %Close All
% data=xlsread('Mag_I_590_60');
% freqexp=data(:,1);
% real=data(:,2);
% % 
% % 
% figure(8)
% plot(freqexp,real)
% xlabel('Frequência (Hz)')
% title ('Inertâncias k=590mm')
% print('-dpng','inertancia_experimentalk590.png','-r200')
%

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