1 2011 Prova P3 Turmas A e B MA23111 GABARITO (1)

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MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2011 Prova P3 A Nº de ordem: _________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem NOTA: ___________ 
 
 
QUESTÃO 1: Quais valores de m asseguram uma solução para o sistema linear, dado 
abaixo, pelo método iterativo? 
 





=++
=++
=++
mmzyx
mmzy5x
1zyx4
3
 
 
 Resolução: 
 
 
75,0m1
10
m.21
.
m
1
2
1
.
m
1
5,4m1
10
m.21
5
m
2
1
.
5
1
1
2
1
4
1
4
1
3
2
1
>⇒<
+
+=β
<⇒<
+
=+=β
<=+=β
 
 
 
 −0,75 0,75 
 −4,5 4,5 
 
 
 −4,5 -0,75 0,75 4,5 
 
Resposta: 5,4m75,0ou75,0m5,4/m <<−<<−ℜ∈∀ 
QUESTÃO 2: Uma pedra é atirada para o alto com trajetória dada por f(x) = 432 32 xxxx −++ . 
A que distância, no chão, do ponto de onde foi arremessada, a pedra começa a cair? 
Usar 2 c.decimais. 
 
Resolução: 
Devemos achar o ponto de máximo da função f. Para isso, calculamos a derivada g da função 
f, e impomos que g se anule. Determinamos o valor de α tal que g(α)=0 pelo método de 
Newton-Raphson. 
 g(x) = f ‘(x) = 04922 32 =−++ xxx 
0 1 2 3
5
10
g x( )
x
 
 
 
 
0)1(g
0)0(g
>
>
 
[3,2]
0)3(g
0)2(g
∈α⇒



<
>
 
 
2
32
1 12182
4922
kk
kkk
kk
xx
xxx
xx
−+
−++
−=+ 
53,2x
53,2x
63,2x
3x
3
2
1
0
=
=
=
=
 
 
 
 
Resposta: α = 2,53 
 
 A 
 
 
QUESTÃO 3: Mr.K.P.Lear teve a ideia de que a Terra se move ao redor do Sol em órbita 
elíptica, com o Sol num dos focos. Depois de muitas observações obteve a tabela abaixo 
onde r é a distância da Terra ao Sol (em trilhões de Km) e x é o ângulo (em radianos) entre a 
linha Terra-Sol e o eixo principal da elipse. Mr.Lear sabe que a elipse pode ser escrita pela 
fórmula 
(x)cos1
r
b.
a
+
= 
x 0 
4
pi
 
2
π
 
4
3pi
 
r 1,41 1,52 1,75 1,93 
Usar 2 casas decimais. 
 
Resolução: 
Y=A+B.X 







==
==
⇒+=⇒
+
=
a
bBe
a
1A
)xcos(Xe
r
1Y
)xcos(.
a
b
a
1
r
1
(x)cos1r b.
a
 
 
A 
g0(X)=1 
B 
g1(X)=X=cos(x) 
independ. 
Y 
 
1 
1 
1 
1 
1 
0,71 
0 
−0,71 
0,71 
0,66 
0,57 
0,52 
 
 
4 
1 
1 
2 
2,46 
0,81 
 
 
 7 0,78 7B=0,78 ⇒ B=0,11 
 
A+2B=0,81 ⇒ A=0,59 
69,1
59,0
1
a
a
1A ==⇒= e 19,0)69,1.(11,0a.Bb
a
bB ===⇒= 
Y=A+BX ⇒ Y=0,59+0,11X 
Resposta: A curva é 
)xcos(.19,01
69,1
(x)cos1r +=+= b.
a
 
QUESTÃO 4: O nível N de um líquido varia em relação ao tempo t e é dado pela 
equação N.t.25,0
dt
dN
= . Admitindo-se que N=1,6 para t=0, pede-se calcular o 
nível quando t=2. Usar a fórmula de Runge-Kutta com passo h=2. 
Escrever as fórmulas adaptadas ao problema e usar 2 casas decimais. 
Fórmulas: 
 K1 = f(x,y) ; K2 = f(x +h/2, y + (h/2) K1) ; K3 = f(x +h/2, y + (h/2) K2) 
 K4 = f(x +h, y + h K3) ; y(x+h) = y(x) + (h/6).(K1 +2(K2 +K3 )+K4) 
 
Resolução: 
As fórmulas adaptadas ao problema são as seguintes: 
K1 = f(t,N) = 0,25.t.N(t) 
K2 = ( ) ( )11 K1)t(N.1t.25,0K.2
hN,
2
h
tf ++=





++ 
K3 = ( ) ( )22 K1)t(N.1t.25,0K.2
hN,
2
h
tf ++=





++ 
K4 = ( ) ( ) ( )33 K2)t(N.2t.25,0K.hN,htf ++=++ 
y(t+2) = y(x) + (2/6).(K1 +2(K2 +K3 )+K4) 
 
t N(t) K1 K2 K3 K4 
0 1,6 0 0,40 0,50 1,30 
2 2,63 −− −− −− −− 
 
Resposta: Para t=2 o nível é N=2,63 
 
A 
 
 
 
 MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2011 Prova P1 B Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Quais valores de m asseguram solução o sistema linear, dado abaixo, pelo 
método iterativo? 
 





=++
=++
=++
2mmzyx
1mzy4x
mzyx5
 
 
Resolução: 
 
 
3
21
20
.52
.
1
5
2
.
1
6,31
20
.52
45
2
.
4
1
1
5
2
5
1
5
1
3
2
1
>⇒<
+
+=
<⇒<
+
=+=
<=+=
m
m
mm
m
mm
β
β
β
 
 
 −2/3 2/3 
 −3,6 3,6 
 
 
 −3,6 −2/3 2/3 3,6 
 
 
Resposta: 6,3m3/2ou3/2m6,3/m <<−<<−ℜ∈∀ 
QUESTÃO 2: Uma pedra é atirada para o alto com trajetória dada por f(x) = 432 xxx4x9 −−+ . 
 A que distância, no chão, do ponto de onde foi arremessada, a pedra começa a cair? 
 
Resolução: 
Devemos achar o ponto de máximo da função f. Para isso, calculamos a derivada g da fun-
ção f, e impomos que g se anule. Determinamos o valor de α tal que g(α)=0 pelo método 
de Newton-Raphson. 
 g(x) = f ‘(x) = 0x4x3x89 32 =−−+ 
0 1 2
5
10
g x( )
x
 
 
 
 
 





∈α⇒<
>
>
[2,1]0)2(g
0)1(g
0)0(g
 
 
2
kk
3
k
2
kk
k1k
x12x98
x4x3x89
xx
−−
−−+
−=+ 
53,2x
53,1x
53,1x
63,1x
2x
3
2
1
0
=
=
=
=
=
 
 
 
 
Resposta: α = 1,53 
 
 B
 
 
QUESTÃO 3: Mr.K.P.Lear teve a ideia de que a Terra se move ao redor do Sol em órbita 
elíptica, com o Sol num dos focos. Depois de muitas observações obteve a tabela abaixo 
onde r é a distância da Terra ao Sol (em trilhões de Km) e x é o ângulo (em radianos) entre a 
linha Terra-Sol e o eixo principal da elipse. Mr.Lear sabe que a elipse pode ser escrita pela 
fórmula 
(x)cos1
r
b.
a
+
= . 
x 0 
4
pi
 
2
π
 
4
3pi
 
r 1,32 1,48 1,77 1,96 
 Usar 2 casas decimais. 
Resolução: 
Y=A+B.X 







==
==
⇒+=⇒
+
=
a
bBe
a
1A
)xcos(Xe
r
1Y
)xcos(.
a
b
a
1
r
1
(x)cos1r b.
a
 
 
A 
g0(X)=1 
B 
g1(X)=X=cos(x) 
ind 
Y 
 
1 
1 
1 
1 
1 
0,71 
0 
−0,71 
0,76 
0,68 
0,56 
0,51 
 
 
4 
1 
1 
2 
2,51 
0,88 
 
 
 
7 1,01 7B=1,01 ⇒ B=0,14 
 
 
A+2B=0,88 ⇒ A=0,59 
69,1
59,0
1
a
a
1A ==⇒= e 24,0)69,1.(14,0a.Bb
a
bB ===⇒= 
Y=A+BX ⇒ Y=0,59+0,11X 
Resposta: A curva é 
)xcos(.24,01
69,1
(x)cos1r +=+= b.
a
 
QUESTÃO 4: O nível N de um líquido varia em relação ao tempo t e é dado pela 
equação N.t.35,0
dt
dN
= . Admitindo-se que N=3,1 para t=0, pede-se calcular o nível 
quando t=2 . Usar a fórmula de Runge-Kutta com passo h=2. 
Escrever as fórmulas adaptadas ao problema e usar 2 casas decimais. 
Fórmulas: 
 K1 = f(x,y) ; K2 = f(x +h/2, y + (h/2) K1) ; K3 = f(x +h/2, y + (h/2) K2) 
 K4 = f(x +h, y + h K3) ; y(x+h) = y(x) + (h/6).(K1 +2(K2 +K3 )+K4) 
 
Resolução: 
As fórmulas adaptadas ao problema são as seguintes: 
K1 = f(t,N) = 0,35.t.N(t) 
K2 = ( ) ( )11 K1)t(N.1t.35,0K.2
hN,
2
h
tf ++=





++ 
K3 = ( ) ( )22 K1)t(N.1t.35,0K.2
hN,
2
h
tf ++=




++ 
K4 = ( ) ( ) ( )33 K2)t(N.2t.35,0K.hN,htf ++=++ 
y(t+2) = y(x) + (2/6).(K1 +2(K2 +K3 )+K4) 
 
 
t N(t) K1 K2 K3 K4 
0 3,1 0 1,08 1,46 4,22 
2 6,20 −− −− −− −− 
 
Resposta: Para t=2 o nível é N=6,20 
B