2 2012 P1 GABARITO (1)

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MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 2º Semestre de 2012 Prova P1 A Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem Não é permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Para quais valores de m>0 podemos assegurar a convergência pelo 
método iterativo, usando o Critério de Sassenfeld, para o seguinte sistema linear: 
 





−=+−
=−−
=−−
1zmmyx
2zy4x2
1zyx4
2
 
Resolução: 
1
2
1
4
1
4
1
1 <=+=β 
1
2
1
4
1
2
1
.
4
2
2 <=+=β 
1
m.2
m1
2
1
.
m
m
2
1
.
m
1
2223 <
+
=+=β 
Como m > 0, então 
01mm.21
m.2
m11 223 >−−⇒<
+
⇒<β 
Resolvendo essa equação do 2º grau, temos que m > 1. 
 
Resposta: ∀m∈ℜ / m > 1 
QUESTÃO 2: Um trem sai da cidade A para a cidade B com a seguinte equação de movimento 
x1(t)=30–80.e-t . No mesmo horário sai um trem de B para a cidade A com equação do movimento dada 
por x2(t)=80.t. Após quanto tempo esses dois trens se cruzam, sabendo-se que a distância entre A e B 
é 190km? Resolver pelo método de Newton-Raphson. Duas casas decimais. 
Resolução: 
 x1(t) = 30 – 80.e-t x2(t) = 80.t 
 A B 
 190km 
 
190t80e8030 t =+− − .. ⇒ 0160t80e80 t =+−− .. 
 Separação das raizes 
0 5
2
 
 f(t) = 160t.80e.80 t +−− 
 
 32
 0 f(3)
0 f(2) [,]∈α⇒
<
>
 
 
Cálculo da raiz pela fórmula de Newton-Raphson: 
122t
122t
2t
1e
2te
tt
2
1
0
t
k
t
k1k
k
,
,
.
=
=
=
−−
+−
−=
−
−
+
 
 A 
 
 
QUESTÃO 3: Dadas as 2 famílias x
1 bay .= ou bxay2 += , verifique qual delas me-
lhor aproxima-se de f, sem fazer o ajuste pelo MMQ, para os seguintes dados tabelados: 
x 1 2 3 4 
f(x) 1,2 1,1 0,9 0,6 
 Usar 2 casas decimais. 
 
Resolução: 
 








==
==
⇒+=
=
)ln(;)ln(
;)ln(
.
bBaA
xX1y1Y
BXA1Y
bay x1
 ⇒ 
 
 
 








==
==
⇒+=
+=
bBaA
xXy2Y
BXA2Y
bxay
2
2
2
;
; ⇒ 
 
 
 Gráficos 
 
 
Pelo gráfico, vemos que a família Y2 tem os pontos mais alinhados e por isso a curva que 
melhor ajusta os dados tabelados é bxay2 += . 
X Y1 
1 
2 
3 
4 
 0,18 
 0,10 
−0,11 
−0,51 
X Y2 
1 
2 
3 
4 
1,44 
1,21 
0,81 
0,36 
QUESTÃO 4: Uma paisagista quer resolver o Problema abaixo usando o Matlab. Para isso, 
digitou alguns comandos e outros deixou com lacunas. 
Pede-se completar essas lacunas com os comandos de matlab, que resolve o Problema. 
Problema: Quero montar vasos de plantas, mas estão faltando 3 flores A, B e C. Se adquirir, 
respectivamente: (a) 4, 5 e 6 flores, gastarei R$17,00; (b) 5 , 2 e 10 flores , gastarei R$21,60; 
(c) 6 , 6 e 4 flores, gastarei R$16,80. Determinar o preço de cada flor. 
Matlab: 
Codificação Lacuna Resposta 
lacuna 1 5,2,10 
lacuna 2 16.80 
lacuna 3 MC 
lacuna 4 X(2,4) 
 
disp('Usando a Função rref(A) ') 
%L é a matriz dos coeficientes das incógnitas do sistema 
L=[4,5,6; lacuna 1;6,6,4] 
det(L) %determinante de L 
%MC é a matriz completa associada ao sistema linear 
MC=[4,5,6,17.00;5,2,10,21.60;6,6,4, lacuna 2] 
X=rref(lacuna 3) %matriz com a solução (A,B,C) 
A=X(1,4) %valor da incógnita A 
B= lacuna 4 
lacuna 5=X(3,4) 
disp('O sistema é possível e determinado') lacuna 5 C 
 
 
A 
Y2 
Y1 
 
 MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 2º Semestre de 2012 Prova P1 B Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem Não é permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Para quais valores de m>0 podemos assegurar a convergência pelo método 
iterativo, usando o Critério de Sassenfeld, para o seguinte sistema linear: 
 





−=+−
=+−
=−+
1zmmyx3
2z2y6x3
1zyx3
2
 
 
Resolução: 
1
3
2
3
1
3
1
1 <=+=β 
1
3
2
6
2
3
2
.
6
3
2 <=+=β 
1
m.3
m26
3
2
.
m
m
3
2
.
m
3
2223 <
+
=+=β 
Como m > 0 
06m2m.31
m.3
m261 223 >−−⇒<
+
⇒<β 
Resolvendo essa equação do 2º grau e lembrando que m > 0 temos que 
3
191
m
+
> .
 
 
 
Resposta: ∀m∈ℜ / 
3
191
m
+
> .
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2: Um trem sai da cidade A para a cidade B com a seguinte equação de 
movimento x1(t)=60–160.e-t . No mesmo horário sai um trem de B para a cidade A com 
equação do movimento dada por x2(t)=160.t. Após quanto tempo esses dois trens se cruzam, 
sabendo-se que a distância entre A e B é 380km? Resolver pelo método de Newton-Raphson. 
Duas casas decimais. 
Resolução: 
 x1(t) = 60 – 160.e-t x2(t) = 160.t 
 A B 
 380km 
 
380t160e16060 t =+− − .. ⇒ 0320t160e160 t =+−− .. 
Separação das raizes 
0 5
2
 
 f(t) = 320t160e160 t +−− .. 
 
 32
 0 f(3)
0 f(2) [,]∈α⇒
<
>
 
 
Cálculo da raiz pela fórmula de Newton-Raphson: 
122t
122t
2t
1e
2te
tt
2
1
0
t
k
t
k1k
k
,
,
.
=
=
=
−−
+−
−=
−
−
+
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 4: Uma paisagista quer resolver o Problema abaixo usando o Matlab. Para isso, di-
QUESTÃO 3: Dadas as 2 famílias x
1 bay .= ou bxay2 += , verifique qual delas melhor 
aproxima-se de f, sem fazer o ajuste pelo MMQ, para os seguintes dados tabelados: 
x 1 2 3 4 
f(x) 0,4 0,8 1,1 1,3 
 Usar 2 casas decimais. 
 
Resolução: 
 








==
==
⇒+=
=
)ln(;)ln(
;)ln(
.
bBaA
xX1y1Y
BXA1Y
bay x1
 ⇒ 
 
 
 








==
==
⇒+=
+=
bBaA
xXy2Y
BXA2Y
bxay
2
2
2
;
; ⇒ 
 
 
 Gráficos 
 
 
Pelo gráfico, vemos que a família Y2 tem os pontos mais alinhados e por isso a curva que me-
lhor ajusta os dados tabelados é bxay2 += . 
X Y1 
1 
2 
3 
4 
−0,92 
−0,22 
 0,10 
 0,26 
X Y2 
1 
2 
3 
4 
0,16 
0,64 
1,21 
1,69 
gitou alguns comandos e outros deixou com lacunas. 
Pede-se completar essas lacunas com os comandos de matlab, que resolve o Problema. 
Problema: Quero montar vasos de plantas, mas estão faltando 3 flores A, B e C. Se adquirir, 
respectivamente: (a) 5, 4 e 6 flores, gastarei R$17,20 ; (b) 2 , 5 e 10 flores gastarei R$21,00; 
(c) 6 , 6 e 4 flores, gastarei R$16,80. Determinar o preço de cada flor. 
 
Matlab: 
Codificação Lacuna Resposta 
lacuna 1 2,5,10 
lacuna 2 16.80 
lacuna 3 MC 
lacuna 4 Z(2,4) 
 
disp('Usando a Função rref(A) ') 
%S é a matriz dos coeficientes das incógnitas do sistema 
S=[5,4,6; lacuna1;6,6,4] 
det(S) %determinante de S 
%MC é a matriz completa associada ao sistema linear 
MC=[5,4,6,17.20;2,5,10,21.00;6,6,4, lacuna 2] 
Z=rref(lacuna 3) %matriz com a solução (A,B,C) 
A=Z(1,4) %valor da incógnita A 
B= lacuna 4 
lacuna 5=Z(3,4) 
disp('O sistema é possível e determinado') lacuna 5 C 
 
 
 B 
 
 
 
Y2 
Y1