P3 2012 Gabaritos (2)

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MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2012 Prova P3 A Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _______________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Resolver o sistema linear pelo método da triangularização de Gauss. 
Usar duas casas decimais. 





=−+−
=−−
=−−
1522
73
22
32
32
32
zyx
zyx
zyx
 
 
 
Solução: 
Façamos as seguintes mudanças de variáveis y2 = r e z3 = s 
 
 x r s Ind. 
 2 -1 -1 
 3 -1 -1 
-1 2 -2 
 2 
 7 
 15 
 
 1 1 
 3 -5 
 8 
 32 
⇒ r + s = 8 ⇒ r = 9 
 -8 8 ⇒ -8s = 8 ⇒ s = -1 
 
Como y2 = r = 9 ⇒ y = 3 ou y = -3 
E ainda, z3 = s = -1 ⇒ z = -1 
Mas 2x - y2 - z3 = 2 ⇒ x = 5 
Resposta: As soluções do sistema linear são (5, 3, -1) ou (5, -3, -1). 
 
 
QUESTÃO 2: A curva 3x2x2xx)x(f 234 +−−−= admite reta tangente paralela ao eixo x. Calcule o 
ponto de tangência pelo método de Newton-Raphson. Separe as raízes pelo método de Laguerre e 
considere x0 como o ponto médio do intervalo que contém a raiz. Escreva a fórmula iterativa de Newton-
Raphson adaptada ao problema e use nos cálculos 2 casas decimais. 
 
Solução: 
A reta tangente a curva f e paralela ao eixo x é 2x4x3x4)x(g 23 −−−= 
 
P(x) 
 4 −3 −4 −2 −P(−x) 4 3 −4 2 
1 
 4 1 −3 −5 1 4 7 3 5 
2 4 5 6 10 
 extremo inferior LI=−1 
 extremo superior LS=2 
 
 
As raízes reais de g(x) estão em ]−1, 2[ 
P(−1)=−5 ; P(0)=−2 ; P(1)=−5 ; P(2)=10 ⇒ A raiz α∈]1 , 2[. 
Calculando pela fórmula iterativa de Newton-Raphson: 
4x6x12
2x4x3x4
xx 2
23
k1k
−−
−−−
−=+ 
A raiz α∈]1 , 2[ e, portanto, o ponto médio é x0=1,5 
x1=1,59 
x2=x3=1,58 
 
 A
 
QUESTÃO 3: Uma corrida de um taxi é cobrada pela distância d percorrida conforme tabela 
abaixo. Pede-se determinar: (a) A expressão algébrica da curva R; (b) Se o passageiro dis-
põe somente de 58 reais até que distância poderá ir de taxi? Usar 1 casa decimal. 
d (Km) 2 7 11 
R (reais) 11,2 17,7 26,5 
 
 
 
Solução: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 526711211
7d2d
717
11727
11d2d
211
11272
11d7d
dP2 ,.
.
.
,.
.
.
,.
.
.)(
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
 
(a) A expressão algébrica é 10d40d10dP 22 ++= ,,)( 
)()( servenão24dou20d58d2P −==⇒= 
(b) Com 58 reais o passageiro poderá ir até a distância d=20Km 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 4: Dada a equação 052x
xe2e =−+− ,)( ,∀x∈ℜ , para verificar a existência e a 
localização de raiz real, podemos separar a função em duas funções x52
xe2e −=− ,)( 
Pede-se resolver os dois itens seguintes: 
(a) Completar a codificação do programa MatLab 
 
% Gráfico das funções 
x=−−−−6:0.1:4; 
y=exp(lacuna1); 
z=lacuna2; 
plot(x,y,'r',lacuna3,'b'); 
grid 
 
lacuna resposta 
1 2−exp(x) 
2 2.5−x 
3 x , z 
 
(b) Pelo gráfico feito no Matlab sabe-se que há 3 raízes reais. Determinar em que intervalos 
entre dois números inteiros consecutivos devemos pesquisar as raízes reais. 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
0
2
4
6
8
10
eixo x
e
i
x
o
 
y
 
 
 
Os intervalos, de amplitudes unitarias, que contém as raízes r1 , r2 e r3 são: 
r1 ∈ ]−5 , −4[ 
r2 ∈ ]0 , 1[ 
r3 ∈ ]2 , 3[ 
A 
 
 
 MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2012 Prova P3 B Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: _______________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Resolver o sistema linear pelo método da triangularização de Gauss. 
Usar duas casas decimais. 






=−+
=−−
=++
523
03
52
3
3
3
zyx
zyx
zyx
 
 Solução: 
Façamos as seguintes mudanças de variáveis y = r e z3 = s 
 
 x r s Ind. 
 2 1 1 
 3 -1 -1 
1 3 -2 
 5 
 0 
 5 
 
 -5 -5 
 5 -5 
 -15 
 5 
⇒ -5r - 5s = -15 ⇒ r = 2 
 50 50 ⇒ 50s = 50 ⇒ s = 1 
 
Como y = r = 2 ⇒ y = 4 
E ainda, z3 = s = 1 ⇒ z = 1 
Mas, 2x + y + z3 = 5 ⇒ x = 1 
Resposta: A solução do sistema linear é (1, 4, 1) . 
QUESTÃO 2: A curva 7x2x3xx)x(f 234 ++−+= admite reta tangente paralela ao eixo x. Calcule o 
ponto de tangência pelo método de Newton-Raphson. Separe as raízes pelo método de Laguerre e 
considere x0 como o ponto médio do intervalo que contém a raiz. Escreva a fórmula iterativa de New-
ton-Raphson adaptada ao problema e use nos cálculos 2 casas decimais. 
 Resolução: 
 A reta tangente a curva f(x) e paralela ao eixo x é 2x6x3x4)x(g 23 +−+= 
 
P(x) 
 4 3 −6 2 −P(−x) 4 −3 −6 −2 
1 4 7 1 3 1 4 1 −5 −7 
 extremo superior LS=1 2 4 5 4 6 
 extremo inferior LI=−2 
 
As raízes reais de P(x) estão em ]−2, 1[ 
 
P(−2)=−6 ; P(−1)=7 ; P(0)=2 ; P(1)=3 ⇒ A raiz α∈]−2 , −1[. 
Calculando pela fórmula iterativa de Newton-Raphson: 
6x6x12
2x6x3x4
xx 2
23
k1k
−+
+−+
−=+ 
A raiz α∈]−2 , −1[ e, portanto, o ponto médio é x0=−1,5 
x1=−1,85 
x2=x3=−1,76 
 
 
 B
 
QUESTÃO 3: Uma corrida de um taxi é cobrada pela distância d percorrida conforme tabela 
abaixo. Pede-se determinar: (a) A expressão algébrica da curva R; (b) Se o passageiro dis-
põe somente de 42 reais até que distância poderá ir de taxi? Usar 1 casa decimal. 
d (Km) 3 7 12 
R (reais) 12,1 17,7 29,2 
 
 
Solução: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 229712312
7d3d
717
12737
12d3d
112
12373
12d7d
dP2 ,.
.
.
,.
.
.
,.
.
.)(
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
 
(a) A expressão algébrica é 10d40d10dP 22 ++= ,,)( 
)()( servenão20dou16d42d2P −==⇒= 
(b) Com 42 reais o passageiro poderá ir até a distância d=16Km 
 
 
 
QUESTÃO 4: Dada a equação 05,63 )3( =+− −
xe
ex ,∀x∈ℜ , para verificar a existência e a 
localização de raiz real, podemos separar a função em duas funções 56x3e
xe3
,
)(
−=−
−
. 
Pede-se resolver os dois itens seguintes: 
(a) Completar a codificação do programa MatLab 
 
% Gráficos das funções 
x=−6:0.1:3; 
y= lacuna1; 
z= −−−−exp(lacuna2); 
plot(x,y,’b’,lacuna3,’r’); 
grid 
 
lacuna resposta 
1 3*x−6.5 
2 3−exp(x) 
3 x , z 
 
(b) Pelo gráfico feito no Matlab sabe-se que há 3 raízes reais. Determinar em que intervalos 
entre dois números inteiros consecutivos devemos pesquisar as raízes reais. 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-30
-20
-10
0
10
eixo x
e
i
x
o
 
y
 
Os intervalos, de amplitudes unitarias, que contém as raízes r1 , r2 e r3 são : 
r1 ∈ ]−5 , −4[ 
r2 ∈ ]0 , 1[ 
r3 ∈ ]2 , 3[ 
B