P3 2o 2008 (1)

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GABARITO DE CÁLCULO NUMÉRICO P3 
 
 
 
TURMA A 
 
Questão 1 
 Queremos resolver o sistema abaixo pelo método iterativo. Quais valores de m asseguram solução? 
 
 



=++
=++
=++
mmzyx
1mzy5x
5zyx4
 
 
 
 
5,4m75,0
75,0m5,4
Então
75,0m1
10
m.21
.
m
1
2
1.
m
1
5,4m1
10
m.21
5
m
2
1.
5
1
1
2
1
4
1
4
1
3
2
1
<<
−<<−
>⇒<++=β
<⇒<+=+=β
<=+=β
 
 
Questão 2 
 Um objeto é atirado para o alto com trajetória dada por f(x) = 432 32 xxxx −++ . 
 A que distância, no chão, do ponto de onde foi arremessado, o objeto começa a cair? 
 
 
 g(x) = f ‘(x) = 04922 32 =−++ xxx 
 
 
1 0 1 2 3 4
10
g x( )
x [3,2]
0)3('
0)2('
0)1('
0)0('
∈→






<
>
>
>
α
f
f
f
f
2
32
1 12182
4922
kk
kkk
kk xx
xxxxx −+
−++−=+ 
53,2:
53,2
53,2
63,2
3
3
2
1
0
=
=
=
=
=
αSolução
x
x
x
x
 
 
Questão 3 
 Aproximar os dados da tabela abaixo por uma curva da família xbemy ..= .Duas 
decimais de precisão. 
 
 x 2 3 4 5 
 
 y= f(x) 1,00 2,00 4,00 8,00 
 
 
 xbemy ..= ln(y) = ln(m) + bx 
 Y = A + BX 
 
 
X Y 1 X Y 
2 0 1 2 0 
3 0,69 1 3 0,69 
4 1,39 1 4 1,39 
5 2,08 1 5 2,08 
 4 14 4,16 
 14 54 18,03 
xey
bB
mmA
BA
BA
.69,0.25,0
69,0
25,0)ln(39,1
03,185414
16,4144
=


==
=→=−=


=+
=+
 
 
Questão 4 
 Dada a tabela abaixo, transformá-la, por interpolação, numa tabela com passo unitário. 
 
x 0 2 5 
f(x) 1,80 2,10 4,60 
 
Vamos utilizar o polinômio de Lagrange. 
 
)()(
80,11234,01367,0
60,4.
3.5
)2.(10,2.
)3.(2
)5.(80,1.
)5)(2(
)5)(2()(
2
2
2
xPxf
xx
xxxxxxxP
≅
+−=
=−+−
−+−−
−−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x f(x) 
0 1,80 
1 1,81 
2 2,10 
3 2,66 
4 3,49 
5 4,60 
 
TURMA B 
Questão 1 
 Queremos resolver o sistema abaixo pelo método iterativo. Quais valores de m asseguram 
solução? 
 
 



=++
=++
=++
mmzyx
1mzy4x
5zyx5
 
Então
m
m.
.
m
.
m
,m
m.m
.
3
2
1
20
521
5
21
631
20
52
45
2
4
1
1
5
2
5
1
5
1
3
2
1
>⇒<++=β
<⇒<+=+=β
<=+=β
 
 
63670
67063
,m,
,m,
<<
−<<−
 
Questão 2 
 Um objeto é atirado para o alto com trajetória dada por f(x) = 432 x
4
3
x
3
8
x
2
1
x −++ . 
 A que distância, no chão, do ponto de onde foi arremessado, o objeto começa a cair? 
 g(x) = f ‘(x) = 0x3x8x1 32 =−++ 
1− 0 1 2 3 4
5
10
15
g x( )
x 
 
 
 
[3,2]
0)3('
0)2('
0)1('
0)0('
∈→






<
>
>
>
α
f
f
f
f
 
2
kk
3
k
2
kk
k1k x9x161
x3x8x1
xx −+
−++−=+ 
83,2:Solução
83,2x
83,2x
84,2x
3x
3
2
1
0
=α
=
=
=
=
 
 Questão 3 A tabela abaixo pode ser ajustada por uma família do tipo 
mxk
xy += . Calcular k e m
 
x 400 300 200 
y 50 25 10 
 
Y
y
x
mxk
y
x
mxk
xy
=
+=⇒+=
 
 1 x Y 
 1 400 8 
 1 300 12 
 1 200 20 
 3 900 40 
 900 290.000 10.800 
 
x.,,
x
y
,m
,k
0603331
060
3331
−=
−=
=
 
 
 
 
Questão 4 Dada a tabela abaixo, transformá-la, por interpolação, numa tabela com passo unitário. 
 
x 0 2 5 
f(x) 0,8 1,1 3,6 
 
Vamos utilizar o polinômio de Lagrange: 
 
6,3.
3.5
)2.(1,1.
)3.(2
)5.(8,0.
)5).(2(
)5).(2()(2
−+−
−+−−
−−= xxxxxxxP 
 
Teremos que calcular os valores de f(x) nos pontos 1, 3 e 4. Para isso basta substituir x, na 
expressão acima, por 1, 3 e 4. 
Sendo f(x) = P2(x) + Erro, vamos admitir o erro desprezível. 
 
x = 1 f(1) = 0,8 
 
x = 3 f(3) = 1,7 
 
x = 4 f(4) = 2,6 
 
A tabela com passo unitário será: 
 
x Y 
400 8 
300 12 
200 20 
x 0 1 2 3 4 5 
f(x) 0,8 0,8 1,1 1,7 2,6 3,6