ATERRAMENTO (COMPLETO)

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE LINS SISTEMAS DE ATERRAMENTO
WAGNER ANTONIO BIFFE
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1 – INTRODU‚O AO SISTEMA DE ATERRAMENTO
1.1 - INTRODU‚O
Em qualquer edifica€o moderna, encontramos instala€‚es elƒtricas, 
eletr„nicas e mec…nicas que necessitam de alguma forma de aterramento, seja para 
uma prote€o em caso de eventual falha de algum sistema, para dissipa€o de 
eletricidade est†tica ou ainda prote€‚es contra descargas atmosfƒricas e surtos de 
manobras. Com o adensamento das constru€‚es e a utiliza€o cada vez mais intensa 
de equipamentos e m‡dias sens‡veis, torna-se imperativo realizar um bom 
aterramento das partes envolvidas. Se, por um lado, os materiais utilizados nos 
sistemas de aterramento pouco evolu‡ram nas ˆltimas dƒcadas, dispomos agora de 
ferramentas de c†lculo muito mais eficientes - o paradoxo ƒ de que utilizamos os 
pr‰prios computadores para calcular a melhor forma de protegŠ-los...
Embora os requisitos de aterramento de cada equipamento ou edifica€o 
sejam diferentes, alguns princ‡pios so universais, assim como uma boa parte dos 
problemas. Se conseguirmos equacionar ambos - princ‡pios e problemas - j† teremos 
encaminhado boa parte da solu€o.
Os objetivos principais do aterramento so:
 Obter uma resistŠncia de aterramento a mais baixa poss‡vel, para correntes de 
falta ‹ terra;
 Manter os potenciais produzidos pelas correntes de falta dentro de limites de 
seguran€a de modo a no causar fibrila€o do cora€o humano;
 Fazer que equipamentos de prote€o sejam mais sensibilizados e isolem 
rapidamente as falhas ‹ terra;
 Proporcionar um caminho de escoamento para terra de descargas atmosfƒricas; 
 Usar a terra como retorno de corrente no sistema MRT;
 Escoar as cargas est†ticas geradas nas carca€as dos equipamentos.
Existem v†rias maneiras para aterrar um sistema elƒtrico, que vo desde uma 
simples haste, passando por placas de formas e tamanhos diversos, chegando ‹s mais 
complicadas configura€‚es de cabos enterrados no solo. Sem dˆvida, o maior 
problema refere-se ao solo, com suas inconsistŠncias, heterogeneidades e 
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anisotropias, bem como a varia€o sazonal de suas propriedades. No h† segredo, e 
as f‰rmulas existentes no so m†gicas: trata-se de realizar um modelo matem†tico 
que consiga aproximar-se satisfatoriamente do resultado f‡sico. Quanto ƒ esse 
satisfat‰rio? Depende do rigor dos objetivos almejados, bem como dos dados 
dispon‡veis; pode ser que 5% de erro seja ruim ou que 20 % a seja bom. Ali†s, como 
todo o livro far† referŠncias a erros relativos e, como o termo erro, em portuguŠs, 
tem uma conota€o pejorativa - o que no ƒ nossa inten€o aqui - vamos, de agora 
em diante, substituir erro por desvio.
Outro problema bastante grave ƒ o cultural: como os procedimentos mais 
precisos para o dimensionamento de aterramentos requerem capacita€o profissional, 
houve uma dissemina€o de dois tipos negativos de projetistas: o pregui€oso e o 
"m†gico". Tambƒm no aspecto cultural pode-se incluir outros problemas, como a 
falta de fluŠncia dos profissionais brasileiros em outras l‡nguas, onde se encontra a 
maior parte das publica€‚es sƒrias no gŠnero.
Alguns erros (aqui so erros mesmo, no desvios) que temos encontrado nas 
instala€‚es de aterramento verificadas so realmente prim†rios, como utilizar hastes 
profundas para solos com segunda camada de resistividade maior que a primeira, ou 
outras varia€‚es do mesmo tema, como cravar dezenas de hastes.
1.2 - RESISTIVIDADE DO SOLO
O solo ƒ o meio no qual ficaro imersos os eletrodos de aterramentos, de 
forma que suas propriedades elƒtricas sero determinantes para o dimensionamento 
destes eletrodos.
Como estaremos preocupados com a condu€o de corrente pelo solo, a 
propriedade relevante ser† a resistividade, que indicar† uma maior ou menor 
resistŠncia ‹ passagem da corrente elƒtrica.
V†rios fatores influenciam na resistividade do solo. Entre eles, pode-se 
ressaltar:
 tipo de solo;
 mistura, de diversos tipos de solo;
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 solos constitu‡dos por camadas estratificadas com profundidades e materiais 
diferentes;
 teor de umidade; 
 temperatura;
 compacta€o e presso;
 composi€o qu‡mica dos sais dissolvidos na †gua retida; 
 concentra€o de sais dissolvidos na †gua retida.
As diversas combina€‚es acima resultam em solos com caracter‡sticas 
diferentes e, consequentemente, com valores de resistividade distintos.
Assim, solos aparentemente iguais tem resistividade diferentes.
Para ilustrar, a Tabela 1.2.1 mostra a varia€o da resistividade para solos de 
naturezas distintas.
TIPO DE SOLO RESISTIVIDADE (.m)
Terra de jardim com 50% de umidade 5 a 100
Terra de jardim com 20 % de umidade 140
Argila seca 1500 a 5000
Argila com 40 % de umidade 80
Argila com 20 % de umidade 330
Areia molhada 1300
Areia seca 3000 a 8000
Calc†rio compactado 1000 a 8000
Granito 1500 a 10000
Tabela 1.2.1: Tipo de solo e respectiva resistividade 
1.3 - A INFLUƒNCIA DA UMIDADE 
A resistividade do solo sofre altera€‚es com a umidade. Esta varia€o ocorre 
em virtude da condu€o de cargas elƒtricas no mesmo ser predominantemente i„nica.
Uma percentagem de umidade maior faz com que os sais, presentes no solo, se 
dissolvam, formando um meio eletrol‡tico favor†vel ‹ passagem da corrente i„nica. 
Assim, um solo espec‡fico, com concentra€o diferente de umidade, apresenta uma 
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grande varia€o na sua resistividade. A Tabela 1.3.1 mostra a varia€o da 
resistividade com a umidade de um solo arenoso.
Œndice de Umidade
(% por peso)
Resistividade( .m)
(solo arenoso)
0,0 10.000.000
2,5 1.500
5,0 430
10,0 185
15,0 105
20,0 63
30,0 42
Tabela 1.3.1: Resistividade de um solo arenoso com concentra€o de umidade
A resistividade ƒ bastante sens‡vel ao teor de umidade do solo atƒ um valor de 
20%; aumentar a umidade acima deste valor provocar† varia€‚es na resistividade 
conforme observado na figura 1.3.1 (NBR-7117).
Figura 1.3.1:  x Umidade percentual solo arenoso
Conclui-se, portanto, que o valor da resistividade do solo acompanha de 
per‡odos de seca e chuva de uma regio. Os aterramentos melhoram a sua qualidade 
com solo ˆmido, e pioram no per‡odo de seca.
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1.4 - A INFLUƒNCIA DA TEMPERATURA
Para um solo arenoso, mantendo-se todas as demais caracter‡sticas e 
variando-se a temperatura, a sua resistividade comporta-se de acordo com a Tabela 
1.4.1.
Temperatura
( C)
Resistividade ( .m)
(solo arenoso)
20 72
10 99
0 (Žgua) 138
0 (gelo) 300
- 5 790
- 15 3.300
Tabela 1.4.1: varia€o da Resistividade Com a Temperatura Para o Solo Arenoso
De uma maneira genƒrica, a performance de um determinado solo submetido 
‹ varia€o da temperatura pode ser expressa pela curva da figura 1.4.1.
A partir do m‡nimo, com o decrƒscimo da temperatura, e a conseqente contra€o e 
aglutina€o da †gua, ƒ produzida uma disperso nas liga€‚es i„nicas entre os 
gr…nulos de terra no solo, e que resulta num maior valor da resistividade.
Observe que no ponto de temperatura 0C (†gua), a curva sofre 
descontinuidade, aumentando o valor da resistividade no ponto 0C (gelo). Isto ƒ 
devido ao fato de ocorrer uma mudan€a brusca no estado da liga€o entre os gr…nulos 
que formam a concentra€o eletrol‡tica.
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Figura 1.4.1:  x Temperatura
Com um maiordecrƒscimo na temperatura h† uma concentra€o no estado 
molecular tornando o solo mais seco, aumentando assim a sua resistividade.
J† no outro extremo, com temperaturas elevadas, pr‰ximas de 100 C, o 
estado de vaporiza€o deixa o solo mais seco, com a forma€o de bolhas internas, 
dificultando a condu€o da corrente, conseqentemente, elevando o valor da sua 
resistividade.
1.5 - A INFLUƒNCIA DA ESTRATIFICA‚O
Os solos, na sua grande maioria, no so homogŠneos, mas formados por 
diversas camadas de resistividade e profundidade diferentes. Essas camadas, devido 
‹ forma€o geol‰gica, so em geral horizontais e paralelas ‹ superf‡cie do solo.
Existem casos em que as camadas apresentam inclinadas e atƒ verticais, 
devido a falha geol‰gica. Entretanto, os estudos apresentados para pesquisa do perfil 
do solo as consideram aproximadamente horizontais, uma vez que outros casos so 
menos t‡picos, principalmente no exato local da instala€o da subesta€o, da‡ a 
necessidade de introduzir o modelo de estratifica€o da resistividade do solo.
So diversos os mƒtodos existentes para se estratificar o solo, ou seja, definir 
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as camadas, sua profundidade e resistividade respectivas.
Dos mais conhecidos podemos citar o mƒtodo de Pirson, Yokogawa, Tagg e 
ainda o Simplificado.
Somente para ilustrar, os mƒtodos de Pirson e de Tagg so basicamente 
anal‡ticos e embora menos r†pidos, por sua natureza apresentam maior grau de 
preciso. O mƒtodo Yokogawa utiliza procedimentos gr†ficos e seu grau de preciso 
pode ser considerado satisfat‰rio:
J† o mƒtodo simplificado permite a estratifica€o do solo em apenas duas 
camadas e s‰ oferece resultados precisos para determinados tipos de solo.
Como resultado da varia€o da resistividade das camadas do solo, tem-se a 
varia€o da disperso de corrente. A figura 1.5.1 apresenta o comportamento dos 
fluxos de disperso de correntes em um solo heterogŠneo, em torno do aterramento.
Figura 1.5.1: Estratifica€o do solo em duas camadas
As linhas pontilhadas so as superf‡cies equipotenciais. As linhas cheias so 
as correntes elƒtricas fluindo no solo.
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1.6 - LIGA‚O „ TERRA
Quando ocorre um curto-circuito envolvendo a terra, espera-se que a corrente 
seja elevada para que a prote€o possa operar e atuar com fidelidade e preciso, 
eliminando o defeito o mais r†pido poss‡vel.
Durante o tempo em que a prote€o ainda no atuou, a corrente de defeito que 
escoa pelo solo, gera potenciais distintos nas massas met†licas e superf‡cie do solo.
Portanto, procura-se efetuar uma adequada liga€o dos equipamentos 
elƒtricos ‹ terra, para se ter o melhor aterramento poss‡vel, dentro das condi€‚es do 
solo, de modo que a prote€o seja sensibilizada e os potenciais de toque e passo 
fiquem abaixo dos limites cr‡ticos da fibrila€o ventricular do cora€o humano.
A maneira de prover a liga€o ‡ntima com a terra ƒ ligar os equipamentos e 
massas a um sistema de aterramento conveniente.
1.7 - SISTEMAS DE ATERRAMENTO
Toda e qualquer instala€o elƒtrica de alta e baixa tens‚es, para funcionar 
com desempenho satisfat‰rio, e ser suficientemente segura contra riscos de acidentes 
fatais, deve possuir um sistema de aterramento dimensionado adequadamente para as 
condi€‚es de cada projeto.
O sistema de aterramento visa:
 Seguran€a de atua€o da prote€o. 
 Escoamento de cargas est†ticas.
 Baixas resistŠncias de aterramento.
 Prote€o da instala€o contra descargas atmosfƒricas.
 Prote€o do indiv‡duo contra contatos com partes met†licas da instala€o 
energizadas acidentalmente.
 Uniformiza€o do potencial em toda †rea do projeto, prevenindo contra les‚es 
perigosas que possam surgir durante uma falta fase e terra.
Os diversos tipos de sistemas de aterramento devem ser realizados de modo a 
garantir a melhor liga€o com a terra.
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0s tipos principais so:
 uma simples haste cravada no solo;
 hastes alinhadas;
 hastes em tri…ngulo; 
 hastes em quadrado; 
 hastes em c‡rculos;
 placas de material condutor enterradas no solo;
 fios ou cabos enterrados no solo, formando diversas configura€‚es, tais como:
- extendido em vala comum;
- em cruz;
- em estrela;
- quadriculados, formando uma malha de terra.
0 tipo de sistema de aterramento a ser adotado depende da import…ncia do 
sistema de energia elƒtrica envolvido, do local e do custo. 0 sistema mais eficiente ƒ, 
evidentemente, a malha de terra.
1.8 - HASTES DE ATERRAMENTO
‘ constitu‡da de uma haste de comprimento entre 1 a 3 m e cujo material 
pode ser de a€o zincado ou de a€o revestido solidamente com cobre. Existem, no 
mercado, v†rios tipos de haste de terra, desde as hastes denominadas de efeito 
est†vel, bem como aquelas de efeito din…mico. As primeiras, desde que no sofram 
nenhum tipo de corroso, mantŠm o seu comportamento est†vel, desde que tambƒm 
no haja varia€‚es nas condi€‚es do solo. O segundo tipo, que tem geometria 
tubular, onde periodicamente ƒ injetada uma subst…ncia especial, ‹ base de sais 
minerais para melhorar a condutividade do solo nas imedia€‚es da haste, permite o 
controle da resistŠncia do aterramento ao longo dos anos.
0 material das hastes de aterramento deve ter as seguintes caracter‡sticas:
 ser bom condutor de eletricidade;
 deve ser um material praticamente inerte ‹s a€‚es dos †cidos e sais dissolvidos no 
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solo;
 o material deve sofrer a menor a€o poss‡vel da corroso galv…nica;
 resistŠncia mec…nica compat‡vel com a crava€o e movimenta€o do solo.
As melhores hastes so geralmente as cobreadas:
Tipo Copperweld: ‘ uma barra de a€o de sec€o circular onde o cobre ƒ 
fundido sobre a mesma; .
Tipo Encamisado por Extruso: A alma de a€o ƒ revestida por um tubo de 
cobre atravƒs do processo de extruso;
Tipo Cadweld: O cobre ƒ, depositado eletroliticamente sobre a alma de a€o.
‘ muito empregada tambƒm, com sucesso, a haste de cantoneira de ferro 
zincada.
Figura 1.8.1: Elementos de uma malha de terra
1.9 - ATERRAMENTO
Em termos de seguran€a, devem ser aterradas todas as partes met†licas que 
possam eventualmente ter contato com partes energizadas. Assim, um contato 
acidental de uma parte energizada com a massa met†lica aterrada estabelecer† um 
curto-circuito, provocando a atua€o da prote€o e interrompendo a liga€o do 
circuito energizado com a massa.
Os projetos de instala€‚es elƒtricas executados atualmente sempre indicam 
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um ponto de aterramento para a instala€o. Dependendo do projeto, ƒ feita apenas a 
especifica€o de um valor em Ohm (), por exemplo: 10 , 5 ou algum outro 
valor que, por falta de uma melhor explica€o, parece ser um capricho do projetista.
Aterramento ƒ, essencialmente, uma conexo elƒtrica ‹ terra, onde o valor da 
resistŠncia de aterramento representa a efic†cia desta liga€o: quanto menor a 
resistŠncia, melhor o aterramento.
A norma NBR 5410 estabelece v†rias condi€‚es quanto ao aterramento, ou 
seja: 
a) As massas simultaneamente acess‡veis devem ser ligadas ‹ mesma rede de
aterramento, individualmente, por grupo ou coletivamente.
b) Em cada edifica€o, deve existir uma liga€o equipotencial principal, reunindo os 
seguintes elementos:
 Condutor de prote€o principal.
 Condutor de aterramento principal ou terminal de aterramento principal.
 Canaliza€‚es met†licas de †gua, g†s eoutras utilidades.
 Colunas ascendentes de sistemas de aquecimento central ou de condicionamento 
de ar.
 Elementos met†licos da constru€o e outras estruturas met†licas. Cabos de 
telecomunica€o, com concord…ncia da empresa operadora. 
 Eletrodo de aterramento do sistema de prote€o contra descargas atmosfƒricas da 
edifica€o (p†ra-raios).
 Eletrodo de aterramento da antena externa de televiso.
Figura 1.9.1: Utiliza€o do condutor de prote€o
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c) Quando os elementos anteriormente mencionados originarem-se do exterior da 
edifica€o, a sua conexo ‹ liga€o equipotencial principal deve ser efetuada o mais 
pr‰ximo poss‡vel do ponto em que penetram na edifica€o.
d) Todo condutor isolado, cabo unipolar, ou veia de cabo multipolar utilizado como 
condutor neutro deve ser identificado conforme essa fun€o. No caso de 
identifica€o por cor, deve ser usada a cor azul-claro.
e) Todo condutor isolado, ou cabo unipolar, ou veia de cabo multipolar utilizado 
como condutor de prote€o (PE) deve ser identificado de acordo com sua fun€o. No 
caso de identifica€o por cor, deve ser usada a dupla colora€o verde-amarelo, ou na 
falta desta, a cor verde (cores exclusivas da fun€o de prote€o).
f) Todo condutor isolado, cabo multipolar utilizado como condutor PEN, deve ser 
identificado de acordo com essa fun€o. Em caso de identifica€o por cor, deve ser 
usada a cor azul-claro, com anilhas verde-amarelo nos pontos vis‡veis ou acess‡veis.
J† na indˆstria e no setor elƒtrico, uma an†lise apurada e cr‡tica deve ser feita 
nos equipamentos a serem aterrados, para se obter a melhor seguran€a poss‡vel.
Figura 1.9.2: Aterramento na barra de ferro de aterramento
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1.10 - CLASSIFICA‚O DOS SISTEMAS DE BAIXA TENS‚O EM 
RELA‚O „ ALIMENTA‚O E DAS MASSAS EM RELA‚O „ TERRA
A classifica€o ƒ feita por letras, como segue:
Primeira Letra - Especifica a situa€o da alimenta€o em rela€o ‹ terra.
T - A alimenta€o (lado fonte) tem um ponto diretamente aterrado;
I - Isola€o de todas as partes vivas da fonte de alimenta€o em rela€o ‹ terra ou 
aterramento de um ponto atravƒs de uma imped…ncia elevada.
Segunda Letra - Especifica a situa€o das massas (carca€as) das cargas ou 
equipamentos em rela€o ‹ terra.
T - Massas aterradas com terra pr‰prio, isto ƒ, independente da fonte;
N - Massas ligadas ao ponto aterrado da fonte;
I - Massa isolada, isto ƒ, no aterrada.
Outras Letras - Forma de liga€o do aterramento da massa do equipamento, 
usando o sistema de aterramento da fonte.
S - Separado, isto ƒ, o aterramento da massa ƒ feito com um fio (PE) separado 
(distinto) do neutro;
C - Comum, isto ƒ, o aterramento da massa do equipamento ƒ feito usando o fio 
neutro (PEN).
Exemplo 1.10.1: Sistema de alimenta€o e consumidor do tipo TN-S. 
Figura 1.10.1: Sistema TN-S
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Exemplo 1.10.2: Sistema tipo TN-C figura 1.10.2
Figura 1.10.2: Sistema TN-C
Exemplo 1.10.3: Sistema TN-C-S - A fonte (alimenta€o) ƒ aterrada (T), o 
equipamento tem o seu aterramento que usa um fio separado (S) que, ap‰s uma certa 
dist…ncia, ƒ conectado ao fio neutro (C). Figura 1.10.3.
Figura 1.10.3: Sistema TN-C-S
Exemplo 1.10.4: Sistema TT - A fonte ƒ aterrada (T) e a massa met†lica da 
carga tem um terra separado e pr‰prio (T). figura 1.10.4.
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Figura 1.10.4: Sistema TT
Exemplo 1.10.5: Sistema IT - A fonte no esta aterrada (I) ou aterrada por 
uma imped…ncia consider†vel e a massa do equipamento da carga tem terra pr‰prio 
(T). 
Figura 1.10.5: Sistema IT
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1.11 - PROJETO DO SISTEMA DE ATERRAMENTO
0 objetivo ƒ aterrar todos os pontos, massas, equipamentos ao sistema de 
aterramento que se pretende dimensionar.
Para projetar adequadamente o sistema de aterramento deve-se seguir as 
seguintes etapas:
a) Definir o local de aterramento;
b) Providenciar v†rias medi€‚es no local;
c) Fazer a estratifica€o do solo nas suas respectivas camadas; 
d) Definir o tipo de sistema de aterramento desejado;
e) Calcular a resistividade aparente do solo para o respectivo sistema de aterramento; 
f ) Dimensionar o sistema de aterramento, levando em conta a sensibilidade dos relƒs 
e os limites de seguran€a pessoal, isto ƒ, da fibrila€o ventricular do cora€o.
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2 - MEDI‚O DA RESISTIVIDADE DO SOLO
2.1 - INTRODU‚O
Sero especificamente abordadas, neste cap‡tulo, as caracter‡sticas da pr†tica 
da medi€o da resistividade do solo de um local virgem.
Os mƒtodos de medi€o so resultados da an†lise de caracter‡sticas pr†ticas 
das equa€‚es de Maxwell do eletromagnetismo, aplicadas ao solo.
Na curva  x a, levantada pela medi€o, est† fundamentada toda a arte e 
criatividade dos mƒtodos de estratifica€o do solo, o que permite a elabora€o do 
projeto do sistema de aterramento.
2.2 – RESISTIVIDADE DO SOLO
A primeira informa€o necess†ria para a elabora€o de um projeto de 
aterramento ƒ o valor da resistividade do solo.
Quando temos uma segunda camada com resistividade mais baixa - caso 
t‡pico quando da existŠncia de um len€ol fre†tico, a vantagem est† na utiliza€o de 
hastes mais profundas; ao contr†rio, quando temos uma camada de solo bom sobre 
rocha, ser† preferencial utilizar uma malha horizontal.
O caso mais cr‡tico aqui ƒ o de antenas de telecomunica€o ou torres de 
linhas de transmisso instaladas no alto de montanhas rochosas, ‹s vezes engastadas 
mesmo na rocha. No ƒ poss‡vel cravar hastes, e descer com um cabo pela encosta do 
morro aumenta consideravelmente a imped…ncia do sistema. Nesses casos, o melhor 
a fazer ƒ proceder a uma equaliza€o fina de todo o sistema e cavar valas horizontais 
para instalar eletrodos horizontais de baixa imped…ncia, preenchendo depois essas 
valas com concreto.
Quando temos um solo "crav†vel", porƒm de pƒssima (elevada) resistividade, 
vimos freqentemente um erro cl†ssico: cravar dezenas de hastes na tentativa de 
baixar a resistŠncia, o que, alƒm de no ocorrer acaba tambƒm aumentando a 
imped…ncia. A melhor sa‡da ƒ, ainda, o tratamento do solo, com gel ou mesmo 
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concreto.
Conforme dito anteriormente, a resistividade do solo varia bastante de um 
local para outro e, as vezes, em pontos bem pr‰ximos verificam-se certas altera€‚es 
nos valores medidos. Mesmo assim, alguns autores preferem simplesmente fixar um 
terminado valor de  e desenvolver os c†lculos normalmente. Encontra-se em 
diversas bibliografias  - 100 (.m).
2.3 - LOCALIZA’“O DO SISTEMA DE ATERRAMENTO
A localiza€o do sistema de aterramento depende da posi€o estratƒgica 
ocupada pelos equipamentos elƒtricos importantes do sistema elƒtrico em questo. 
Cita-se, por exemplo, a localiza€o otimizada de uma subesta€o, que deve ser 
definida levando em considera€o os seguintes itens:
 Centro geomƒtrico de cargas; 
 Local com terreno dispon‡vel;
 Terreno acess‡vel economicamente;
 Local seguro ‹s inunda€‚es;
 No comprometer a seguran€a da popula€o.
O local escolhido para as medi€‚es dever† ser sempre longe de †reas sujeitas 
a interferŠncias, tais como: torres met†licas de transmisso e respectivos contrapesos, 
pontos de aterramento do sistema com neutro aterrado, torres de telecomunica€o, 
solos comcondutores ou canaliza€‚es met†licas, cercas aterradas, etc.
Portanto, definida a localiza€o da subesta€o, fica definido o local da malha 
de terra.
J† na distribui€o de energia elƒtrica, os aterramentos situam-se nos locais da 
instala€o dos equipamentos tais como: transformador, religador, seccionalizador, 
regulador de tenso, chaves, etc. No sistema de distribui€o com neutro multi-
aterrado, o aterramento ser† feito ao longo da linha a dist…ncias relativamente 
constantes.
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O local do aterramento fica condicionado ao sistema de energia elƒtrica, ou, 
mais precisamente, aos elementos importantes do sistema.
Escolhido preliminarmente o local, devem ser analisados novos itens, tais 
como:
 Estabilidade da pedologia do terreno;
 Possibilidade de inunda€‚es a longo prazo;
 Medi€‚es locais.
Havendo algum problema que possa comprometer o adequado perfil esperado 
do sistema de aterramento, deve-se, ento, escolher outro local.
2.4 - MEDI…ES NO LOCAL
Definido o local da instala€o do sistema de aterramento, deve-se efetuar 
levantamento atravƒs de medi€‚es, para se obter as informa€‚es necess†rias ‹ 
elabora€o do projeto.
Um solo apresenta resistividade que depende do tamanho do sistema de 
aterramento. A disperso de correntes elƒtricas atinge camadas profundas com o 
aumento da †rea envolvida pelo aterramento.
Para se efetuar o projeto do sistema de aterramento deve-se conhecer a 
resistividade aparente que o solo apresenta para o especial aterramento pretendido.
A resistividade do solo, que espelha suas caracter‡sticas, ƒ, portanto, um dado 
fundamental e por isso, neste cap‡tulo, ser† dada especial aten€o ‹ sua 
determina€o. 0 levantamento dos valores da resistividade ƒ feito atravƒs de 
medi€‚es em campo, utilizando-se mƒtodos de prospec€o geoelƒtricos, dentre os 
quais, o mais conhecido e utilizado ƒ o Mƒtodo de Wenner.
Devero ser tomadas as seguintes medidas de seguran€a relativas aos 
potenciais perigosos que podem aparecer pr‰ximos a sistemas de aterramento ou a 
estruturas condutoras aterradas pass‡veis de serem energizadas acidentalmente:
 Utiliza€o de cal€ados.
 Evitar a realiza€o de medi€‚es. sob condi€‚es atmosfƒricas adversas, tendo-se 
em vista a possibilidade de ocorrŠncia de descargas atmosfƒricas.
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20
 No tocar nos eletrodos durante as medi€‚es e evitar que pessoas estranhas e 
animais se aproximem dos mesmos.
Observa€‚es:
a) Os eletrodos devero ser cravados aproximadamente 20 cm no solo, ou atƒ que 
apresentem resistŠncia mec…nica de crava€o aceit†veis que defina uma resistŠncia 
„hmica de contato .
b) Os eletrodos devero estar sempre alinhados.
c) As dist…ncias entre os eletrodos devero ser sempre iguais.
d) Os eletrodos devero estar isentos de ‰xidos ou gorduras.
e) Para um determinado espa€amento entre eletrodos, ajustar o potenci„metro e o 
multiplicador do megger atƒ que o galvan„metro do aparelho indique "zero", com o 
equipamento ligado.
f) Ap‰s zerado o megger, anotar o valor de R obtido, na planilha de medi€‚es, para o 
espa€amento entre eletrodos utilizados.
g) Se o ponteiro do galvan„metro oscilar, significa que existe alguma interferŠncia. 
Neste caso dever† ser deslocado o ponto de medi€o atƒ ser eliminada ou minimizada 
a interferŠncia.
h) Para meggers com terminal GROUND, este dever† ser utilizado para minimizar as 
interferŠncias e, neste caso, dever† ser interligado ao ponto A da figura 2.5.3, atravƒs 
de um eletrodo.
i) Dever† ser anotada a condi€o do solo (seco, ˆmido, etc...).
j) 0 croquis de loca€o dos pontos onde foram executadas medidas dever† 
acompanhar os resultados, na planilha de medi€o.
k) 0 valor da resistividade ser† dado por:
 = 2..a. R (.m) (2.4.1)
onde: a. = dist…ncia entre os eletrodos (m) 
R = valor indicado no potenci„metro do megger ()
l) 0 valor de resistividade obtido atravƒs da f‰rmula (2.4.1) , com um determinado 
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21
espa€amento entre eletrodos, ƒ o valor de resistividade do solo atƒ a profundidade 
igual a esse espa€amento.
2.5 - M†TODO DE WENNER
Para o levantamento da curva de resistividade do solo, no local do 
aterramento, pode-se empregar diversos mƒtodos, entre os quais:
 Mƒtodo de Wenner ;
 Mƒtodo de Lee;
 Mƒtodo de Schlumbeger - Palmer.
Neste trabalho ser† utilizado o Mƒtodo de Wenner. O mƒtodo usa quatro 
pontos alinhados, igualmente espa€ados, cravados a uma mesma profundidade. 
Figura 2.5.1 : Quatro hastes cravadas no solo.
Uma corrente elƒtrica I ƒ injetada no ponto 1 pela primeira haste e coletada no 
ponto 4 pela ˆltima haste. Esta corrente, passando pelo solo entre os pontos 1 e 4, 
produz potencial nos pontos 2 e 3. 



 
 2222 )2()2(
1
2
1
)2(
11
42 paapaa
IV 

(2.5.1)
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22
Figura 2.5.2: Imagem do ponto 1 e 4
O potencial no ponto 3 ƒ :



 
 )2(
11
)2()2(
1
2
1
43 22 paapaa
IV 

(2.5.2)
Portanto, a diferen€a de potencial nos pontos 2 e 3 ƒ:
      











2222
3223
22
2
2
21
4 papaa
IVVV

 (2.5.3)
Fazendo a diviso da diferen€a de potencial V23 pela corrente I, teremos o 
valor da resistŠncia elƒtrica R do solo para uma profundidade aceit†vel de penetra€o 
da corrente I .
Assim teremos:
      











2222
23
22
2
2
21
4 papaaI
VR

 (2.5.4)
A resistividade elƒtrica do solo ƒ dada por:
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23
     
 m
pa
a
pa
a
aR .
22
2
2
21
4
2222






 (2.5.5)
O aparelho destinado a este fim ƒ o MEGGER e a montagem deve ser a 
mostrada a seguir:
Figura 2.5.3: Mƒtodo de Wenner
Na realidade o que est† sendo medido ƒ o valor de R na profundidade igual a 
separa€o entre os eletrodos (a) conforme ficou provado em estudos realizados.
‘ conveniente que se use meggers com filtro para elimina€o de 
interferŠncias. Estes meggers injetam correntes de freqŠncia diferente de 60 HZ, 
portanto, obtƒm-se resultados mais precisos.
Os eletrodos utilizados devem possuir ponteira e ter 30 ou 40 cm de 
comprimento e di…metro entre 10 e 15 mm. Devem ser preferencialmente de material 
no sujeito ‹ corroso e ter resistŠncia mec…nica suficiente para resistir aos impactos 
da crava€o.
Os cabos de interliga€o devem ter isola€o de acordo com o n‡vel de tenso 
do megger, flexibilidade e resistŠncia mec…nica adequadas. Devem ser munidos de 
garra tipo jacarƒ numa das extremidades, visando a facilidade de conexo aos 
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eletrodos.
As duas hastes internas so ligadas nos terminais P1 e P2. Assim, o aparelho 
processa internamente e indica na leitura, o valor da resistŠncia elƒtrica, de acordo 
com a expresso 2.5.4.
O mƒtodo considera que praticamente 58% da distribui€o de corrente que 
passa entre as hastes externas ocorre a uma profundidade igual ao espa€amento entre 
as hastes. 
Figura 2.5.4: Penetra€o na profundidade “a”
Os espa€amentos a serem adotados entre os eletrodos dependem da dimenso 
do sistema de aterramento que se quer medir.
A tabela a seguir d† os arranjos das hastes normalmente utilizadas e os 
correspondentes espa€amentos m‡nimos dos eletrodos de prova.
Dados: Comprimento dashastes : 3 m 
Di…metro da haste: 0,016 m 
Espa€amento entre hastes: 3 m
Notas: 1) Aterramentos de maiores dimens‚es exigiro espa€amentos maiores que os 
indicados.
2) Podero ser usados espa€amentos maiores que os indicados para cada 
aterramento, mantendo-se porƒm a rela€o de 61,8% entre as dist…ncias.
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25
Tabela 2.5.1: Espa€amento entre eletrodo de prova
Muitas vezes, devido ‹ dimenso dos sistema de aterramento, os 
espa€amentos requeridos para as hastes de prova sero enormes o que poder† 
provocar problemas por falta de espa€o livre para executar a correta medi€o.
Para estes casos, podero ser adotados espa€amentos reduzidos de acordo 
com a tabela a seguir:
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26
Tabela 2.5.2: Espa€amento reduzido entre eletrodos de prova
2.6 - DIRE…ES A SEREM MEDIDAS
O nˆmero de dire€‚es em que as medidas devero ser levantadas depende:
 da import…ncia do local do aterramento;
 da dimenso do sistema de aterramento;
 da varia€o acentuada nos valores medidos para os respectivos espa€amentos.
Para um ˆnico ponto de aterramento, isto ƒ, para cada posi€o do aparelho, 
devem ser efetuadas medidas em trŠs dire€‚es, com …ngulo de 60 entre si.
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27
Figura 2.6.1: Dire€‚es do ponto de medi€o
Este ƒ o caso de sistema de aterramento pequeno, com um ˆnico ponto de 
liga€o a equipamentos tais como: regulador de tenso, religador, transformador, 
seccionalizador, TC, TP, chaves ‹ ‰leo e a SF6, etc.
No caso de subesta€‚es deve-se efetuar medidas em v†rios pontos, cobrindo 
toda a †rea da malha pretendida.
0 ideal ƒ efetuar v†rias medidas em pontos e dire€‚es diferentes. Mas se por 
algum motivo, deseja-se usar o m‡nimo de dire€‚es, ento, deve-se pelo menos 
efetuar as medi€‚es na dire€o indicada como segue:
 na dire€o da linha de alimenta€o;
 na dire€o do ponto de aterramento ao aterramento da fonte de alimenta€o.
Feitas as medi€‚es, uma an†lise dos resultados deve ser realizada para que os 
mesmos possam ser avaliados em rela€o a sua aceita€o ou no. Esta avalia€o ƒ 
feita da seguinte forma:
1 ) Calcular a mƒdia aritmƒtica dos valores da resistividade elƒtrica para cada 
espa€amento adotado, Isto ƒ:
   


n
i
jijM an
a
1
1  
ni
qj
,1
,1


(2.6.1)
Onde:
 jM a  Resistividade mƒdia para o respectivo espa€amento aj
n  Nˆmero de medi€‚es efetuadas para o respectivo espa€amento aj
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 ji a  Valor da i-ƒsima medi€o da resistividade com o espa€amento aj
q  Nˆmero de espa€amentos empregados
2) Proceder o c†lculo do desvio de cada medida em rela€o ao valor mƒdio como 
segue:
   jMji aa    qj
ni
,1
,1


(2.6.2)
Observa€o (a): Deve-se desprezar todos os valores da resistividade que 
tenham um desvio maior que 50% em rela€o a mƒdia, isto ƒ:
   
 jM
jMji
a
aa

 
* 100  50% 
qj
ni
,1
,1


(2.6.3)
Observa€o (b): Se o valor da resistividade tiver o desvio abaixo de 50% o 
valor ser† aceito como representativo.
Observa€o (c): Se observada a ocorrŠncia de acentuado nˆmero de medidas 
com desvios acima de 50%, recomenda-se executar novas medidas na regio 
correspondente. Se a ocorrŠncia de desvios persistir, deve-se ento, considerar a †rea 
como uma regio independente para efeito de modelagem.
Com a nova tabela, efetua-se o c†lculo das mƒdias aritmƒticas das 
resistividades remanescentes.
3) Com as resistividades mƒdias para cada espa€amento, tem-se ento os valores 
definitivos e representativos para tra€ar a curva  x a, necess†ria ao procedimento 
das aplica€‚es dos mƒtodos de estratifica€o do solo.
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3 – ESTRATIFICA‚O DO SOLO
3.1- INTRODU‚O
Necessitamos do valor da resistividade do solo para o projeto de malhas de 
aterramento, devido aos requisitos de valores m†ximos para a resistŠncia da malha, 
tenso de passo e de toque.
Conhecendo o valor da resistividade e as dimens‚es do eletrodo de 
aterramento, podemos calcular o valor da resistŠncia da malha e os potenciais de 
toque e de passo, desde que o solo seja uniforme, ou seja, o valor da resistividade no 
varia com a profundidade ou com a dist…ncia horizontal do ponto de medi€o.
Esta condi€o de uniformidade raramente ƒ verdadeira na pr†tica, da‡ a 
necessidade de introduzir o modelo de estratifica€o da resistividade do solo, 
representando o solo por camadas, onde cada camada ƒ uniforme e tem um certo 
valor de resistividade e uma determinada espessura.
Embora este modelo no seja uma representa€o perfeita do solo real, ƒ 
suficiente para os c†lculos de uma malha de aterramento.
A quantidade de camadas utilizadas no modelo ƒ fun€o da preciso desejada 
para os c†lculos, caracter‡sticas do solo real e disponibilidade de ferramentas 
matem†ticas que permitam calcular as grandezas de interesse. 
Para executar uma estratifica€o de solo ƒ necess†rio fazer uma medi€o de 
campo dos valores da resistividade aparente. Medimos na pr†tica valores de 
resistŠncia em Ohms e calculamos o valor da resistividade aparente em Ohm.m.
So diversos os mƒtodos existentes para se estratificar o solo, ou seja, definir 
as camadas, sua profundidade e resistividade respectivas.
Dos mais conhecidos podemos citar o mƒtodo de Pirson, Yokogawa, Tagg e 
ainda o Simplificado.
Somente para ilustrar, os mƒtodos de Pirson e de Tagg so basicamente 
anal‡ticos e embora menos r†pidos, por sua natureza apresentam maior grau de 
preciso.
O mƒtodo Yokogawa utiliza procedimentos gr†ficos e seu grau de preciso 
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pode ser considerado satisfat‰rio:
J† o mƒtodo simplificado permite a estratifica€o do solo em apenas duas 
camadas e s‰ oferece resultados precisos para determinados tipos de solo.
3.2 – MODELAGEM DO SOLO DE DUAS CAMADAS
Usando as teorias do eletromagnetismo no solo com duas camadas 
horizontais, ƒ poss‡vel desenvolver uma modelagem matem†tica, que com o aux‡lio 
das medidas efetuadas pelo Mƒtodo de Wenner, possibilita encontrar a resistividade 
do solo da primeira e segunda camada, bem como sua respectiva profundidade.
Uma corrente elƒtrica I entrando pelo ponto A, no solo de duas camadas da 
figura 3.2.1, gera potenciais na primeira camada, que deve satisfazer a equa€o 3.2.1, 
conhecida como Equa€o de Laplace.
Figura 3.2.1: Solo em duas camadas
2 * V = 0 (3.2.1)
V = Potencial na primeira camada do solo
Desenvolvendo a Equa€o de Laplace relativamente ao potencial V de 
qualquer ponto p da primeira camada do solo, distanciado de “r” da fonte de corrente 
A, chega-se a seguinte expresso:
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  








 

1 22
1
2
21
2 n
n
p
nhr
K
r
I
V


(3.2.2)
Onde:
Vp = ‘ o potencial de um ponto p qualquer da primeira camada em rela€o ao 
infinito.
1 = Resistividade da primeira camada
h = Profundidade da primeira camada
r = Dist…ncia do ponto p ‹ fonte de corrente A
K = Coeficiente de reflexo, definido por:
12
12




K (3.2.3)
2 = Resistividade da segunda camada
Pela expresso 3.2.3, verifica-se que a varia€o do coeficiente de reflexo ƒ 
limitada entre -1 e +1.
11  K (3.2.4)
Nesta configura€o, a corrente elƒtricaI entra no solo pelo ponto A e retorna 
ao aparelho pelo ponto D. Os pontos B e C so os eletrodos de potencial.
O potencial no ponto B, ser† dado pela superposi€o da contribui€o da 
corrente elƒtrica entrando em A e saindo por D. Usando a expresso 3.2.2, e 
efetuando a superposi€o, tem-se:
  


















 



 1 22
1
1 22
1
)2(2
2
2
1
2)2(
21
2 n
n
n
n
B
nha
K
a
I
nha
K
a
I
V




(3.2.5)
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Figura 3.2.2: Configura€o de Wenner no solo de duas camadas
Fazendo a mesma considera€o para o potencial do ponto C, tem-se:












 






1
)2()(
1
2
1
)2()2(2
1
2 2
1
2
1 22
n
nha
K
a
I
n
nha
K
a
I
c
nnV 



(3.2.6)
A diferen€a de potencial entre os pontos B e C ƒ dado por:
VBC = VB - VC 
Substituindo-se as equa€‚es correspondentes, obtƒm-se: 









  



1
)2(4)2(12 22
1 41
n
n
K
n
K
a
I
BC
a
h
n
a
h
nV 

(3.2.7)









  



1
)2(4)2(11 22
412
n
n
K
n
K
I
V
a
h
n
a
h
n
BCa 
A rela€o VBC/I representa o valor da resistŠncia elƒtrica lida no aparelho 
Megger do esquema apresentado. Assim, ento:
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33









  



1
)2(4)2(11 22
412
n
n
K
n
K
a
h
n
a
h
naR 
De acordo com a expresso 2.4.1, a resistividade elƒtrica do solo, para o 
espa€amento “a” ƒ dada por  = 2aR. Ap‰s a substitui€o, obtƒm-se finalmente:









  



1
)2(4)2(1 221
)( 41
n
n
K
n
K
a
h
n
a
h
na


(3.2.8)
A expresso 3.2.8 ƒ fundamental na elabora€o da estratifica€o do solo em 
duas camadas.
3.3 - M†TODO DE ESTRATIFICA‚O DO SOLO DE DUAS CAMADAS
Empregando estrategicamente a expresso 3.2.8 ƒ poss‡vel obter alguns 
mƒtodos de estratifica€o do solo para duas camadas. Entre eles, o mais usados so:
 Mƒtodo de duas camadas usando curvas;
 Mƒtodo de duas camadas usando tƒcnicas de otimiza€o;
 Mƒtodo simplificado para estratifica€o do solo de duas camadas.
A seguir, ƒ feita uma detalhada descri€o de cada um desses mƒtodos.
3.4 - M†TODO DE DUAS CAMADAS USANDO CURVAS
Como j† observado, a faixa de varia€o do coeficiente de reflexo K ƒ 
pequena, e est† limitada entre -1 e +1. Pode-se ento, tra€ar uma fam‡lia de curvas de 
(a)/1 em fun€o de h/a para uma sƒrie de valores de K negativos e positivos, 
cobrindo toda a sua faixa de varia€o. As curvas tra€adas para K variando na faixa 
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34
negativa, isto ƒ, curva (a) x a descendente, figura 3.4.1a, esto apresentada na figura 
3.4.2.
J† as curvas obtidas da expresso 3.2.8 para a curva (a) x a segundo, figura 
3.4.1b, isto ƒ, para K variando na faixa positiva, so mostradas na figura 3.4.3.
Figura 3.4.1: curvas (a) x a descendente e ascendente
Com base na fam‡lia de curvas te‰ricas das figuras 3.4.2 e 3.4.3, ƒ poss‡vel 
estabelecer um mƒtodo que faz o casamento da curva (a) x a, medida por Wenner, 
com uma determinada curva particular. Esta curva particular ƒ caracterizada pelos 
respectivos valores de 1, K e h. Assim, estes valores so encontrados e a 
estratifica€o esta estabelecida.
A seguir so apresentados os passos relativos ao procedimento deste mƒtodo:
1‡ passo: tra€ar em um gr†fico a curva (a) x a obtida pelo mƒtodo de Wenner; 
2‡ passo: Prolongar a curva (a) x a atƒ cortar o eixo das ordenadas do gr†fico. Neste 
ponto, ƒ lido diretamente o valor de 1, isto ƒ, a resistividade da primeira 
camada. Para viabilizar este passo, recomenda-se fazer v†rias leituras pelo 
mƒtodo de Wenner para pequenos espa€amentos. Isto se justifica porque a 
penetra€o desta corrente d†-se predominantemente na primeira camada.
3‡ passo: Um valor de espa€amento a1 ƒ escolhido arbitrariamente, e levado na curva 
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35
para obter-se o correspondente valor de (a1 ).
4‡ passo: Pelo comportamento da curva (a) x a, determina-se o sinal de K. Isto ƒ:
Se a curva for descendente, o sinal de K ƒ negativo e efetua-se o c†lculo 
de (a1)/1.
Se a curva for ascendente, o sinal de K ƒ positivo e efetua-se o c†lculo de 
1/(a1).
Figura 3.4.2: curvas para K negativos
5‡ passo: Com o valor de (a1)/1 ou 1/(a1) obtido, entra-se na curvas te‰ricas 
correspondente e tra€a-se uma linha paralela ao eixo da abscissa. Esta reta 
corta curvas distintas de K. Proceder a leitura de todos os espec‡ficos K e 
h/a correspondentes.
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36
Figura 3.4.3: Curvas para K positivos
6‡ passo: Multiplica-se todos os valores de h/a encontrados no quinto passo pelo 
valor de a1 do terceiro passo. Assim, com o quinto e sexto passo, gera-se 
uma tabela com os valores correspondentes de K, h/a e h.
7‡ passo: Plota-se a curva K x h dos valores obtidos da tabela gerada no sexto passo.
8‡ passo: Um segundo valor de espa€amento a2  a1 ƒ novamente escolhido, e todo o 
processo ƒ repetido, resultando numa nova curva K x h
9‡ passo: Plota-se esta nova curva K x h no mesmo gr†fico do sƒtimo passo.
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37
10‡ passo: A interse€o das duas curvas K x h num dado ponto resultar† nos valores 
reais de K e h, e a estratifica€o estar† definida.
Exemplo 3.4.1
Efetuar a estratifica€o do solo pelo mƒtodo apresentado no item 3.3, 
correspondente ‹ sƒrie de medidas feitas em campo pelo mƒtodo de Wenner, cujos 
dados esto na Tabela 3.4.1.
Espa€amento (m) Resistividade (.m)
1 684
2 611
4 415
6 294
8 237
16 189
32 182
Tabela 3.4.1: Valores de medi€o em campo
A resolu€o ƒ feita seguindo os passos recomendados.
1‡ passo: Na figura 3.4.4 est† tra€ada a curva (a) x a
2‡ passo: Prolongando-se a curva, obtƒm-se 
1=700 .m
3‡ passo: escolhe-se a1 = 4m e obtƒm-se (a1) = 415 .m
4‡ passo: Como a curva (a) x a ƒ descendente, K ƒ negativo, ento calcula-se a 
rela€o:
593,0700415
)(
1
1 
 a
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38
Figura 3.4.4: Curva (a) x a
5‡ passo: Como K ƒ negativo e com o valor 593,0
1
1)( 
 a levado na fam‡lia de curvas 
te‰ricas da figura 3.4.2, procede-se a leitura dos respectivos K e a
h . 
Assim, gera-se a Tabela 3.4.2 proposta no sexto passo.
a1 = 4m 593,01
1 )( 
 a
K a
h h[m]
-0,1 - -
-0,2 - -
-0,3 0,263 1,052
-0,4 0,423 1,692
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39
-0,5 0,547 2,188
-0,6 0,625 2,500
-0,7 0,691 2,764
-0,8 0,752 3,008
-0,9 0,800 3,200
-1,0 0,846 3,384
Tabela 3.4.2: Valores do quinto e sexto passo
8‡ passo: Escolhe-se um outro espa€amento
a2 = 6m
(a2) = 294 .m
42,0700294
)(
1
2 
 a
Constr‰i-se a Tabela 3.4.3.
a1 = 6m 420,01
1)( 
 a
K a
h h[m]
-0,1 - -
-0,2 - -
-0,3 - -
-0,4 - -
-0,5 0,305 1,830
-0,6 0,421 2,526
-0,7 0,488 2,928
-0,8 0,558 3,348
-0,9 0,619 3,714
-1,0 0,663 3,978
Tabela 3.4.3: Valores do quinto e sexto passo
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40
Figura 3.4.5: Curva h x K
9‡ passo: A Figura 3.4.5 apresenta o tra€ado das duas curvas K x h obtidas da Tabela 
3.4.2 e 3.4.3.
10‡ passo: A interse€o ocorre em:
K = -0,616
h = 2,574 m
Usando a equa€o 3.2.3, obtƒm-se o valor de 2.
2 = 166,36 .m
A figura 3.4.6 mostra o solo estratificado em duas camadas.
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41
Figura 3.4.6: Solo estratificado, solu€o do exemplo
3.5 – M†TODOS DE DUAS CAMADAS USANDO T†CNICAS DE 
OTIMIZA‚O.









  



1
)2(4)2(11 22
41)(
n
n
K
n
K
a
h
n
a
h
na  (3.5.1)
Pela expresso acima, para um espec‡fico solo em duas camadas, h† uma 
rela€o entre os espa€amentos entre as hastes da configura€o de Wenner e o 
respectivo valor de (a).
Na pr†tica, pelos dados obtidos em campo, tem-se a rela€o de "a" e (a) 
medidos no aparelho. Os valores de (a) medidos e os obtidos pela f‰rmula 3.5.1 
devem ser os mesmos. Portanto, procura-se, pelas tƒcnicas de otimiza€o, obter o 
melhor solo estratificado em duas camadas, isto ƒ, obter os valores de 1, K e h, tal 
que a expresso 3.5.1 seja aquela que mais se ajusta ‹ sƒrie de valores medidos. 
Assim, procura-se minimizar os desvios entre os valores medidos e calculados.
A solu€o ser† encontrada na minimiza€o da fun€o abaixo:
Minimizar  



 




















q
i n
n
K
n
K
medidoi
ia
h
n
ia
h
na
1
2
1
)2(4)2(11 22
41)(  (3.5.2)
As vari†veis so 1, K e h.
Esta ƒ a expresso da minimiza€o dos desvios ao quadrado conhecida como 
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42
m‡nimo quadrado. Aplicando qualquer mƒtodo de otimiza€o multidimensional em 
3.5.2, obtƒm-se os valores ‰timos de 1, K e h, que ƒ a solu€o final do mƒtodo de 
estratifica€o.
Existem v†rios mƒtodos tradicionais que podem ser aplicados para otimizar a 
expresso 3.5.2, tais como:
 Mƒtodo do Gradiente;
 Mƒtodo do Gradiente Conjugado;
 Mƒtodo de Newton;
 Mƒtodo Quase-Newton;
 Mƒtodo de Dire€o Aleat‰ria;
 Mƒtodo de Hooke e Jeeves;
 Mƒtodo do Poliedro Flex‡vel; 
 etc.
Exemplo 3.5.1
Aplicando separadamente trŠs mƒtodos de otimiza€o conforme proposto pela 
expresso 3.5.2 ao conjunto de medidas da Tabela 3.5.1, obtidas em campo pelo 
mƒtodo de Wenner, as solu€‚es obtidas esto apresentadas na Tabela 3.5.2.
Espa€amento a [m] Resistividade [.m]
2,5 320
5,0 245
7,5 182
10,0 162
12,5 168
15,0 152
Tabela 3.5.1: Dados da medi€o
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43
Estratifica€o do solo calculada Gradiente Linearizado Hooke-Jeeves
Resistividade da 1– camada [.m] 383,49 364,67 364,335
Resistividade da 2– camada [.m] 147,65 143,61 144,010
Profundidade da 1– camada [m] 2,56 2,82 2,827
Fator de reflexo K -0,44 -0,43 -0,4334
Tabela 3.5.2: Solu€o encontrada
3.6 - M†TODO SIMPLIFICADO PARA ESTRATIFICA‚O DO SOLO EM 
DUAS CAMADAS
Este mƒtodo oferecer† resultados vari†veis somente quando o solo puder ser 
considerado estratific†vel em duas camadas e a curva (a) x a tiver uma das formas 
t‡picas indicadas na figura 3.6.1 abaixo, com uma consider†vel tendŠncia de 
satura€o assint‰tica nos extremos e paralela ao eixo das abscissas.
A ass‡ntota para pequenos espa€amentos ƒ t‡pica da contribui€o da primeira 
camada do solo. J† para espa€amentos maiores, tem-se a penetra€o da corrente na 
segunda camada, e sua ass‡ntota caracteriza nitidamente um solo distinto.
Pela an†lise das curvas (a) x a da figura 3.6.1, fica caracterizado pelo 
prolongamento e ass‡ntota, os valores de 1 e 2. Portanto, neste solo espec‡fico, 
com os dois valores obtidos, fica definido de acordo com a expresso 3.2.8 o valor
Figura 3.6.1: Curvas (a) x a para Solo de Duas Camadas
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44
do par…metro K. Assim, na expresso 3.2.8 o valor desconhecido ƒ a profundidade da 
primeira camada, isto ƒ, “h”.
A filosofia deste mƒtodo baseia-se em deslocar as hastes do Mƒtodo de 
Wenner, de modo que a dist…ncia entre as hastes seja exatamente igual a "h", isto ƒ, 
igual a profundidade da primeira camada. Ver figura 3.6.2.
Assim, como a = h ou a
h = 1, o termo a direita da expresso 3.3.4 fica sendo 
a expresso 3.6.1, que ser† denominado de M (h=a).



 


 
1
)2(4)2(1)( 221
)( 41
n
n
K
n
K
ha
nnha M

(3.6.1)
Figura 3.6.2: Espa€amento a=h
A expresso 3.6.1 significa que se o espa€amento "a" das hastes no Mƒtodo 
de Wenner for exatamente igual a "h", a leitura no aparelho Megger ser†:
(a=h) = 1M(h=a) (3.6.2)
Portanto, deste modo, basta levar o valor de (a=h) na curva (a) x a e obter o 
valor de "a", isto ƒ, "h". Assim, fica obtida a profundidade da primeira camada.
Esta ƒ a filosofia deste mƒtodo, para tanto, deve-se obter a curva M(a=h) versus 
K, atravƒs da expresso 3.6.1. Esta curva est† na figura 3.6.3.
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45
Assim, definida a curva de resistividade (a) x a, obtida pelo mƒtodo de 
Wenner, a seqŠncia para obten€o da estratifica€o do solo ƒ a seguinte:
1‡ passo: Tra€ar a curva (a) x a, obtida pela medi€o em campo usando o mƒtodo 
de Wenner.
2‡ passo: Prolongar a curva (a) x a atƒ interceptar o eixo das ordenadas e determi-
nar o valor de 1, isto ƒ, da resistividade da primeira camada do solo.
3‡ passo: Tra€ar a ass‡ntota no final da curva (a) x a e prolong†-la atƒ o eixo das 
ordenadas, o que indicar† o valor da resistividade 1, da segunda camada do 
solo.
4‡ passo: Calcular o coeficiente de reflexo K, atravƒs da expresso 3.2.3, isto ƒ: 
1
1
1
2
1
2







K
5‡ passo: Com o valor de K obtido no quarto passo, determinar o valor de M(a=h) na 
curva da figura 3.6.3. O valor de M(a=h) est† relacionado com a equa€o 3.2.8, 
j† que so conhecidos 1,2 e K, sendo a profundidade “h” desconhecida.
6‡ passo: Calcular (a=h) = 1M(a=h)
7‡ passo: Com o valor de (a=h) encontrado, entrar na curva de resistividade (a) x a e 
determinar a profundidade “h” da primeira camada do solo.
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46
Figura 3.6.3: Curva M (a=h) x K
Exemplo 3.6.1
Com os valores medidos em campo pelo mƒtodo de Wenner da tabela 3.6.1, 
efetuar a estratifica€o do solo pelo mƒtodo simplificado de duas camadas.
Espa€amento a [m] Resistividade [.m]
1 996
2 974
4 858
6 696
8 549
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47
12 361
16 276
22 230
32 210
Tabela 3.6.1: Dados de campo
1‡ passo: A curva (a) x a est† mostrada na figura 3.6.4.
2‡ passo: Pelo prolongamento da curva, tem-se
1 = 1000 .m
3‡ passo: Tra€ando a ass‡ntota, tem-se
2 = 200 .m
4‡ passo: Calcular o ‡ndice de reflexo K
6666,0
1
1
1
1
1000
200
1000
200
1
2
1
2









K
5‡ passo: Da curva da figura 3.6.3, obtƒm-se
M (a=h)= 0,783
6‡ passo: Calcular
(a=h) = 1M(a=h) = 1000  0,783 = 783 .m
7‡ passo: Com o valor de (a=h) levado ‹ curva (a) x a, obtƒm-se
h = 5,0 m
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48
Figura 3.6.4: Curva (a) x a 
Assim, o solo estratificado em duas camadas ƒ apresentado na figura 3.6.5.
Figura 3.6.5: Estratifica€o do soloESCOLA DE ENGENHARIA DE LINS SISTEMAS DE ATERRAMENTO
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49
3.7 - M†TODO DE ESTRATIFICA‚O DE SOLOS DE VˆRIAS CAMADAS
Um solo com v†rias camadas apresenta uma curva (a) x a ondulada, com 
trechos ascendentes e descendentes, conforme mostrado na figura 3.7.1.
Figura 3.7.1: Solo com v†rias camadas
Dividindo a curva (a) x a em trechos t‡picos doa solos de duas camadas, ƒ 
poss‡vel ento, empregar mƒtodos para a estratifica€o do solo com v†rias camadas, 
fazendo uma extenso da modelagem do solo de duas camadas.
Sero desenvolvidos os seguintes mƒtodos para a estratifica€o do solo com 
v†rias camadas:
 Mƒtodo de Pirson;
 Mƒtodo Gr†fico de Yokogawa.
3.8 - M†TODO DE PIRSON
O Mƒtodo de Pirson pode ser encarado como uma extenso do mƒtodo de 
duas camadas. Ao se dividir a curva (a) x a em trechos ascendentes e descendentes 
fica evidenciado que o solo de v†rias camadas pode ser analisado como uma 
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50
seqŠncia de curvas de solo equivalentes a duas camadas.
Considerando o primeiro trecho como um solo de duas camadas, obtƒm-se 1, 
2, h1. Ao analisar-se o segundo trecho, deve-se primeiramente determinar uma 
resistividade equivalente, vista pela terceira camada. Assim, procura-se obter a 
resistividade 3 e a profundidade da camada equivalente. E assim sucessivamente, 
seguindo a mesma l‰gica.
A seguir apresenta-se os passos a serem seguidos na metodologia adotada e 
proposta por Pirson:
1‡ passo: Tra€ar um gr†fico a curva (a) x a obtida pelo mƒtodo de Wenner.
2‡ passo: Dividir a curva em trechos ascendentes e descendentes, isto ƒ, entre os seus 
pontos m†ximos e m‡nimos,
3‡ passo: Prolonga-se a curva (a) x a atƒ interceptar o eixo das ordenadas do 
gr†fico. Neste ponto ƒ lido o valor de 1, isto ƒ, a resistividade da primeira 
camada.
4‡ passo: Em rela€o ao primeiro trecho da curva (a) x a, caracter‡stica de um solo 
de duas camadas, procede-se ento toda a seqŠncia indicada no mƒtodo 3.4. 
Encontrando-se, assim, os valores de 2 e h1.
5‡ passo: Para o segundo trecho, achar o ponto de transi€o (at) onde a da
d
ƒ 
m†xima, isto ƒ, onde 02
2

da
d  . Este ponto da transi€o est† localizado onde a 
curva muda a sua concavidade.
6‡ passo: Considerando o segundo trecho da curva (a) x a, deve-se achar a 
resistividade equivalente vista pela terceira camada, assim estima-se a 
profundidade da segunda camada (h2), pelo mƒtodo de Lancaster-Jones, isto 
ƒ:
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51
h2 = d1 + d2 = ta32 (3.8.1)
Onde
d1 = h1 = Espessura da primeira camada
d2 = Espessura estimada da segunda camada
h2 = Profundidade estimada da segunda camada
at = E o espa€amento correspondente ao ponto de transi€o do segundo trecho. 
Assim, obtƒm-se o valor estimado de h2 e d2.
7‰ passo: Calcular a resistividade mƒdia equivalente estimada (
1
2 ) vista pela 
terceira camada, utilizando a F‰rmula de Hummel, que ƒ a mƒdia harm„nica 
ponderada da primeira e segunda camada.
2
2
1
1
211
2

 dd
dd

 (3.8.2)
O 12 se apresenta como o 1 do mƒtodo de duas camadas. 
8‡ passo: Para o segundo trecho da curva, repetir todo o processo de duas camadas 
visto no mƒtodo apresentado em 3.4, considerando 12 a resistividade da 
primeira camada. Assim, obtƒm-se os novos valores estimados de 3 e h2.
Estes valores foram obtidos a partir de uma estimativa de Lancaster-Jones. Se 
um refinamento maior no processo for desejado, deve-se refazer o processo a partir 
do novo h2 calculado, isto ƒ:
h2 = d1 + d2
Volta-se ao sƒtimo passo para obter novos valores de 3 e h3. Ap‰s, ento, 
repete-se a partir do sexto passo, todo o processo para os outros trechos sucessores.
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52
Exemplo 3.8.1
Efetuar a estratifica€o do solo pelo Mƒtodo de Pirson, para o conjunto de 
medidas obtidas em campo pelo mƒtodo de Wenner, apresentado na Tabela 3.9.1. 
Espa€amento a [m] Resistividade [.m]
1 11.938
2 15.770
4 17.341
8 11.058
16 5.026
32 3.820
Tabela 3.8.1: Dados da medi€o
1‡ passo: Figura 3.8.1 mostra a curva (a) x a.
2‰ passo: A curva (a) x a ƒ dividida em dois trechos, um ascendente e outro 
descendente. A separa€o ƒ feita pelo ponto m†ximo da curva, isto ƒ, onde 
0da
d
.
3‰ passo: Com o prolongamento da curva (a) x a obtƒm-se a resistividade da 
primeira camada do solo.
1 = 8.600 
4‡ passo: Ap‰s efetuados os passos indicados no mƒtodo do item 3.4, obtƒm-se as 
Tabelas 3.8.2 relativa aos passos intermedi†rios.
Para:
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53
Figura 3.8.1: Curva (a) x a
a1 = 1m, obtƒm-se (a1) = 11.938 .m 
a1 = 2m, obtƒm-se (a,) = 15.770 .m
Efetuando o tra€ado das duas curvas K x h, as mesmas se interceptam no ponto:
h1 = d1 = 0,64m
K1 = 0,43 
Calcula-se
2 = 21.575 .m
5‡ passo: Examinando o segundo trecho da curva, pode-se concluir que o ponto da 
curva com espa€amento de 8 metros, apresenta a maior inclina€o. Portanto, 
o ponto de transi€o ƒ relativo ao espa€amento de 8 metros, assim:
at=8m
a1 = 1m 7204,0)( 1
1 a

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54
K
1a
h H[m]
0,2 0,23 0,23
0,3 0,46 0,46
0,4 0,60 0,60
0,5 0,72 0,72
0,6 0,81 0,81
0,7 0,89 0,89
0,8 0,98 0,98
a1 = 2m 5475,0)( 1
1 a

K
1a
h h[m]
0,2 - -
0,3 0,05 0,10
0,4 0,28 0,56
0,5 0,40 0,80
0,6 0,49 0,98
0,7 0,57 1,14
0,8 0,65 1,30
Tabela 3.8.2: Valores calculados
6‡ passo: Considerando o segundo trecho da curva (a) x a, estimar a profundidade 
da segunda camada. Aplicando-se a f‰rmula 3.9.1 do mƒtodo de Lancaster-
Jones, tem-se:
h2 = d1 + d2 = ta32
h2 = 0,64 + d2 = 832 
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55
h2 = 5,4 m
d2 = 4,76 m
7‡ passo: C†lculo da resistividade mƒdia equivalente pela f‰rmula 3.8.2 de Hummel, 
tem-se
575,21
760,4
8600
64,0
76,464,01
2 

m.302,1812 
8‡ passo: Para o segundo trecho da curva (a) x a, repetir novamente os passos do 
mƒtodo do item 3.4, gerando as Tabelas 3.8.3.
Para:
a1 = 8m, obtƒm-se (a1) = 11.058 .m 
a1 = 16m, obtƒm-se (a1) = 5.026 .m
Efetuando-se o tra€ado das duas curvas K x h, as mesmas interceptam-se no 
ponto,
h2 = 5, 64m 
K = -0, 71
a1 = 8m 604,01
2
1 )( 

 a
K
1a
h h[m]
-0,3 0,280 2,240
-0,4 0,452 3,616
-0,5 0,560 4,480
-0,6 0,642 5,136
-0,7 0,720 5,760
-0,8 0,780 6,240
-0,9 0,826 6,600
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56
a1 = 16m 2746,01
2
1)( 

 a
K
1a
h h[m]
-0,3 - -
-0,4 - -
-0,5 - -
-0,6 0,20 3,20
-0,7 0,34 5,44
-0,8 0,43 6,88
-0,9 0,49 7,84
Tabela 3.8.3: Valores calculados
Assim,
K
K

 1
11
23 
Substituindo-se os valores, tem-se:
3 = 3.103 .m
Portanto, a solu€o final foi encontrada e o solo com trŠs camadas 
estratificadas ƒ mostrado na figura 3.8.2.
Figura 3.8.2: Solo em trŠs camadas
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57
3.9 - M†TODO GRˆFICO DE YOKOGAWA
Este ƒ um mƒtodo gr†fico apresentado no manual do aparelho Yokogawa de 
medi€o de resistŠncia de terra. Com este mƒtodo, pode-se efetuar a estratifica€o do 
solo em v†rias camadas horizontais com razo†vel aceita€o.
A origem do mƒtodo, baseia-se na logaritimiza€o da expresso 3.2.8 obtida 
do modelo do solo de duas camadas. Assim,usando o logaritmo em ambos os lados 
da expresso 3.2.8, tem-se:
 









  



1
)2(4)2(1
)(
221
41loglog
n
n
K
n
Ka
a
h
n
a
h
n


(3.9.1)
Empregando-se a mesma filosofia usada no modelo desenvolvido no item 3.4, 
pode-se construir uma fam‡lia de curvas te‰ricas de log  
1
)(

 a em fun€o de a
h
para 
uma sƒrie de valores de K dentro de toda sua faixa de varia€o.
Fazendo o tra€ado das fam‡lias das curvas te‰ricas, em um gr†fico com escala 
logar‡tmica, isto ƒ, log-log, tem se a CURVA PADR“O, mostrada na figura 3.9.1.
A Curva Padro obtida na escala logar‡tmica ƒ similar ‹s curvas do gr†fico 
das figuras 3.4.2 e 3.5.3 tra€adas juntas. Os valores de 
1
)(

 a
esto na ordenada do 
gr†fico 3.9.1, na abscissa esto os valores de a
h
e as curvas dos respectivos K esto 
indicadas pelo seu correspondente 
1
2


.
Estas curvas so relativas ‹s curvas te‰ricas obtidas especificamente de 
modelagem do solo de duas camadas. Um solo t‡pico de duas camadas ƒ 
caracterizado pelos trŠs par…metros: 1, 2 e h. Fazendo as medi€‚es neste solo, pelo 
mƒtodo de Wenner e tra€ando a curva (a) x a em escala logar‡tmica, o seu formato ƒ 
t‡pico da Curva Padro.
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Fazendo manualmente o perfeito casamento da curva (a) x a na escala 
logar‡tmica com uma determinada curva padro, tem-se ento a identidade 
estabelecida. Isto eqivale a ter no mƒtodo de Wenner o espa€amento igual ‹ 
profundidade da primeira camada, isto ƒ, a = h, no solo de duas camadas. Ver figura 
3.10.2.
Figura 3.9.1: Curva padro
Portanto, no ponto da curva (a) x a que coincide com a ordenada 
1
)(

 a = 1 na 
Curva Padro, lŠ-se diretamente o valor espec‡fico de (a), que ƒ igual a resistividade 
1 da primeira camada. Este ponto ƒ denominado de p‰lo O1 da primeira camada, 
que representa na curva (a) x a o ponto de medi€o pelo mƒtodo de Wenner que 
tenha o mesmo valor da resistividade da primeira camada, juntamente com seu 
respectivo espa€amento "a" que ƒ idŠntico ‹ profundidade da primeira camada.
Neste ponto do p‰lo O1 lŠ-se, tambƒm, a profundidade da primeira camada, 
isto ƒ, "h" .
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O tra€ado da Curva Padro ƒ feito de tal forma que, com o casamento da 
curva (a) x a, o ponto 
1
)(

 a = 1 e ah = 1, isto ƒ, o p‰lo 01, esteja na posi€o sobre a 
curva (a) x a de tal forma que a medi€o do valor deste ponto pelo mƒtodo de 
Wenner, cobriria totalmente a primeira camada, isto ƒ, j† produz a solu€o da 
estratifica€o procurada.
Figura 3.9.2: Espa€amento a = h
No ponto estabelecido do p‰lo O1, basta efetuar a leitura de (a) e "a", onde:
1 = (a)  Valor lido no p‰lo O1 na curva (a) x a
a = h  Valor lido no p‰lo O1 na curva (a) x a
O casamento de curvas fornece o valor de 2.
Pode-se estender este processo para solos com v†rias camadas, seguindo a 
mesma filosofia do mƒtodo de Pirson. Deste modo, divide-se a curva (a) x a em 
trechos ascendentes e descendentes.
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Figura 3.9.3: Curva auxiliar
A partir do segundo trecho, deve-se utilizar uma estimativa da camada 
equivalente vista pela terceira camada, isto ƒ feito empregando a Curva Auxiliar da 
figura 3.9.3.
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Coloca-se sobre o gr†fico (a) x a, a curva 
1
2


da Curva Auxiliar que tenha a 
mesma rela€o 
1
2


obtida pelo casamento da curva (a) x a com a Curva Padro.
Com o p‰lo de origem ( 1
1
)( 
 a e 1a
h ) da Curva Padro mantido sobre a 
Curva Auxiliar 
1
2

 , procura-se ajustar o melhor casamento entre o segundo trecho da 
curva (a) x a com a da Curva Padro. Isto feito, demarca-se no gr†fico (a) x a o 
p‰lo O2.
Neste p‰lo O2, lŠ-se:
(a) = 12  Resistividade equivalente da primeira e segunda camada, isto ƒ, vista 
pela terceira camada.
a = h2 Profundidade do conjunto da primeira e segunda camada.
Com a rela€o 1
2
3


obtida do casamento, obtƒm-se o 3 . E assim 
sucessivamente.
Atƒ o momento procurou-se apenas justificar a filosofia baseada neste 
mƒtodo. A resolu€o da estratifica€o ƒ puramente gr†fica usando translado de 
curvas, portanto, ƒ dif‡cil traduzir com plenitude a exemplifica€o do mƒtodo.
Colocando-se em ordem de rotina, passa-se a descrever o mƒtodo:
1‰ passo: Tra€ar em papel transparente a curva (a) x a em escala logar‡tmica. 
2‰ passo: Dividir a curva (a) x a em trechos ascendentes e descendentes.
3‰ passo: Desloca se o primeiro trecho da curva (a) x a sobre a CURVA PADR“O,
atƒ obter o melhor casamento poss‡vel, isto se d† na rela€o 
1
2


.
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4‡ passo: Demarca-se ao gr†fico da curva (a) x a, o ponto de origem 
( 1
1
)( 
 a e 1a
h ) da Curva Padro, obtendo-se assim o p‰lo 01.
5‡ passo: LŠ-se no ponto do p‰lo O1, os valores de 1 e h1.
6‰ passo: Calcula-se 2 pela rela€o 1
2


obtida no terceiro passo.
Atƒ este passo, foram obtidos 1, h1 e 2. Para continuar o processo do outro 
trecho sucessor da curva (a) x a, vai-se ao sƒtimo passo.
7‡ passo: Faz-se o p‰lo O1 do gr†fico da curva (a) x a coincidir com o ponto de 
origem da CURVA AUXILIAR.. Transfere-se, isto ƒ, tra€a-se com outra cor a Curva 
Auxiliar com rela€o 1
2


obtida no terceiro passo, sobre o gr†fico da curva (a) x a.
8‡ passo: Transladando-se o gr†fico (a) x a, de modo que a Curva Auxiliar 1
2


, 
tra€ada no sƒtimo passo, percorra sempre sobre o ponto de origem da CURVA 
PADR“O. Isto ƒ feito atƒ se conseguir o melhor casamento poss‡vel do segundo 
trecho da curva (a) x a com a da Curva Padro, isto se d† numa nova rela€o 1
2


denominada agora de 2
1
3


.
9‡ passo: Demarca-se o p‰lo O2 no gr†fico (a) x a, coincidente com o ponto de 
origem da Curva Padro.
10‰ passo: LŠ-se no ponto do p‰lo O2 os valores de 
2
1 e h2.
11‰ passo: Calcula se a resistividade da terceira camada 3 pela rela€o fornecida no 
oitavo passo.
Atƒ este passo foram obtidos p1, h1, h2, 2 e 3. Havendo mais trechos da 
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curva (a) x a, deve-se repetir o processo a partir do sƒtimo passo.
Exemplo 3.9.1
Efetuar a estratifica€o do solo pelo mƒtodo gr†fico de Yokogawa do 
respectivo conjunto de medi€‚es em campo da Tabela 3.9.1, obtidos pelo mƒtodo de 
Wenner.
Espa€amento a [m] Resistividade [.m]
2 680
4 840
8 930
16 690
32 330
Tabela 3.9.1: Dados de campo
Toda a resolu€o baseia-se na figura 3.9.4.
No polo O1, tem-se:
1 = 350 .m
h1 = 0,67 m
3
1
2 

2 = 1050 .m
No polo O2, tem-se:
m.90012 
h2 = 15 m
6
1
1
2
3 


3 = 150 .m
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O solo estratificado em trŠs camadas est† na figura 3.9.5
Figura 3.9.4: Resolu€o do mƒtodo gr†fico
Figura 3.9.5: Solo em trŠs camadas
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4 – MANEIRAS DE ATERRAMENTO
4.1 - INTRODU‚O:
Apresentaremos neste cap‡tulo as maneiras de aterramento mais simples, com 
geometria e configura€‚es efetuadas por hastes, anel e fios. Sendo a malha de terra 
um sistema de aterramento especial, ser† dedicado um cap‡tulo a parte.
O escoamento da corrente elƒtrica absorvida pelosistema de aterramento, se 
d† atravƒs de uma resistividade aparente que o solo apresenta para este aterramento 
em especial, portanto, sero analisado o sistema de aterramento em rela€o a uma 
resistividade aparente, j† que seu c†lculo depende do tipo de solo e do sistema de 
aterramento.
4.2 – HASTE VERTICAL
Uma das formas mais simples de aterramento ƒ uma ˆnica haste enterrada no 
solo.
Figura 4.2.1: Haste cravada no solo
O valor da resistŠncia de aterramento pode ser determinado pela f‰rmula 
4.2.1.
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  dLLhaste aR 421 ln (4.2.1)
onde: a = resistividade aparente do solo no local de fincamento da haste (.m);
l = comprimento cravado da haste (m);
d = di…metro equivalente da haste (m).
No caso da haste ser do tipo cantoneira, deve-se efetuar o c†lculo da †rea da 
sua sec€o transversal e igualar a †rea de um circulo. Assim:

cantoneiraSd 2 (4.2.2)
onde: d = di…metro do circulo equivalente ‹ †rea da sec€o transversal da cantoneira.
Contudo, nem sempre uma simples haste nos possibilitar† obter o valor de 
resistŠncia de aterramento que desejamos. Neste caso, poderemos utilizar v†rios 
meios de reduzir o valor da resistŠncia de aterramento, tais como aumentar o 
comprimento da haste a ser utilizada, tratar quimicamente o solo ao redor da haste, 
interligar v†rias hastes em paralelo ou solu€‚es mistas dessas alternativas.
Pode-se observar tambƒm que a expresso 4.2.1 no leva em conta o material 
de que ƒ formada a haste, mas sim do formato da cavidade que a geometria da haste 
forma no solo. O fluxo formado pelas linhas de corrente elƒtrica entra ou sai do solo, 
utilizando a forma da cavidade. Portanto, o R1haste refere-se somente ‹ resistŠncia 
elƒtrica da forma geomƒtrica do sistema de aterramento interagindo com o solo. 
Assim, generalizando, a resistŠncia elƒtrica de um sistema de aterramento ƒ apenas 
uma parcela da resistŠncia do aterramento de um equipamento. A resistŠncia total 
vista pelo aterramento de um equipamento (figura 4.2.2) ƒ composta:
a) Da resistŠncia da conexo do cabo de liga€o com o equipamento;
b) Da imped…ncia do cabo de liga€o;
c) Da resistŠncia da conexo do cabo de liga€o com o sistema de aterramento 
empregado;
d) Da resistŠncia do material que forma o sistema de aterramento ;
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e) Da resistŠncia de contato do material com a terra;
Figura 4.2.2:ResistŠncia elƒtrica total do equipamento
f) Da resistŠncia da cavidade geomƒtrica do sistema de aterramento com a terra.
Deste total, a ˆltima parcela, que ƒ a resistŠncia de terra do sistema de 
aterramento, ƒ a mais importante. Seu valor ƒ maior e depende do solo, das condi€‚es
clim†ticas, etc.. J† as outras parcelas so menores e podem ser controladas com 
facilidade.
A seguir, analisaremos cada alternativa em particular, apontando seus efeitos 
na redu€o da resistŠncia de aterramento, o custo de cada alternativa e, finalmente,
apresentaremos um estudo tƒcnico-econ„mico que propicie a escolha da melhor 
alternativa.
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4.3 - AUMENTO DO DIŠMETRO DA HASTE
Se aumentarmos o di…metro das hastes utilizadas teremos uma pequena 
redu€o no valos da resistŠncia, que ƒ dada pela f‰rmula 4.2.1, mas apresenta uma 
“satura€o” para di…metros acima dos valores produzido pelo fabricante, conforme 
pode ser vista na figura 4.2.2
Convƒm salientar que um aumento grande do di…metro a haste, sob o ponto 
de vista custo-beneficio, no seria vantajoso. Na pratica o di…metro que se utiliza 
para as hastes, ƒ aquele compat‡vel com a resistŠncia mec…nica do cravamento no 
solo.
4.4 - INTERLIGA‚O DE HASTES EM PARALELO
A interliga€o de hastes em paralelo diminui sensivelmente o valor da 
resistŠncia do aterramento. O c†lculo da resistŠncia de hastes paralelas interligadas 
no segue a lei simples do paralelismo de resistŠncias elƒtricas. Isto ƒ devido ‹s 
interferŠncias nas zonas de atua€o das superf‡cies equipotenciais. A figura 4.4.1 
mostra as superf‡cies equipotenciais de uma haste vertical cravada no solo 
homogŠneo.
Figura 4.4.1: Superf‡cie equipotencial de uma haste
No caso de duas hastes cravadas no solo homogŠneo, distanciadas de "a", a 
figura 4.4.2 mostra as superf‡cies equipotenciais que cada haste teria se a outra no 
existisse, onde pode ser observada tambƒm a zona de interferŠncia.
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Figura 4.42: Zona de interferŠncia nas linhas equipotenciais de duas hastes
A figura 4.4.3 mostra as linhas equipotenciais resultantes do conjunto 
formado pelas duas hastes.
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Figura 4.4.3: Superf‡cies equipotenciais de duas hastes
A zona de interferŠncia das linhas equipotenciais causa uma †rea de bloqueio 
do fluxo da corrente de cada haste, resultando uma maior resistŠncia de terra 
individual. Como a †rea de disperso efetiva da corrente de cada haste torna-se 
menor, a resistŠncia de cada haste dentro do conjunto aumenta. Portanto, a 
resistŠncia elƒtrica do conjunto de duas hastes ƒ:
Observe-se que o aumento do espa€amento das hastes paralelas faz com que a 
interferŠncia seja diminu‡da. Teoricamente, para um espa€amento infinito, a 
interferŠncia seria nula, porƒm, um aumento muito grande do espa€amento entre as 
hastes no seria economicamente vi†vel. Na pr†tica, o espa€amento aconselh†vel 
gira em torno do comprimento da haste. Adota-se muito o espa€amento de 3 metros.
Para o c†lculo da resistŠncia equivalente de hastes paralelas, neve-se levar em 
conta o acrƒscimo de resistŠncia ocasionado pela interferŠncia entre as hastes. A 
f‰rmula 4.4.1 apresenta resistŠncia elƒtrica que cada haste tem inserida no conjunto.
hastehaste
R RRhaste 1221  (4.4.1)
onde: Rh = resistŠncia apresentada pela haste h inserida no conjunto considerando 
as interferŠncias da outras hastes;
n = numero de hastes paralelas
Rhh = resistŠncia individual de cada haste, sem a presen€a de outras hastes 
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(f‰rmula 4.2.1)
Rhm = acrƒscimo da resistŠncia na haste h devido ‹ interferŠncia mutua da 
haste m, dada pela f‰rmula 4.4.2;






22
2
2
)(
)(
4 ln Lbe
eLb
L
a
hm
hmhm
hm
hmR 

(4.4.2)
ehm = espa€amento entre a haste h e a haste m;
L = comprimento da haste em metro.
Figura 4.4.4: Par…metros das mˆtuas entre as hastes “h” e “m”
Num sistema de aterramento emprega-se hastes iguais, o que facilita a 
padroniza€o na empresa, e tambƒm o c†lculo da resistŠncia equivalente do conjunto. 
Fazendo o c†lculo para todas as hastes do conjunto (f‰rmula 4.4.2) tem-se os valores 
da resistŠncia de cada haste.
Determinada a resistŠncia individual de cada haste dentro do conjunto, j† 
considerados os acrƒscimos ocasionados pelas interferŠncias, a resistŠncia 
equivalente das hastes interligadas ser† a resultante do paralelismo destas.
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Figura 4.4.5: Paralelismo das resistŠncias
n
eq
RRRR
R
1...111
1
321

 (4.4.3)
Toda associa€o de hastes existe um ‡ndice de redu€o (K), que ƒ a rela€o 
entre a resistŠncia equivalente do conjunto e a resistŠncia individual de cada haste 
sem a presen€a de outras hastes.
haste
eq
R
R
K
1
 (4.4.4)
Para facilitar o c†lculo de Req os valores de K so tabelados, ou obtidos 
atravƒs de curvas( ApŠndice A).
4.5 – DIMENSIONAMENTO