Trabalho_final_vibes 2013-1

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SUMÁRIO
1.	INTRODUÇÃO	2
2.	TEORIA	3
2.1.	SEGUNDA LEI DE NEWTON	3
2.2.	COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA	4
2.3.	ANÁLISE MODAL DE VIBRAÇÕES NÃO AMORTECIDAS	5
2.4.	COMPORTAMENTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA	6
3.	EXPERIMENTO	7
4.	RESULTADOS	8
4.1.	Resultados numéricos	8
4.2.	Frequências naturais e modos de vibrar	9
4.3.	Representação gráfica dos modos de vibrar	10
4.4.	Vibração resultante nas coordenadas 1, 2 e 3	10
4.5.	Receptâncias da estrutura	12
4.6.	Resultados experimentais	13
4.7.	Frequências naturais razões de amortecimento modal	14
4.8.	Análise dos resultados	14
4.8.1.	Resultados numéricos	14
4.8.2.	Resultados experimentais	15
5.	CONCLUSÃO	16
6.	ANEXOS	17
6.1.	Resultados Teóricos	17
6.2.	Resultados Experimentais	23
6.2.1.	Gráfico do Módulo da Inertânica Experimental x Frequência	23
6.2.2.	Gráfico do Módulo da Receptância Experimental	24
 
INTRODUÇÃO
O presente trabalho apresenta o estudo sobre as frequências naturais e modos de vibrar de um sistema disco viga através de uma abordagem modal. O objetivo desse trabalho, com o auxílio da teoria de vibrações, é de apresentar, discutir e comparar os dados encontrados de modo experimental e de modo numérico. O desenho esquemático do experimento, se encontra abaixo (figura 1).
O objeto de estudo é a viga engastada, que em sua extremidade, possui um disco, com o intuito de amplificar as vibrações do sistema após a excitação. A viga será submetida a uma exitação para o seu posterior estudo e análise deste sistema, que possui 3 graus de liberdade.
Figura 1: Modelo físico da estrutura do experimento
Para atingir o objetivo deste trabalho, iremos estudar este caso de maneira ampla, apresentando o embasamento teórico necessário para o entendimento do mesmo, juntamente com dados e informações coletadas em laboratório. Por fim, iremos tratar as informações coletadas e compará-las com a modelagem realizada, obtendo suas devidas conclusões. 
TEORIA
Os sistemas de engenharia, em sua maioria, são contínuos e têm um número infinito de graus de liberdade. Estes sistemas é muito difícil, pois requer a solução de equações diferenciais parciais. Para simplificar a análise, sistemas contínuos são frequentemente aproximados como sistemas com vários graus de liberdade.
O conceito a ser utilizado é que há uma única equação de movimento para cada grau de liberdade, e se forem utilizadas coordenadas generalizadas há uma única coordenada para cada grau de liberdade. As equações de movimento podem ser obtidas através da segunda lei do movimento de Newton ou pela utilização de coeficientes de influência. O mais usual é solucionar estas equações utilizando Lagrange.
Para a modelagem de sistemas de vários graus de liberdade, entende-se que as massas concentradas estejam ligadas por elementos elásticos e amortecedores de massa insignificante. O número mínimo de coordenadas necessárias, que descrevem o movimento das massas, define o número de graus de liberdade do sistema.
SEGUNDA LEI DE NEWTON
Para deduzir as equações de movimento de um sistema com vários graus de liberdade utilizando a segunda lei de Newton é seguido um procedimento. 
Primeiramente estabelecer coordenadas adequadas para descrever posições de várias massas pontuais e corpos rígidos. Para os deslocamentos consideram-se direções positivas adequadas para os deslocamentos, velocidades e acelerações.
É preciso determinar a configuração do sistema em equilíbrio estático e medir os deslocamentos das massas e corpos rígidos em relação às respectivas posições de equilíbrio estático.
Aplicar a segunda lei do movimento de Newton à cada massa ou corpo rígido mostrado pelo diagrama de corpo livre como:
 		(1)
COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA
As equações também podem escritas em termos de coeficientes de influência. Um conjunto de coeficientes de influência pode ser associado a cada uma das matrizes envolvidas nas equações de movimento.
É chamada de rigidez a força necessária para provocar uma unidade de elongação em uma mola linear simples. O coeficiente de influência de rigidez, denotado como é definido como a força no ponto i devido a um deslocamento unitário no ponto j quando todos os outros pontos são fixos. Utilizando esta definição para um sistema massa-mola, a força total pode ser definida pela seguinte expressão:
	 (2)
A equação (2) pode ser expressa de forma matricial como
		(3)
Dessa forma, a matriz de rigidez é dada por 
		(4)
O coeficiente de influência de flexibilidade, denotado por , é definido como a deflexão no ponto i provocada por uma carga unitária no ponto j.
		(5)
		(6)
Da forma matricial,
		(7)
A matriz de flexibilidade é dada por
		(8)
As matrizes de rigidez e flexibilidade são as inversas uma da outra,
		(9) 
Os elementos da matriz de massa são conhecidos como coeficientes de influência de inércia. Os coeficientes de influência de inércia são definidos como o conjunto de impulsos aplicados nos pontos 1, 2,...,n respectivamente, para produzir uma velocidade unitária no ponto j e velocidade zero em qualquer outro ponto.
 		(10)
Na forma matricial
		(11) 
A matriz de massa
		(12)
ANÁLISE MODAL DE VIBRAÇÕES NÃO AMORTECIDAS
O procedimento que determina as frequências naturais, os modos de vibrar e as vibrações forçadas de um sistema linear não amortecido, com múltiplos graus de liberdade, é conhecido como análise modal.
A equação de movimento de um sistema linear de múltiplos graus de liberdade, em notação matricial, é:
		(13)
Com as condições iniciais expressas por 
Assumindo que a matriz de massa M seja, além de simétrica, positiva definida, tem-se que:
		(14) 
Onde a matriz L é triangular superior e não singular. A fatoração matricial é conhecida como decomposição de Cholesky. Quando a matriz M for diagonal, a matriz L e sua transposta se reduzirão à raiz quadrada da matriz M
		(15) 
A matriz é conhecida como matriz de rigidez normalizada pela massa. 
		(16) 
O problema de autovalores simétrico é o problema de se calcular o escalar λ e o vetor não nulo v, que satisfaçam:
		(17)
A matriz de transformação T, definida como:
		(18)
É denominada matriz modal, posto que ela contém os modos de vibrar do sistema, um por coluna. A matriz espectral é
		(19)
Seleção dos casos:
Caso 1 – Vibrações livres amortecidas
Caso 3 – Vibrações forçadas amortecidas
COMPORTAMENTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
A equação que descreve o movimento vibratório de um sistema com múltiplos graus de liberdade é
		(20)
Pelas propriedades de Fourier, pode-se escrever a equação como:
		(21) 
O deslocamento e a força são relacionados por
		(22) 
A matriz da receptância é dada por
		(23)
EXPERIMENTO
O experimento realizado na aula do dia 03/07/13 no laboratório de vibrações da Universidade Federal do Paraná, teve o intuito de obter algumas funções resposta no domínio da frequência (FRFs), do sistema em questão. O sistema consistia de uma viga com uma das extremidades engastadas, e a outra livre, esta com um disco fino apoiado, conforme indicado na figura 1. 
Essas FRFs serão levantadas com o auxílio de um martelo piezoelétrico de impacto, de um acelerômetro piezoelétrico e de um analisador digital de sinais dinâmicos. As FRFs serão, portanto, inertâncias.
O experimento foi realizado da seguinte maneira: Através do martelo piezoelétrico de impacto, provocou-se uma excitação na viga, de modo que o sensor de força (localizado próximo ao instrumento) realizou a captação deste mesmo impacto, e transmitiu a informação ao analisador de sinais. Em paralelo, foi realizada a aquisição do sinal de aceleração, que também foi transmitido ao analisador de sinais. Então, as informações foram processadas para posteriormente serem visualizadas na tela do computador.Este método foi repetido três vezes para a equipe.
A ideia geral do experimento é de utilizando uma excitação, que mesmo impulsiva e de curta duração, tenha energia suficiente para fazer a estrutura vibrar.
As funções respostas em frequência nesse caso foram inertâncias. A fim de estimar as frequências naturais de nosso objeto de estudo, tais inertâncias foram convertidas em receptâncias, de modo que os picos de seus valores (em módulo) nos forneceram uma estimativa das frequências naturais da estrutura. Ainda com os valores das receptâncias, com a aplicação localizada da banda de -3 dB no entorno.
	
Figura 2: Equipamentos e sistema do experimento
	
Figura 3: Sistema em estudo sendo excitado
RESULTADOS
Resultados numéricos
Os resultados numéricos foram obtidos, com embasamento na teoria, através da realização de rotinas no software computacional MatLab. O código utilizado foi embasado no exercício “exerc11” da apostila texto da disciplina de vibrações mecânicas, e foram feitas as alterações necessárias, que serão apresentadas no decorrer deste tópico. Todo o código se encontra no final do presente trabalho. Nesta seção, também iremos apresentar os resultados de todas as variáveis significativas para a obtenção das respostas.
Para a obtenção da massa total da viga, primeiramente, utilizando os dados fornecidos de largura, comprimento e espessura da viga, assim como de densidade do alumínio, foi calculado o volume da mesma, para que então, sua massa total pudesse ser encontrada através da equação (24).
		(24)
A partir da divisão de massa enunciada no problema, a massa total foi divida por três, para se obter assim a massa de cada segmento, e inseri-las na matriz de massa. As massas encontradas, bem como a matriz final, estão demonstradas abaixo:
	
Logo após o cálculo da matriz de massa, foi calculado o menor momento de inércia da seção transversal da viga, através da equação (25).
 		(25)
O resultado obtido para o momento de inércia foi de:
 
 Com o momento de inércia calculado e tomando como base a matriz de flexibilidade A do enunciado do problema, foi possível determinar a matriz de rigidez do sistema, invertendo-se A. A matriz de rigidez encontrada foi:
		(26)
 
Com esses valores em mão, foi possível calcular tudo o que foi proposto pelo enunciado do problema.
Frequências naturais e modos de vibrar 
De acordo com a abordagem de análise modal, para o problema em questão, foi considerado o caso 3, o qual aborda vibrações modais sob excitação impulsiva. As frequências naturais e os modos de vibrar (colunas da matriz T) encontrados foram: 
	
	
 
	
Representação gráfica dos modos de vibrar
O gráfico correspondente aos modos de vibrar, referente aos resultados encontrados, está representado a seguir:
Gráfico 1: Modos de vibrar do sistema
Vibração resultante nas coordenadas 1, 2 e 3
Para a determinação das vibrações resultantes em cada um dos três elementos do sistema, com a ação da força impulsiva (δ(t)), utilizamos as razões de amortecimento enunciadas no problema. = 0,01; = 0,005; = 0,001.
Com essas condições impostas, se tornou fácil determinar as vibrações em coordenadas modais para cada segmento do sistema. Os resultados obtidos estão demonstrados a seguir: 
Gráfico 2: Vibração resultante – excitação impulsiva
Gráfico 3:Vibração resultante – coordenadas físicas
Receptâncias da estrutura 
Os valores de receptância foram calculados a partir da equação (23), e também com a utilização do código do programa. Os valores encontrados, e as suas respectivas representações gráficas se encontram logo abaixo:
Gráfico 4: Receptâncias do sistema viga com disco
Gráfico 5: Módulo e fase de H12 em relação a frequência
Resultados experimentais
Com os resultados processados pelo analisador de sinais e posteriormente computados, obtidos através do experimento real e embasados na teoria de vibrações, foi possível determinar as inertâncias levantadas experimentalmente e as receptâncias correspondentes, assim como as frequências naturais e razões de amortecimento experimentais da estrutura em estudo. Os resultados experimentais foram comparados com os resultados teóricos e uma discussão referente a esta comparação é apresentada nos próximos tópicos.
Realizando algumas simples manipulações nos resultados de um dos arquivos de saída, foi possível plotar o módulo da inertância experimental em função da frequência, como mostra o gráfico abaixo:
Gráfico 6: Módulo da inertância experimental em relação à frequência
Dividindo o módulo da inertância experimental pelo negativo da frequência ao quadrado, obtemos o módulo da receptância experimental, cujo gráfico em função da frequência é apresentado abaixo:
Gráfico 7: Módulo da receptância experimental em relação à frequência
Frequências naturais razões de amortecimento modal
Com base no gráfico do módulo da receptância e utilizando a técnica da banda de -3 dB, se tornou possível inferir as frequências naturais e razões de amortecimento experimentais da estrutura, apresentadas nas tabelas abaixo.
	Frequências Naturais - experimento
	Frequência natural 1
	26,46 rad/s
	Frequência natural 2
	260 rad/s
	Frequência natural 3
	453,3 rad/s
Tabela 1: Frequências naturais experimentais
Análise dos resultados
Resultados numéricos
Os resultados numéricos que foram apresentados neste presente trabalho relacionam-se com as hipóteses assumidas e com a modelagem feita para a estrutura de uma viga engastada com um disco em sua extremidade livre. Podemos afirmar que os resultados obtidos, não representam com exatidão a realidade do comportamento da estrutura, porém para fins didáticos, entende-se que as análises realizadas são de grande valia para o estudo da estrutura. 
Conclui-se, a partir da análise dos modos de vibrar encontrados para a estrutura, que cada segmentação da mesma, vibra no mesmo sentido para o modo de vibrar 1, devido ao fato de o sinal em todos os termos ser o mesmo. Já para os modos de vibrar 2 e 3, esse comportamento não é percebido, fazendo com que os segmentos vibrem em sentidos opostos. 
A partir dos modos de vibração, também pode-se prever qual será a intensidade do deslocamento de cada um dos segmentos da estrutura, como por exemplo, no modo 2, o segundo segmento é o de maior deslocamento, e o primeiro segmento do modo 3 apresenta o menor deslocamento.
É importante observar com atenção os gráficos referentes ao deslocamento modal de cada um dos segmentos em função do tempo. O gráfico do segmento 1 apresenta uma maior frequência natural e uma menor razão de amortecimento, desta maneira pode-se observar que esse apresenta a maior frequência de vibração. 
Verificando-se o gráfico da receptância, notamos que na extremidade livre da viga, o modo de vibrar 1 é o que apresenta um maior deslocamento. Isso pode ser concluído levando-se em consideração que o maior pico das recepâncias encontra-se no primeiro modo de vibrar, o qual é o modo que apresenta maior amplitude.
 
Resultados experimentais
Através da análise dos resultados experimentais, a partir dos gráficos 6 e 7, observamos que mais de 3 picos apareceram na imagem. Isso pode ser explicado devido a condições imperfeitas encontradas durante a realização do procedimento experimental, como por exemplo possíveis vibrações torcionais na viga.
Pode-se notar que os resultados das frequências naturais encontradas experimentalmente estão bem próximos das frequências previstas através da modelagem para o primeiro e para o segundo módulo. Já para o terceiro módulo pode-se perceber uma diferença considerável.
CONCLUSÃO
No decorrer do curso de vibrações mecânicas, estudamos basicamente sistemas mecânicos com um ou dois graus de liberdade, o que forneceu embasamento suficiente para realizar um estudo a respeito de sistemas mecânicos com múltiplos graus de liberdade. 
O sistema estudado apesar de simples serve de base para estudos mais complexos de estruturas com mais graus de liberdade. Um fatorque contribuiu para chegarmos a esta conclusão foi o fato de que as ferramentas utilizadas durante o experimento apresentam boa confiabilidade. Porém é importante lembrar que mesmo com essas ferramentas, modelos experimentais devem ser realizados para o estudo de qualquer estrutura, seguindo princípios teóricos de vibrações.
ANEXOS
Resultados Teóricos
clc
 clear all
 close all
 
E=70*(10^9);%GPa
ro=2700;%kg/m^3
espv=0.004;%m
lv=0.04;%m
Lv=0.606;%m
Dd=0.099;%m
espd=0.018;%m
PI=3.1415926535897932384626433832795
zeta=[0.01; 0.005; 0.001];
 
%Massas
mv=espv*lv*Lv*ro
md=((PI*(Dd^2))/4)*espd*ro
 
%Matriz de massa
M=[(md+((mv/3)/2)) 0 0; 0 mv/3 0; 0 0 mv/3]
 
%Momento de Inércia
I=(lv*(espv^3))/12
 
%Matriz de flexibilidade
A=(((Lv/3)^3)/(6*E*I))*[54 28 8 ;28 16 5 ;8 5 2 ]
 
%Matriz de rigidez
K=inv(A)
 
% seleção do caso de interesse
caso=3; %Apostila
% 
% 1a. parte - cálculo das frequências naturais e dos modos de vibrar
% 
% passo 1 - decomposição de Choleski
L=chol(M);
Lt=L';
Li=inv(L);
Lti=inv(Lt);
%
% passo 2 - matriz de rigidez normalizada pela massa
Ktil=Lti*K*Li;
% 
% passo 3 - problema de autovalores
[V,D]=eig(Ktil);%ver para 3 graus
 % frequências naturais em rad/s
omn=sqrt(diag(D));
 % ordenamento das frequências naturais
[omn,iv]=sort(omn);
 % apresentação das frequências naturais
disp('As frequências naturais, em rad/s, são')
disp(' ')
for im=1:length(omn)%im???
 disp(['ômega_',num2str(im),' = ',num2str(omn(im)),' rad/s'])
end
disp(' ')
% 
% passo 4 - autovetores normalizados e ordenados
for il=1:length(iv)%il????
 P(:,il)=V(:,iv(il));
end
% 
% passo 5 - modos de vibrar em colunas
T=Li*P; 
Tt=T';
Pt=P';
Ti=Pt*L;
 % visualização dos modos
figure(1)
plot(T,'o--')
vcf=1:1:size(T,2); % vetor de índices de coordenadas físicas
set(gca,'xtick',vcf); % restrição correspondente nos "ticks"
grid on
xlabel('índice de coordenada física')
ylabel('amplitude modal')
legend('modo 1','modo 2','modo 3')
title('Modos de vibrar')
 
% 
% % 2a. parte - cálculo das vibrações
% 
% passo 6 - matriz espectral
Lb=Pt*Ktil*P;
% 
% passo 7 - condições iniciais em coordenadas modais e 
% passo 8 - resolução das equações pertinentes
 % vetor de tempo
t=linspace(0,50,1000); 
 % casos considerados
switch caso
 case 1 % vibrações modais livres amortecidas 
 % condições iniciais
x0=[0; 0.01; 0.001];
xp0=[0; 0; 0];
 % condições iniciais em coordenadas modais
r0=Ti*x0;
rp0=Ti*xp0;
 % respostas em coordenadas modais (amort. subcrítico)
ni=omn.*sqrt(1-zeta.^2);
delta=zeta.*omn;
C1=r0;
C2=(delta.*r0+rp0)./ni;
C=sqrt(C1.^2+C2.^2);
fi=atan2(C1,C2);
for ir=1:length(omn)
 rcom(ir,:)=C(ir)*exp(-delta(ir)*t).*sin(ni(ir)*t+fi(ir));
end
 % visualização das respostas em coordenadas modais
figure(3)
subplot(2,1,1)
plot(t,rcom(1,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('coordenada modal 1 (m)')
title('Vibrações modais livres amortecidas')
subplot(2,1,2)
plot(t,rcom(2,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('coordenada modal 2 (m)')
 case 2 % vibrações modais sob excitação harmônica
 % condições iniciais
x0=[0; 0.01; 0.001];
xp0=[0; 0; 0];
 % condições iniciais em coordenadas modais
r0=Ti*x0;
rp0=Ti*xp0;
 % forças atuantes
F=[0; 10]; % amplitudes
om=3; % frequência
fif=0; % fase
 % vetor de amplitudes de forças modais
Fm=Tt*F;
 % forças modais harmônicas
fm=Fm*sin(om*t+fif);
 % visualização das forças modais
figure(2)
plot(t,fm)
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('força modal (N)')
legend('força 1','força 2')
title('Forças modais')
 % respostas em coordenadas modais
 % resposta permanente
k=omn.^2;
e=om./omn;
H=(1./k).*(1./sqrt((1-e.^2).^2+(2*zeta.*e).^2));
R=Fm.*H;
fiD=atan2(-(2*zeta.*e),(1-e.^2));
fir=fiD+fif;
for ir=1:length(omn)
 rper(ir,:)=R(ir)*sin(om*t+fir(ir));
end
 % resposta transiente (amort. subcrítico)
ni=omn.*sqrt(1-zeta.^2);
delta=zeta.*omn;
fi=atan2((ni.*(r0-R.*sin(fir))),(rp0+delta.*...
 (r0-R.*sin(fir))-om*R.*cos(fir)));
C=(r0-R.*sin(fir))./sin(fi); 
for ir=1:length(omn)
 rtran(ir,:)=C(ir)*exp(-delta(ir)*t).*sin(ni(ir)*t+fi(ir));
end
 % resposta completa
rcom=rtran+rper;
 % visualização das respostas em coordenadas modais
figure(3)
subplot(2,1,1)
plot(t,rtran(1,:),t,rper(1,:),t,rcom(1,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('coordenada modal 1 (m)')
legend('tran.','per.','com.')
title('Vibrações modais sob excitação harmônica')
subplot(2,1,2)
plot(t,rtran(2,:),t,rper(2,:),t,rcom(2,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('coordenada modal 2 (m)')
legend('tran.','per.','com.')
 case 3 % vibrações modais sob excitação impulsiva
 % condições iniciais
x0=[0; 0; 0];
xp0=[0; 0; 0];
 % forças atuantes
I=[0; 0; 1]; % intensidades
 % vetor de intensidades de forças modais
Im=Tt*I;
 % respostas em coordenadas modais (amort. subcrítico)
ni=omn.*sqrt(1-zeta.^2);
delta=zeta.*omn;
for ir=1:length(omn)
 rcom(ir,:)=(Im(ir)./ni(ir)).*exp(-delta(ir)*t).*sin(ni(ir)*t);
end
 % visualização das respostas em coordenadas modais
figure(3)
subplot(3,1,1)
plot(t,rcom(1,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('coordenada modal 1 (m)')
title('Vibrações modais sob excitação impulsiva')
subplot(3,1,2)
plot(t,rcom(2,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('coordenada modal 2 (m)')
subplot(3,1,3)
plot(t,rcom(3,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('coordenada modal 3 (m)')
 otherwise
 disp('Caso não especificado.') 
 disp(' ')
end
 
% passo 9 - respostas globais em coordenadas físicas
x=T*rcom;
 % contribuições dos modos
xm1=T(:,1)*rcom(1,:);
xm2=T(:,2)*rcom(2,:);
xm3=T(:,3)*rcom(3,:);
 % visualização das respostas em coordenadas físicas
figure(4)
 
subplot(3,1,1)
plot(t,xm1(1,:),t,xm2(1,:),t,xm3(1,:),t,x(1,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('vibração da massa 1 (m)')
legend('modo 1','modo 2','modo 3','global')
title('Vibrações em coordenadas físicas')
 
subplot(3,1,2)
plot(t,xm1(2,:),t,xm2(2,:),t,xm3(2,:),t,x(2,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('vibração da massa 2 (m)')
legend('modo 1','modo 2','modo 3','global')
title('Vibrações em coordenadas físicas') % ANALISAR
 
subplot(3,1,3)
plot(t,xm1(3,:),t,xm2(3,:),t,xm3(3,:),t,x(3,:))
grid on
xlabel('tempo (s)')
ylabel('vibração da massa 3 (m)')
legend('modo 1','modo 2','modo 3','global')
title('Vibrações em coordenadas físicas') % ANALISAR
 
% 3a. parte - cálculo de receptâncias
 
 % vetor de frequências
omx=linspace(0,900,800); 
 % matriz de receptância via expressão (11.5.16)
for ix=1:length(omx)
 daux1=1/((omn(1)^2-omx(ix)^2)+i*(2*zeta(1)*omn(1)*omx(ix)));
 daux2=1/((omn(2)^2-omx(ix)^2)+i*(2*zeta(2)*omn(2)*omx(ix)));
 daux3=1/((omn(3)^2-omx(ix)^2)+i*(2*zeta(3)*omn(3)*omx(ix)));
 Daux=diag([daux1 daux2 daux3]);
 Haux=T*Daux*Tt;
 H11(ix)=Haux(1,1);
 H12(ix)=Haux(1,2);
 H13(ix)=Haux(1,3);
 H21(ix)=Haux(2,1);
 H22(ix)=Haux(2,2);
 H23(ix)=Haux(2,3);
 H31(ix)=Haux(3,1);
 H32(ix)=Haux(3,2);
 H33(ix)=Haux(3,3);
end
 % visualização da matriz de receptância
figure(5)
 
subplot(3,3,1)
plot(omx,20*log10(abs(H11)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{11} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,2)
plot(omx,20*log10(abs(H12)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{12} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,3)
plot(omx,20*log10(abs(H13)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{13} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,4)
plot(omx,20*log10(abs(H21)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{21} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,5)
plot(omx,20*log10(abs(H22)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{22} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,6)
plot(omx,20*log10(abs(H23)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{23} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,7)
plot(omx,20*log10(abs(H31)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{31} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,8)
plot(omx,20*log10(abs(H32)))grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{32} (dB re 1m/N)')
subplot(3,3,9)
plot(omx,20*log10(abs(H33)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo de H_{33} (dB re 1m/N)')
 
% subplot(2,2,4)
% plot(omx,20*log10(abs(H22)))
% grid on
% xlabel('frequência (rad/s)')
% ylabel('Módulo de H_{22} (dB re 1m/N)')
 
 % elemento da matriz de receptância via expressão (11.5.27)
 % seleção do elemento
es=1;
er=2;
 % montagem da função receptância selecionada
for ix=1:length(omx)
 for im=1:length(omn)
 Hsrx(im,ix)=(T(es,im)*T(er,im))/...
 ((omn(im)^2-omx(ix)^2)+i*(2*zeta(im)*omn(im)*omx(ix)));
 end
 Hsr(ix)=sum(Hsrx(:,ix));
end
 % visualização da função receptância selecionada
ifrf=[num2str(es),num2str(er)];
mfrf=['Módulo de H_{',ifrf,'} (dB re 1m/N)'];
afrf=['Fase de H_{',ifrf,'} (rad)'];
tfrf=['Receptância H_{',ifrf,'}'];
figure(6)
 
subplot(2,1,1)
plot(omx,20*log10(abs(Hsrx(1,:))),omx,20*log10(abs(Hsrx(2,:))),...
 omx,20*log10(abs(Hsrx(3,:))),omx,20*log10(abs(Hsr)))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel(mfrf)
legend('modo 1','modo 2','modo 3','total')
title(tfrf)
 
subplot(2,1,2)
plot(omx,angle(Hsr))
grid on
xlabel('frequência (rad/s)')
ylabel(afrf)
Resultados Experimentais
Gráfico do Módulo da Inertânica Experimental x Frequência
%Close All
data=xlsread('Grupo3e4_Inert2_3_1');
freq=data(:,1);
real=data(:,2);
imag=data(:,3);
 
H=real+imag*i
f=(freq*2*pi())
freq2=f.^2
Ha=H./(-freq2)
 
semilogy(f,abs(Ha))
grid on
xlabel('Frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo da Inertânica Experimental (dB)')
Gráfico do Módulo da Receptância Experimental
%Close All
data=xlsread('Grupo3e4_Inert2_3_1');
freq=data(:,1);
real=data(:,2);
imag=data(:,3);
 
H=real+imag*i
 
semilogy(f,abs(H))
grid on
xlabel('Frequência (rad/s)')
ylabel('Módulo da Recepância Experimental (dB)')