SÉRIES INFINITAS

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Se´ries – 3. Se´ries Infinitas
Luiza Amalia Pinto Canta˜o
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Se´ries
Ide´ia inicial: Se tentarmos adicionar os termos de uma sequ¨eˆncia infinita
{an}∞n=1, obtemos:
a1 + a2 + · · · + an + · · · (1)
denominada como se´rie infinita (ou apenas se´rie) e e´ denotada como:
∞∑
n=1
an ou
∑
an
Atenc¸a˜o: Faz sentido falar em uma soma de termos infinitos ?
• Seria imposs´ıvel encontrar uma soma finita para a se´rie:
1 + 2 + 3 + · · · + n + · · · =
∞∑
n=1
n
• Por outro lado, se comec¸armos a adicionar os termos da se´rie
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · · + 1
2n
+ · · · =
∞∑
n=1
1
2n
= 1
Somas Parciais
Ide´ia: Para determinar se uma se´rie geral (1) tem uma soma ou na˜o, usamos
somas parciais:
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
e, em geral,
sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an =
n∑
i=1
ai
Observac¸a˜o : As somas parciais formam uma nova sequ¨eˆncia {sn}, que pode
ou na˜o ter um limite. Assim, se
lim
n→∞
sn = s
existir, enta˜o o chamamos de soma da se´rie infinita
∑
an.
Definic¸a˜o de Se´rie
Definic¸a˜o: Dada uma se´rie
∑∞
n=1 an = a1 + a2 + a3 + · · · , denote por sn sua
n-e´sima soma parcial:
sn =
n∑
i=1
ai = a1 + a2 + · · · + an
Se a sequ¨eˆncia {sn} for convergente e limn→∞ sn = s existir (s ∈ R), enta˜o
a se´rie
∑
an e´ denominada convergente e escrevemos:
a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · = s ou
∞∑
n=1
an = s
O nu´mero s e´ chamado de soma da se´rie. Caso contra´rio, a se´rie e´ dita
divergente.
Atenc¸a˜o:
∞∑
n=1
an = lim
n→∞
n∑
i=1
ai
Se´ries Geome´tricas
Ide´ia:
• Cada termo da se´rie geome´trica e´ obtida a partir do seu termo prece-
dente multiplicando-se pelo mesmo nu´mero r.
• Processo infinito com relac¸a˜o nos quais os matema´ticos estavam relati-
vamente seguros antes do Ca´lculo.
Forma:
a + ar + ar2 + · · · + arn−1 + · · · =
∞∑
n=1
arn−1
onde a, r ∈ R fixos e a 6= 0.
Exemplo: A raza˜o pode ser positiva ou negativa:
• 1 + 1
2
+
1
4
+ · · · +
(
1
2
)n−1
+ · · ·
• 1− 1
3
+
1
9
− · · · +
(
−1
3
)n−1
+ · · ·
Se´rie Divergente: Se r = 1:
sn = a + a + a + · · · + a = na→ ±∞ e lim
n→∞
sn =6 ∃
Se´rie Convergente: Se |r| < 1:
sn = a + ar + ar
2 + · · · + arn−1
rsn = ar + ar
2 + · · · + arn−1 + arn
Subtraindo essas equac¸o˜es, obtemos:
sn − rsn = a− arn
sn =
a (1− rn)
1− r
Como rn → 0 quando n→∞:
lim
n→∞
sn = lim
n→∞
a (1− rn)
1− r =
a
1− r −
a
1− r limn→∞ r
n =
a
1− r
Se´rie Divergente: Se r ≤ −1 ou r > 1, a sequ¨eˆncia e´ divergente e
lim
n→∞
sn =6 ∃
Se´ries Geome´tricas – Definic¸a˜o
A se´rie geome´trica
∞∑
n=1
arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·
e´ convergente se |r| < 1 e sua soma e´:
∞∑
n=1
arn−1 =
a
1− r, |r| < 1
Se |r| ≥ 1, a se´rie e´ divergente.
Se´ries Geome´tricas – Exemplo
Encontre a soma da se´rie geome´trica:
5− 10
3
+
20
9
− 40
27
+ · · ·
Soluc¸a˜o: Note que:
5− 10
3
+
20
9
− 40
27
+ · · · =
∞∑
n=1
5 ·
(
−2
3
)n−1
Assim, a = 5, r = |r| = 2
3
< 1, e portanto, a se´rie e´ convergente! Sua soma e´:
5− 10
3
+
20
9
− 40
27
+ · · · = 5
1− (−23) = 553 = 3
Se´ries Geome´tricas – Graficamente
Se´ries Geome´tricas – Mais exemplos
1. A se´rie
∞∑
n=1
22n31−n e´ convergente ou divergente ?
2. Escreva o nu´mero 2.317 = 2.3171717... como uma raza˜o de inteiros.
3. Encontre a soma da se´rie
∞∑
n=0
xn, onde |x| < 1.
4. Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
1
n(n + 1)
e´ convergente e calcule sua soma.
Teorema
Enunciado: Se a se´rie
∞∑
n=1
an for convergente, enta˜o lim
n→∞
an = 0.
Demonstrac¸a˜o: Seja sn = a1 + a2 + · · · + an. Enta˜o an = sn − sn−1.
Como
∑
an e´ convergente, a sequ¨eˆncia {sn} e´ convergente. Seja:
lim
n→∞
sn = lim
(n−1)→∞
sn−1 = s e
lim
n→∞
an = lim
n→∞
(sn − sn−1) = s− s = 0
Atenc¸a˜o: A rec´ıproca deste teorema na˜o e´ verdadeira em geral. Se
limn→∞ an = 0, na˜o podemos concluir que
∑
an seja convergente.
Teste para Divergeˆncia
Teste para Divergeˆncia: Se lim
n→∞
an na˜o existir ou se lim
n→∞
an 6= 0, enta˜o a
se´rie
∞∑
n=1
an e´ divergente.
Exemplo (5): Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
n2
5n2 + 4
diverge.
Reindexac¸a˜o:
• Aumentar:
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1+h
an−h = a1 + a2 + a3 + · · ·
• Diminuir:
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1−h
an+h = a1 + a2 + a3 + · · ·
Propriedades de Se´ries Convergentes
Teorema: Se
∑
an = A e
∑
bn = B sa˜o se´ries convergentes e k ∈ R, enta˜o:
1. Regra da Soma:
∞∑
n=1
(an + bn) =
∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
bn = A +B
2. Regra da Subtrac¸a˜o:
∞∑
n=1
(an − bn) =
∞∑
n=1
an −
∞∑
n=1
bn = A−B
3. Regra da Multiplicac¸a˜o por Constante:
∞∑
n=1
k · an = k ·
∞∑
n=1
an = k · A
Exemplo (6): Calcule a soma da se´rie
∞∑
n=1
(
3
n(n + 1)
+
1
2n
)
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