Análise de Sinais

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Análise de Sinais 
 
 
(Notas em Sinais e Sistemas) 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 2
 
Análise de Sinais 
 
(Notas em Sinais e Sistemas) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 
 
 
1 - Sinais contínuos e discretos 3 
2 - Energia e Potência de Sinais 10 
3 - Transformações da variável independente 14 
4 - Sinais Periódicos 18 
5 - Sinais pares e ímpares 19 
6 - Sinais exponenciais e sinusoidais 22 
 O sinal sinusoidal contínuo 22 
 O sinal exponencial contínuo 26 
 O sinal sinusoidal discreto 30 
 O sinal exponencial discreto 31 
7 - Funções singulares discretas 39 
 O sinal impulso unitário discreto 39 
 O sinal degrau unitário discreto 39 
 O sinal rampa unitária discreta 40 
8 - Funções singulares contínuas 43 
 O sinal impulso unitário 43 
 O sinal degrau unitário 44 
 O sinal rampa unitária 45 
9 - Sistemas 48 
 Introdução 48 
 Classificações de Sistemas 50 
 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) 58 
 Propriedades da Convolução 59 
 SLIT sem memória 62 
 SLIT inversíveis 63 
 Outros assuntos tratados em Teoria de Sistemas 65 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 3
Sinais e Sistemas 
 
 
A noção intuitiva de sinais e de sistemas surgem de uma variedade enorme de 
contextos. 
 
Existe uma linguagem própria usada para descrever sinais e sistemas e um con-
junto bastante poderoso de ferramentas para analisá-los. 
 
1 - Sinais contínuos e discretos 
 
Sinais podem descrever uma grande variedade de fenómenos físicos. 
Sinais podem ser descritos de muitas maneiras. 
 
 Alguns exemplos de sinais: 
 
 Circuito RC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal da tensão vs(t) na fonte e o sinal e da tensão vc(t) no condensador. 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 4
 Carro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal f(t) da força aplicada ao carro (que é proporcional à aceleração), o sinal 
x(t) do deslocamento do carro e o sinal v(t) da velocidade do carro. 
 
 
 
 
 Outros exemplos de sinais: 
 
O mecanismo vocal humano produz fala criando flutuações na pressão acús-
tica. 
Uma transmissão de rádio é também composta de sinais eléctricos que 
transportam o som (voz, música, etc.) 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 5
 Voz / fala humana 
Ilustração da gravação do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone que capta as 
variações da pressão acústica, a qual é convertida em sinais eléctricos. 
 
 
 Rádio (AM & FM) 
A portadora (sinal de frequência mais alta) transporta o som (sinal modulado) seja modu-
lado em amplitude (AM) ou em frequência (FM). 
 
 
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 6
 Electrocardiograma (ECG) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 7
 Electroencefalograma (EEG) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 8
Esta variável independente muito comummente é o tempo (sistemas dinâmicos), mas não 
necessariamente. 
O tempo é a variável independente no caso dos exemplos acima do circuito RC, do carro, 
das emissões de rádio, do ECG e do EEG. 
Por outro lado, uma imagem monocromática (preto-e-branco) é constituída por um padrão 
de variações no brilho através dela. Ou seja, o sinal da imagem é uma função da intensi-
dade de brilho em todos os pontos da imagem (bidimensional). 
 
Portanto, sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais 
variáveis independentes. 
No caso de mais de uma variável independente, muito comummente o tempo é uma des-
tas variáveis (são sistemas físicos dinâmicos). Mas não necessariamente, como é o caso 
da imagem monocromática acima, em que o sistema é estático. 
Outros exemplos de sistemas não dinâmicos: 
 em geofísica: sinais que representam variações de quantidades físicas como densi-
dade, porosidade e resistividade eléctrica versus a profundidade são usados para es-
tudar a estrutura da terra. 
 em meteorologia: variação da pressão atmosférica, temperatura e velocidade do 
vento versus a altitude. 
 
O sinal ao lado 
mostra a 
velocidade do vento 
x 
altitude, 
 
usado para exami-
nar as condições 
de vento que pos-
sam afectar uma 
aeronave durante a 
aproximação final 
da pista e aterra-
gem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9
Todos os exemplos acima são de variáveis independentes contínuas, e por isso chama-
dos de “sinais contínuos”. 
 
Entretanto se considerarmos por exemplo: o índice da bolsa de valores (diário), temos 
então um caso de sinal discreto (i.e., sinal não contínuo). 
 
Outros exemplos de sinais discretos podem ser encontrados por exemplo em estudos 
demográficos. Vários atributos como: 
 renda média familiar (pelo número de pessoas na família); 
 taxas de crimes (pela população total); 
 quilos de peixes que foram pescados (pelo tipo de embarcação); 
 
Ou em índices económicos (que normalmente só saem uma vez por mês) como: 
 inflação (mensal); 
 taxa de desemprego (mensal); 
 
 
 
Para distinguir os sinais contínuos e discretos no tempo nós usaremos 
“t” para denotar a variável independente contínua e 
“n” para denotar a variável independente discreta. 
 
Além disso, nos sinais contínuos usaremos parêntesis ( ), 
x(t), y(t), v(t), etc. 
 
enquanto que nos sinais discretos usaremos parêntesis recto [ ], 
x[n], y[n], v[n], etc. 
 
Um sinal discreto pode ser a representação de um fenómeno (sistema) inerente-
mente discreto, como por exemplo o caso de índices demográficos ou os índices 
da bolsa de valores. 
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 10
Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostra-
gem de sinais contínuos. 
 
A razão disto é o uso de computadores digitais modernos com processadores digi-
tais velozes, potentes e flexíveis para representar sistemas físicos de aplicação 
prática como por exemplo: 
piloto automático digital; 
sistemas digitais de áudio ou de vídeo. 
 
Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas no tempo que são repre-
sentações (discretizações) de sinais contínuos no tempo. 
 
Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discre-
tos (por amostragem) para este propósito, como por exemplo: 
a posição da aeronave; 
a velocidade da aeronave; 
a direcção da aeronave; 
 
(no caso do piloto automático digital), ou 
voz; 
música; 
som em geral; 
 
(no caso de sistemas digitais de áudio), ou 
fotografias que aparecem nos jornais e livros; 
imagens de um filme gravado em DVD; 
etc. 
 
 
 
2 - Energia e Potência de Sinais 
 
Em muitas aplicações, embora não em todas, os sinais são directamente rela-
cionados com quantidades físicas que captam ou absorvem energia e potência no 
sistema físico. 
 
Por exemplo, no caso do circuito RC que foi visto acima, a potência instantânea é: 
)t(v
R
1)t(i)t(v)t(p 2== 
onde: 
v(t) = tensão na resistência R; 
i(t) = corrente na resistência R. 
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 11
e a energia total despendida no intervalo de tempo 21 t tt ≤≤ é: 
∫∫ == 2
1
2
1
21t
t
t
tTotal
dt)t(v
R
dt)t(pE 
 
e a potência média neste intervalo [t1, t2] é: 
( ) ( ) ∫∫ −− == 2121 2111 1212
t
t
t
tmédia
dt)t(v
R
dt)t(pP
tttt 
 
De forma semelhante no caso do exemplo acima do carro, a potência dissipadapela fricção é: 
)t(v)t(p 2ρ= 
 
onde ρ = coeficiente de atrito da superfície. 
A energia total e potência média no intervalo [t1, t2] são respectivamente: 
 
∫∫ ρ== 2
1
2
1
2t
t
t
tTotal
dt)t(vdt)t(pE 
 
( ) ( ) ∫∫ ρ== −− 2121 21212
11 t
t
t
tmédia
dt)t(vdt)t(pP
tttt 
 
 
Motivados pelos exemplos acima definiremos abaixo potência e energia para 
qualquer sinal contínuo x(t) e qualquer sinal discreto x[n]. 
 
 
A energia total no intervalo 21 t tt ≤≤ de um sinal contínuo x(t) é definida como: 
∫= 2
1
2t
t
dt)t(xE 
onde |x| é o módulo do número x (que pode ser real ou complexo). 
 
 
A potência média neste intervalo [t1 , t2] é definida como: 
 
( ) ∫−= 21 212
1 t
t
dt)t(xP
tt 
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 12
A energia total e a potência média no intervalo 21 t tt ≤≤ de um sinal discreto 
x[n] é definida como: 
[ ]∑
=
= 2
1
2
n
nn
nxE 
( ) [ ]∑=+−=
2
1
2
12 1
1 n
nn
nxP
nn 
 
Para o caso de um intervalo infinito de tempo: 
- ∞ < t < ∞ ou - ∞ < n < ∞ 
as definições de energia total e potência média, no caso de um sinal contínuo no 
tempo, ficam: 
∫∫ ∞∞−−∞→∞ == dt)t(xdt)t(xlimE TTT 22 
∫−∞→∞ = TTT dt)t(xTlimP 221 
e, para um sinal discreto no tempo, ficam: 
[ ] [ ]∑ ∑
−=
∞
−∞=∞→
∞ ==
N
Nn nN
nxnxlimE 22 
( ) [ ]∑−=∞→∞ +=
N
NnN
nxlimP
N
2
12
1
 
Note que para alguns sinais E∞ e/ou P∞ podem não convergir. Por exemplo, se x(t) 
ou x[n] = constante ≠ 0 para todo t, então este sinal tem energia infinita (E∞ = ∞). 
Se um sinal tem energia E∞ < ∞ (energia total finita), então: 
P∞ = 0 
Isto porque 
0
2
== ∞∞→∞ T
ElimP
T 
ou 
( ) .
ElimP
NN
0
12
== +
∞
∞→∞ 
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 13
Exemplo 1: 
 
 
Facilmente observa-se 
que para este sinal x(t): 
E∞ = 1. 
 
E portanto, 
P∞ = 0. 
 
 
Se um sinal tem 0 < P∞ < ∞ (potência finita ≠ 0), então, obviamente: 
E∞ = ∞. 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
Facilmente observa-se 
que para este sinal x[n]: 
E∞ = ∞. 
 
E portanto, 
P∞ = 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, existem sinais que têm E∞ = ∞ e P∞ = ∞. 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
 
Facilmente observa-se 
que para este sinal x(t) 
ambos 
E∞ = ∞. 
P∞ = ∞. 
 
 
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3 - Transformações da variável independente 
 
 Translação no tempo (“time shifting”): 
A translação no tempo, “time shifting” também é chamado de “deslocamento no tempo” 
ou “deslizamento no tempo” ou simplesmente “shift”. 
 Shift para direita (retardo): 
sinal discreto: x[n] --------→ x[n-no], no > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sinal contínuo : x(t) --------→ x(t – to), to > 0. 
 
 
 Shift para esquerda (avanço): 
sinal discreto: x[n] --------→ x[n+no] , no > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 15
sinal contínuo : x(t) --------→ x(t + to), to > 0. 
 
 
Aplicações de sinais com “shift” para direita são encontradas em radar, sonar e sismógra-
fos. 
 
 
 Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) em torno de t = 0: 
sinal discreto: x[n] --------→ x[- n] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sinal contínuo: x(t) --------→ x(- t) 
 
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Aplicações de sinais com reversão no tempo podem ser encontradas em gravações toca-
das de trás para frente. 
 
 Escalonamento no tempo (time scaling) 
 
 Compressão ou encolhimento: 
sinal discreto: x[n] --------→ x[an] , a > 0. 
sinal contínuo: x(t) --------→ x(at), a > 0. 
 
 Expansão ou esticamento: 
sinal discreto: x[n] --------→ x[an] , 0 < a < 1. 
sinal contínuo: x(t) --------→ x(at), 0 < a < 1. 
 
 
 
 
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 17
Aplicações de sinais com “time scaling” para direita são encontradas em gravações toca-
das mais rapidamente (“fast forward”) ou mais lentamente (replay em ‘slow motion’). 
 
 Caso geral 
sinal discreto: x[n] --------→ x[αn + β] , a > 0 
sinal contínuo: x(t) --------→ x(αt + β), a > 0 
Se | α | < 1 → sinal é esticado (↔); 
Se | α | > 1 → sinal é comprimido (→ ←); 
Se α < 0 → sinal é invertido; 
Se β < 0 → translação (shift) para direita; 
Se β > 0 → translação (shift) para esquerda. 
 
Exemplo 4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 - Sinais Periódicos 
Um sinal contínuo é periódico se ∃ T > 0 tal que 
 x(t) = x(t + T) , ∀ t eq. (A) 
T é chamado de período de x(t). 
Ou seja, um sinal periódico x(t) fica imutável se fizermos uma translação (shift) de T. 
Exemplo 5: 
 
 
 
Se um sinal é periódico de período T então também é periódico de período 2T, 3 T, 4T, … 
 
O período fundamental de x(t), To , é o menor valor positivo de T para o qual a eq. (A) 
acima é válida. 
 
Esta definição tem uma excepção que é o caso de 
 x(t) = C (constante) , ∀ t 
Neste caso não existe período fundamental. 
Um sinal não periódico é chamado de “aperiódico”. 
 
Analogamente um sinal discreto x[n] é periódico se ∃ N tal que 
 x[n] = C (constante) , ∀ n eq. (B) 
 
N é chamado de período de x[n]. 
O período fundamental de x[n], No , é o menor valor de N para o qual eq. (B) é válida. 
 
Exemplo 6: 
É fácil de verificar que To = (2π/a) é o período fundamental do sinal periódico: 
x1(t) = b ⋅ cos (at + c) 
e que To = (π/a) é período fundamental do sinal periódico: 
x2(t) = b ⋅ | cos (at) | 
 
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 19
Exemplo 7: 
Sinal discreto com período fundamental No = 3. 
 
 
 
5 - Sinais pares e ímpares 
 
Um sinal contínuo x(t) é par se: 
x(-t) = x(t) 
 
Um sinal discreto x[n] é par se: 
x[-n] = x[n] 
 
 
Um sinal contínuo x(t) é ímpar se: 
x(-t) = - x(t) 
 
Um sinal discreto x[n] é ímpar se: 
x[-n] = - x[n] 
 
Exemplo 8: 
 
 um sinal par um sinal ímpar 
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 20
Note que para um sinal ímpar x(t) ou x[n], 
x(0) = 0 ou x[n] = 0, 
respectivamente. 
 
Exemplo 9: 
x(t) = sen (t) é um sinal ímpar; e 
x(t) = cos (t) é um sinal par. 
Um sinal pode ser decomposto na soma de 2 sinais sendo um par e um ímpar. 
No caso de um sinal contínuo: { } { })t(xOdx(t)Evx(t) += 
onde: 
 { } ( ))t(x)t(xx(t)Ev −+=
2
1
 (sinal par) 
 { } ( ))t(x)t(xx(t)Od −−=
2
1 (sinal ímpar) 
No caso de um sinal discreto: 
[ ] [ ]{ } [ ]{ }nxOdnxEvnx += 
onde: 
 [ ]{ } [ ] [ ]( )nxnxnxEv −+=
2
1 (sinal par) 
 [ ]{ } [ ] [ ]( )nxnxnxOd −−=
2
1 (sinal ímpar) 
 
Exemplo 10: 
 
O sinal x[n] da figura acima (que é chamado de degrau unitário, como veremos mais 
adiante) pode ser decomposto nos dois sinais Ev{x[n]} e Od{[n]} abaixo: 
 
 [ ]{ }
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
=
<
=
02
1
01
02
1
nse,
nse,
nse,
nxEv [ ]{ }
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
=
<−
=
02
1
01
02
1
nse,
nse,
nse,
nxOd 
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 21
 
que estão representados a seguir. 
 
 
 
 
 
 
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 22
6 - Sinais exponenciais e sinusoidais 
 
 O sinal sinusoidal contínuo: 
 
 
 
 
Este sinal descreve as características de muitos processos físicos, em particular: sistemasno qual a energia é conservada, como os circuitos LC; o movimento harmónico simples 
(MHS); a variação da pressão acústica que corresponde ao tom de uma nota musical; etc. 
 
O sinal acima x(t) = A cos(ωot + φ), ωo = 0 é periódico com período fundamental 
o
o
2 T ω
π= . 
e ωo é chamada de frequência fundamental. 
 
A equação acima mostra que frequência fundamental e o período fundamental são inver-
samente proporcionais. 
 
Se tivermos 3 sinais: 
 xo(t) = A cos(ωot + φ), 
 x1(t) = A cos(ω1t + φ), e 
 x2(t) = A cos(ω2t + φ), 
 
com ω2 < ωo <ω1 (o que equivale a T1 < To < T2) então x1(t) oscila mais que xo(t) e por 
outro lado x2(t) oscila menos que xo(t). 
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 23
Ou seja, para o sinal xo(t) = A cos(ωot + φ), quanto maior a frequência ωo, mais ele oscila, 
e quanto menor frequência ωo, menos ele oscila. 
 
 
 
 
 
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 24
 
 
As unidades de )tcos( A x(t) o φ+ω= são: 
T [segundos] 
φ [radianos] 
ωo [radianos / segundo] 
 
Às vezes a frequência natural ωo é escrita como 
 
ωo = 2πfo 
onde 
fo [Hertz] 
 
é a frequência do sinal x(t) = A cos(2πfot + φ). 
 
Note também (os casos particulares), para 
 
)t(cosA)t(x o φ+ω⋅= 
se φ = 0, ou φ = ±2π, ±4π, … ⇒ x(t) = A cos (ωot) 
se 
2
π=φ , ou ...,, π±ππ±π=φ 4
2
2
2
 ⇒ x(t) = - A sen (ωot) 
se 
2
π−=φ , ou ...,, π±π−π±π−=φ 4222 
⇒ x(t) = A sen (ωot) 
se 
2
3π=φ , ou ...,, π±π=φπ±π=φ 42
32
2
3 ⇒ x(t) = - A cos (ωot) 
 
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 25
Além disso: se ωo = 0 ==> x(t) = C (constante) 
 
 
 
O sinal x(t) = C (constante), ∀t é também um sinal periódico, e com período T para qual-
quer T > 0. Entretanto sinal x(t) = C (constante) não tem um período fundamental To. 
 
 
Outro detalhe: o sinal x(t) escrito na forma combinação linear de um seno e um coseno 
com a mesma frequência ωot e sem desfasagem, isto é, )t(cos)t(sen)t(x oo ω⋅β+ω⋅α= , 
pode ser escrito como um seno com a mesma frequência ωot e desfasagem φ, isto é, 
)t(senA)t(x o φ+ω⋅= ; e vice-versa. Ou seja: 
 
 
)t(senA
)t(cos)t(sen)t(x
o
oo
φ+ω⋅=
ω⋅β+ω⋅α=
 
onde: 
 
 φ⋅=α cosA e φ⋅=β senA 
 22 β+α=A e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α
β=φ −1tg 
 
Por outro lado, o sinal x(t) que vimos mais acima, na forma de um coseno de frequência 
ωot e desfasagem φ, isto é, )t(cosA)t(x o φ+ω⋅= , pode ser escrito na forma de combina-
ção linear de um seno e um coseno com a mesma frequência ωot (e vice-versa) da 
seguinte forma: 
 
 
)t(sen)t(cos
)t(cosA)t(x
oo
o
ω⋅β−ω⋅α=
φ+ω⋅=
 
 
onde α, β, A e φ são dados acima. 
 
 
 
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 26
 O sinal exponencial contínuo: 
 
ateC)t(x = 
 
 Caso 1: 
 
Neste caso x(t) é chamado de um sinal exponencial real e pode ser crescente (se a > 0) 
ou decrescente (se a < 0). 
 
 
 
A exponencial crescente é usada na descrição de muitos fenómenos físicos como a reac-
ção em cadeia em explosões atómicas e certas reacções químicas complexas. 
 
A exponencial decrescente também aparece na descrição de muitos processos físicos 
como por exemplo: o decaimento radioactivo, a resposta vc(t) do circuito RC e sistemas 
mecânicos amortecidos. 
 
Obviamente se a = 0, então novamente x(t) = C eat = C = constante (já vista acima nos 
sinais sinusoidais com frequência ωo = 0) e portanto x(t) deixa de ser um sinal exponencial. 
 
 
 
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 27
 Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro 
ateC)t(x = 
para C = 1 e a = j ωo (imaginário puro) 
 
tj oe)t(x ω= 
 
Neste caso x(t) é um sinal exponencial complexo para cada t. 
 
 
 
Observe que como 
θ∀=θ ,e j 1 , então: 
 
| x(t) | = 1 , ∀t 
 
 
Podemos interpretar 
este sinal x(t) como um 
ponto que se desloca 
na circunferência de 
raio 1 no plano com-
plexo com velocidade 
angular | ωo | rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que este sinal 
tj oe)t(x ω= 
 
é sempre periódico pois: 
 
)t(x
eee)Tt(x Tjtj)Tt(j ooo
=
===+ ωω+ω
 
para muitos valores de T (período) para os quais 1=ω Tj oe . 
 
De facto, se 
...,,k,kT
o
212 ±±=ω
π= , 
então 1=ω Tj oe e T é um período de x(t). No caso particular de 
 
02 ≠ωω
π= o
o
o ,T 
 
então To é o período fundamental de x(t) e ωo é chamada de frequência fundamental de 
x(t). 
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 28
A família de sinais exponenciais complexos 
 
 
tjk
k
oe)t( ω=φ , ...,,,k 210 ±±= 
 
é conhecida como sinais harmonicamente relacionados. Estes sinais são periódicos e a 
frequência fundamental de cada )t(kφ , k ≠ 0, é 
 
ook k ω⋅=ω 
 
e o período fundamental é 
 
k
T
k
T o
o
ok =ω⋅
π= 2 
 
No caso de k = 0, )t(oφ = constante e não tem frequência fundamental nem período 
fundamental. 
 
O termo “harmónico” advém da música e se refere às tons resultantes de variações da 
pressão acústica em frequências que são múltiplas da frequência fundamental. 
 
Por exemplo, o padrão de vibração de uma corda de um instrumento musical (como o vio-
lino) pode ser descrito como a sobreposição (ou a média ponderada) de sinais exponen-
ciais periódicos harmonicamente relacionados. 
 
Exemplo 11: 
)t,cos(e
)ee(e
ee)t(x
t,
,jt,jt,
tjtj
512 53
515153
52
=
+=
+=
− 
 
E, como 1=θje , ∀θ, temos que 
)t,cos()t(x 512 ⋅= 
 
que é o sinal sinusoidal de onda completa rectificado, que vemos no gráfico abaixo: 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 29
 Caso 3: 
 
Se 
 C = |C| ejθ (C escrito na forma polar) 
 a = σ + jωo (a escrito na forma cartesiana) 
 
então o sinal exponencial contínuo 
 
)t(seneCj)tcos(eC
eeC
eeC
e C x(t)
o
t
o
t
t)j(t
t)j(j
t
o
o
θ+ω+θ+ω=
=
=
=
σσ
θ+ωσ
ω+σθ
α
 
Logo: 
 
 Re{ x(t) } e Im{ x(t) } 
σ = 0 ⇒ Sinais sinusoidais 
σ > 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes 
σ < 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 30
 
Estes últimos são sinais com decaimentos (σ < 0) e comummente chamados de sinais 
sinusoidais amortecidos. 
 
Exemplos de sistemas físicos onde aparecem estes sinais são: Circuitos RLC; sistemas 
mecânicos com amortecimento e força restauradora (massa-mola, suspensão de automó-
veis, etc.). Estes sistemas têm mecanismos que dissipam energia (como resistências, for-
ças amortecedoras e atritos) com oscilações que decaem no tempo. 
 
 
 O sinal sinusoidal discreto: 
 
x[n] = A cos (ωon + φ) 
 
onde as unidades de x[n] são: 
n [sem dimensão] 
ωo [radianos] 
φ [radianos] 
 
Abaixo vemos alguns exemplos de sinais sinusoidais discretos. 
 
 
x[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π. 
 
 
 
x[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π. 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 31
 
x[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,15. 
 
 
Usando as equações de Euler, o sinal sinusoidal discreto x[n] acima pode ser escrito 
como: 
njjnjj
o
oo ee
2
Aee
2
A
) ( cos A x[n]
ω−φ−ωφ ⋅⋅+⋅⋅=
=φ+ω=
 
 
e, como 1
2 =φje e 12 =ω nj oe , então, para este sinal temos que a energia total E∞ e 
a potência total P∞ são: 
 E∞ = ∞, e P∞ = 1. 
 
 
 
 
 O sinal exponencial discreto: 
 
 
[ ]
n
n
eC
Cnx
β=α=
 , onde β=α e . 
Que é uma forma análoga ao sinal exponencial contínuo. 
 
 
Caso 1: 
 
 
Neste caso x[n] pode ser um sinal crescente (se | α | > 1) ou um sinal decrescente (se 
| α | < 1). 
 
Abaixo vemos os gráficos deste sinal [ ] nCnx α= para α > 1, 0 < α < 1, -1 < α < 0 e 
α < -1. 
 
Estes sinais são frequentemente usados para descrever crescimento populacional em 
função das gerações e também o retorno de investimentos em função do dia, mês ou 
trimestre. 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 32
 
 α > 1 0 < α < 1 
 
 
 -1 < α < 0 α < - 1 
 
 
 
Obviamente se α = 0 ou α = ±1, então [ ] nCnx α= não é um sinal exponencial, mas sim 
um sinal constante de zero ou ± |C| , respectivamente. Ou seja: 
 
Se α = 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = 0 , 
se α = 1 e C > 0 ou se α = -1 e C < 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = | C | , 
e 
se α = -1 e C > 0 ou se α = 1 e C < 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = -| C |. 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 33
 
 
 
 
 
 Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro (isto é, | α | = 1) 
 
O sinal exponencial complexo 
 [ ] nn CeCnx α== β ( )β=α e 
para C = 1 e β = j ωo (imaginário puro), ou seja | α | = 1, fica: 
 [ ] nj oenx ω= . 
 
Usando a equação de Euler temos que: 
 [ ] nsenjncosenx oonj o ω⋅+ω== ω 
 
Observe que, como n,e nj o ∀=ω 12 então para este sinal temos novamente que 
 E∞ = ∞, e P∞ = 1. 
 
Note que o sinal exponencial 
 [ ] nj oenx ω= 
 
satisfaz a seguinte propriedade: 
 [ ]
...,,,m,e
eenx
n)m(j
n)(jnj
o
oo
210
2
±±==
===
π±ω
π+ωω
 
 
ou seja, o sinal x[n] é o mesmo para frequência ωo e (ωo + 2π). Na verdade é o mesmo 
para qualquer frequência (ωo ± mπ), m = 0, ±1, ±2, … Isto é, ele se repete a cada 2π a 
medida que a frequência ωo varia. 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 34
Esta situação é diferente do seu sinal análogo contínuo x(t), onde para cada ωo, x(t) era 
um sinal diferente. Nunca se repetia para valores diferentes de ωo. Na verdade, quanto 
maior era a frequência ωo, Maior era a taxa de oscilação de x(t). 
 
No caso discreto que analisamos aqui 
 [ ] nj oenx ω= 
 
o que ocorre é que conforme ωo aumenta de 0 até π, obtemos sinais x[n] que oscilam 
cada vez mais rápido. Depois, continuando a aumentar ωo de π até 2π, os sinais x[n] vão 
oscilando cada vez menos até voltar a ser o mesmo que era em ωo = 0 para ωo = 2π. 
 
As figuras abaixo dão uma ideia de como isto ocorre. Elas mostram a evolução d a parte 
real de x[n], ou seja 
σ[n] = Re{ x[n]} = cos (ωon), 
desde 0 (nenhuma oscilação) até π (número máximo de oscilações) e depois continuando 
até 2π (nenhuma oscilação novamente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 35
 
 
 
 
 
Se ωo = π, ou ωo = ±nπ para ímpar, a oscilação é máxima pois 
 [ ]
.)()e(
eenx
nnj
njnj ímparnparao
1−==
==
π
πω
 
 
ou seja, o sinal x[n] salta de +1 para -1 a cada ponto n no tempo. 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 36
Por outro lado se ωo = 0, ou ωo = ±nπ para m par, não há oscilação pois 
 [ ] n,jnj eenx o ∀=== ω 10 
 
ou seja, o sinal x[n] é constante para todos os valores n no tempo. 
 
Portanto, as oscilações baixas (ou variações lentas) do sinal x[n] tem valores ωo próximo a 
0, 2π, etc. (múltiplos pares de π), enquanto que as oscilações altas (ou variações rápidas) 
do sinal x[n] estão localizadas próximas a ±π e múltiplos ímpares de π. 
 
Outra propriedade importante é a “periodicidade”. Esta situação aqui em x[n] também é 
diferente que no seu análogo contínuo x(t). Enquanto que o sinal x(t) é sempre periódico, 
para o sinal x[n] isto não ocorre sempre. 
 
Note que a equação 
 [ ] [ ]nxeeeeNnx njNjnj)Nn(j oooo == ωωω+ω ⋅==+ 
 
só é válida quando 1=ω Nj oe , ou seja, se 
 
...,,,m,mNo 2102 ±±=π=ω 
 
isto é, se 
 
...,,,m,
N
mo 210
2
±±==π
ω 
 
o que equivale a dizer 
 
 π
ω
2
o 
 
Logo, o sinal discreto 
 [ ] nj oenx ω= 
só é periódico quando π
ω
2
o é um número racional. 
Nos sinais ilustrados na figura da páginas 29 e 30, 
 
x[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π , 
x[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π , e 
x[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,15. 
 
somente os 2 primeiros são periódicos pois têm frequências múltiplas de π por um 
números racionais. O terceiro sinal não é periódico. 
 
Portanto, se π
ω
2
o , então qualquer N que satisfaz 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 37
...,,,m,mN
o
2102 ±±=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ω
π⋅= 
 
é um período de x[n]. 
 
Na verdade, se ωo ≠ 0, e se N e m forem primos entre si (não têm factores comuns), 
sendo N > 0, então o período fundamental é 
 
No = N , 
ou seja, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ω
π⋅=
o
o mN
2 . 
 
Resumindo o Caso 2 para os sinais contínuos e discretos: 
 
ate)t(x = [ ] nj oenx ω= 
 
x(t) ≠ para valores de ωo ≠ x[n] se repete para ωo, (ωo + 2π), (ωo + 4π), etc 
 
 
x(t) é periódico ∀ ωo 
x[n] só é periódico se ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π=ω
N
m
o
2 
Para algum inteiro N > 0 e m inteiro. 
(m e N primos entre si) 
 
frequência fundamental de x(t) 
ωo 
frequência fundamental de x[n] 
m
oω 
(m e N primos entre si) 
período fundamental de x(t) 
 
se ωo = 0 ⇒ não existe! 
se ωo ≠ 0 ⇒ 
o
oT ω
π= 2 
período fundamental de x[n] 
 
se ωo = 0 ⇒ não existe! 
se ωo ≠ 0 ⇒ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ω
π⋅=
o
o mN
2 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 38
 Caso 3: 
 
Se 
 C = |C| ejθ (C escrito na forma polar) 
 α = |C| ejωo (α escrito na forma polar) 
 
então o sinal exponencial contínuo 
 
[ ]
)nsin(Cj)ncos(C
 C nx
oo
n
θ+ω⋅⋅+θ+ω⋅=
α=
 
Logo, 
 
 Re{ x[n] } e Im{ x[n] } 
| α | = 1 ⇒ Sinais sinusoidais discretos 
| α | > 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes 
| α | < 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ] [ ]{ } 1<αθ+ω⋅α==σ ,)ncos(nxRen on 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 39
7 - Funções singulares discretas 
 
 O sinal impulso unitário discreto (unit impulse): 
 
 uo[n] ou δ[n] 
 
 
 
[ ] ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠=
01
00
n,
n,
nuo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se multiplicarmos o impulso unitário uo[n] por uma constante C ≠ 0 obtemos um impulso 
(neste caso não unitário) de área C, podendo até mesmo ser negativa. 
 
 
 
 
 O sinal degrau unitário discreto (unit step): 
 
 u1[n] ou u[n] 
 
 
 
[ ] ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
01
00
1
n,
n,
nu
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 40
Se multiplicarmos o degrau unitário u1[n] por uma constante C ≠ 0 obtemos um degrau 
(neste caso não unitário) de amplitude C, podendo até mesmo ser negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações que relacionam o degrau unitário u1[n] com o impulso unitário uo[n]: 
 
 
 uo[n] = u1[n] – u1[n-1] , ∀n eq. (C) 
 
 [ ] [ ] n,nunu n
m
o ∀= ∑
−∞=
1 eq. (D) 
 
 
 
 O sinal rampa unitária discreta (unit ramp): 
 
 u2[n] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ] ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
0
00
2
n,n
n,
nu
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 41
Se multiplicarmos a rampa unitária u2[n] por uma constante C ≠ 0 obtemos uma rampa 
(neste caso não unitária) de declive (ou inclinação) C, podendo até mesmo sernegativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que 
 
u2[n] = n u1[n] ] , ∀n 
 
ou também, na forma da eq. (D): 
 
[ ] [ ] n,nunu n
m
∀= ∑
−∞=
12 
 
Por outro lado, na forma da eq. (C), 
 
u1[n] = u2[n] – u2[n-1] , ∀n 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 42
Exemplo 12: 
Alguns sinais do tipo degrau, impulso e rampa transformados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 43
8 - Funções singulares contínuas 
 
 
 O sinal impulso unitário (unit impulse): 
Também chamado de função delta ou delta de Dirac. 
 
 uo(t) ou δ(t) 
 
 
 
 
O impulso unitário uo(t) pode ser interpretado como o limite de uma sequência de pulsos 
de área 1. 
 
 
 
 
 
Note que os sinais xn(t) (pulsos) acima são cada vez mais magros e mais altos, a medida 
que n cresce, mas entretanto, eles têm todos área 1 sob a curva. 
 
Desta forma é fácil de compreender que o impulso unitário uo(t), sendo o limite desta 
sequência de pulsos{ })t(xn , vai a infinito em t = 0 e a área(i.e., a integral sob a curva) no 
intervalo [ α , β ] (para α < 0 < β) é 1. 
 
 
β<<α=
≠=
∫ βα 01
00
,)(
,)(
dttu
ttu
o
o
{ } )t(u)t(x on →
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 44
Propriedades do impulso unitário: 
 
uo(t – a) = 0, para t ≠ a 
 
β<<α=−∫ βα adtatuo ,)( 1 
 
β<<α=−⋅∫ βα aafdtatutf o ),()()( 
 
Esta última igualdade é chamada de integral de convolução entre os sinais f(t) e uo(t). 
 
Se multiplicarmos o impulso unitário uo(t) por uma constante C ≠ 0 obtemos um impulso 
(neste caso não unitário) de área C, podendo até mesmo ser negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O sinal degrau unitário (unit step): 
 
 u1(t) ou u(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
01
00
t,
t,
)t(uo
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 45
Se multiplicarmos o degrau unitário u1(t) por uma constante C ≠ 0 obtemos um degrau 
(neste caso não unitário) de amplitude C, podendo até mesmo ser negativa. 
 
 
 
 
O degrau unitário é a integral do impulso unitário, e o impulso unitário por sua vez é a 
derivada do degrau unitário, ou seja: 
 
dttutu
t
o )()( ∫ ∞−=1 
 
dt
)t(du)t(uo 1= 
 
 
 
 
 O sinal rampa unitária (unit ramp): 
 
 u2(t) 
 
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
0
00
2
t,t
t,
)t(u
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 46
Se multiplicarmos a rampa unitária u2(t) por uma constante C ≠ 0 obtemos uma rampa 
(neste caso não unitário) de declive (ou inclinação) C, podendo até mesmo ser negativo. 
 
 
 
 
 
 
A rampa unitária é a integral do degrau unitário, e a integral dupla do impulso unitário. Por 
outro lado, o degrau unitário é a derivada da rampa unitária, e o impulso unitário é a 
derivada segunda da rampa. Ou seja: 
 
 dt
)t(du)t(u 21 = 22
2
0 dt
)t(ud)t(u = 
 
 dttutu
t
)()( ∫ ∞−= 12 ∫ ∫∞− ∞−= t t dttutu )()( 02 
 
 
 
 
Exemplo 13: 
Alguns sinais do tipo degrau, impulso e rampa transformados: 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 47
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 48
9 - Sistemas 
 
 Introdução: 
 
A noção de sistemas é intuitiva. Quase tudo que nos rodeia é algum tipo de sistema. Um 
circuito eléctrico, ou um circuito electrónico (como os das figuras abaixo) são exemplos de 
sistemas. 
 
 
Um simples mecanismo, ou um mecanismo mais complexo (como os das figuras abaixo) 
são também exemplos de sistemas. 
 
 
 
Um automóvel, um robot ou um avião são outros exemplos de sistema. São sistemas 
mais complexos pois dentro deles têm muitos circuitos eléctricos e muitos mecanismos. 
Ou seja, são sistemas que possuem dentro outros sistemas, ou subsistemas. 
 
 
 
O corpo humano é também um exemplo de sistema, e de um sistema bastante 
sofisticado, cheio de subsistemas: o sistema circulatório, o sistema respiratório, o 
aparelho digestivo, o sistema nervoso, etc., etc. 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 49
Na verdade, o corpo humano de cada pessoa é um sistema diferente. E cada órgão dela, 
(seja o cérebro, ou o coração, ou os pulmões, ou o fígado, ou os rins, ou o intestino, ou o 
pâncreas, etc.), é um subsistema do mesmo. 
 
 
 
 
Mas há muitos outros sistemas menos palpáveis como por exemplo: 
 o aquecimento de uma casa; 
 o funcionamento dos elevadores de um edifício; 
 a automação de uma fábrica; 
 a gestão e a economia de um país; 
 etc. 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 50
Os sinais que estudamos aqui, em geral, estão associados a algum sistema. Eles podem 
representar, por exemplo, a entrada de um sistema, ou alternativamente, a saída do sis-
tema. 
 
O sinal de entrada de um sistema (“input” em inglês) às vezes também é chamado de o 
‘controlo’ ou mesmo a ‘excitação’ do sistema. 
 
Por outro lado, a saída de um sistema (“output” em inglês) às vezes também é chamada 
de a ‘resposta’ ou a a ‘observação’ do sistema. 
 
 
 entrada saída 
 (“input”) (“output”) 
 controlo resposta 
 excitação observação 
 
Na realidade muitos sistemas têm não apenas uma entrada e uma saída mas múltiplas 
entradas e/ou múltiplas saídas. 
 
entradas saídas 
 
 
 Classificações de Sistemas: 
 
Há muitas classificações para os sistemas. 
 
Quanto a Natureza Física, sistemas podem ser classificados de muitas formas diferentes, 
como por exemplo: 
 
 eléctricos; 
 mecânicos; 
 electromecânicos; 
 térmicos; 
 hidráulicos; 
 ópticos; 
 acústicos; 
 informáticos; 
 
 aeronáuticos; 
 aeroespaciais; 
 biológicos; 
 biomédicos; 
 económicos; 
 sociológicos; 
 sócio-económicos; 
 etc. 
 
 
 
 
Sistema 
 
Sistema 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 51
Entretanto, a maioria dos sistemas complexos são combinações de vários subsistemas de 
naturezas diferentes. 
 
Por exemplo: um computador, uma antena parabólica para receber emissões de satélites 
artificiais, um braço manipulador mecânico, um robot antropomórfico que imite um ser vivo, 
etc. são exemplos de sistema que combinam mais de uma natureza das classificações 
acima. 
 
 
 
 
Na medicina, por exemplo, encontramos muitos sistemas de bio-engenharia (ou seja, 
sistemas biológicos e biomédicos em simultâneo com sistemas mecânicos, eléctricos ou 
electrónicos). 
 
Um membro artificial, ou cada aparelho numa sala de operação são exemplos de 
sistemas biomédicos. 
 
 
 
Quanto a Continuidade no Tempo, sistemas podem ser classificados como: 
 
 contínuos 
 discretos 
 discretizados 
 
 
Sistemas podem ser naturalmente contínuos, natu-
ralmente discretos, ou contínuos que são tornados 
discretos. 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 52
 
 
 
 
Quanto a Linearidade, sistemas podem ser classificados como: 
 
 lineares 
 não lineares 
 
 
 
Sistemas contínuos são lineares se: 
• quando o sinal de entrada x(t) é multiplicado por um valor k; então o sinal de saída 
y(t) fica também multiplicado por este mesmo valor k; e além disso, 
• quando o sinal de entrada é a soma de dois sinais x1(t) e x2(t), que produzem 
individualmente sinais de saída y1(t) e y2(t) respectivamente; então o sinal de saída é 
a soma dos sinais de saída y1(t) e y2(t). 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas53
No caso discreto a definição de sistemas lineares é semelhante. Sistemas lineares são 
aqueles que: 
• quando o sinal de entrada x[n] é multiplicado por um valor k; então o sinal de 
saída y[n] fica também multiplicado por este mesmo valor k; e além disso, 
• quando o sinal de entrada é a soma de dois sinais x1[n] e x2[n], que produzem 
individualmente sinais de saída y1[n] e y2[n] respectivamente; então o sinal de saída 
é a soma dos sinais de saída y1[n] e y2[n]. 
 
 
 
 
 
Exemplo 14: 
Considere os sistemas descritos pelas relações abaixo entre o sinal de entrada x[n] ou x(t) 
e o sinal de saída y[n] ou y(t). 
 
Sistema I → [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]142217 −−=−+−+ nxnxnynyny (sistema discreto e linear) 
 
Sistema II → [ ] [ ]14 −−= nxny (sistema discreto e linear) 
 
Sistema III → [ ] [ ] [ ] [ ]nxnxnynny 2115 −+=−− (sistema discreto e linear) 
 
Sistema IV → [ ] [ ]( ) [ ]nxnxny 42 2 −= (sistema discreto e não linear) 
 
Sistema V → [ ] [ ]3 2nxny = (sistema discreto e não linear) 
 
Sistema VI → x
dt
dxy
dt
dy
dt
yd 34
2
2
+=−+ (sistema contínuo e linear) 
 
Sistema VII → xt
dt
dxy
dx
dyt
dx
yd )( 36
2
2
−−=++ (sistema contínuo e linear) 
 
Sistema VIII → )( 325
2
2
+−=++ tx
dt
dxy
dx
dy
dx
yd (sistema contínuo e linear) 
 
Sistema IX → xxyyy ′=+′−′′ 23 (sistema contínuo e não linear) 
 
Sistema X → xeyyy =−′+′′ 210 (sistema contínuo e não linear) 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 54
Sistema XI → 0
2
2
=++ y
dx
dyx
dx
yd (sistema contínuo e não linear) 
 
Sistema XII → 5 - x(t)2 y(t) = (sistema contínuo e linear) 
 
Sistema XIII → )- x(t y(t) δ= (sistema contínuo e linear) 
 
 
Quanto a Variância no Tempo, sistemas podem ser classificados como: 
 
 variantes no tempo 
 invariantes no tempo 
 
 
 
Um sistema invariante no tempo é aquele que para um sinal de entrada x(t), o sinal de 
saída é y(t), não importa quando é aplicada esta entrada. 
 
Ou seja, as condições dinâmicas do sistema não mudam com o passar do tempo. Na 
realidade nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática consideramos como 
invariante no tempo muitos sistemas cuja variação no tempo é muito lenta. 
 
Exemplo 15: 
Nos sistemas descritos no Exemplo 14 acima temos que: 
 
apenas sistema III e sistema VII são variantes no tempo, 
 
pois um ou mais de seus coeficientes variam com o tempo (‘t’ ou ‘n’). Os demais são 
sistemas invariantes no tempo. 
 
 
 
Quanto a Natureza Aleatória, sistemas podem ser classificados como: 
 
 determinísticos 
 estocásticos 
 
 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 55
Um sistema determinístico é aquele que não sofre a influência de nenhuma perturbação 
aleatória, ou seja, não tem incerteza. O sinal de saída y(t) para um sinal de entrada x(t) 
pode ser calculado (ou “determinado”) com precisão quando se conhece o modelo do 
sistema. 
 
Na realidade nenhum sistema é determinístico. Todos os sistemas têm algum tipo de 
incerteza ou carácter aleatório e portanto chamados de estocásticos. Na prática 
entretanto consideramos como determinísticos muitos sistemas cujas perturbações 
aleatórias são pequenas ou desprezíveis. 
 
 
Quanto a Memória, sistemas podem ser classificados como: 
 sem memória 
 com memória 
 
Um sistema sem memória é aquele que: se o seu sinal de saída no instante t1 depende 
apenas do sinal de entrada daquele instante t1. 
 
Exemplo 16: 
Nos sistemas descritos no Exemplo 14 acima temos que: 
 
apenas sistema IV, sistema V e sistema XII são sem memória, 
 
pois a saída y[n] ou y(t) depende da entrada x[n] ou x(t) apenas nos instantes de tempo 
(‘t’ ou ‘n’). Os demais são sistemas com memória pois dependem da entrada x[n] nos 
instantes (n-1), (n-2), etc; ou de derivadas em relação ao tempo ‘t’. 
 
 
Quanto a Inversibilidade, sistemas podem ser classificados como: 
 inversíveis 
 não inversíveis 
 
Sistemas são inversíveis se entradas distintas levam a saídas distintas. 
 
Desta forma, para um sistema S com sinal de entrada x[n] ou x(t) que produz um sinal de 
saída y[n] ou y(t), respectivamente, é possível achar um sistema inverso S-1 cuja entrada 
y[n] ou y(t) produz a saída x[n] ou x(t), respectivamente. 
 
Através de um esquema em que os sistemas S e S-1 são postos em cascata, (isto é, a 
saída y(t) do Sistema S é a entrada do Sistema S-1), podemos recuperar x(t), o sinal de 
entrada aplicado em S, na saída de S-1. 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 56
Exemplo 17: 
 
Considere o sistema XII do Exemplo 14 acima. A relação entre os sinais de entrada e 
saída de um sistema é: 
y(t) = 2 x(t) – 5; 
 
Obviamente, neste sistema, cada sinal de entrada x(t) produz um sinal de saída y(t) 
exclusivo diferente das saídas das outras entradas. Além disso, o sinal de entrada x(t) 
pode ser expresso em termos do sinal de saída y(t) como: 
 
x(t) = ½ (y(t) + 5). 
 
Exemplo 18: 
 
O sistema XIII do Exemplo 14 acima também é inversível. 
 
 )- x(t y(t) δ= eq. (E) 
 
Este é o chamado sistema com retardo (“time delay system”) pois a saída reproduz a 
entrada com um atraso de δ unidades de tempo. 
 
Podemos facilmente verificar que sinais de entrada x(t) distintos produzem sinais de saída 
y(t) distintos. O sinal de entrada x(t) expresso em termos do sinal de saída y(t) é: 
 
 x(t) = y(t + δ) eq. (F) 
 
que é conhecido como sistema em avanço (“time advance system”) pois neste caso o 
sinal de saída x(t) reproduz o que será o sinal de entrada y(t) em δ unidades de tempo 
depois. 
 
No caso discreto o sistema com retardo (“time delay system”) tem a forma: 
 
 y[n] = x[n - nδ ] eq. (G) 
 
e o sistema inverso, o sistema em avanço (“time advance system”) que expressa x[n] em 
função de y[n] é 
 
 x[n] = y[n + nδ] eq. (H) 
 
 
 
Quanto a Causalidade, sistemas podem ser classificados como: 
 
 causais (ou não antecipativos) 
 não causais (ou antecipativos) 
 
Um sistema é causal (ou não antecipativo) se a saída no instante t1 depende da entrada 
apenas nos instantes 1tt ≤ . 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 57
É claro que se a saída no instante t1 dependesse da entrada em instantes t > t1 então este 
sistema anteciparia o que ia acontecer e portanto seria “antecipativo” ou não causal. 
 
No nosso mundo físico real, se a variável ‘t’ (ou ‘n’ no caso discreto) representa o tempo, 
então tem uma dinâmica que evolui no tempo e portanto não é possível se ter um sistema 
não causal pois não é possível se prever o futuro. 
 
Entretanto, há casos que a esta variável ‘t’ (ou ‘n’ no caso discreto) pode representar 
outro parâmetro ou uma outra grandeza física (que não seja o tempo) e desta forma já é 
possível ocorrer sistemas causais. 
 
Exemplo 19: 
Nos sistemas descritos no Exemplo 14 acima temos que: 
 
apenas sistema III é não causal (ou antecipativo), 
 
pois a saída y[n] depende da entrada x[n] no instante de tempo (n+1). Os demais são 
sistemas causais (ou não antecipativos). 
 
Entretanto, no Exemplo 18 acima, os sistemas em avanço (“time advance systems”) das 
equações eq. (F) e eq. (H) são também claramente exemplos de sistemas não causais 
ou antecipativos. 
 
 
 
Quanto ao Equacionamento, sistemas podem ser classificados como: 
 
 com Equações de Diferenças [no caso discreto] 
 com Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) [no caso contínuo] 
 com Equações Diferenciais Parciais (EDP) [no caso contínuo] 
 
 
 
Exemplo 20: 
Nos sistemas descritos no Exemplo 14 acima temos que: 
 
Sistemas I, II, III, IV e V são descritos por equações de diferença; e 
Sistemas VI, VII, VIII, IX e XI são descritospor equações diferenciais ordinárias (EDO). 
 
Por outro lado apresentamos abaixo a equação de onda conhecida da Física: 
 
)( zzyyxx uuuk
z
u
y
u
x
uk
t
u
++=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∂
∂
2
2
2
2
2
2
 
 
que descreve a propagação de uma onda no espaço. Este é um exemplo de sistema 
descrito por equações diferenciais parciais (EDP). 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 58
 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) 
 
No caso particular de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT) denota-se por h[n] 
e por h(t) as respostas do sistema à entrada impulso, uo[n] ou uo(t), respectivamente. 
 
Ou seja: 
 
h[n] = a saída do sistema quando a é entrada impulso, uo[n], (no caso discreto), 
 
 
sistema discreto 
e, 
 
h(t) = a saída do sistema quando a é entrada impulso uo(t), (no caso contínuo). 
 
 
sistema contínuo 
 
 
Um resultado clássico em Teoria de Sistemas é que: 
No caso discreto, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma 
de uma soma de convolução: 
 
 
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]kxknh
nxnhny
k
⋅−=
∗=
∑∞+
−∞=
 eq. (I) 
 
 
 
 
Ou seja, h[n] traz consigo toda a informação do sistema necessária para saber a saída de 
qualquer sinal de entrada x[n]. 
 
Sabendo-se h[n] nós podemos saber a saída de qualquer sinal de entrada x[n], pela 
equação da soma de convolução (eq. (I)) acima. 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 59
No caso contínuo, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma 
de uma integral de convolução: 
 
 
)(x)t(h
)t(x)t(h)t(y
τ⋅τ−=
∗=
∫ ∞+∞− eq. (J) 
 
 
 
 
Ou seja, h(t) traz consigo toda a informação do sistema necessária para saber a saída de 
qualquer sinal de entrada x(t) respectivamente. 
 
Sabendo-se h(t) nós podemos saber a saída de qualquer sinal de entrada x(t), pela 
equação da integral de convolução (eq. (J)) acima. 
 
 
 
 Propriedades da Convolução 
 
o Propriedade Comutativa: 
[ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnxnh ∗=∗ 
)t(h)t(x)t(x)t(h ∗=∗ 
 
o Propriedade Distributiva: 
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnxnhnxnhnh ∗+∗=∗+ 2121 
∗ ( ) )t(x*)t(h)t(x)t(h)t(x)t(h)t(h 2121 +∗=∗+ 
 
 
o Propriedade Associativa: 
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )nxnhnhnxnhnh ∗∗=∗∗ 2121 
( ) ( ))t(x)t(h)t(h)t(x)t(h)t(h ∗∗=∗∗ 2121 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 60
Pela propriedade comutativa podemos concluir que, no caso discreto, a resposta y[n] de 
um sistema linear invariante no tempo (SLIT) tanto pode ser a convolução de h[n] * x[n] 
como também pode ser a convolução de x[n] * h[n]. 
 
Ou seja, a eq. (I) acima é equivalente à 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ].khknxnhnx
kxknhnxnhny
k
k
⋅−=∗=
=⋅−=∗=
∑
∑
∞+
−∞=
+∞
−∞=
 
 
Semelhantemente, a propriedade comutativa permite concluir que, no caso contínuo, a 
resposta y(t) de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) tanto pode ser a convolução 
de h(t) * x(t), como também pode ser a convolução de x(t) * h(t). 
 
Ou seja, a eq. (J) acima é equivalente à 
.)(h)t(x)t(h)t(x
)(x)t(h)t(x)t(h)t(y
τ⋅τ−=∗=
τ⋅τ−=∗=
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
 
 
A propriedade distributiva corresponde ao facto de que, pela linearidade, se 2 sistemas S1 
e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT) se somam, então a resposta à entrada 
impulso unitário da soma dos sistemas (S1 + S2) é ( h1[n] + h2[n] ) no caso discreto ou 
( h1(t) + h2(t) ) no caso contínuo, onde obviamente 
h1[n] ou h1(t) = a resposta do sistema S1 à entrada impulso unitário; e 
h2[n] ou h2(t) = a resposta do sistema S2 à entrada impulso unitário. 
 
Portanto, no caso discreto, a resposta y[n] da soma de 2 sistemas S1 e S2, lineares e 
invariantes no tempo (SLIT), tanto pode ser a soma das convoluções h1[n] * x[n] com 
h2[n] * x[n], como também pode ser a convolução da soma ( h1[n] + h2[n] ) com x[n]. 
 
Ou seja: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]nx*nhnhnxnhnxnhny 2121 +=∗+∗= 
 
Semelhantemente, no caso contínuo, a resposta y(t) da soma de 2 sistemas S1 e S2, 
lineares e invariantes no tempo (SLIT), tanto pode ser a soma das convoluções h1(t) * x(t) 
com h2(t) * x(t), como também pode ser a convolução da soma ( h1(t) + h2(t) ) com x(t). 
 
Ou seja: 
( ) )t(x)t(h)t(h)t(x)t(h)t(x)t(h)t(y ∗+=∗+∗= 2121 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 61
 
 
 
Na figura acima ilustramos, para o caso contínuo, a soma de 2 sistemas S1 e S2 nos quais 
são aplicados a mesma entrada x(t). Na figura abaixo ilustramos o sistema equivalente. 
 
 
 
 
Finalmente, a propriedade associativa diz respeito à sistemas ligados em cascata. Isto é, 
sistemas em que a saída de um deles é a entrada do outro. 
 
A propriedade associativa nos diz que: se 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no 
tempo (SLIT), estão ligados em cascata então a resposta à entrada impulso unitário dos 2 
sistemas juntos (S1 e S2) é a convolução ( h1[n] * h2[n] ) no caso discreto ou a convolução 
( h1(t) * h2(t) ) no caso contínuo. 
 
 
 
 
Logo, no caso discreto, a resposta y[n] de 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no 
tempo (SLIT), ligados em cascata, tanto pode ser a convolução dupla de h1[n] com h2[n] 
primeiro, e depois o resultado com x[n], como também pode ser a convolução dupla de 
h1[n] com o resultado de h2[n] com x[n]. 
 
Ou seja: 
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )nxnhnhnxnhnhny ∗∗=∗∗= 2121 . 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 62
Além disso, note que: pela propriedade comutativa, observamos que tanto faz a ordem 
em que os sistemas S1 e S2 estão em cascata pois h1[n] * h2[n] = h2[n] * h1[n]. 
 
 
 
Nas figuras acima ilustramos os 2 sistemas S1 e S2 em cascata para este caso discreto. 
Na figura abaixo ilustramos o sistema equivalente. 
 
 
Semelhantemente, no caso contínuo, a resposta y(t) de 2 sistemas S1 e S2, lineares e 
invariantes no tempo (SLIT), ligados em cascata, tanto pode ser a convolução dupla de 
h1(t) com h2(t) primeiro, e depois o resultado com x(t), como também pode ser a 
convolução de h1(t) com o resultado da convolução de h2(t) com x(t). 
 
Ou seja, ( ) ( ))t(x)t(h)t(h)t(x)t(h)t(h)t(y ∗∗=∗∗= 2121 . 
 
 
 
 SLIT sem memória 
 
É fácil de verificar que: no caso discreto, se um sistema linear e invariante no tempo 
(SLIT) é sem memória então a sua resposta ao impulso h[n] é da forma: 
 [ ] [ ]nuknh o= 
 
onde k = h[0] é uma constante. 
 
 
 
 
Portanto, pela fórmula da convolução (eq. (I)), temos que: 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kxknukkxknhnxnhny
k
o
k
⋅−=⋅−=∗= ∑∑ +∞
−∞=
+∞
−∞=
, 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 63
logo, 
 [ ] [ ]nxkny = 
 
 
Por outro lado, no caso contínuo, se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é 
sem memória então a sua resposta ao impulso h(t) é da forma: 
 
)()( tukth o= 
 
onde k = área do impulso uo(t). 
 
 
 
 
Portanto, pela fórmula da convolução (eq. (J)), temos que: 
 
)(x)t(uk)(x)t(h)t(x)t(h)t(y o τ⋅τ−=τ⋅τ−=∗= ∫∫ +∞∞−+∞∞− 
logo, 
 
)()( txkty = 
 
 
 
 
 SLIT inversíveis 
 
Se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é inversível então a seu inverso 
também é um SLIT. 
 
A figura abaixo ilustra a situação para o caso discreto: 
 
 
caso discreto 
 
onde aqui, obviamente: 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 64
h1[n] = a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e 
h2[n] = a resposta do sistema inverso, S-1, à entrada impulso unitário. 
 
 
A figura abaixo ilustra a situação para o caso contínuo: 
 
 
caso contínuoonde aqui, obviamente: 
h1(t) = a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e 
h2(t) = a resposta do sistema inverso, S-1, à entrada impulso unitário. 
 
 
No caso discreto temos que o sistema total (“overall system”), em cascata, ambos o sinal 
de entrada e o sinal de saída são x[n], e portanto este sistema total é a identidade. 
 
 
 
E, como na identidade h[n] = uo[n], temos então que: 
 
 h1[n] * h2[n] = uo[n] eq. (K) 
 
 
Semelhantemente, no caso contínuo temos que o sistema total (“overall system”), em 
cascata, ambos o sinal de entrada e o sinal de saída são x(t), e portanto este sistema total 
é a identidade. 
 
 
 
E, como na identidade h(t) = uo(t), temos que: 
 
 h1(t) * h2(t) = uo(t) eq. (L) 
 
J. A. M. Felippe de Souza Notas em Sinais e Sistemas 
 
 65
 
Exemplo 21: 
 
Os sistemas descritos no Exemplo 18 acima são SLIT e temos que as respostas ao 
impulso unitário h1(t) e h2(t) para os sistemas das equações eq. (G) e eq. (H) são 
respectivamente: 
 
)-(tu (t)h o1 δ= e h2(t) = uo(t + δ) 
 
que nitidamente satisfazem a eq. (L) acima, h1(t) * h2(t) = uo(t). 
 
Por outro lado temos que as respostas ao impulso unitário h1[n] e h2[n] para os sistemas 
das equações eq. (F) e eq. (G) são respectivamente: 
 
h1[n] = uo[n - nδ ] e h2[n] = uo[n + nδ] 
 
que nitidamente satisfazem a eq. (K) acima, h1[n] * h2[n] = uo[n] 
 
 
 
 
 
 Outros assuntos tratados em Teoria de Sistemas 
 
 Modelização ou Modelamento 
 Identificação de parâmetros 
 Controlo 
 Estabilidade 
 Optimização 
 Simulação 
 Realimentação (‘feedback’) 
 Estimação de Estado 
 Sistemas robustos 
 Sistemas tolerantes à falhas 
 Processamento distribuído 
 Processamento paralelo 
 Lógica ‘fuzzy’ 
 
 
 
K
+ -
Y(s)R(s)
)2s3(
1
+