Prova 3 de edo 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
3a PROVA DE MAT 021 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I
NOME: MATR:
CURSO: DATA: 25/11/13
Observac¸a˜o: na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos e justificativas.
1a Questa˜o - 15pt.
(a) Demonstre que x0 = 0 e´ um ponto singular regular da equac¸a˜o de Euler x
2y′′− 4xy′ + 4y = 0.
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Euler x2y′′ − 4xy′ + 4y = 0, x ∈ (0,∞), usando a
substituic¸a˜o y = xr.
2a Questa˜o - 20pt. Encontre a soluc¸a˜o geral de cada equac¸a˜o diferencial abaixo:
(a) y(4) − y′′′ − 3y′′ + 5y′ − 2y = 0.
(b) y′′′ − 5y′′ + 33y′ − 29y = 0.
3a Questa˜o - 20pt. Use o me´todo dos autovalores para encontrar a soluc¸a˜o do problema de
valor inicial 
dx1
dt
= x1 − 4x2
dx2
dt
= 4x1 − 7x2
x1(0) = 3, x2(0) = 2
no intervalo (−∞,∞).
4a Questa˜o - 25pt. Use o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros (para sistemas) para encontrar
uma soluc¸a˜o particular do sistema de equac¸o˜es diferenciais{
x′1 = x1 + x2 + 2e
t
x′2 = 4x1 + x2 − et
no intervalo (−∞,∞). e escreva a soluc¸a˜o geral desse sistema no intervalo (−∞,∞).
5a Questa˜o - 20pt.
(a) Demonstre que x0 = 0 e´ um ponto ordina´rio da equac¸a˜o diferencial y
′′ + 3xy′ + 3y = 0.
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y′′ + 3xy′ + 3y = 0, na forma
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n = a0y1(x) + a1y2(x), x ∈ (−∞,∞)
onde y1 e y2 sa˜o representadas por se´ries de poteˆncias em torno do ponto x0 = 0 e prove que
y1 e y2 sa˜o linearmente independentes em (−∞,∞).
FORMULA´RIO
1. Φ(t)U ′(t) = G(t)
2. X(t) = (Eλt + F )e
λt