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,L' ( t"# è{ Í 'd!CIRCUITOS ELETzuCOS I2012-r Resolução do Exercício Final 1,) No circuito da figura ao lado pede-se determinar o comportamento da corrente no indutor de IH par:a lXs considerando-se que a chave encontra-se aberta desde um longo tempo e é fechada justamente em F0s. O capacitor de IF presente no circuito encontra-se completamente descaregado antes da manobra de fechamento da chave. Esboçar um haçado gráfico do comportamento z determinado para a corrente no indutor. Resolução Equação Diferencial - Num instante Í qualquer após o fechamento da chave, a aplicação da Lei das Malhas de Kirchhoff às duas malhas do circuito proporciona: , - (q+iz)-4- i r=o\ r L/ dt u-( ' r + iz)- l i r .at :o J"ü C Também: ( l ) (2) v =2+2í - ! t ' 'a t Substituindo (3) em (1) e (2) obtêm-se: iz =2- i t 30 / Outubro 12012 \* i2:) v =2+i , *di ' 'dt v =z* [e_rrV, Igualando (a) e (5): 2+i1++=2+2t- [ i ,at dt J ' Derivando (6): *.4 * l i , .dt = 2t 4:! .4 * ,, :, (6) dtz dt I Essa é a equação diferencial que rege o comportamento da corrente no indutor para l20s que comparada com a forma canônica: 4-zo1+azor, =z dtz dt (4) (s) (6) lçl r/r fornece: CIRCUITOS ELÉTRICOS I 2012-1 - / a =0,5radf s , @o =lradls , ú)d =,1r3 -a2 =43/, radls Solwção Transitória - A equação característica de (6) é: ,2 +r+1:o cujas raízes são complexas conjugadas: ^+^17:4 .J j t -Jr-4 " t=ï=-o'5* j ; radfs ' s2= z Assim, a solução transitória será da forma subamortecida: i o',Q) ='- o' l@t + A2) co s(ro at) + j @r -'4)s en(a4t)l Substituindo os valores (7) na equação acima: i o.,Q) = s-0'5t[,r, . o,),",(+,)* i g, - ", *(+,)] (8) Sotução Completa - A solução completa da equação (6) será: ítQ)= i ru*Q)* io",Q) ,, (r) = t 0,,-Q) *, o s'l6, * or),"r(+,)., r, - "b*(+,)l A solução permanente será dada pelo circúto da figrrra ao lado, obtido do circuito original fazendo-se um curto-circuito no local do indutor e um circuito ln úerto'em vez do capacitor, situagão vigente quando / -+ o. A correntê de estado permanente no indutor será, pois: ,:'- io" , -Q)=2A A solução completa será, pois: :-0,5 - iJj radls2 ,,(r)= z*, os'lÇ+r+ Az,-"[fì + i(Ar- "h*(+,)) (e) 30 / Outubro 12012 2tr r CIRCUITOS ELETRICOS I 2012-l Condições lniciais - Antes do fechamento da chave, F(Ïs, o circuito encontrava-se em estado permanente, de modo que o indutor funcionava como um curto- circuito, como na figura ao lado, de sorte que a corrente circulando no indutor será: / \ it\o- ):2 A Como a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então em t:0*s, imediatamente após o fechamento da chave, tem-se: i r(o*):z.t (10) O capacitor, "o_tp!9]!ggte. descaÍregado antes do fechamento da chave, F(Ïs, exibe como tensão: / \ v" l0 ) :0V Desde que a tensão nesse elemento não pode variar instantaneamente, após o fechamento da chave, F|*s, continuará nula: ," (o* ): o, Impondo essa condição ao circuito em t:0*s, figura ao lado, a aplicação da Lei das Malhas de Kirchhoff ao circuito formado pelo indutor e o capacitor resulta em: lo Daí: u, (o* )*, -u" (o* )= o ur(o*)= rff(0.) ( l 1) Corrente no lndutor- Impondo a condição inicial (10) à equação (9) obtêm-se: , , (0.) : z* l@r+Ar) l=2 ( 'nr+,er) :s Ar---Az Q2) Derivando a equação (9): ffa= -0,5e-0'5'[,r, * o,),",(+,). i@,- ^),*(+,)). Usando a condição inicial (11) à equação acima obtêm-se: +b.)= -o,s(,n, + A2)+ ifu, - Az)= -z Substituindo (12) na equação acima resulta em: "-o'" [- fu, . n v*(*,). t *rr - Az,-'[f ')] 30 / Outubro 12012 3tr CIRCUITOS ELÉTRICOS I 2012-l Ar=- i# , Az=*i2 {J Levando os valores desse coeficiente na equação (9) tem-se, finalmente: Traçado Gráfico - O comportamento da corrente no indutor para tX)s é apresentada na figura abaixo. i ,Q\=2_r ",[á{*,)], 4tl 2r5 2 ú í ,5 o E Ë1 o o 0,5 0 í0 15 Tempo (s) ^í \ . t / \ / v 30 / Outubrc 12012 ú1 2) CIRCUITOS ELETRICOS I 2012- l Determine a rclaçáo Q,ü / ruz) do transformador do circuito abaixo de sorte que ocorra a máxima transferência de potência ativa paru a impedância de carga, 3&, desse transformador. Estabeleça, também, o valor da potência ativa máxima na caÍga considerando-se que 87 V é o valor de pico da tensão na fonte. a'* v't | _tv/t- Equivalente de Thévenin - O equivalente de Thévenin do circuito que alimenta o primrírio do transformador sem o indutor de I d2 fazparte no problema9.42 da 6" edição ou 9.43 da 8u edição do liwo Circuitos Elétricos de James W. Nilsson e Susair A. Riedel. De acordo com o cademo de solugão desse problema tem-se: ttn =l4,5loo V Zth:14,5 + j8{2 Relação para Potência Máxima -Utilizando esse equivalente, o circuito assume a forma da figura ao lado. A impedância da carga referida ao ffiii,Ët ' r r \2 Y Í i , ,o, ,=i+lp- jz) | r ï - -J \ IYz) . , -"y ' ' t l>/u O requisito para a máxima transferência de carga é: t ^ l t | ^ | lz,rl=12".,'l De modo que a relação de transformaçáo para a mtíxima potência será: / t - 7, '..: /t- It í^r \2 I 1 | 3,6:16,56 INz / N, =2,74 N2 30 / Outubro 12012 5/l Potência Máxima - A resistência transferida da carga pa"ra essa relação de transformação será: í ,, \2 l , : , .^=[üj 3=13,8 Çr A'corrente no primário do transformador será dada por: e a potência máxima: ^ r4.5 /yeJtctu ' / t : I= ' th - /Nz =0.36A Rpri., l4'5 + 13'8 P** : Rrro^I' :13,8 '0362 P-^ =I,79 W CIRCUITOS ELETRICOS I 2012-l 30 / Outubro 12012 6lr
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