2012-1 final.pdf

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Í 'd!CIRCUITOS ELETzuCOS I2012-r
Resolução do Exercício Final
1,) No circuito da figura ao lado pede-se determinar o comportamento da corrente no indutor de
IH par:a lXs considerando-se que a chave encontra-se aberta
desde um longo tempo e é fechada justamente em F0s. O
capacitor de IF presente no circuito encontra-se
completamente descaregado antes da manobra de fechamento
da chave. Esboçar um haçado gráfico do comportamento z
determinado para a corrente no indutor.
Resolução
Equação Diferencial - Num instante Í qualquer após o fechamento da chave, a aplicação
da Lei das Malhas de Kirchhoff às duas malhas do circuito proporciona:
, - (q+iz)-4- i r=o\ r L/ 
dt
u-( ' r + iz)- l i r .at :o
J"ü
C
Também:
( l )
(2)
v =2+2í - ! t ' 'a t
Substituindo (3) em (1) e (2) obtêm-se:
iz =2- i t
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\* i2:)
v =2+i , *di '
'dt
v =z* [e_rrV,
Igualando (a) e (5):
2+i1++=2+2t- [ i ,at
dt J '
Derivando (6):
*.4 * l i , 
.dt = 2t
4:! 
.4 * ,, :, (6)
dtz dt 
I
Essa é a equação diferencial que rege o comportamento da corrente no indutor para l20s que
comparada com a forma canônica:
4-zo1+azor, =z
dtz dt
(4)
(s)
(6)
lçl
r/r
fornece:
CIRCUITOS ELÉTRICOS I
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- /
a =0,5radf s , @o =lradls , ú)d =,1r3 -a2 =43/, radls
Solwção Transitória - A equação característica de (6) é:
,2 +r+1:o
cujas raízes são complexas conjugadas:
^+^17:4 
.J j t -Jr-4
" t=ï=-o'5* j ; radfs ' s2= z
Assim, a solução transitória será da forma subamortecida:
i o',Q) ='- o' l@t + A2) co s(ro at) + j @r -'4)s en(a4t)l
Substituindo os valores (7) na equação acima:
i o.,Q) = s-0'5t[,r, . o,),",(+,)* i g, - 
", 
*(+,)] (8)
Sotução Completa - A solução completa da equação (6) será:
ítQ)= i ru*Q)* io",Q)
,, (r) = t 0,,-Q) *, o s'l6, * or),"r(+,)., r, - 
"b*(+,)l
A solução permanente será dada pelo circúto da figrrra ao lado, obtido do circuito original
fazendo-se um curto-circuito no local do indutor e um circuito ln
úerto'em vez do capacitor, situagão vigente quando / -+ o. A
correntê de estado permanente no indutor será, pois:
,:'-
io" , -Q)=2A
A solução completa será, pois:
:-0,5 
- iJj radls2
,,(r)= z*, os'lÇ+r+ Az,-"[fì + i(Ar- 
"h*(+,))
(e)
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r
CIRCUITOS ELETRICOS I
2012-l
Condições lniciais - Antes do fechamento da chave, F(Ïs, o circuito encontrava-se em
estado permanente, de modo que o indutor funcionava como um curto-
circuito, como na figura ao lado, de sorte que a corrente circulando no
indutor será: / \
it\o- ):2 A
Como a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então em
t:0*s, imediatamente após o fechamento da chave, tem-se:
i r(o*):z.t (10)
O capacitor, 
"o_tp!9]!ggte. descaÍregado antes do fechamento da 
chave, F(Ïs, exibe como
tensão: / \
v" l0 ) :0V
Desde que a tensão nesse elemento não pode variar instantaneamente, após o fechamento da
chave, F|*s, continuará nula:
," (o* ): o,
Impondo essa condição ao circuito em t:0*s, figura ao lado, a aplicação da Lei das Malhas
de Kirchhoff ao circuito formado pelo indutor e o capacitor resulta em:
lo
Daí:
u, (o* )*, -u" (o* )= o
ur(o*)= rff(0.) ( l 1)
Corrente no lndutor- Impondo a condição inicial (10) à equação (9) obtêm-se:
, , (0.) : z* l@r+Ar) l=2 ( 'nr+,er) :s Ar---Az Q2)
Derivando a equação (9):
ffa= -0,5e-0'5'[,r, * o,),",(+,). i@,- ^),*(+,)).
Usando a condição inicial (11) à equação acima obtêm-se:
+b.)= -o,s(,n, + A2)+ ifu, - Az)= -z
Substituindo (12) na equação acima resulta em:
"-o'" [- fu, . n v*(*,). t *rr - Az,-'[f ')]
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CIRCUITOS ELÉTRICOS I
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Ar=- i# , Az=*i2
{J
Levando os valores desse coeficiente na equação (9) tem-se, finalmente:
Traçado Gráfico - O comportamento da corrente no indutor para tX)s é apresentada na
figura abaixo.
i ,Q\=2_r 
",[á{*,)],
4tl
2r5
2
ú í ,5
o
E
Ë1
o
o
0,5
0
í0 15
Tempo (s)
^í \ .
t /
\ /
v
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ú1
2)
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Determine a rclaçáo Q,ü / ruz) do transformador do circuito abaixo de sorte que ocorra a
máxima transferência de potência ativa paru a impedância de carga, 3&, desse
transformador. Estabeleça, também, o valor da potência ativa máxima na caÍga
considerando-se que 87 V é o valor de pico da tensão na fonte.
a'*
v't
| _tv/t-
Equivalente de Thévenin - O equivalente de Thévenin do circuito que alimenta o
primrírio do transformador sem o indutor de I d2 fazparte no problema9.42 da 6" edição ou
9.43 da 8u edição do liwo Circuitos Elétricos de James W. Nilsson e Susair A. Riedel. De
acordo com o cademo de solugão desse problema tem-se:
ttn =l4,5loo V Zth:14,5 + j8{2
Relação para Potência Máxima -Utilizando esse equivalente, o circuito assume a forma
da figura ao lado. A impedância da carga referida ao ffiii,Ët ' r r \2 Y Í
i , ,o, ,=i+lp- jz) | r ï - -J
\ IYz) 
. , -"y ' ' t l>/u
O requisito para a máxima transferência de carga é:
t 
^ 
l t | 
^ 
|
lz,rl=12".,'l
De modo que a relação de transformaçáo para a mtíxima potência será:
/ t 
- 
7,
'..:
/t- It
í^r \2
I 1 | 3,6:16,56
INz /
N, 
=2,74
N2
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Potência Máxima - A resistência transferida da carga pa"ra essa relação de transformação
será: 
í ,, \2
l , : , .^=[üj 3=13,8 Çr
A'corrente no primário do transformador será dada por:
e a potência máxima:
^ r4.5 /yeJtctu ' / t :
I= ' th - /Nz =0.36A
Rpri., l4'5 + 13'8
P** : Rrro^I' :13,8 '0362
P-^ =I,79 W
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