Cálculo IV- Variáveis complexas- Métodos II-CM044, CM068, CM105

Prévia do material em texto

1
Universidade Federal do Parana´
Departamento de Matema´tica
Manual Te´cnico-Dida´tico
Ca´lculo IV - CM044
Varia´veis Complexas - CM068
Me´todos II - CM105
Teoria Resumida e Exerc´ıcios
Autor:
Professor Jose´ Renato Ramos Barbosa
Chefe do Departamento:
Professor Manuel Jesus Cruz Barreda
2013
www.ufpr.br/∼jrrb
2
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 5
2 Parte I - Varia´veis Complexas 7
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Func¸o˜es Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 O Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Func¸o˜es Na˜o-Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Integrac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Ca´lculo de Integrais Reais via Teorema dos Res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Integrais do Tipo I =
∫2pi
0
F(cos θ, sen θ)dθ onde F(cos θ, sen θ) e´ uma
Func¸a˜o Real, Racional em cos θ e sen θ, e Finita em [0, 2pi] . . . . . . . . 32
2.5.2 Integrais Reais Impro´prias de Func¸o˜es Racionais f(x) . . . . . . . . . . . 34
2.6 Exerc´ıcios com Algumas Resoluc¸o˜es/Sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1 Operac¸o˜es Elementares dos Nu´meros Complexos . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.3 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.4 Se´ries de Laurent e Res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Parte II - Se´ries e Transformadas 47
3.1 Se´rie(s) de Fourier (SF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Transformada de Laplace (TL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Func¸a˜o Delta de Dirac (δ(t)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Transformada de Fourier (TF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
4 CONTEU´DO
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
O material que segue, na forma de notas de aulas, ja´ teve va´rias verso˜es nos u´ltimos dez anos,
tendo sido apresentado a algumas turmas na Universidade Federal do Parana´ (UFPR), com
relativo sucesso, neste per´ıodo.
A primeira parte dessas notas cobre o programa da disciplina CM068 (Varia´veis Complexas)
para a Matema´tica e a Matema´tica Industrial, bem como aproximadamente metade do pro-
grama da disciplina CM044 (Ca´lculo IV) para a F´ısica e as Engenharias Mecaˆnica e Ambiental,
sendo tais cursos ministrados na UFPR. A outra metade da CM044, bem como a totalidade do
programa da CM105 (Me´todos Matema´ticos), e´ contemplada na segunda parte dessas notas de
aulas.
Para o curso de Matema´tica, e´ recomenda´vel uma complementac¸a˜o nas demonstrac¸o˜es dos re-
sultados em livros de Ana´lise Complexa e Se´ries e Transformada de Fourier. A mate´ria aqui e´
dada de forma bastante resumida e e´ dever do leitor buscar outras fontes. Por Exemplo:
1. MATEMA´TICA SUPERIOR PARA ENGENHARIA, Erwin Kryeszig, LTC, 2009, ISBN
978-85-216-1643-6, Nona Edic¸a˜o;
2. INICIAC¸A˜O A` FI´SICA MATEMA´TICA, Juan Lo´pez Gondar e Rolci Cipolatti, IMPA,
2009, ISBN 978-85-244-0287-6, Primeira Edic¸a˜o;
3. FI´SICA MATEMA´TICA, George B. Arfken e Hans J. Weber, Elsevier, 2007, ISBN 978-
85-352-2050-6, Primeira Edic¸a˜o;
4. CURSO INTRODUTO´RIO A` ANA´LISE COMPLEXA COM APLICAC¸O˜ES, Dennis G.
Zill e Patrick D. Shanahan, LTC, 2011, ISBN 978-85-216-1809-6, Segunda Edic¸a˜o.
Como iniciamos nosso estudo por func¸o˜es holomorfas, em tal bibliografia podem ser encontradas
as propriedades operato´rias dos nu´meros complexos, bem como a interpretac¸a˜o vetorial da
adic¸a˜o e da multiplicac¸a˜o destes nu´meros, e o estudo da continuidade das func¸o˜es complexas.
Para revisar curvas planas, conjuntos abertos, derivadas parciais, etc, confira meu material de
5
6 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Ca´lculo II (CM042) no enderec¸o eletroˆnico que se encontra na capa destas notas.
Agradec¸o imensamente ao colega Professor Raul Prado Raya. Ele gentilmente cedeu o que
ja´ havia preparado de exerc´ıcios para as turmas dele (a partir do excelente livro de Ana´lise
Complexa do Steven Krantz).
Apreciaria sugesto˜es que melhorem a escrita ou que corrijam eventuais descuidos (erros de
me´rito ou de portugueˆs).
Cap´ıtulo 2
Parte I - Varia´veis Complexas
2.1 Preliminares
• Define-se o conjunto C dos nu´meros complexos por:
– z ∈ C⇔ z = x+ iy com x, y ∈ R e i2 = −1;
– z = w com z = x+ iy e w = u+ iv ⇔ x = u e y = v.
• Sendo i0 = 0, considera-se R ⊂ C.
• Define-se a parte real e a parte imagina´ria de z = x+ iy por Re(z) = x e Im(z) = y,
respectivamente.
• Sendo z = x+ iy e w = u+ iv, define-se a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o em C por:
– z+w = (x+ u) + i(y+ v);
– zw = (xu− yv) + i(xv+ yu).
• Tais operac¸o˜es sa˜o comutativas e associativas; 0 e´ o elemento neutro aditivo e 1 e´ o
multiplicativo; A adic¸a˜o e´ distributiva em relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o; −z = −x − iy e´ o
inverso aditivo de z e z−1 = x−iy
x2+y2
e´ o inverso multiplicativo de z 6= 0.1
• Para a potenciac¸a˜o e a radiciac¸a˜o em C, bem como para interpretar geometricamente a
adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o complexas, veja a bibliografia sugerida.
• Uma func¸a˜o complexa f : D→ C e´ uma func¸a˜o cujo domı´nio D e cuja imagem f(D) sa˜o
subconjuntos de C. Por exemplo:
– Se f(z) = z0 constante para cada z ∈ C, enta˜o D = C e f(D) = {z0};
– Se f(z) = z para cada z ∈ C, enta˜o D = f(D) = C;
– Se f(z) = z para cada z ∈ C, enta˜o D = f(D) = C;
– Se f(z) = z−1 para cada z ∈ C com z 6= 0, enta˜o D = f(D) = C− {0};
– Se f(z) = |z| para cada z ∈ C, enta˜o D = C e f(D) = R+.
1z = x− iy e |z| =
√
x2 + y2 ⇒ z−1 = z
|z|2
.
7
8 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
2.2 Func¸o˜es Holomorfas
Dentre as func¸o˜es que a Ana´lise Complexa estuda, destacam-se as holomorfas ou diferencia´veis,
isto e´, aquelas definidas em conjuntos abertos2 de C e diferencia´veis como func¸o˜es complexas.
Diferenciabilidade complexa tem implicac¸o˜es mais fortes que diferenciabilidade real. Por exem-
plo, toda func¸a˜o holomorfa pode ser representada como uma se´rie de poteˆncias em todo disco
aberto do seu domı´nio, e da´ı e´ anal´ıtica. Em particular, func¸o˜es holomorfas sa˜o infinitamente
diferencia´veis, o que na˜o ocorre com func¸o˜es diferencia´veis reais.3 A maioria das func¸o˜es ele-
mentares (tais como, as polinomiais, as trigonome´tricas, as exponencias e as logar´ıtmicas) sa˜o
holomorfas.
Em tudo que se segue D e´ aberto em C, z0 = x0+ iy0 ∈ D e f e´ uma func¸a˜o complexa definida
por
f(z) = P(x, y) + iQ(x, y) para cada z = x+ iy ∈ D,
sendo P e Q func¸o˜es reais nas varia´veis reais x e y.
Ex: Seja f(z) = z2 para cada z ∈ C. Da´ı f(z) = (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2xyi. Assim
P(x, y) = x2 − y2 e Q(x, y) = 2xy.
Observac¸a˜o 1 Em existindo o limite
lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z− z0
,
o mesmo e´ dito a derivada de f(z) em z0, denotado por f
′(z0), f e´ dita holomorfa em z0 e
as Condic¸o˜es de Cauchy-Riemann (C-R)
∂P
∂x
(x0, y0) =
∂Q
∂y
(x0, y0),
∂P
∂y
(x0, y0) = −
∂Q
∂x
(x0, y0)
em z0 sa˜o obtidas derivando-se ao longo da reta y = y0, via
f ′(z0) = Px(x0, y0) + iQx(x0, y0),
e derivando-se ao longo da reta x = x0, via
f ′(z0) = Qy(x0, y0) − iPy(x0, y0).
f e´ holomorfa (em D) se e´ holomorfa em cada z ∈ D.
Note que f ′(z0) pode ser calculada via qualquer uma das duas u´ltimas expresso˜es desde que
f seja holomorfa em z0.
Ex: Seja f(z) = z2 como no exemplo anterior. f e´ holomorfa em Cpois existe
f ′(z0) = lim
z→z0
z2 − z20
z− z0
= lim
z→z0
(z+ z0)(z− z0)
z− z0
= 2z0
2Cada elemento z de um conjunto aberto A e´ caracterizado pela seguinte propriedade: z+ h ∈ A para todo
h cujo mo´dulo seja suficientemente pequeno.
3Por exemplo, seja
f(t) =
{
t2/2 se t ≥ 0;
−t2/2 se t < 0.
Da´ı f ′(t) = |t| para todo t ∈ R. Contudo f ′ na˜o e´ diferencia´vel em t = 0.
2.2. FUNC¸O˜ES HOLOMORFAS 9
para cada z0 ∈ C. Por outro lado, Px = 2x = Qy, Py = −2y = −Qx e
f ′(z) = Px + iQx = 2x+ 2yi = 2z.
A rec´ıproca da observac¸a˜o anterior e´ dada por:
Observac¸a˜o 2 Se
Px, Py, Qx e Qy existem em cada ponto suficientemente pro´ximo de z0,
sa˜o cont´ınuas em z0
e
satisfazem (C-R) em z0,
enta˜o
f e´ holomorfa em z0.
Ex: A func¸a˜o exponencial f(z) = ez = ex(cosy + i seny) e´ holomorfa (em C). De fato,
P(x, y) = ex cosy e Q(x, y) = ex seny acarretam
Px = e
x cosy = Qy, Py = −e
x seny = −Qx,
que sa˜o cont´ınuas. Note ainda que
f ′(z) = Px + iQx = e
x(cosy+ i seny) = ez.
Comenta´rio sobre exponenciais
ez1ez2 = ez1+z2 sendo z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 em C.
4
Ex: Demonstra-se que somas, diferenc¸as, produtos, quocientes (cujos denominadores na˜o se
anulem em z0) e composic¸o˜es de func¸o˜es holomorfas em z0 tambe´m sa˜o holomorfas em z0. Da´ı
as seguintes func¸o˜es, definidas para cada z ∈ C, sa˜o holomorfas (em C):
• p(z) = z0 + z1z+ z2z2 + · · ·+ znzn com zi’s constantes em C;
• sen z = eiz−e−iz
2i
e cos z = e
iz+e−iz
2
.5
2.2.1 O Logaritmo
No caso real, a func¸a˜o logaritmo natural e´ a inversa da func¸a˜o exponencial:
y ∈ R e´ o logaritmo natural de x > 0, isto e´, y = ln x⇔ x = ey.
No caso complexo, a exponencial complexa e´ perio´dica de per´ıodo 2pii pois
ez+2piij = ex(cos(y+ 2pij) + i sen(y+ 2pij)) = ex(cosy+ i seny) = ez, j ∈ Z.
Assim na˜o e´ poss´ıvel obter uma u´nica func¸a˜o f(z) tal que ef(z) = z. De fato, dada uma tal f(z)
e sendo g(z) = f(z) + 2piij, j ∈ Z, temos
eg(z) = ef(z)e2piij = ef(z), j ∈ Z.
4Verifique!
5Note que d
dz
(sen z) = cos z e d
dz
(cos z) = −sen z.
10 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
Mesmo assim, para z ∈ C, z 6= 0, vamos definir o logaritmo de z = ew por w = log z para
domı´nios D ⊂ C adequados.
Sejam z = reiθ, −pi < θ ≤ pi, e w = u+ i v. Da´ı, como reiθ = eu+i v = eueiv, temos
r = eu, isto e´, u = ln r, e eiθ = eiv, isto e´, v = θ+ 2pij, j ∈ Z.
Enta˜o, w = ln r+ i(θ+ 2pij) acarreta
log z = ln |z| + i arg z, arg z ∈ {θ+ 2pij | j ∈ Z} .
Para log z ser univocamente determinado, temos que nos restringir a domı´nios D ⊂ C nos quais
arg z seja univocamente determinado. Considere da´ı a semi-reta fechada a partir da origem
Lφ = {(t cosφ, t senφ) | t ≤ 0} ,
sendo 0 ≤ φ < 2pi, e seja Dφ = C− Lφ. Da´ı, para cada z ∈ Dφ, existe um u´nico valor de arg z,
denotado por argφ z, tal que φ < argφ z < φ+ 2pi. Definimos:
Observac¸a˜o 3
f : Dφ → C
z 7→ f(z) = log z = ln |z| + i argφ z
e´ dita um ramo do logaritmo.
Por exemplo, f(z) = log z e´ holomorfa em D0 = C− L0, L0 = {(t, 0) | t ≤ 0}. De fato, para cada
z0 ∈ D0, temos
f ′(z0) = lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z− z0
= lim
z→z0
log z− log z0
z− z0
= lim
w→w0
w−w0
ew − ew0
= lim
w→w0
1
ew−ew0
w−w0
=
1
ew0
=
1
z0
.
2.2.2 Func¸o˜es Na˜o-Holomorfas
Ex: Demonstra-se que func¸o˜es holomorfas em z0 sa˜o cont´ınuas em z0. Obteremos uma func¸a˜o
que na˜o e´ cont´ınua, da´ı na˜o e´ holomorfa, num dado z0. Seja z 6= 0. Da´ı
z = r(cos θ+ i sen θ) = r(cos(θ+ 2pij) + i sen(θ+ 2pij)), j ∈ Z,
onde (r, θ) sa˜o as coordenadas polares de (x, y). (Veja Figura seguinte.)
x
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
r y
tx+ iy
θ
Existe um u´nico argumento θ de z tal que −pi < θ ≤ pi. Este valor particular de θ e´ dito valor
principal do argumento (ou simplesmente o argumento) de z e e´ denotado por Arg z. Arg z
na˜o e´ cont´ınua em L0. De fato, seja z0 = x0 ∈ L0. Como a Figura 2.1 ilustra, a medida que
algum z pertencente ao terceiro quadrante do plano aproxima-se de x0, temos que Arg z→ −pi.
Mas Arg x0 = pi. (De modo ana´logo, demonstra-se que Arg z na˜o e´ cont´ınua em z0 = 0.)
Ex: f(z) = z na˜o e´ holomorfa (em z, ∀z ∈ C).
De fato, seja z 6= z0. Da´ı:
2.2. FUNC¸O˜ES HOLOMORFAS 11
z
x0
Arg z
Figura 2.1: Arg z na˜o e´ cont´ınua em z0 ∈ L0.
• y = y0, isto e´, z = x+ iy0 ⇒ f(z)−f(z0)z−z0 = x−x0x−x0 = 1;
• x = x0, isto e´, z = x0 + iy ⇒ f(z)−f(z0)z−z0 = −iy+iy0iy−iy0 = −1.
Da´ı f(z)−f(z0)
z−z0
aproxima-se de, no mı´nimo, dois valores distintos (±1) quando z→ z0.
12 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
2.3 Integrac¸a˜o Complexa
Observac¸a˜o 4 - Circunfereˆncias Orientadas Positivamente
Um disco aberto de centro z0 e raio r > 0, denotado por D(z0, r), e´ um c´ırculo com tais
centro e raio, menos a sua circunfereˆncia, isto e´,
D(z0, r) = {z ∈ C : |z− z0| < r} .
Se nada for dito em contra´rio, a circunfereˆncia retirada, denotada por
∂D(z0, r) = {z ∈ C : |z− z0| = r} ,
e´ percorrida no sentido anti-hora´rio.
Ex: z(t) = z0 + re
it, t ∈ [0, 2pi], e´ uma parametrizac¸a˜o de ∂D(z0, r).6 Por exemplo, se z0 = 0
e r = 1, enta˜o z(t) = eit = cos t+ i sen t, t ∈ [0, 2pi], e´ uma parametrizac¸a˜o de ∂D(0, 1). (Veja
Figura 2.2.)
����
����
����
z(t)
1 = z(0) = z(2pi)
−i
0
−1
i
t
Figura 2.2: Circunfereˆncia de centro z0 = 0 e raio r = 1, percorrida no sentido anti-hora´rio.
Observac¸a˜o 5 - Integrac¸a˜o de curvas planas
Seja z(t) = x(t) + iy(t) tal que x(t), y(t) ∈ R ∀t ∈ [a, b].
Sendo x e y integra´veis, tem-se∫b
a
z(t)dt =
∫b
a
x(t)dt+ i
∫b
a
y(t)dt.
Ex: Via a observac¸a˜o anterior, verifique que:
• ∫1
0
(t− i)3 dt = − 5
4
;
• ∫pi/2
0
e(1+i)t dt =
∫pi/2
0
et(cos t+ i sen t)dt = 1
2
(epi/2 − 1) + i
2
(epi/2 + 1),
usando integrac¸a˜o por partes em cada parcela da soma na segunda igualdade.
Observac¸a˜o 6 Pode ser demonstrado que integrais complexas teˆm propriedades ana´logas aque-
las das integrais reais. Por exemplo:
1.
∫b
a
(z1(t) + z2(t))dt =
∫b
a
z1(t)dt+
∫b
a
z2(t)dt;
6z(t) = z0 + re
2piti, t ∈ [0, 1], e´ uma outra parametrizac¸a˜o de ∂D(z0, r).
2.3. INTEGRAC¸A˜O COMPLEXA 13
2. c ∈ [a, b]⇒ ∫b
a
z(t)dt =
∫c
a
z(t)dt+
∫b
c
z(t)dt;
3.
∫b
a
(α+ iβ)z(t)dt = (α+ iβ)
∫b
a
z(t)dt;
4.
∫b
a
z(t)dt = −
∫a
b
z(t)dt;
5. Se Z(t) = X(t) + i Y(t) tem derivada cont´ınua tal que X ′(t) = x(t) e Y ′(t) = y(t), isto e´,
Z ′(t) = z(t), ∀t ∈ (a, b), enta˜o∫b
a
z(t)dt = Z(t)
∣∣t=b
t=a
= X(t)
∣∣t=b
t=a
+ i Y(t)
∣∣t=b
t=a
= Z(b) − Z(a).
Ex:
∫pi
0
eit dt = 2i.
De fato, para qual Z(t) temos Z ′(t) = eit?
Se Z(t) = e
it
i
, enta˜o ∫pi
0
eit dt =
eit
i
∣∣∣∣
t=pi
t=0
=
1
i
(eipi − ei0) = −
2
i
.
Ex: Vimos a pouco que, via integrac¸a˜o por partes, temos∫pi/2
0
e(1+i)t dt =
1
2
(epi/2 − 1) +
i
2
(epi/2 + 1).
De fato, para qual Z(t) temos Z ′(t) = e(1+i)t?
Se Z(t) = e
(1+i)t
1+i
, enta˜o∫pi/2
0
e(1+i)t dt =
e(1+i)t
1+ i
∣∣∣∣
t=pi/2
t=0
=
1
1+ i
(e(1+i)pi/2 − e(1+i)0) =
1
2
(1− i)(−1+ iepi/2).
Tal exemplo mostra que podemos calcular algumas integrais reais via integrac¸a˜o complexa, na˜o
sendo necessa´rio proceder uma longa integrac¸a˜o por partes. De fato, por um lado, temos∫pi/2
0
e(1+i)t dt =
1
2
(epi/2 − 1) +
i
2
(epi/2 + 1).
Por outro lado, temos∫pi/2
0
et+i t dt =
∫pi/2
0
eteit dt =
∫pi/2
0
et cos t dt+ i
∫pi/2
0
et sen t dt.
Da´ı, comparando-se as partes reais e imagina´rias destas equac¸o˜es, temos∫pi/2
0
et cos t dt =
1
2
(epi/2 − 1) e
∫pi/2
0
et sen t dt =
1
2
(epi/2 + 1).
Observac¸a˜o 7 - Integrac¸a˜o ao longo de curvas planas
Se z : [a, b] → C tem derivada cont´ınua e f = P + iQ e´ cont´ınua sobre γ = {z(t) | t ∈ [a, b]},enta˜o ∫
γ
f(z)dz =
∫b
a
f(z(t)) z ′(t)dt.
Tal integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o z(t) de γ.
14 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
2 31
i
Figura 2.3: Semi-circunfereˆncia superior de centro z0 = 2 e raio r = 1.
Ex: Seja γ a semi-circunfereˆncia superior de centro z0 = 2 e raio r = 1 (veja Figura 2.3). Via
parametrizac¸o˜es distintas de γ, temos
∫
γ
1
z−2
dz = ipi. Por exemplo, z(t) = 2 + eit, t ∈ [0, pi],
acarreta ∫
γ
1
z− 2
dz =
∫pi
0
1
2+ eit − 2
i eit dt = it
∣∣t=pi
t=0
,
enquanto que z(t) = 2+ eipit, t ∈ [0, 1], acarreta∫
γ
1
z− 2
dz =
∫ 1
0
1
2+ eipit − 2
ipi eipit dt = ipit
∣∣t=1
t=0
.
Observac¸a˜o 8 No que se segue, assumimos as mesmas hipo´teses da observac¸a˜o anterior para
as func¸o˜es envolvidas.
Observac¸a˜o 9 Sejam:
D aberto em C;
f = P + iQ holomorfa em D;
Px, Py, Qx e Qy cont´ınuas em D.
Enta˜o ∫
γ
f ′(z)dz =
∫b
a
f ′(z(t)) z ′(t)dt = f(z(b)) − f(z(a)).
Ex: Sejam:
f(z) = log z, z ∈ D0, o ramo do logaritmo como definido anteriormente;
z(t) = eit, t ∈ [0, 2pi], uma parametrizac¸a˜o de ∂D(0, 1) como dada anteriormente.
Da´ı, por um lado, como f ′(z) = 1
z
, z ∈ D0, temos∮
∂D(0,1)
f ′(z)dz =
∫ 2pi
0
1
eit
i eit dt = i
∫ 2pi
0
dt = 2pii.
Por outro lado,
f(z(2pi)) − f(z(0)) = log ei·2pi − log ei·0 = 2pii.
Observac¸a˜o 10
∫
γ
(f+ g) =
∫
γ
f+
∫
γ
g.
Ex:
∫
γ
(z+ z)dz =
∫
γ
z dz+
∫
γ
z dz. De fato, por um lado temos∫
γ
(z+ z¯)dz =
∫b
a
[2 x(t) (x ′(t) + iy ′(t))]dt.
Por outro temos que ∫
γ
z dz+
∫
γ
z dz =
∫b
a
z(t) z ′(t)dt+
∫b
a
z(t) z ′(t)dt
2.3. INTEGRAC¸A˜O COMPLEXA 15
iguala ∫b
a
[x(t) x ′(t) − y(t)y ′(t)]dt+ i
∫b
a
[x(t)y ′(t) + x ′(t)y(t)]dt
mais ∫b
a
[x(t) x ′(t) + y(t)y ′(t)]dt+ i
∫b
a
[x(t)y ′(t) − x ′(t)y(t)]dt.
Observac¸a˜o 11 Se o ponto final de γ1 coincide com o ponto inicial de γ2, enta˜o∫
γ1∪γ2
f =
∫
γ1
f+
∫
γ2
f.
Ex: Sejam f(z) = z, γ1 =
{
z1(t) = e
i
pi
2
t | t ∈ [0, 1]} e γ2 = {z2(t) = i+ t(−1− i) | t ∈ [0, 1]}
(veja Figura 2.4). No lugar de obtermos uma parametrizac¸a˜o z(t) para γ1 ∪ γ2, calculamos
−1 1
i
γ2 γ1
Figura 2.4: γ2 e´ o segmento de reta entre z0 = i e z1 = −1, isto e´, z2(t) = z0 + t(z1 − z0),
0 ≤ t ≤ 1; γ1 representa a parte da circunfereˆncia de centro 0 e raio 1 no primeiro quadrante.
diretamente: ∫
γ1∪γ2
z dz =
∫
γ1
z dz+
∫
γ2
z dz.
Observac¸a˜o 12 Se |f(z)| ≤M para todo z ∈ γ e L e´ o comprimento de γ, enta˜o∣∣∣∣
∫
γ
f(z)dz
∣∣∣∣ ≤ML.
Ex: Sendo γ o segmento de reta entre z0 = 2 e z1 = 2+ i, temos
∣∣∣∫γ 1z2+1 dz∣∣∣ ≤ 12√5 .
De fato, pela geometria da Figura 2.5, L = 1 e, como |z+ i| ≥ √5 e |z− i| ≥ 2, temos
−i
i 2 + i
z
√
5
2
|z − i|
|z + i|
Figura 2.5: z varia em γ.
16 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
|f(z)| =
∣∣∣∣ 1z2 + 1
∣∣∣∣ = 1|z+ i| · 1|z− i| ≤ 1√5 · 12 =M,
para todo z ∈ γ.
(Em sendo poss´ıvel, calcule o valor exato da integral e compare com a estimativa obtida.)
Observac¸a˜o 13 - Curvas de Jordan
No que se segue, se nada for dito em contra´rio, toda curva γ e´ de Jordan - isto e´ , e´ fechada
(z(a) = z(b)) e na˜o tem auto-intersec¸a˜o (z e´ injetiva em [a, b)) - e, em relac¸a˜o ao interior
R da regia˜o de C limitada por γ, tal curva e´ orientada positivamente - isto e´, tem “sentido
anti-hora´rio”. (Veja Figura 2.6.) Neste caso, denotaremos
∫
γ
por
∮
γ
.
γ
z0 R
Figura 2.6: Regia˜o limitada por uma curva de Jordan; z0 ∈ R.
Observac¸a˜o 14 - Teorema de Cauchy-Goursat (TCG)
Seja f holomorfa em γ ∪ R. Enta˜o ∮
γ
f(z)dz = 0.
Ex: ez e zn, n = 0, 1, 2, . . ., sa˜o holomorfas em C. Da´ı
∮
γ
ez dz = 0 e
∮
γ
zn dz = 0.
Observac¸a˜o 15 Se γ1 ⊂ R2 (veja Figura 2.7) e f e´ holomorfa em γ2 ∪ (R2 − R1), enta˜o∮
γ1
f(z)dz =
∮
γ2
f(z)dz.
γ1
γ2
R2 R1
Figura 2.7: R2 − (R1 ∪ γ1) e´ o interior da regia˜o entre as curvas γ2 e γ1.
Observac¸a˜o 16 - Corola´rio da observac¸a˜o anterior
Sejam γ2 = γ, z0 ∈ R2 e γ1 = ∂D(z0, r) para r suficientemente pequeno. (Veja Figura 2.8.)
Da´ı:
2.3. INTEGRAC¸A˜O COMPLEXA 17
z0
γ2 = γ
γ1 = ∂D(z0, r)
z(t) = z0 + re
itr
R2 R1
Figura 2.8: R2 − (R1 ∪ γ1) e´ o interior da regia˜o entre as curvas γ2 = γ e γ1 = ∂D(z0, r).
1.
∮
γ
1
z−z0
dz = 2pii;
2.
∮
γ
1
(z−z0)n
dz = 0 ∀n ∈ Z− {1}.
De fato, seja z(t) = z0 + re
it, t ∈ [0, 2pi], uma parametrizac¸a˜o de γ1. Da´ı∮
γ
1
z− z0
dz =
∮
∂D(z0,r)
1
z− z0
dz =
∫ 2pi
0
1
reit
ireit dt = it
∣∣t=2pi
t=0
= 2pii.
A segunda fo´rmula e´ demonstrada de modo ana´logo.
Ex: Via a observac¸a˜o anterior e o TCG, temos que:
1.
∮
γ
2z
z2+2
dz = 4pii para γ = ∂D(0, 2);
2.
∮
γ
2z
z2+2
dz = 2pii para γ = ∂D(i, 1).
De fato, via o me´todo das frac¸o˜es parciais, primeiramente note que
2z
z2 + 2
=
2z
(z+ i
√
2)(z− i
√
2)
=
1
z+ i
√
2
+
1
z− i
√
2
.
Da´ı (veja Figura 2.9):
1.
∮
∂D(0,2)
2z
z2+2
dz =
∮
∂D(0,2)
1
z+i
√
2
dz+
∮
∂D(0,2)
1
z−i
√
2
dz = 2pii+ 2pii = 4pii;
2.
∮
∂D(i,1)
2z
z2+2
dz =
∮
∂D(i,1)
1
z+i
√
2
dz+
∮
∂D(i,1)
1
z−i
√
2
dz = 0+ 2pii = 2pii.
Observac¸a˜o 17 - Fo´rmula Integral de Cauchy para Derivadas (FICD)
Se f e´ holomorfa em γ ∪ R e z0 ∈ R, enta˜o∮
γ
f(z)
(z− z0)n+1
dz =
2pii
n!
f(n)(z0), n = 0, 1, 2, . . . .
18 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
2−2
−2i
2i
1−1
i i
√
2i
√
2i
−
√
2i
−i
2i
Figura 2.9: ∂D(0, 2) e ∂D(i, 1).
Se n = 0, dizemos simplesmente Fo´rmula Integral de Cauchy (FIC) e podemos escrever∮
γ
f(z)
z− z0
dz = 2piif(z0).
Ex: Queremos calcular
∮
γ
ez
z−2
dz. Assim, sendo z0 = 2, vamos analisar dois casos:
• z0 6∈ γ ∪ R e f(z) = ezz−2
TCG︸ ︷︷ ︸
=⇒ ∮
γ
ez
z−2
dz =
∮
γ
f(z)dz = 0;
• z0 ∈ R e f(z) = ez
FIC︸︷︷︸
=⇒ ∮
γ
ez
z−2
dz = 2piif(2) = 2piie2.
Ex: Se z0 =
i
2
∈ R, enta˜o∮
γ
z3 − 6
2z− i
dz =
∮
γ
z3
2
− 3
z− z0
dz = 2pii
(
z30
2
− 3
)
,
utilizando a FIC com f(z) = z
3
2
− 3.
Ex: Se z0 = i ∈ R e f(z) = ez2 , via a FICD para n = 3, temos∮
γ
ez
2
(z− i)4
dz =
2pii
3!
· f(3)(z0) = 2pii
6
(12i+ 8i3)ei
2
= −
4pi
3e
,
onde usamos f ′′′(z) =
(
12z+ 8z3
)
ez
2
.
Ex: Exerc´ıcio 19 da lista de exerc´ıcios.
Primeira Soluc¸a˜o:
Via frac¸o˜es parciais,
1
z(z+ 2)
=
A
z
+
B
z+ 2
=
(A+ B)z+ 2A
z(z+ 2)
⇒ A = 1
2
, B = −
1
2
.
Da´ı ∮
γ
1
z2 + 2z
dz =
1
2
∮
γ
1
z− 0
dz−
1
2
∮
γ
1
z− (−2)
dz =
1
2
· 2pii · 1− 1
2
· 0 = pii,
2.3. INTEGRAC¸A˜O COMPLEXA 19
onde, na primeira parcela da soma, como z0 = 0 ∈ R, usamos a FIC com f(z) = 1, e, na
segunda parcela, como −2 6∈ γ ∪ R, usamos o TCG com f(z) = 1
z+2
.
Segunda Soluc¸a˜o:∮
γ
1
z2 + 2z
dz =
∮
γ
1
z(z+ 2)
dz =
∮
γ
1
z+2
z
dz = 2pii · 1
0+ 2
= pii,
onde, como z0 = 0 ∈ R, usamos a FIC com f(z) = 1z+2 .
Ex:
∮
γ
eipiz
2z2−5z+2
dz = 2pi
3
para γ = ∂D(0, 1).
De fato, como
2z2 − 5z+ 2 = 2
(
z2 −
5
2
z+ 1
)
= 2
(
z−
1
2
)
(z− 2),
temos ∮
γ
eipiz
2z2 − 5z+ 2
dz =
1
2
∮
γ
eipiz
z−2
z− 1
2
dz =
1
2
· 2pii · e
ipi· 1
2
1
2
− 2
= pii · i
− 3
2
=
2pi
3
,
onde, como z0 =
1
2
∈ R, usamos a FIC com f(z) = eipiz
z−2
.
Ex: Exerc´ıcio 18 da lista de exerc´ıcios.
Sendo γ = ∂D(1, 5), queremos calcular 1
2pii
∮
γ
ζ2+ζ
(ζ−2i)(ζ+3)
dζ. (Veja Figura 2.10.) Para isto, como
6−4 1−3
R2i
1 + 5i5i
1 − 5i−5i
Figura 2.10: ∂D(1, 5).
2i,−3 ∈ R pois |2i− 1| = √5< 5 e | − 3− 1| = 4 < 5, primeiramente note que:
• para f(ζ) = ζ2+ζ
(ζ−2i)(ζ+3)
, o TCG na˜o pode ser usado em
∮
γ
f(ζ)dζ = 0 pois f na˜o e´
holomorfa em 2i nem em −3;
• o FIC na˜o pode ser usado em:
–
∮
γ
f(ζ)
ζ+3
dζ = 2piif(−3), se f(ζ) = ζ
2+ζ
ζ−2i
, pois f na˜o e´ holomorfa em 2i;
–
∮
γ
f(ζ)
ζ−2i
dζ = 2piif(2i), se f(ζ) = ζ
2+ζ
ζ+3
, pois f na˜o e´ holomorfa em −3.
Assim, usando-se a divisa˜o longa em ζ
2+ζ
(ζ−2i)(ζ+3)
, como o dividendo ζ2 + ζ iguala o divisor
ζ2 + (3− 2i)ζ− 6i vezes o quociente 1 mais o resto −2(1− i)ζ+ 6i, temos que
ζ2 + ζ
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
= 1− 2 · (1− i)ζ− 3i
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
,
20 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
e da´ı∮
γ
ζ2 + ζ
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
dζ =
∮
γ
1 dζ− 2
∮
γ
(1− i)ζ− 3i
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
dζ = −2
∮
γ
(1− i)ζ− 3i
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
dζ,
onde usamos o TCG na primeira parcela da diferenc¸a das integrais. Agora, para resolver
a u´ltima integral, usaremos a te´cnica das frac¸o˜es parciais. De
(1− i)ζ− 3i
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
=
A
ζ− 2i
+
B
ζ+ 3
=
(A+ B)ζ+ 3A− 2iB
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
,
temos {
A + B = 1− i,
3A − 2iB = −3i.
Multiplicando-se a primeira equac¸a˜o deste sistema por −3 e somando-se a segunda, temos
B = 3
3+2i
. Substituido-se B na primeira equac¸a˜o acarreta A = 2−i
3+2i
. Enta˜o
1
2pii
∮
γ
ζ2 + ζ
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
dζ = −
1
pii
(
2− i
3+ 2i
∮
γ
1
ζ− 2i
dζ+
3
3+ 2i
∮
γ
1
ζ+ 3
dζ
)
=
−10+ 2i
3+ 2i
.
Observac¸a˜o 18 Considere que a FIC tenha sido demonstrada de algum modo. Da´ı demonstra-
se tambe´m, por induc¸a˜o sobre n, a FICD.
De fato, o primeiro passo da induc¸a˜o e´ a demonstrac¸a˜o da FICD para n = 1:
f ′(z0) = lim
h→0
f(z0 + h) − f(z0)
h
FIC︸︷︷︸
= lim
h→0
1
2pii
[∮
γ
f(z)
z−z0−h
dz−
∮
f(z)
z−z0
dz
]
h
=
1
2pii
lim
h→0
∮
γ
1
h
· hf(z)
(z− z0 − h)(z− z0)
dz
=
1!
2pii
∮
γ
f(z)
(z− z0)2
dz.
Agora, considere que a FICD seja verdadeira para o inteiro positivo n. De modo ana´logo
demonstra-se que a mesma e´ verdadeira para n+ 1.7
7Teste para n = 2, comec¸ando com f ′′(z0), e proceda como no primeiro passo da induc¸a˜o!
2.4. SE´RIES 21
2.4 Se´ries
• Para dar sentido a se´rie
S(z) =
∑
n≥0
anz
n,
sendo cada coeficiente an e a varia´vel z elementos de C, introduzimos a varia´vel real r ≥ 0
e consideramos a sua se´rie associada de termos na˜o negativos∑
n≥0
|an|r
n
(que pode convergir para um valor em [0,+∞]).
• O intervalo
I(S(z)) =
{
r ≥ 0
∣∣∣∣∑
n≥0
|an|r
n < +∞}
e´ na˜o vazio pois 0 ∈ I(S(z)), podendo inclusive ser igual a {0}.8
• O raio de convergeˆncia de S(z) e´ o nu´mero na˜o negativo
ρ = sup I(S(z)).9
• O disco aberto
D(0, ρ) =
{
z ∈ C ∣∣ |z| < ρ}
e´ o disco de convergeˆncia de S(z), sendo vazio se ρ = 0.
• Demonstra-se que S(z):
– converge absolutamente, isto e´,
∑
n≥0 |an||z|
n < +∞, para |z| < ρ;
– diverge para |z| > ρ;
– pode convergir ou divergir para |z| = ρ. (veja Figura 2.11.)
z
0
ρ
D(0, ρ)
r
z
I(S(z))
z
Figura 2.11: S(z) converge para z ∈ D(0, ρ); pode convergir ou divergir para z ∈ ∂D(0, ρ);
diverge para z 6∈ D(0, ρ) ∪ ∂D(0, ρ).
8Seja r0 > 0 tal que
∑
n≥0 |an|r
n
0 <∞. Via o Teste da Comparac¸a˜o,∑n≥0 |an|rn <∞ para todo r ∈ [0, r0].
9ρ e´ o menor elemento de {s ∈ [0,+∞] | s ≥ r, ∀r ∈ I(S(z))}. Da´ı ρ = r0 se I(S(z)) = [0, r0).
22 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
Demonstra-se ainda que
1
ρ
= lim
n→∞
sup |an|
1/n.
Contudo, na pra´tica, ρ e´ determinado pelo Teste da Raza˜o (TR) via
L = lim
n→∞
∣∣∣∣an+1zn+1anzn
∣∣∣∣ = |z| limn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣
(se existe tal limite, ainda que seja +∞).10
Ex: ρ e´ igual a: 0 se S(z) =
∑
n≥0 n!z
n; 1 se S(z) for uma das se´ries:
∑
n≥0 z
n,
∑
n>0
1
n
zn,∑
n>0
1
n2
zn.11
Observac¸a˜o 19 Sejam S1(z) =
∑
n≥0 a1,nz
n e S2(z) =
∑
n≥0 a2,nz
n duas se´ries com raios de
convergeˆncia ≥ ρ. Da´ı, para |z| < ρ, podemos soma´-las
S1(z) + S2(z) =
∑
n≥0
(a1,n + a2,n) z
n
e multiplica´-las
S1(z) · S2(z) =
∑
n≥0
(a1,0a2,n + a1,1a2,n−1 + · · ·+ a1,n−1a2,1 + a1,na2,0) zn.
Ex:
∑
n>0
n+1
n2
zn =
∑
n>0
1
n
zn+
∑
n>0
1
n2
zn e
∑
n≥0(n+1)z
n =
∑
n≥0 z
n ·∑n≥0 zn para |z| < 1.
Observac¸a˜o 20 Seja S ′(z) =
∑
n≥0 nanz
n−1. As se´ries S(z) e S ′(z) teˆm o mesmo raio de
convergeˆncia ρ e, se ρ 6= 0, temos
S ′(z) = lim
z→z0
S(z) − S(z0)
z− z0
,
para |z| < ρ.
Tal observac¸a˜o implica que S(z) e´ holomorfa em D(0, ρ) e, derivando-se repetidas vezes, S(z) e´
infinitamente diferencia´vel. Ale´m disso, demonstra-se que
an =
S(n)(0)
n!
, n = 0, 1, 2 . . . .
Ex: Para ilustrar a observac¸a˜o anterior, basta considerar o polinoˆmio de grau g
S(z) = a0 + a1z+ · · ·+ agzg,
onde an = 0 para cada inteiro n > g.
Observac¸a˜o 21 - Se´rie Geome´trica (SG) e Se´rie de Taylor (ST)
Seja t ∈ C. Em sendo convergente, S(t) converge para qual nu´mero complexo?
Seguem exemplos importantes.
10TR: |z| < ρ se L < 1; |z| > ρ se L > 1; |z| = ρ se L = 1.
11Pode ser mostrado que tais se´ries na˜o se comportam do mesmo modo para |z| = 1.
2.4. SE´RIES 23
SG: |t| < 1⇒ 1
1−t
= 1+ t+ t2 + · · · =∑∞n=0 tn.
Da´ı:
|t| > 1 ⇒ |1/t| < 1 ⇒
1
1− t
= −
1
t
1
1− 1
t
= −
1
t
∞∑
n=0
1
tn
= −
∞∑
n=0
t−(n+1) = −
−1∑
k=−∞
tk;
|t| < t0 ⇒ |t/t0| < 1 ⇒
1
t0 − t
=
1
t0
1
1− t
t0
=
1
t0
∞∑
n=0
tn
tn0
=
∞∑
n=0
t
−(n+1)
0 t
n;
|t| > t0 > 0 ⇒ |t0/t| < 1 ⇒
1
t0 − t
= −
1
t
1
1− t0
t
= −
1
t
∞∑
n=0
tn0
tn
= −
∞∑
n=0
tn0 t
−(n+1) = −
−1∑
k=−∞
t
−(k+1)
0 t
k;
|t| < 1 ⇒ | − t| < 1 ⇒
1
1+ t
=
1
1− (−t)
=
∞∑
n=0
(−t)n =
∞∑
n=0
(−1)ntn;
|t| > 1 ⇒ |1/t| < 1 ⇒
1
1+ t
=
1
t
1
1+ 1
t
=
1
t
∞∑
n=0
(−1)n
1
tn
=
∞∑
n=0
(−1)nt−(n+1) =
−1∑
k=−∞
(−1)−(k+1)tk.
ST: Sejam f holomorfa em z0 e z1 o ponto mais pro´ximo de z0 onde f na˜o seja holomorfa.
(Veja Figura 2.12.) Da´ı f e´ anal´ıtica em D(z0, |z1 − z0|), isto e´,
z0z1
z
Figura 2.12: D(z0, |z1 − z0|)
f(z) =
∞∑
n=0
f(n)(z0)
n!
(z− z0)
n
converge ∀z tal que |z− z0| < |z1 − z0|.
Ex: Para f(z) = ez e z0 = 0, na˜o existe tal z1. Da´ı, como f
(n)(z0) = 1, n = 0, 1, . . .,
ez =
∞∑
n=0
zn
n!
24 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
converge ∀z ∈ C.
Ex: Para f(z) = cos z (respectivamente, f(z) = sen z) e z0 = 0, na˜o existe tal z1 e
cos z =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
z2n (respectivamente, sen z =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
z2n+1)
converge ∀z ∈ C.
Ex: Se´rie Binomial: Para f(z) = (1+ z)m, m ∈ R, m < 0 e z0 = 0, temos que z1 = −1 e
(1+ z)m = 1+
m
1!
z+
(m− 1)m
2!
z2 + · · ·
converge ∀z tal que |z| < 1.
Comenta´rio sobre Analiticidade e Holomorfismo
As duas observac¸o˜es anteriores implicam numa equivaleˆncia entre as func¸o˜es (complexas) anal´ıticas
e as holomorfas.
Observac¸a˜o 22 - Se´rie de Laurent (SL)
Sejam:
γi = ∂D(z0, ri), i = 1, 2;
0 ≤ r1 < r2 ≤∞;
f anal´ıtica em R = R2 − (γ1 ∪ R1);
γ ⊂ R.
(Veja Figura 2.13.)
Enta˜o
f(z) =
∞∑
n=−∞
an(z− z0)
n com an =
1
2pii
∮
γ
f(w)
(w− z0)n+1
dw, n ∈ Z,
para todo z ∈ C tal que r1 < |z− z0| < r2.
(Note que a integral anterior, para n = 0, 1, 2, . . ., segue de an =
f(n)(z0)
n!
e do FICD.)
Ex: Qual a SL de f(z) = 1
(z−1)z
em torno de z0 = 0 para 0 < |z| < 1?
Note que
f(z) = −
1
z
+
1
z− 1
= −
1
z
−
1
1− z
= −z−1 − 1− z− z2 − · · · =
∞∑
n=−1
(−1)zn.
Aqui, r1 = 0, r2 = 1 e, para 0 ∈ R e γ ⊂ D(0, 1),
an =
1
2pii
∮
γ
dw
wn+2(w− 1)
={
0, n < −1,
−1, n ≥ −1.
De fato:
• Se n = −2, enta˜o
1
2pii
∮
γ
dw
wn+2(w− 1)
=
1
2pii
∮
γ
dw
w− 1
TCG︸ ︷︷ ︸
= 0;
2.4. SE´RIES 25
γ2
γ
γ1
r2
r1
z
z0
Figura 2.13: R = int(D(z0, r2) −D(z0, r1))
• Se −2 6= n < −1, isto e´, 0 6= n+ 2 < 1, isto e´, n+ 2 < 0, enta˜o
1
2pii
∮
γ
dw
wn+2(w− 1)
=
1
2pii
∮
γ
w−(n+2)
w− 1
dw
TCG︸ ︷︷ ︸
= 0;
• Se n ≥ −1, isto e´, n+ 2 ≥ 1, enta˜o
1
2pii
∮
γ
dw
wn+2(w− 1)
=
1
2pii
∮
γ
1
w−1
wn+2
dw.
Para calcular a integral anterior considere g(w) = 1
w−1
. Da´ı
g(n+1)(w) =
(−1)n+1(n+ 1)!
(w− 1)n+2
e
1
2pii
∮
γ
1
w−1
wn+2
dw
FICD︸ ︷︷ ︸
=
1
(n+ 1)!
g(n+1)(0) =
1
(n+ 1)!
(−1)n+1(n+ 1)!
(−1)n+2
= −1.
(Exerc´ıcio: Qual a SL de f(z) para |z| > 1?)
Ex: Sendo
f(z) =
3
2+ z− z2
=
3
(1+ z)(2− z)
=
1
1+ z
+
1
2− z
,
usando a SG, podemos analisar treˆs casos:
|z| < 1 < 2⇒ f(z) =∑∞n=0(−1)nzn +∑∞n=0 2−(n+1)zn =∑∞n=−∞ anzn.
Aqui, z0 = 0, r1 = 0, r2 = 1 e an =
{
0, n ≤ −1,
(−1)n + 2−(n+1), n > −1.
26 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
1 < |z| < 2⇒ f(z) =∑−1n=−∞(−1)−(n+1)zn +∑∞n=0 2−(n+1)zn =∑∞n=−∞ anzn.
Aqui, z0 = 0, r1 = 1, r2 = 2 e an =
{
(−1)−(n+1), n ≤ −1,
2−(n+1), n > −1.
|z| > 2 > 1⇒ f(z) =∑−1n=−∞(−1)−(n+1)zn +∑−1n=−∞(−2−(n+1))zn =∑∞n=−∞ anzn.
Aqui, z0 = 0, r1 = 2, r2 =∞ e an = { (−1)−(n+1) − 2−(n+1), n ≤ −1,0, n > −1.
Ex: Qual a SL de f(z) = z
(z−1)(z−3)(z−5)
em torno de z0 = 1? (Exerc´ıcio 25.(c) da lista de
exerc´ıcios.)
Via frac¸o˜es parciais, temos
f(z) =
1
8
1
z− 1
+
(
−
3
4
)
1
z− 3
+
5
8
1
z− 5
.
Agora, vamos analisar cada uma das parcelas desta soma:
I parcela: 1
z−1
=
∑
∞
n=−∞ an,1(z− 1)
n, para z 6= 1, an,1 =
{
0, n 6= −1,
1, n = −1.
II parcela: 1
z−3
= 1
z−1−2
t = z− 1︸ ︷︷ ︸
= − 1
2−t
|t| < 2︸ ︷︷ ︸
= −
∑
∞
n=0 2
−(n+1)tn =
∑
∞
n=0(−1)2
−(n+1)(z − 1)n,
para |z− 1| < 2.
∴
1
z−3
=
∑
∞
n=−∞ an,3(z− 1)
n, an,3 =
{
0, n ≤ −1,
(−1)2−(n+1), n > −1.
III parcela: 1
z−5
= 1
z−1−4
t = z− 1︸ ︷︷ ︸
= − 1
4−t
|t| < 4︸ ︷︷ ︸
= −
∑
∞
n=0 4
−(n+1)tn =
∑
∞
n=0(−1)4
−(n+1)(z − 1)n,
para |z− 1| < 4.
∴
1
z−5
=
∑
∞
n=−∞ an,5(z− 1)
n, an,5 =
{
0, n ≤ −1,
(−1)4−(n+1), n > −1.
Da´ı, para 0 < |z− 1| < 2, temos:
f(z) =
∑
∞
n=−∞ an(z− 1)
n, an =


0, n < −1,
1/8, n = −1,
(3/4)2−(n+1) + (−5/8)4−(n+1), n > −1.
(Exerc´ıcio: Qual a SL de f(z) para |z− 1| > 2?)
Ex: Qual a SL de f(z) = z
(z+1)3
em torno de z0 = −1? (Exerc´ıcio 25.(b) da lista de e-
xerc´ıcios.)
f(z) = z
(z+1)3
= z+1−1
(z+1)3
= − 1
(z+1)3
+ 1
(z+1)2
=
∑
∞
n=−∞ an(z− (−1))
n, an =


0, n 6= −3,−2,
−1, n = −3,
1, n = −2.
Note que r1 = 0 e r2 =∞, isto e´, a SL anterior e´ va´lida para todo z ∈ C tal que |z+ 1| > 0.
(Para a SL em torno de z0 = 0, usar a se´rie binomial em −
1
(z+1)3
+ 1
(z+1)2
.)
Observac¸a˜o 23 z0 ser um(a) Ponto Singular Isolado (Singularidade Isolada) de f(z)
significa existir D(z0, δ) tal que f seja anal´ıtica em D(z0, δ) − {z0}.
Ex: z0 ∈ {−1, 1} e´ singularidade isolada de f(z) = 1(1+z)(1−z) .
2.4. SE´RIES 27
Observac¸a˜o 24 z0 ser um Polo de Ordem k de f(z) =
∑
∞
−∞ an(z−z0)
n significa que a−k 6= 0
e · · · = a−k−2 = a−k−1 = 0. Se k = 1, isto e´, se a−1z−z0 e´ o primeiro termo na˜o nulo da SL, z0 e´
dito um Polo Simples.
Ex: Como visto no primeiro exemplo de SL, z0 = 0 e´ um polo simples de
1
(z−1)z
=
∑
∞
−1(−1)z
n.
Observac¸a˜o 25 Seja z0 uma singularidade isolada de f. z0 ser um polo de ordem k de f e´
equivalente a existir ϕ(z) anal´ıtica em z = z0 tal que ϕ(z0) 6= 0 e f(z) = ϕ(z)(z−z0)k .
Ex: Seja f(z) = 1
z4+z3−2z2
= 1
z2(z+2)(z−1)
. Da´ı:
• f(z) =
1
(z+2)(z−1)
(z−0)2
tem polo de ordem 2 na origem;
• f(z) =
1
z2(z+2)
z−1
tem polo simples em z = 1;
• f(z) =
1
z2(z−1)
z−(−2)
tem polo simples em z = −2.
Comenta´rio sobre sen z
• Sendo z = x+ iy, como
sen z =
eiz − e−iz
2i
=
e−y+ix − ey−ix
2i
,
temos que:
sen z = 0⇒ e−y+ix − ey−ix = 0⇒ |e−y+ix| = |ey−ix| ⇒ e−y = ey ⇒ y = 0.
Mas, sendo y = 0, temos que sen z representa apenas a func¸a˜o real sen x, que se anula
apenas em um mu´ltiplo de pi, isto e´:
sen x = 0⇔ x = npi, com n = 0,±1,±2, . . . ;
• sen z = z · g(z), onde g(z) = 1− z2
3!
+ z
4
5!
− · · · e´ anal´ıtica em z = 0 e g(0) 6= 0.
Ex: Calcule os primeiros cinco termos da SL em torno de z0 = 0 para f(z) = cot z.
Resoluc¸a˜o:
Como f(z) = cos z
sen z
tem um polo simples na origem,12 a sua SL e´ dada por
f(z) =
a−1
z
+ a0 + a1z+ a2z
2 + · · · .
Para obter os an’s, considere (sen z)f(z) = cos z. Assim, por um lado, temos que
(sen z)f(z) =
(
z−
z3
3!
+
z5
5!
− · · ·
)(a−1
z
+ a0 + a1z+ · · ·
)
=
a−1 + a0z+
(
a1 −
a−1
3!
)
z2 +
(
a2 −
a0
3!
)
z3 +
(
a3 −
a1
3!
+
a−1
5!
)
z4 + · · · .
12Veja Comenta´rio sobre sen z .
28 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
Por outro lado, temos que
cos z = 1−
z2
2!
+
z4
4!
− · · · .
Agora, igualando-se coeficientes de mesma poteˆncia de z, temos
a−1 = 1, a0 = 0, a1 −
a−1
3!
= −
1
2
, a2 −
a0
3!
= 0 e a3 −
a1
3!
+
a−1
5!
=
1
4!
,
que resulta em
a−1 = 1, a0 = 0, a1 = −
1
3
, a2 = 0 e a3 = −
1
45
.
Da´ı,
cot z =
1
z
−
1
3
z−
1
45
z3 + · · · , 0 < |z| < pi.13
Observac¸a˜o 26 Seja z0 uma singularidade isolada de f(z) =
∑
∞
−∞ an(z − z0)
n. O Res´ıduo
de f(z) em z0 e´ dado por
resf(z0) = a−1 =
1
2pii
∮
γ
f(z)dz,14
onde γ = ∂D(z0, |z− z0|).
Ex: Seja f(z) = 1
z
= · · ·+ 0+ 1
z
+ 0+ · · · =∑∞−∞ an(z− 0)n tal que
an =
{
0, n 6= −1,
1, n = −1.
Por um lado, temos que resf(0) = a−1 = 1. Por outro lado, resf(0) =
1
2pii
∮
γ
1
z
dz = 1
2pii
2piiϕ(0) =
1, onde usamos o FIC para ϕ(z) = 1, o numerador de 1/z.
Ex: Para f(z) = sen z
z3(z−2)(z+1)
, calcule resf(0). (Exerc´ıcio 27.(g) da lista de exerc´ıcios)
Primeiramente note que
f(z) =
sen z
z3
· 1
(z+ 1)(z− 2)
.
Da´ı, como
sen z =
∞∑
n=0
(−1)n
z2n+1
(2n+ 1)!
= z−
z3
3!
+
z5
5!
− · · · ,
escrevemos o primeiro fator de f(z) como
sen z
z3
= z−2 − 1
3!
+ z
2
5!
− · · · ,
e, como o segundo fator e´ dado por
1
(z+ 1)(z− 2)
= −
1
3
(
1
1+ z
+
1
2− z
)
SG
= −
1
3

(1− z+ z2 − · · · )︸ ︷︷ ︸
|z|<1
+(2−1 + 2−2z+ 2−3z2 + · · · )︸ ︷︷ ︸
|z|<2

 ,
13Idem.
14Veja observac¸a˜o sobre SL.
2.4. SE´RIES 29
podemos escreveˆ-lo como
1
(z+1)(z−2)
= − 1
3
((1+ 2−1) + (−1+ 2−2)z+ (1+ 2−3)z2 + · · · )
(para |z| < 1). Assim, multiplicando-se os dois fatores de f(z), temos que
f(z) = (−1/3)(1+ 2−1)z−2 + (−1/3)(−1+ 2−2)z−1 + · · ·
para |z| < 1, e da´ı
resf(0) = a−1
= (−1/3)(−1+ 2−2)
=
1
4
.
Observac¸a˜o 27 - Ca´lculo dos Res´ıduos em Polos (CRP)
Se z0 e´ um polo de ordem k de f(z), enta˜o
resf(z0) = lim
z→z0
1
(k− 1)!
d(k−1)
dz(k−1)
((z− z0)
kf(z)).
Ex: Para f(z) = sen z
z3(z−2)(z+1)
, calcule resf(0). (Exerc´ıcio 27.(g) da lista de exerc´ıcios, nova-
mente!)
Via o Comenta´rio sobre sen z , temos que
f(z) =
g(z)
(z−2)(z+1)
z2
.
Da´ı 0 e´ um polo de ordem 2 de f(z). Assim, pelo CRP,
resf(0) = lim
z→0
d
dz
(
1− z
2
3!
+ z
4
5!
− · · ·
z2 − z− 2
)
= lim
z→0
(
− 2
3!
z+ 4
5!
z3 − · · · ) (z2 − z− 2)− (1− z2
3!
+ z
4
5!
− · · ·
)
(2z− 1)
(z2 − z− 2)
2
=
1
4
.
Ex: Seja f(z) = ez/sen z, com z ∈ D = {x + iy : |x| < 1,|y| < 1}. Calcule a parte principal
de f(z).15 (Exerc´ıcio 24 da lista de exerc´ıcios)
Resoluc¸a˜o:
f(z) tem um polo simples na origem.16 Logo a−1z
−1 e´ a sua parte principal, onde:
a−1 = lim
z→0
(
d
dz
)−1+1(
(z− 0) · ez
sen z
) ∣∣∣∣
z=0
= lim
z→0
z · ez
sen z
= lim
z→0
z(1+ z+ · · · )
z(1− z2/3! + · · · )
= 1.
15
∑−1
n=−∞ an(z− z0)
n e´ a parte principal de
∑
∞
n=−∞ an(z− z0)
n.
16f(z) =
ez/g(z)
z
, sendo g(z) dada no Comenta´rio sobre sen z .
30 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
(Aqui usamos o desenvolvimento em se´ries de ez e de sen z.)
Outra forma de calcular a−1:
a−1 = lim
z→0
z · ez
sen z
= lim
z→0
ez
sen z
z
=
limz→0 e
z
limz→0
sen z
z
= 1.
Ainda, como o limite e´ da forma 0/0, usando L’hoˆpital temos:
a−1 = lim
z→0
z · ez
sen z
= lim
z→0
ez + z · ez
cos z
= 1.
Observac¸a˜o 28 Da penu´ltima observac¸a˜o, temos que∮
γ
f(z)dz = 2piia−1 = 2piiresf(z0).
Ex:
∮
γ
e2/zdz = 4pii, sendo γ = ∂D(0, 1).
De fato, se z 6= 0 enta˜o f(z) = e2/z e´ anal´ıtica em C− {0} e
e2/z =
∞∑
0
(2/z)n
n!
= · · ·+ 2
2
2!
1
z2
+
2
1!
1
z
+ 1
e´ a SL de f(z) em torno de z0 = 0. (Aqui, r1 = 0 e r2 = ∞.) Da´ı resf(0) = 2 e o resultado
segue.
Observac¸a˜o 29 - Teorema dos Res´ıduos
Em relac¸a˜o a observac¸a˜o anterior, na verdade vale o resultado mais geral: Sendo f anal´ıtica
em γ e R como definidas na Obs. 13, exceto em zi ∈ R, i = 1, . . . , n, temos∮
γ
f(z)dz = 2pii
n∑
i=1
resf(zi).
Ex:
∮
γ
1
z4+z3−2z2
dz = 0 se γ = ∂D(0, 3).
De fato, num exemplo anterior, vimos que a origem e´ um polo de ordem 2 e z = 1,−2 sa˜o polos
simples de f(z) = 1
z2(z+2)(z−1)
. Da´ı:
• resf(0) = limz→0 ddz(z2f(z)) = limz→0 ddz
(
1
z2+z+2
)
= limz→0
(
−2z−1
(z2+z−2)2
)
= − 1
4
;
• resf(1) = limz→1((z− 1)f(z)) = limz→1
(
1
z2(z+2)
)
= 1
3
;
• resf(−2) = limz→−2((z− (−2))f(z)) = limz→−2
(
1
z2(z−1)
)
= − 1
12
.
Assim, temos que ∮
γ
f(z)dz = 2pii
(
−
1
4
+
1
3
−
1
12
)
= 2pii · 0.
Ex: 1
2pii
∮
∂D(0,2)
ez
(z+1)sen z
dz = 1− 1
e sen 1
. (Exerc´ıcio 28.(b) da lista de exerc´ıcios.)
De fato, z1 = −1 e z2 = 0 sa˜o os polos simples de f(z) =
ez
(z+1)sen z
interiores a D(0, 2).17 Enta˜o,
como
resf(z1) = lim
z→−1
ez
sen z
= −
1
e sen 1
e resf(z2) = lim
z→0
(z− 0)
ez
(z+ 1)sen z
= lim
z→0
ez
(z+ 1) · sen z
z
= 1,
17Para z1, note que f(z) =
ez
sen z
z+1
. Para z2, note que f(z) =
ez
(z+1)g(z)
z
, sendo g(z) dada no
Comenta´rio sobre sen z .
2.4. SE´RIES 31
temos que
1
2pii
∮
∂D(0,2)
f(z)dz = −
1
e sen 1
+ 1.
32 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
2.5 Ca´lculo de Integrais Reais via Teorema dos Res´ıduos
2.5.1 Integrais do Tipo I =
∫2pi
0
F(cos θ, sen θ)dθ onde F(cos θ, sen θ) e´
uma Func¸a˜o Real, Racional em cos θ e sen θ, e Finita em [0, 2pi]
Seja
eiθ = z⇒ { cos θ = 12(eiθ + e−iθ) = 12 (z+ 1z) ,
sen θ = 1
2i
(eiθ − e−iθ) = 1
2i
(
z− 1
z
)
.
Via tal mudanc¸a de varia´veis, F passa a ser a func¸a˜o f(z) racional em z. Agora, como dz
dθ
= ieiθ,
temos dθ = 1
iz
dz e
I =
1
i
∮
γ
f(z)
z
dz,
sendo γ = ∂D(0, 1).
Ex:
∫2pi
0
dθ√
2−cos θ
= 2pi.
De fato, usando-se cos θ = 1
2
(z+ 1/z) e dθ = dz/iz, temos que
I =
1
i
∮
γ
1
z
[√
2− 1
2
(
z+ 1
z
)] dz
= −
2
i
∮
γ
1
z2 − 2
√
2z+ 1
dz
= −
2
i
∮
γ
1[
z−
(√
2+ 1
)] [
z−
(√
2− 1
)] dz,
cujo integrando tem polos simples em
√
2 + 1 (fora do c´ırculo unita´rio) e
√
2 − 1 (no interior
do c´ırculo unita´rio). Da´ı
resf(
√
2− 1) = lim
z→
√
2−1
1
z−
√
2− 1
= −
1
2
⇒ I = (−2/i)2pii(−1/2).
Ex: Se a > b > 0, enta˜o
∫2pi
0
dθ
a+b cos θ
= 2pi√
a2−b2
. (Exerc´ıcio 30.(a).)
De fato, usando-se cos θ = 1
2
(z+ 1/z) e dθ = dz/iz, temos que
I =
1
i
∮
γ
dz
z
[
a+ b
2
(
z+ 1
z
)]
=
1
i
∮
γ
dz
b
2
z2 + az+ b
2
=
2
bi
∮
γ
dz
z2 + 2a
b
z+ 1
,
2.5. CA´LCULO DE INTEGRAIS REAIS VIA TEOREMA DOS RESI´DUOS 33
cujo integrando tem polos simples em z− = −(a/b) −
√
(a/b)2 − 1 (fora do c´ırculo unita´rio) e
z+ = −(a/b) +
√
(a/b)2 − 1 (no interior do c´ırculo unita´rio).18 Da´ı
resf(z+) = lim
z→z+
1
z− z−
=
1
z+ − z−
=
1
2
√
(a/b)2 − 1
.
∴ I =
2
bi
· 2pii · b
2
√
a2 − b2
.
Ex: Se a > b > 0, enta˜o
∫2pi
0
dθ
(a+b cos θ)2
= 2api
(a2−b2)
3/2 . (Exerc´ıcio 30.(b).)
∫ 2pi
0
1
(a+ b cos θ)2
dθ =
1
i
∮
γ
1
z
(
a+ b
(
z2+1
2z
))2dz
=
1
i
∮
γ
1
(bz2+2az+b)2
4z
dz
=
4
b2i
∮
γ
z(
z2 + 2a
b
z+ 1
)2dz
=
4
b2i
∮
γ
z
(z− z−)
2
(z− z+)
2
dz
=
4
b2i
· 2pii · resf (z+) ,
z± dados como no exemplo anterior, e
resf(z+) = lim
z→z+
d
dz
(
z
(z− z−)
2
)
= lim
z→z+
(z− z−)
2
− 2z (z− z−)
(z− z−)
4
=
(z+ − z−)
2
− 2z+ (z+ − z−)
(z+ − z−)
4
= −
(z+ + z−)
(z+ − z−)
3
=
ab2
4 (a2 − b2)
3/2
.
18Para ver isso, note que a/b > 1. Da´ı z− < −1 (trivial!) e −1 < z+ < 0. De fato:
• −(a/b) +
√
(a/b)2 − 1 ≥ 0⇒ (a/b)2 − 1 ≥ (a/b)2 ⇒ −1 ≥ 0!
• −(a/b)+
√
(a/b)2 − 1 ≤ −1⇒√(a/b)2 − 1 ≤ (a/b)−1⇒ (a/b)2−1 ≤ (a/b)2−2(a/b)+1⇒ a ≤ b!
34 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
2.5.2 Integrais Reais Impro´prias de Func¸o˜es Racionais f(x)
Do ca´lculo de func¸o˜es f(x) reais de uma varia´vel x real,19 temos que∫
∞
−∞
f(x)dx = lim
R→−∞
∫ 0
R
f(x)dx+ lim
R→∞
∫R
0
f(x)dx = lim
R→∞
∫R
−R
f(x)dx,
caso existam tais limites.
Primeiro Tipo: f(x) na˜o tem Polos Reais e tem Denominador Na˜o-Nulo e de Grau
no Mı´nimo Duas Unidades Maior do que o Grau do Numerador
Sendo f(x) a restric¸a˜o de f(z) em [−R, R], considere enta˜o a integral complexa∮
γ
f(z)dz
tal que γ = γ1 ∪ [−R, R], onde γ1 e´ a semi-circunfereˆncia superior de centro na origem e raio
R. (Veja Figura 2.14.) Por ser racional, f(z) tem n polos - z1, . . . , zn - no semi-plano superior.
γ1
R−R
Figura 2.14: γ = γ1 ∪ [−R, R]
Escolhendo R suficientemente grande, γ cerca todos estes polos. Da´ı∫
γ1
f(z)dz+
∫R
−R
f(x)dx =
∮
γ
f(z)dz = 2pii
n∑
i=1
resf(zi).
Demonstra-se que a integral ao longo de γ1 e´ zero para R→∞.20 Da´ı∫
∞
−∞
f(x)dx = 2pii
n∑
i=1
resf(zi).
Ex:
∫
∞
0
dx
1+x4
= pi
2
√
2
. (Exerc´ıcio 29.(a) da lista de exerc´ıcios.)
De fato:
• f(z) = 1
1+z4
tem 4 polos simples em z1 = e
pii/4, z2 = e
3pii/4, z3 = e
−3pii/4 e z4 = e
−pii/4;21
19CM041 na UFPR.
20Como |f(z)| ≤ c
|z|2
para uma constante c > 0, basta aplicar a Obs. 12 para |z| = R→∞.
21reiθ 6= 0 tem sempre n ra´ızes n-e´simas distintas dadas por r 1n ei(θ+2kpin ), k = 0, 1, . . . , n− 1.
2.5. CA´LCULO DE INTEGRAIS REAIS VIA TEOREMA DOS RESI´DUOS 35
• zi esta´ no i-e´simo quadrante, i = 1, 2, 3, 4, na intersec¸a˜o da bissetriz deste quadrante e a
circunfereˆncia de centro na origem e raio 1;
• resf(z1) = − 14epii/4 e resf(z2) = 14e−pii/4 acarretam∫
∞
−∞
dx
1+ x4
= 2pii
(
−epii/4 + e−pii/4
4
)
=
pi√
2
;
• Note ainda que ∫
∞
0
dx
1+ x4
=
1
2
∫
∞
−∞
dx
1+ x4
.
Ex:
∫
∞
−∞
x
(x2+4x+13)2
dx = − pi
27
. (Exerc´ıcio 29.(b) da lista de exerc´ıcios.)
De fato:
• f(z) = z
(z2+4z+13)2
tem dois polos de ordem dois em z± = −2± 3i;
• Apenas z+ esta´ no semi-plano superior;
• resf(z+) = limz→z+ ddz
(
z
(z−z−)2
)
=
(z+−z−)
2−2z+(z+−z−)
(z+−z−)4
= z+−z−−2z+
(z+−z−)3
= − z++z−
(z+−z−)3
= − 4
63i
acarreta ∫
∞−∞
x
(x2 + 4x+ 13)2
dx = 2pii
(
−
22
2333i
)
= −
pi
27
.
Segundo Tipo: A Origem e´ Polo Simples e U´nico Polo de f(x)
Se a origem e´ polo simples de uma func¸a˜o g(z) obtida de f(x) como no exemplo seguinte, enta˜o
lim
ε→0
∫
γ(ε)
g(z)dz = pii resg(0),
onde γ(ε) e´ a semi-circunfereˆncia superior de raio (suficientemente pequeno) ε > 0 e centro
na origem, percorrida na direc¸a˜o do argumento crescente. (A Figura 2.15 ilustra tal situac¸a˜o.)
Ex:
∞∫
−∞
sen x
x
dx = pi.
R−R ε−ε
γ(ε)
0
Figura 2.15: Considere R→∞ e ε→ 0.
36 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
Como sen x
x
= e
ix−cos x
ix
e cos x
x
e´ uma func¸a˜o ı´mpar, temos∫
∞
−∞
sen x
x
dx =
1
i
lim
ε→0
(∫−ε
−∞
eix
x
dx+
∫
∞
ε
eix
x
dx
)
=
1
i
lim
ε→0
∫
γ(ε)
eiz
z
dz
= pi reseiz/z(0)
= pi.
2.6. EXERCI´CIOS COM ALGUMAS RESOLUC¸O˜ES/SUGESTO˜ES 37
2.6 Exerc´ıcios com Algumas Resoluc¸o˜es/Sugesto˜es
2.6.1 Operac¸o˜es Elementares dos Nu´meros Complexos
1. Escrever cada um dos seguintes nu´meros complexos na forma cartesiana x+ iy:
(a)
1
i
(e) i4n+3, n ∈ Z
(b)
4+ i
6− 3i
(f)
(
1
2
−
√
3
2
i
)6
(c)
(
i− 1
2i+ 6
)3
(g)
(√
2
2
+
√
2
2
i
)8
(d) (2i− 4)2
Sugesta˜o para (f) e (g):
A n-e´sima poteˆncia de reiθ e´ dada por rneinθ.
2. Encontrar a parte real e a parte imagina´ria de:
(a) (i+ 1)2(i− 1) (d)
z
z2 + 1
;
(b)
i+ 1
i− 1
(e)
z2
z− 1
;
(c)
i2
i3 − 4i+ 6
(f) z4 + 2z+ 6.
Resoluc¸a˜o:
(a) z = (i+ 1)2(i− 1) = (i+ 1)(i2 − 1) = −2(1+ i)⇒ Re(z) = Im(z) = −2;
(b) z = i+1
i−1
= −
(i+1)2
2
= − i
2+2i+1
2
= −i⇒ Re(z) = 0, Im(z) = −1;
(c) i
2
i3−4i+6
= − 1
−5i+6
= − 6+5i
61
⇒ Re(z) = − 6
61
, Im(z) = − 5
61
;
(d) w = z
z2+1
= z
z2+1
· z2+1
z2+1
=
z(z2+1)
|z2+1|2
=
(|z|2z+z)
|z2+1|2
⇒
Re(w) =
(|z|2Re(z)+Re(z))
|z2+1|2
Re(z) = Re(z)︸ ︷︷ ︸
=
|z|2+1
|z2+1|2
Re(z),
Im(w) =
(|z|2Im(z)+Im(z))
|z2+1|2
Im(z) = −Im(z)︸ ︷︷ ︸
= −
|z|2−1
|z2+1|2
Im(z);
(e) w = z
2
z−1
= z
2−2z+1
z−1
− 2z
z−1
+ 1
z−1
= z− 1− 2 · |z|2−z
|z−1|2
+ z−1
|z−1|2
⇒
Re(w) = Re(z) − 1− 2|z|
2
|z−1|2
+
2Re(z)
|z−1|2
+
Re(z)
|z−1|2
− 1
|z−1|2
= −1− 2|z|
2+1
|z−1|2
+
(
1+ 3
|z−1|2
)
Re(z),
Im(w) =
(
1+ 1
|z−1|2
)
Im(z).
3. Encontrar o mo´dulo de:
(a) (2− i)2 · (4+ 6i) (d) i+ 2
i− 2
(b)
3− i
(6+ 2i)3
(e) (i+ 1) · (i+ 2) · (i+ 3)
(c) (
√
3+ i) · (
√
3− i)
38 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
4. Se z,w ∈ C, mostre que:
(a)
(
z
w
)
= z
w
;
(b) Re(zw) = Re(zw);
(c) zw+ zw = zw+ zw = 2Re(zw);
(d) |1± z|2 = 1± 2Re(z) + |z|2;
(e) |z±w|2 = |z|2 ± 2Re(z ·w) + |w|2;
(f) |z+w| + |z−w| = 2|z|2 + 2|w|2;
(g) 1−
∣∣ z−w
1−zw
∣∣2 = (1−|z|2)(1−|w|2)
|1−zw|2
.
Resoluc¸a˜o:
Para (a), multiplique (z/w)−1 em ambos os membros da igualdade resultante de
z
w
·
( z
w
)
=
∣∣∣ z
w
∣∣∣2 = |z|2
|w|2
=
z · z
w ·w =
z
w
· z
w
;
(b,c) seguem de
Re(zw) =
zw+ zw
2
=
zw+ zw
2
= Re(zw);
(g) segue de
1−
∣∣∣∣ z−w1− zw
∣∣∣∣
2
= 1−
(
z−w
1− zw
)(
z−w
1− zw
)
= 1−
(
z−w
1− zw
)(
z−w
1− zw
)
= 1−
(
z−w
1− zw
)(
z−w
1− zw
)
,
agora continuando e aplicando os itens anteriores.
5. Encontrar todas as ra´ızes, e escreveˆ-las na forma polar, de:
(a) z2 + z+ 1 = 0;
(b) z2 + 2z+ i = 0;
(c) z2 − 1 = 0 (isto e´, achar as ra´ızes quadradas de 1);
(d) z4 + 1 = 0 (isto e´, achar as quatro ra´ızes quartas de −1).
Sugesta˜o: Veja u´ltima nota de rodape´!
6. Escrever os seguintes polinoˆmios complexos em notac¸a˜o real (isto e´, na forma u(x, y) +
iv(x, y)):
(a) F(z, z) = z3 − z2;
(b) F(z, z) = z4;
(c) F(z, z) = (z+ z)2.
7. Escrever os seguintes polinoˆmios como polinoˆmios em z e z.
(a) F(x, y) = (x− y2) + i(y2 + x);
(b) F(x, y) = (x2 − y2) + i(2xy);
(c) F(x, y) = (x3 − 3xy2) + i(−3x2 + y3).
2.6. EXERCI´CIOS COM ALGUMAS RESOLUC¸O˜ES/SUGESTO˜ES 39
2.6.2 Derivadas
8. Seja f(x, y) com
df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy (2.1)
bem definida em algum ponto (x, y) ∈ R2. Em particular, as func¸o˜es z = x + iy e
z = x− iy acarretam
dz = dx+ idy, dz = dx− idy. (2.2)
Da´ı
dx =
1
2
(dz+ dz) , dy =
1
2i
(dz− dz) . (2.3)
Substituindo-se (2.3) em (2.1) temos
df =
1
2
(
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
)
dz+
1
2
(
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
)
dz. (2.4)
Denotando-se
∂
∂z
=
1
2
(
∂
∂x
− i
∂
∂y
)
,
∂
∂z
=
1
2
(
∂
∂x
+ i
∂
∂y
)
, (2.5)
representa-se (2.4) como
df =
∂f
∂z
dz+
∂f
∂z
dz. (2.6)
Via tais notac¸o˜es, calcule as seguintes derivadas:
(a) ∂
∂z
(4z2 − z3);
(b) ∂
∂z
(z2 + z2z3);
(c) ∂
∂z
(x2 − y);
(d) ∂
∂z
(x+ y).
9. Sendo f(z) = iQ(x, y),22 obter ∂
∂z
f(z), ∂
∂z
f(z) e ∂
∂z
f(z). Conclua que ∂
∂z
f(z) = ∂
∂z
f(z).
10. Mostre que
∂
∂z
∂
∂z
=
∂
∂z
∂
∂z
=
1
4
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)
=
1
4
∆,
sendo ∆ =
(
∂2
∂x2
+ ∂
2
∂y2
)
o operador Laplaciano.
11. Seja z = x+ iy. Demonstra-se que para f(z) ser holomorfa em z0 = x0+ iy0, e´ necessa´rio
e suficiente que f(x, y) seja diferencia´vel em (x0, y0) e que
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
= 0 (2.7)
em (x0, y0).
23 Note que, via (2.5), a condic¸a˜o (2.7) pode ser escrita como
∂f
∂z
= 0.
22Note que f(z) = −iQ(x, y).
23Note que se f = P + iQ, (2.7) e´ equivalente as condic¸o˜es (C-R). (Veja Obs. 1 e 2.)
40 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
Da´ı, uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para f(z) ser holomorfa e´ o coeficiente de dz ser
zero em (2.6), isto e´, df ser proporcional a dz, sendo f ′(z) o coeficiente de proporcionali-
dade.
Como exerc´ıcio, determine as condic¸o˜es sobre as constantes reais a, b, c, d que fazem com
que a func¸a˜o
f(z) = ax+ by+ i(cx+ dy)
seja holomorfa.
12. Seja f(z) = P(x, y) + iQ(x, y) uma func¸a˜o holomorfa. Se P(x, y) e´ constante mostre que
f(z) e´ constante. Sugesta˜o: Use as condic¸o˜es (C-R).
13. Encontre a func¸a˜o f tal que Re[f(z)] = x2 + 2x − y2 + 1, ou explique porque na˜o existe
tal func¸a˜o.
Resoluc¸a˜o:
P(x, y) = x2 + 2x − y2 + 1 e´ harmoˆnica.24 Enta˜o existe Q(x, y) tal que f = P + iQ e´
anal´ıtica em todo C. Das condic¸o˜es (C-R), sabe-se que
∂Q
∂x
= −
∂P
∂y
= 2y.
Logo
Q(x, y) = 2xy+ h(y).
Da´ı
∂Q
∂y
= 2x+ h ′(y) =
∂P
∂x
= 2x+ 2.
Enta˜o, como h ′(y) = 2, temos que h(y) = 2y. Da´ı
Q(x, y) = 2xy+ 2y.
Assim conclu´ımos que
f(z) = P + iQ = x2 + 2x− y2 + 1+ i(2xy+ 2y).
14. Encontre a func¸a˜o f tal que Re[f(z)] = x3−3xy2, ou explique porque na˜o existe tal func¸a˜o.
2.6.3 Integrais
15. Seja γ a circunfereˆncia unita´ria parametrizada por z(t) = cos t+ i sen t = eit, t ∈ [0, 2pi].
(a) Usando o FIC, calcule a integral ∮
γ
ez
z
dz;
(b) Usando a OBS. 7 e o item anterior, deduza que∫ 2pi
0
ecos t (cos(sen t) + i sen(sen t))dt = 2pi.
24O que e´ uma func¸a˜o harmoˆnica? Pesquise!
2.6. EXERCI´CIOS COM ALGUMAS RESOLUC¸O˜ES/SUGESTO˜ES 41
(c) Porque podemos concluir que∫ 2pi
0
ecos t cos(sen t)dt = 2pi e
∫ 2pi
0
ecos t sen(sen t)dt = 0?
16. Calcule as seguintes integrais complexas:
(a)
∮
γ
1
z
dz, onde γ e´ a circunfereˆncia unita´ria centrada em (0, 0) com orientac¸a˜o anti-
hora´ria;
(b)
∮
γ
z+ z2z dz, onde γ e´ o quadrado unita´rio centrado em (0, 0) com orientac¸a˜o anti-
hora´ria;
(c)
∮
γ
z
8+z
dz, onde γ e´ o retaˆngulo com ve´rtices ±3± i com orientac¸a˜o anti-hora´ria;
(d)
∮
γ
ξ2
ξ−1
dξ, onde γ e´ a circunfereˆncia centrada em (0, 0) e raio 3com orientac¸a˜o anti-
hora´ria;
(e)
∮
γ
ξ(ξ−3)
(ξ+i)(ξ−8)
dξ, onde γ e´ a circunfereˆncia centrada em 2+ i e raio 3, com orientac¸a˜o
anti-hora´ria;
(f)
∮
γ
ξ(ξ + 4)dξ, onde γ e´ a circunfereˆncia centrada em 0 e raio 2, com orientac¸a˜o
anti-hora´ria;
(g)
∮
γ
ξdξ, onde γ e´ a circunfereˆncia unita´ria centrada em 0, com orientac¸a˜o anti-
hora´ria.
17. Calcule
1
2pii
∮
γ
1
(ζ− 1)(ζ− 2i)
dζ,
onde γ = ∂D(0, 4).
18. Calcule
1
2pii
∮
γ
ζ2 + ζ
(ζ− 2i)(ζ+ 3)
dζ,
onde γ = ∂D(1, 5).
19. Seja γ a curva da Figura 2.16, com orientac¸a˜o anti-hora´ria. Calcule a integral∮
γ
1
z2 + 2z
dz.
(Note que z2 + 2z = z(z+ 2).)
20. Seja D ⊂ C um aberto, f : D → C uma func¸a˜o holomorfa e γ uma curva fechada
(percorrida no sentido anti-hora´rio) contida em D. Seja z0 um ponto no interior R da
regia˜o de C limitada por γ, esta orientada positivamente em relac¸a˜o a R. Demonstre que∮
γ
f(z)
(z− z0)n+1
dz =
1
n!
∮
γ
f(n)(z)
z− z0
dz, n ∈ N.
Sugesta˜o: Use o FICD no primeiro membro da igualdade e, para g(z) = f(n)(z), o FIC
no segundo membro.
42 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
(−1, 1) (1, 1)
(2, 0)
(−1,−1) (1,−1)
Figura 2.16: Curva Fechada
21. Seja γ = ∂D(0, 1).
(a) Usando o FICD, calcule ∮
γ
(
z+
1
z
)2n
dz
z
, n ∈ N;
(b) Usando a OBS. 7 e o item anterior, deduza o valor de∫ 2pi
0
cos2n t dt e
∫ 2pi
0
sen2n t dt;
(c) Obtenha os valores de ∫ 2pi
0
cos2n+1 t dt e
∫ 2pi
0
sen2n+1 t dt.
Resoluc¸a˜o:
Por um lado,
∮
γ
(
z+
1
z
)2n
dz
z
=
∮
γ
(z2 + 1)2n
z2n+1
dz
f(z) = (z2 + 1)2n︸ ︷︷ ︸
=
2pii
(2n)!
f(2n)(0).
Por outro, ∮
γ
(
z+
1
z
)2n
dz
z
=
∫ 2pi
0
(eit + e−it)2ne−itieit dt = 22ni
∫ 2pi
0
cos2n t dt.
2.6. EXERCI´CIOS COM ALGUMAS RESOLUC¸O˜ES/SUGESTO˜ES 43
Da´ı, ∫ 2pi
0
cos2n t dt =
pi
(2n)!22n−1
f(2n)(0).
Analogamente, por um lado,
∮
γ
(
z−
1
z
)2n
dz
z
=
∮
γ
(z2 − 1)2n
z2n+1
dz
g(z) = (z2 − 1)2n︸ ︷︷ ︸
=
2pii
(2n)!
g(2n)(0).
Por outro,∮
γ
(
z−
1
z
)2n
dz
z
=
∫ 2pi
0
(eit − e−it)2ne−itieit dt = 22ni2ni
∫ 2pi
0
sen2nt dt.
Da´ı, ∫ 2pi
0
sen2nt dt =
(−1)npi
(2n)!22n−1
g(2n)(0).
O item (c) segue de modo ana´logo, trocando-se 2n por 2n+ 1!
2.6.4 Se´ries de Laurent e Res´ıduos
22. Determinar o raio de convergeˆncia da cada uma das se´ries:
(a)
∑
∞
k=3 kz
k;
(b)
∑
∞
k=2
k
ln k
(z+ 1)k;
(c)
∑
∞
k=0 p(k)z
k, onde p(k) e´ um polinoˆmio;
(d)
∑
∞
k=0 ke
−kzk.
23. Desenvolva em se´ries de poteˆncias, com o ponto dado como centro, e determine o raio de
convergeˆncia:
(a) e−z, 0;
(b) cos z, −pi/2;
(c) cos2 z, 0.
24. Seja f(z) = ez/sen z, com z ∈ D = {x+ iy : |x| < 1, |y| < 1}. Calcule a parte principal de
f(z). Resposta: 1/z.
25. Calcule os primeiros quatro termos da expansa˜o de Laurent das func¸o˜es dadas em torno
dos pontos dados. Em cada caso especifique o anel de convergeˆncia da expansa˜o.
(a) f(z) = csc z em torno de z0 = 0.
(b) f(z) = z/(z+ 1)3 em torno de z0 = −1.
(c) f(z) = z/[(z− 1)(z− 3)(z− 5)] em torno de z0 = 1.
(d) f(z) = z/[(z− 1)(z− 3)(z− 5)] em torno de z0 = 5.
(e) f(z) = csc z em torno de z0 = pi.
(f) f(z) = sec z em torno de z0 = pi/2.
44 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
(g) f(z) = ez/z3 em torno de z0 = 0.
26. Mostre que a expansa˜o de Laurent de
f(z) =
1
ez − 1
em torno de z0 = 0 tem a forma
1
z
−
1
2
+
∞∑
k=1
(−1)k−1
Bk
(2k)!
zk,
onde Bk sa˜o nu´meros reais. Os Bk sa˜o chamados de nu´meros de Bernoulli. Calcule os
primeiros treˆs nu´meros de Bernoulli.
27. Calcule cada um dos seguintes res´ıduos:
(a) resf(2i), f(z) =
z2
(z−2i)(z+3)
.
(b) resf(−3), f(z) =
z2+1
(z+3)2z
.
(c) resf(i+ 1), f(z) =
ez
(z−i−1)3
.
(d) resf(2), f(z) =
z
(z+1)(z−2)
.
(e) resf(−i), f(z) =
cot z
z2(z+i)2
.
(f) resf(0), f(z) =
cot z
z(z+1)
.
Sugesta˜o: cot z = z−1g(z) com g(z) = 1− 1
3
z2 − 1
45
z4 + · · · . Da´ı f(z) =
g(z)
z+1
z2
.
(g) resf(0), f(z) =
sen z
z3(z−2)(z+1)
. Resposta: 1/4.
(h) resf(pi), f(z) =
cot z
z2(z+1)
.
28. Usando o ca´lculo dos res´ıduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a) 1
2pii
∮
∂D(0,5)
f(z)dz, onde f(z) = z
(z+1)(z+2i)
.
(b) 1
2pii
∮
∂D(0,2)
f(z)dz, onde f(z) = e
z
(z+1) sen z
. Resposta: 1− 1/(e sen 1).
(c) 1
2pii
∮
∂D(0,8)
f(z)dz, onde f(z) = cot z
(z−6i)2+64
.
(d) 1
2pii
∮
γ
f(z)dz, onde f(z) = e
z
z(z+1)(z+2)
e γ o triangulo com ve´rtices 1±i e −3, orientado
no sentido anti-hora´rio.
(e) 1
2pii
∮
γ
f(z)dz, onde f(z) = e
z
(z+3i)2(z+3)2(z+4)
e γ o retaˆngulo com ve´rtices 2± i, −8± i,
orientado no sentido anti-hora´rio.
(f) 1
2pii
∮
γ
f(z)dz, onde f(z) = e
iz
(sen z)(cos z)
e γ o quadrila´tero com ve´rtices ±5i, ±10,
orientado no sentido anti-hora´rio.
29. Usando o ca´lculo de res´ıduos calcular as seguintes integrais:
(a)
∫
∞
0
1
x4+1
dx. Resposta: pi
2
√
2
(b)
∫
∞
−∞
x
(x2+4x+13)2
dx. Resposta: −pi/27.
(c)
∫
∞
0
x2
(x2+a2)2
dx, a > 0. Resposta: pi/(4a).
2.6. EXERCI´CIOS COM ALGUMAS RESOLUC¸O˜ES/SUGESTO˜ES 45
(d)
∫
∞
0
1
(x2+1)n
dx, n ∈ N. Resposta: 1.3.5...(2n−3)
2.4.6...(2n−2)
pi
2
.
(e)
∫
∞
−∞
1
(x2+a2)(x2+b2)
dx, a > 0, b > 0. Resposta: pi
ab(a+b)
.
(f)
∫
∞
0
x2+1
x4+1
dx. Resposta: pi
√
2/2.
(g) (a)
∫
∞
−∞
cos x
x4+1
dx. (b)
∫
∞
−∞
sen2 x
x2
dx. (c)
∫
∞
−∞
x4
1+x10
dx.
(h)
∫
∞
0
x sen x
x2+1
dx. (Note que x sen x e´ uma func¸a˜o par).
(i)
∫
∞
0
cosax
x2+b2
dx (a e b nu´meros positivos). Resposta: pie
−ab
2b
(j)
∫
∞
0
x senax
x2+b2
dx (a e b nu´meros positivos). Resposta: pi
2
e−ab
(k)
∫
∞
−∞
x cos x
x2−2x+10
dx. Resposta: pi
3e3
(cos 1− 3 sen 1).
(l)
∫
∞
−∞
x sen x
x2−2x+10
dx. Resposta: pi
3e3
(3 cos 1+ sen 1)
30. Calcule as integrais trigonome´tricas:
(a)
∫2pi
0
dθ
(a+b cos θ)
(a > b > 0). Resposta: 2pi√
a2−b2
.
(b)
∫2pi
0
dθ
(a+b cos θ)2
(a > b > 0). Resposta: 2pia
(a2−b2)3/2
.
(c)
∫2pi
0
dθ
(a+b cos2 θ)2
(a > b > 0). Resposta: (2a+b)pia
[a(a+b)]3/2
.
(d)
∫2pi
0
dθ
1−2a cos θ+a2
, a ∈ C, a 6= ±1.
Resposta: 2pi
1−a2
se |a| < 1. 2pi
a2−1
se |a| > 1
(e)
∫2pi
0
cos2 3θdθ
1−2a cos θ+a2
, a e´ um nu´mero complexo, a 6= ±1.
Resposta: pi(a
6+1)
a6(a2−1)
se |a| > 1. pi(a
6+1)
1−a2
se |a| < 1
31. Calcular as seguintes integrais
(a)
∫
∞
−∞
eitx
x
dx, t > 0. Resposta: pii.
(b)
∫
∞
−∞
x cos x
x2−5x+6
dx. Resposta: pi(2 sen 2− 3 sen 3).
(c)
∫
∞
−∞
sen x
(x2+4)(x−1)
dx. Resposta: pi
5
(cos 1− 1
e2
).
46 CAPI´TULO 2. PARTE I - VARIA´VEIS COMPLEXAS
Cap´ıtulo 3
Parte II - Se´ries e Transformadas
3.1 Se´rie(s) de Fourier (SF)
Observac¸a˜o 30 Uma func¸a˜o f 2L-perio´dica e´ definida, para cada x de um conjunto de
nu´meros reais que contenha x+ 2L, por
f(x+ 2L) = f(x).
Ex: Se n ∈ Z, enta˜o cos pinx
L
, sen pinx
L
e eipinx/L sa˜o 2L-perio´dicas.
Observac¸a˜o 31 Aqui, se nada for dito em contra´rio, as func¸o˜es sa˜o 2L-perio´dicas.
Observac¸a˜o 32 O Produto Interno das func¸o˜es f1 e f2 e´ dado por
〈f1, f2〉 = 1
2L
∫L
−L
f1(x)f2(x)dx.
Ex: Para L = pi, f1(x) = sen x e f2(x) = cos x, temos 〈f1, f2〉 = 12pi
∫pi
−pi
sen x cos xdx = 0.
Observac¸a˜o 33 Demonstra-se que:
1. 〈f1, f2〉 = 〈f2, f1〉;
2. 〈cte1f1 + cte2f2, f〉 = cte1〈f1, f〉+ cte2〈f2, f〉;1
3. 〈f, cte1f1 + cte2f2〉 = cte1〈f, f1〉+ cte2〈f, f2〉.
Observac¸a˜o 34 f1 e f2 serem Ortogonais (entre si) significa〈f1, f2〉 = 0.
Ex: 〈eipimx/L, eipinx/L〉 = 1
2L
∫L
−L
eipi(m−n)x/Ldx =
{
1
2L
Leipi(m−n)x/L
ipi(m−n)
∣∣L
−L
= 0 se m 6= n,
1
2L
∫L
−L
1dx = 1 se m = n.
Ex: Como senA cosB = 1
2
[sen (A+ B) + sen (A− B)], temos
〈sen pimx
L
, cos
pinx
L
〉 = 1
2L
∫L
−L
sen
pimx
L
cos
pinx
L
dx
=
1
4L
[∫L
−L
sen
pi(m+ n)x
L
dx+
∫L
−L
sen
pi(m− n)x
L
dx
]
1Aqui, cte significa constante!
47
48 CAPI´TULO 3. PARTE II - SE´RIES E TRANSFORMADAS
=


1
4L
[
L
pi(m+n)
∫pi(m+n)
−pi(m+n)
senudu+ L
pi(m−n)
∫pi(m−n)
−pi(m−n)
sen vdv
]
= 1
4L
(0+ 0) = 0 se m 6= n,
1
4L
[∫L
−L
sen 2pimx
L
dx+
∫L
−L
sen 0dx
]
= 1
4L
(0+ 0) = 0 se m = n,
pois a func¸a˜o seno e´ ı´mpar.
Comenta´rio sobre Integrabilidade de Func¸o˜es I´mpares
Sendo f(x) uma func¸a˜o integra´vel ı´mpar (isto e´, f(x) = −f(−x)) em [−a, a], temos que∫a
−a
f(x)dx =
∫ 0
−a
f(x)dx+
∫a
0
f(x)dx
= −
∫−a
0
[−f(−x)]dx+
∫a
0
f(x)dx
= −
∫a
0
f(t)dt+
∫a
0
f(x)dx
= 0.
Observac¸a˜o 35 A SF 2L-perio´dica e´ dada por
∞∑
m=−∞
cme
ipimx/L
com cm ∈ C,m = 0,±1,±2, . . .. Se tal se´rie converge para f(x), isto e´, f(x) =
∑
∞
m=−∞ cme
ipimx/L,
enta˜o
< f(x), eipinx/L >=
1
2L
∫L
−L
(
∞∑
m=−∞
cme
ipimx/L
)
e−ipinx/L dx =
∞∑
m=−∞
cm < e
ipimx/L, eipinx/L > .
Assim, para cada n ∈ Z, temos
cn =
1
2L
∫L
−L
f(x)e−ipinx/Ldx.
Ex: Seja ψ (2L-perio´dica) tal que, para cada x ∈ (−L, L), ψ(x) = x. (Veja Figura 3.1.) Da´ı
c0 =
1
2L
∫L
−L
xdx = 0 e, para n 6= 0,
3LL−L−3L
Figura 3.1: Func¸a˜o ψ
3.1. SE´RIE(S) DE FOURIER (SF) 49
cn =
1
2L
∫L
−L
xe−ipinx/Ldx
=
1
2L
(
x
−L
ipin
e−ipinx/L
∣∣∣∣
L
−L
−
∫L
−L
−L
ipin
e−ipinx/Ldx
)
=
−L
i2pin
(−1)n −
L
i2pin
(−1)n −
1
2L
(
L
ipin
)2 ∫−ipin
ipin
eudu
=
iL(−1)n
pin
− 0
=
iL(−1)n
pin
.
Comenta´rio sobre SF e SL
Sendo F(z) holomorfa em D(0, ρ) e 0 ≤ r < ρ fixado, via a Observac¸a˜o 22 sobre a SL, temos
F(z) =
∞∑
n=−∞
anz
n
z = reiθ︸ ︷︷ ︸
=
∞∑
n=−∞
anr
neinθ,
onde cada
an =
1
2pii
∮
∂D(0,r)
F(w)
wn+1
dw
= r−n
(
1
2pi
∫ 2pi
0
F(reiθ)e−inθdθ
)
.
Assim, sendo θ uma varia´vel real, x = θ− pi, f(x) = F(rei(x+pi)) e cn = (−1)
nanr
n, temos a SF
2pi-perio´dica.
Observac¸a˜o 36 - Teorema (de Convergeˆncia) de Fourier
“Em cada ponto x, a SF de uma func¸a˜o f (2L-perio´dica) diferencia´vel por partes2 converge para
a me´dia (f(x+) + f(x−))/2 dos limites laterais de f. (Da´ı, converge para f(x) se f e´ cont´ınua
em x).”3
Ex: Para a func¸a˜o ψ do exemplo anterior, a SF e´ dada por
ψ(x) =
iL
pi
∑
n 6=0
(−1)n
n
eipinx/L.
Por um lado, a se´rie tem soma zero em x ∈ {0, L} pois, neste caso, seu termo de ı´ndice n e´
cancelado com o de ı´ndice −n. (De fato, a se´rie em x = 0 e´ dada por
∑
n 6=0(−1)
n/n; em x = L
(devido a eipin = cos(pin) = (−1)n) por
∑
n 6=0 1/n.) Por outro lado, ψ e´ cont´ınua em x = 0
(com ψ(0) = 0) e descont´ınua em x = L (com limites ψ(L+) = −L e ψ(L−) = L). Assim, tais
valores concordam com o estabelecido no Teorema de Fourier.
Note agora que, em x = L/2, os termos
(−1)n
n
eipin/2 =
(−1)n
n
(cos(pi/2) + i sen(pi/2))n =
(−i)n
n
2Isto e´, diferencia´vel em [−L, L], exceto talvez num nu´mero finito de pontos.
3Ao inve´s de =, alguns matema´ticos usam ∼ entre f(x) e a sua SF. O motivo e´ que o valor da SF de f(x)
num extremo (direito ou esquerdo) e´ dado pela me´dia aritme´tica dos valores de f(x) nos extremos (direito e
esquerdo)!
50 CAPI´TULO 3. PARTE II - SE´RIES E TRANSFORMADAS
da SF de ı´ndices pares, n = ±2k, cancelam-se entre si, enquanto que os de ı´ndices ı´mpares,
n = ±(2k+ 1), produzem a soma
2L
pi
∞∑
k=0
(−1)k
(2k+ 1)
.
Logo, de acordo com o estabelecido no Teorema de Fourier, tal se´rie deve convergir para
ψ(L/2) = L/2. Da´ı obtemos a se´rie
1−
1
3
+
1
5
− · · ·+ (−1)
k
(2k+ 1)
+ · · · = pi
4
.
Observac¸a˜o 37 - SF Reais
Se f e´ real, isto e´, f(x) = f(x), enta˜o c−n = cn. Sendo cn = (an − ibn)/2 para n inteiro,
c0 = c0 ⇒ c0 ∈ R⇒ b0 = 0,
e, usando-se e−ipinx/L = cos pinx
L
− i sen pinx
L
, temos que
an =
1
L
∫L
−L
f(x) cos
pinx
L
dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
bn =
1
L
∫L
−L
f(x) sen
pinx
L
dx, n = 1, 2, . . . .
Por outro lado, a soma dos termos de ı´ndices n e −n da SF acarreta
an
eipinx/L + e−ipinx/L
2
+ bn
eipinx/L − e−ipinx/L
2i
= an cos
pinx
L
+ bn sen
pinx
L
.
Da´ı, uma func¸a˜o f (2L-perio´dica diferencia´vel por partes) e´ representada por sua SF Real
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
pinx
L
+
∞∑
n=1
bn sen
pinx
L
.
Comenta´rio sobre Func¸o˜es Pares e I´mpares
Uma func¸a˜o y = f(x) e´ par quando f(−x) = f(x) para cada x ∈ Dom(f); ı´mpar quando
f(−x) = −f(x) para cada x ∈ Dom(f).4
Ex: As func¸o˜es cos pinx
L
sa˜o pares, enquanto que sen pinx
L
sa˜o ı´mpares.
Observac¸a˜o 38 - SF dos Cossenos e SF dos Senos
• Se f e´ par enta˜o bn = 0. De fato,
bn =
1
L
[∫ 0
−L
f(x) sen
pinx
L
dx+
∫L
0
f(x) sen
pinx
L
dx
]
,
sendo a primeira integral dada por
−
∫−L
0
f(−x)
(
− sen
pin(−x)
L
)
dx = −
∫L
0
f(u) sen
pinu
L
du.
4Gra´ficos de func¸o˜es pares sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao eixo y e de ı´mpares em relac¸a˜o a origem.
3.1. SE´RIE(S) DE FOURIER (SF) 51
Da´ı apenas termos pares da SF real sobrevivem. Assim, temos a SF dos Cossenos (que
representa func¸o˜es pares diferencia´veis por partes) dada por
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
pinx
L
, an =
2
L
∫L
0
f(x) cos
pinx
L
dx.
• Analogamente, func¸o˜es ı´mpares diferencia´veis por partes podem ser representadas pela SF
dos Senos dada por
f(x) =
∞∑
n=1
bn sen
pinx
L
, bn =
2
L
∫L
0
f(x) sen
pinx
L
dx.
Ex: A func¸a˜o ψ do exemplo anterior e´ real e ı´mpar. Combinando os termos sime´tricos de sua
SF complexa temos, para n > 0,
iL(−1)n
pin
(
eipinx/L − e−ipinx/L
)
=
iL(−1)n
pin
(
2i sen
pinx
L
)
= (−1)n−1
2L
pin
sen
pinx
L
.
(Note que escrevemos (−1)ni2 como (−1)n−1 (e na˜o como (−1)n+1). O motivo e´ a forma como
escrevemos a SF dada a seguir, iniciando n por 1.)
Da´ı temos a SF dos senos para a ψ dada por
ψ(x) =
2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
sen
pinx
L
.
Ex: Seja φ a func¸a˜o (2L-perio´dica) definida por φ(x) = |x| para todo x ∈ [−L, L]. (Veja
Figura 3.2.) φ e´ real, par, diferencia´vel por partes, na˜o tem descontinuidades e, da´ı, igual a
3L−3L −L L
Figura 3.2: func¸a˜o φ
soma de sua SF dos cossenos. Da´ı obtemos
a0 =
2
L
∫L
0
xdx = L
e, para n > 0,
an =
2
L
∫L
0
x cos
pinx
L
dx
=
2x
pin
sen
pinx
L
∣∣∣∣
L
0
−
2
pin
∫L
0
sen
pinx
L
dx
= 0− 0+
2L
pi2n2
cos
pinx
L
∣∣∣∣
L
0
=
2L
pi2n2
[(−1)n − 1].
52 CAPI´TULO 3. PARTE II - SE´RIES E TRANSFORMADAS
∴ φ(x) =
L
2
−
4L
pi2
∞∑
k=1
1
(2k− 1)2
cos
pi(2k− 1)x
L
.
Em particular, para x = 0 obtemos (via o Teorema de Fourier) a se´rie
1+
1
9
+
1
25
+ · · ·+ 1
(2k− 1)2
+ · · · = pi
2
8
.
Observac¸a˜o 39 - Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o do Calor 1D via Separac¸a˜o de Varia´veis
Considere uma barra/haste como na Figura 3.3. Queremos resolver o seguinte problema:

ut = κ
2uxx (EDP);
u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0 (CONDIC¸O˜ES DE FRONTEIRA/CONTORNO);
u(x, 0) = f(x) (CONDIC¸A˜O INICIAL).
A soluc¸a˜o u(x, t) e´ a temperatura em func¸a˜o da posic¸a˜o x e do tempo t. κ2, constante de
0 x L
Barra/HasteFigura 3.3: Barra
difusa˜o te´rmica, tem unidade de (comprimento)2/tempo e depende da condutividade te´rmica do
material, da densidade da barra, e do calor espec´ıfico da barra. (A tabela abaixo apresenta os
valores de κ2 para alguns materiais.)
Material κ2
Prata 1,71
Cobre 1,14
Alumı´nio 0,80
Ferro 0,12
Granito 0,011
Tijolo 0,0038
Soluc¸a˜o:
• Separac¸a˜o de Varia´veis:
Seja u(x, t) = X(x)T(t). Da´ı, de ut = κ
2uxx, temos que
1
X
d2X
dx2
=
1
κ2T
dT
dt
= cte
(pois uma func¸a˜o apenas de x iguala uma func¸a˜o apenas de t (para quaisquer x e t)
apenas quando ambas representam a mesma func¸a˜o constante). Da´ı{
dT
dt
= cteκ2T ⇒ T(t) = T0ecteκ2t,
d2X
dx2
= cteX.
3.1. SE´RIE(S) DE FOURIER (SF) 53
Em na˜o existindo fonte externa de calor, T e´ decrescente e, da´ı, para cte = −p2 < 0,
temos que:
d2X
dx2
= −p2X⇒ X(x) = cte1 cospx+ cte2 senpx.
• Condic¸o˜es de Fronteira:
– u(0, t) = X(0)T(t) = 0⇒ X(0) = 0⇒ cte1 = 0⇒ X(x) = cte2 senpx.
– u(L, t) = X(L)T(t) = 0⇒ X(L) = 0⇒ senpL = 0⇒ pL = npi, n ∈ Z⇒
Xn(x) = cn sen
npix
L
, cn cte real, n = 1, 2, . . . .
5
∴ un(x, t) = bn sen
npix
L
e−n
2pi2κ2t/L2 , bn = T0cn, n = 1, 2, . . . .
Assim, como combinac¸o˜es lineares de soluc¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es, temos:
u(x, t) =
∞∑
n=1
bn sen
npix
L
e−n
2pi2κ2t/L2 .
• Condic¸a˜o Inicial:
u(x, 0) =
∞∑
n=1
bn sen
npix
L
= f(x)
e´ uma SF dos senos com
bn =
2
L
∫L
0
f(x) sen
npix
L
dx.
Note que cada termo da soluc¸a˜o tem uma exponencial negativa. Da´ı a temperatura deve
decrescer no tempo e, no final, tender a u = 0.
Ex: 

ut = uxx;
u(0, t) = u(1, t) = 0;
u(x, 0) = f(x) =
{
x se 0 < x ≤ 1/2,
1− x se 1/2 < x < 1.
(Veja Figura 3.4 para uma vizualizac¸a˜o da f(x).)
−3 −1 1 3
Figura 3.4: f(x) e´ representada pela linha cont´ınua
Aqui, como κ2 = L = 1 e bn = 2
(∫1/2
0
x sen(npix)dx+
∫1
1/2
(1− x) sen(npix)dx
)
, temos
u(x, t) =
∑
n≥1,´ımpar
(−4)(−1)n
n2pi2
sen(npix)e−n
2pi2κ2t.
5X0 = 0 na˜o e´ poss´ıvel e na˜o consideramos ı´ndices negativos pois X−n = −Xn.
54 CAPI´TULO 3. PARTE II - SE´RIES E TRANSFORMADAS
3.2 Transformada de Laplace (TL)
Apenas por uma questa˜o comparativa, faremos um breve estudo sobre TL. Assim, iniciamos
com a Figura 3.5 que ilustra a passagem, via uma TL, de um Problema de Valor Inicial (PVI)
de uma Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria (EDO) para um problema a´lgebrico. Da´ı, resolve-se tal
problema alge´brico e obtem-se a soluc¸a˜o, via uma TL inversa, do PVI.
TL inversa
PVI de EDO
Soluc¸a˜o do Problema de A´lgebraSoluc¸a˜o do PVI
L−1
Problema de A´lgebra
L
TL
Fa´cilDı´ficil
Figura 3.5: Problema a ser Resolvido
Observac¸a˜o 40 Para uma func¸a˜o f(t), definida para t ∈ [0,∞), sua TL e´ denotada por F(s)
e obtida via seu operador L com
L {f(t)} = F(s) =
∫
∞
0
e−stf(t)dt
(se tal integral converge para algum s).
Ex: Se s > cte,
L{ecte·t} = ∫∞
0
e−stecte·tdt = lim
L→∞
∫L
0
e−(s−cte)tdt = lim
L→∞
e−(s−cte)L − 1
−(s− cte)
=
1
s− cte
.
Da´ı L−1 { 1
s−cte
}
= ecte·t se s > cte.
Ex: Se s > 0, L {1} = L{e0·t} = 1
s−0
= 1
s
. Da´ı L−1 { 1
s
}
= 1 se s > 0.
Ex: Se s > 0,
L {t} = lim
L→∞
∫L
0
te−stdt
= lim
L→∞
(
t · e
−st
−s
∣∣∣∣
L
0
+
∫L
0
e−st
s
dt
)
= lim
L→∞
{
−
Le−sL
s
−
1
s
[
e−st
s
]L
0
}
=
1
s2
3.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE (TL) 55
(onde aplicamos L’hoˆpital em Le−sL = L
esL
). Da´ı L−1 { 1
s2
}
= t se s > 0.
Ex: L {tn} = ∫∞
0
tne−stdt =
[
−tn · e−st
s
]
∞
0
+
∫
∞
0
ntn−1 e
−st
s
dt = n
s
L{tn−1}.
Seja enta˜o s > 0. Vimos anteriormente que L{t1} = 1
s2
. Da´ı:
• L{t2} = 2
s
L{t1} = 2!
s3
;
• L{t3} = 3
s
L{t2} = 3!
s4
;
• · · · .
Da´ı, supondo-se L{tn−1} = (n−1)!
sn
, prova-se (por induc¸a˜o) que L {tn} = n!
sn+1
.
Observac¸a˜o 41 - ADMISSIBILIDADE
f(t) ser admiss´ıvel significa existir F(s).6 Aqui, L e´ aplicada apenas em func¸o˜es admiss´ıveis.
Observac¸a˜o 42 - LINEARIDADE
• L {cte1f(t) + cte2g(t)} = cte1L {f(t)} + cte2L {g(t)} = cte1F(s) + cte2G(s);
• L−1 {cte1F(s) + cte2G(s)} = cte1L−1 {F(s)} + cte2L−1 {G(s)} = cte1f(t) + cte2g(t).
Ex: Por um lado, temos que
L{eit} = L {cos t+ isen t} = L {cos t} + iL {sen t} .
Por outro lado, temos que
L{eit} = ∫∞
0
e−steitdt =
∫
∞
0
e(i−s)tdt =
e(i−s)t
i− s
∣∣∣∣
∞
0
= 7
1
s− i
= 8
s
s2 + 1
+ i
1
s2 + 1
.
Assim, para s > 0, temos que
L {cos t} = s
s2 + 1
e L {sen t} = 1
s2 + 1
.
Ex: a
s2−a2
= 1
2
(
1
s−a
− 1
s+a
)⇒ L−1 { a
s2−a2
}
= 1
2
(eat − e−at) = senh(at).
Ex: s+3
s(s−1)(s+2)
= − 3
2s
+ 4
3(s−1)
+ 1
6(s+2)
⇒ L−1 { s+3
s(s−1)(s+2)
}
= − 3
2
+ 4
3
et + 1
6
e−2t.
Ex: s−1
s2+2s−8
= s−1
(s+4)(s−2)
= 1
6(s−2)
+ 5
6(s+4)
⇒ L−1 { s−1
s2+2s−8
}
= 1
6
e2t + 5
6
e−4t.
Observac¸a˜o 43 - MUDANC¸A DE VARIA´VEL
L {f(cte · t)} = 1
cte
F
( s
cte
)
.
6Que condic¸o˜es sa˜o suficientes para a existeˆncia de func¸o˜es admiss´ıveis? Pesquise!
7Se t → ∞, enta˜o e(i−s)t = e−steit = e−st(cos t + isen t) → 0. De fato, cos t e sen t sa˜o limitadas e, sendo
s > 0, e−st → 0.
8(s− i) · [ s
s2+1
+ i 1
s2+1
]
= 1.
56 CAPI´TULO 3. PARTE II - SE´RIES E TRANSFORMADAS
De fato, sendo f(cte · t) uma func¸a˜o de t, por definic¸a˜o,
L {f(cte · t)} =
∫
∞
0
e−stf(cte · t)dt.
Agora, via τ = cte · t, tal integral e´ igual a
1
cte
∫
∞
0
e−
s
cte
τf(τ)dτ =
1
cte
F
( s
cte
)
.
Ex: L {cos(cte · t)} = s
s2+cte2
e L {sen(cte · t)} = cte
s2+cte2
.
Observac¸a˜o 44 - DESLOCAMENTO-I
L{ecte·tf(t)} = F(s− cte).
De fato, L {ecte·tf(t)} = ∫∞
0
e−(s−cte)tf(t)dt.
Ex: Vimos que f(t) = tn acarreta F(s) = n!
sn+1
para s > 0. Da´ı
L{tnecte·t} = n!
(s− cte)n+1
para s > cte.
Ex: s
2
(s+3)3
= 1
s+3
− 6
(s+3)2
+ 9
(s+3)3
⇒ L−1 { s2
(s+3)3
}
= e−3t − 6te−3t + 9
4
t2e−3t.
Ex: 3s+7
s2−2s+5
= 3s+7
(s−1)2+4
=
3(s−1)+10
(s−1)2+4
⇒
L−1
{
3s+ 7
s2 − 2s+ 5
}
= 3L−1
{
s− 1
(s− 1)2 + 4
}
+ 5L−1
{
2
(s− 1)2 + 4
}
= 3et cos(2t) + 5etsen(2t).
Observac¸a˜o 45 - FUNC¸A˜O DE HEAVISIDE DE PASSO UNITA´RIO
Defina H(t− t0) por:
t0 ≥ 0⇒ H(t− t0) = { 0 se t < t0,1 se t ≥ t0.
Ex: Se s > 0, enta˜o
L {H(t− t0)} =
∫
∞
0
e−stH(t− t0)dt
=
∫
∞
t0
e−stdt
=
e−st
−s
∣∣∣∣
∞
t0
=
e−t0s
s
.
Este exemplo e´ generalizado na observac¸a˜o seguinte.
3.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE (TL) 57
Observac¸a˜o 46 - DESLOCAMENTO-II
L {H(t− t0)f(t− t0)} = e−t0sF(s)
se s > 0. Assim, H(t− t0) “aciona” func¸o˜es f(t) em t = t0.
De fato,
L {H(t− t0)f(t− t0)} =
∫
∞
0
e−stH(t− t0)f(t− t0)dt
=
∫
∞
t0
e−stf(t− t0)dt
=
∫
∞
0
e−s(u+t0)f(u)du
= e−t0s
∫
∞
0
e−suf(u)du.
Ex: Qual a TL da func¸a˜o seno “acionada” em t = 3?
Tal func¸a˜o e´ dada por
S(t) =
{
0 se t < 3,
sen t se t ≥ 3,
isto e´, S(t) = H(t− 3)sen t. Da´ı, como
sen t = sen(t− 3+ 3) = sen(t− 3) cos 3+ sen 3 cos(t− 3),
temos que
L {S(t)} = cos 3L {H(t− 3) sen(t− 3)} + sen 3L {H(t− 3) cos(t− 3)}
= cos 3 e−3s
1
s2 + 1
+ sen 3 e−3s
s
s2 + 1
.
Ex: L−1
{
1
(s−3)3
}
= 1
2
t2e3t ⇒ L−1 { e−7s
(s−3)3
}
= L−1
{
e−7s 1
(s−3)3
}
= 1
2
H(t− 7)(t− 7)2e3(t−7).
Observac¸a˜o 47 - DERIVADAS DE f(t)
Para cada inteiro positivo n,
L{f(n)(t)} = snF(s) − sn−1f(0) − · · ·− sf(n−2)(0) − f(n−1)(0).
De fato:
• L {f ′(t)} = ∫∞
0
e−stf ′(t)dt = e−stf(t)|∞0 −
∫
∞
0
f(t)(−se−st)dt = sL {f(t)} − f(0) ⇒
L {f ′(t)} = sF(s) − f(0);
• L {f