Resolução da lista 3 - Mecânica dos Sólidos - UFBA - Professor Armando

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Adriano Alberto 
 
1 
ENG285 
 
 
Tipos de materiais: 
 
- Heterogêneos 
- Homogêneos 
 
. Isotrópico: deformação igual em todas as direções 
. Ortotrópico: deformação igual em duas e diferente em uma direção 
. Anisotrópico: deformação diferente em todas as direções 
 
Exemplo de livro recomendado pelo professor: Estruturas Reticuladas: Süssekinis 
 
 
RESOLUÇÃO LISTA 1 
 
 
Adriano Alberto 
 
 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL 
1 a 4) Traçar o diagrama de esforço normal. (Obs.: qx →?�variação linear com a distância) 
 
 
 
1) 
 
 
		↑ �	 
 
 
Para 0 ≤ x < 2: 
5 + N = 0 => N = - 5 kN 
 
Adriano Alberto 
 
2 
 
Para 2 ≤ x < 3: 
5 - 10 + N = 0 => N = 5 kN 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
Adriano Alberto 
 
3 
			↓ � 
 
 
Para 0 ≤ x < 0,2: 
 
 
10 + N = 0 => N = - 10 kN 
 
Para 0,2 ≤ x < 0,6: 
 
 
10 – 20 + N = 0 => N = 10 kN 
 
Para 0,6 ≤ x < 1: 
 
 
10 – 20 + 30 + N = 0 => N = - 20 kN 
 
Adriano Alberto 
 
4 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
Adriano Alberto 
 
5 
Para 0 ≤ x < 2: 
 
 
1,5 . x + 6 + N(x) = 0 => N(x) = - 1,5 . x – 6 
 
N(0) = - 6 kN 
 
N(2) = - 9 kN 
 
 
Para 2 ≤ x < 4: 
 
 
1,5 . 2 + 6 – 4 + 1,5 . (x – 2) + N(x) = 0 => N(x) = - 1,5 . x – 2 
 
N(2) = - 5 kN 
 
N(4) = - 8 kN 
 
 
Para 4 ≤ x < 6: 
 
 
1,5 . 4 + 6 – 4 + 6 + 1,5 . (x – 4) + N(x) = 0 => N(x) = - 1,5 . x – 8 
 
N(4) = - 14 kN 
 
N(6) = - 17 kN 
 
 
Adriano Alberto 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
q(x) = - �� . x + q 
 
N(x) = 	
 � 
�
�� . �� = �
 �
 
�����
�� = q(x) = - 
�
� . x + q 
 
Para q(x) = 0 => x = L 
 
N(L) = q . L - ��
�
�� = 
��
� 
 
 
 
 
 
PROBL. ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO 
FLETOR 
 
5 a 8) Para as vigas a seguir, pede
fletor em cada trecho; b) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor; c) indicar os 
valores máximos de V e M e onde eles ocorrem.
 
 
V(x) = - ��	. �� + C1 ; 
M(x) = �����. �� + C2 
 
 
5) 
 
		�� 	 . x	 � 	q!	.	 
�
� => N(x) = �2
 �	
�
� 	 . x	!	.	 
�
� = qx 
 
PROBL. ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO 
Para as vigas a seguir, pede-se: a) escrever as equações do esforço cortante e do momento 
trecho; b) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor; c) indicar os 
onde eles ocorrem. 
; V(x) = �#����� ; q = - 
�����
�� 
Adriano Alberto 
7 
qx - 
���
�� 
PROBL. ENVOLVENDO DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO 
se: a) escrever as equações do esforço cortante e do momento 
trecho; b) traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor; c) indicar os 
Adriano Alberto 
 
8 
 
 
a) 
RL - 30 . 4 – 4 – 20 . 4 – 60 + RR = 0 => RL + RR – 264 = 0 
∑%& = 0 => - 30 . 4 . 2 – 4 . 6 – 20 . 4 . 6 + 8 . RR - 60 . 10 = 0 => RR = '	())* => RR = 168 kN 
RL + 168 – 264 = 0 => RL = 96 kN 
 
Para 0 ≤ x < 4: 
RL – 30 . x – V(x) = 0 => 96 – 30 . x – V(x) = 0 => V(x) = - 30x + 96 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C1 => V(x) = - �30	. +
 + C1 => V(x) = - 30x + C1 
V(0) = 96 kN => - 30 . 0 + C1 = 96 => C1 = 96 
=> V(x) = - 30x + 96 (OK) 
Para V(x) = 0: 
- 30x + 96 = 0 => x = 3,2 m 
V(4) = - 30 . 4 + 96 = - 24 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C2 => M(x) = ���	30x	 � 	96�. +
 + C2 => M(x) = - 15 x² + 96x + C2 
M(0) = 0 => - 15 (0)² + 96 . 0 + C2 = 0 => C2 = 0 
=> M(x) = - 15 x² + 96x 
 
Ou 
 
Adriano Alberto 
 
9 
- 96x + 30x . 
�
� + M(x) = 0 => M(x) = - 15 x² + 96x (OK) 
Mf,máx = M(3,2) = - 15 . (3,2)² + 96 . 3,2 => Mf,máx = 153,6 kN.m 
 
Para M(x) = 0: 
- 15 x² + 96x = 0 => x(-15x + 96) = 0 => 1 
 = 0
 = 	96/15 = 6,4	89 
 
M(0) = 0 
M(4) = - 15 . (4)² + 96 . 4 => M(4) = 144 kN.m 
 
Para 4 ≤ x < 6: 
 
96 – 30 . 4 – 20(x – 4) – V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 - 20x + 80 => V(x) = - 20x + 56 
Ou 
V(x) = - �20	. +
 + C3 => V(x) = - 20x + C3 
V(4) = - 24 kN => - 20 . 4 + C3 = - 24 => C3 = - 24 + 80 => C3 = 56 
 
Logo, 
V(x) = - 20x + 56 (OK) 
V(4) = - 24 kN 
V(6) = - 20 . 6 + 56 = - 64 kN 
 
M(x) = ���	20x	 � 	56�. +
 + C4 => M(x) = - 10 x² + 56x + C4 
M(4) = 144 kN.m => - 10 . (4)² + 56 . 4 + C4 = 144 => C4 = 144 – 64 => C4 = 80 
=> M(x) = - 10 x² + 56x + 80 
 
Ou 
 
Adriano Alberto 
 
10 
- 96x + 30 . 4 . (x – 2) + 20(x – 4) . ��:)�� + M(x) = 0 
=> - 96x + 120x – 240 + 10(x² - 8x + 16) + M(x) = 0 
=> - 56x – 80 + 10x² + M(x) = 0 => M(x) = - 10 x² + 56x + 80 (OK) 
 
M(4) = 144 kN.m 
M(6) = - 10 (6)² + 56 . 6 + 80 => M(6) = 56 kN . m 
 
Para 6 ≤ x < 8: 
 
96 – 30 . 4 – 20 . 2 - 20(x – 6) – 4 - V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 - 40 - 20x + 120 – 4 
=> V(x) = - 20x + 52 
Ou 
V(x) = - �20	. +
 + C5 => V(x) = - 20x + C5 
V(6) = - 64 – 4 = - 68 kN => - 20 . 6 + C5 = - 68 => C5 = - 68 + 120 => C5 = 52 
 
Logo, 
V(x) = - 20x + 52 (OK) 
 
V(6) = - 68 kN 
V(8) = - 20 . 8 + 52 = - 108 kN 
 
M(x) = ���	20x	 � 	52�. +
 + C6 => M(x) = - 10 x² + 52x + C6 
M(6) = 56 kN.m => - 10 . (6)² + 52 . 6 + C6 = 56 => C6 = 56 + 48 => C6 = 104 
=> M(x) = - 10 x² + 52x + 104 
 
Ou 
 
Adriano Alberto 
 
11 
- 96x + 30 . 4 . (x – 2) + 20 . 2 . (x – 5) + 4(x – 6) + 20(x – 6) . ��:;�� + M(x) = 0 
=> - 96x + 120x – 240 + 40x – 200 + 4x – 24 + 10(x² - 12x + 36) + M(x) = 0 
=> - 52x – 104 + 10x² + M(x) = 0 => M(x) = - 10 x² + 52x + 104 (OK) 
 
M(6)
 
= 56 kN.m 
M(8) = - 10 (8)² + 52 . 8 + 104 => M(8) = - 120 kN . m 
 
Para 8 ≤ x < 10: 
 
96 – 30 . 4 – 20 . 4 – 4 + 168 - V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 - 84 + 168 
=> V(x) = 60 kN 
 
M(x) = ��60�. +
 + C7 => M(x) = 60x + C7 
M(8) = - 120 kN . m => 60 . 8 + C7 = - 120 => C7 = - 600 
=> M(x) = 60x - 600 
 
Ou 
 
- 96x + 30 . 4 . (x – 2) + 20 . 2 . (x – 5) + 4(x – 6) + 20 . 2 . (x – 7) – 168(x – 8) + M(x) = 0 
=> - 96x + 120x – 240 + 40x – 200 + 4x – 24 + 40x – 280 – 168x + 1 344 + M(x) = 0 
=> - 60x + 600 + M(x) = 0 => M(x) = 60x - 600 (OK) 
 
M(8) = - 120 kN . m 
M(10) = 60 . 10 - 600 => M(10) = 0 
 
 
 
 
 
Diagrama: 
 
Adriano Alberto 
12 
 
Adriano Alberto 
 
13 
Carregamento equivalente feito para teste (diagrama diferente): 
 
 
 
 
a) 
 
RL - 120 – 84 - 60 + RR = 0 => RL + RR – 264 = 0 
∑%& = 0 => - 120 . 2 – 84 . 6 + 8 . RR - 60 . 10 = 0 => RR = '	())* => RR = 168 kN 
RL + 168 – 264 = 0 => RL = 96 kN 
 
Para 0 ≤ x < 2: 
 
RL – V(x) = 0 => 96 –V(x) = 0 => V(x) = 96 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C1 => M(x) = ��96�. +
 + C1 => M(x) = 96x + C1 
M(0) = 0 => 96 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0 
=> M(x) = 96x 
 
Ou 
 
- 96x + M(x) = 0 => M(x) = 96x (OK) 
 
Adriano Alberto 
 
14 
M(0) = 0 
M(2) = 96 . 2 => M(2) = 192 kN.m 
 
Para 2 ≤ x < 6: 
 
96 –120 – V(x) = 0 => V(x) = 96 – 120 => V(x) = - 24 kN 
 
M(x) = ���	24	�. +
 + C2 => M(x) = - 24x + C2 
M(2) = 192 kN.m => - 24 . 2 + C2 =192 => C2 = 240 
 
=> M(x) = - 24x + 240 
 
Ou 
 
- 96x + 120 . (x – 2) + M(x) = 0 => - 96x + 120x – 240 + M(x) = 0 
=> M(x) = - 24x + 240 (OK) 
 
M(2) = 192 kN.m 
M(6) = - 24 . 6 + 240 => M(6) = 96 kN . m 
 
Para 6 ≤ x < 8: 
 
96 –120 – 84 - V(x) = 0 => V(x) = - 108 kN 
M(x) = ���	108�. +
 + C3 => M(x) = - 108x + C3 
M(6) = 96 kN.m => - 108 . 6 + C3 = 96 => C3 = 744 
=> M(x) = - 108x + 744 
 
Ou 
AdrianoAlberto 
 
15 
- 96x + 120 . (x – 2) + 84(x – 6) + M(x) = 0 
=> - 96x + 120x – 240 + 84x - 504 + M(x) = 0 => M(x) = - 108x + 744 (OK) 
 
M(6) = 96 kN.m 
M(8) = - 108 . 8 + 744 => M(8) = - 120 kN.m 
 
Para 8 ≤ x < 10: 
 
96 –120 – 84 + 168 - V(x) = 0 => V(x) = 60 kN 
 
M(x) = ��60�. +
 + C4 => M(x) = 60x + C4 
M(8) = - 120 kN.m => 60 . 8 + C4 = - 120 => C4 = - 600 
=> M(x) = 60x - 600 
Ou 
 
- 96x + 120 . (x – 2) + 84(x – 6) – 168(x – 8) + M(x) = 0 
=> - 96x + 120x – 240 + 84x - 504 – 168x + 1 344 + M(x) = 0 => M(x) = 60x - 600 (OK) 
 
M(8) = - 120 kN.m 
M(10) = 60 . 10 - 600 => M(10) = 0 
 
6) 
 
 
Adriano Alberto 
 
16 
a) 
Para 0 ≤ x < 2: 
3x - V(x) = 0 => V(x) = 3x 
Ou 
V(x) = �
. +
 + C1 => V(x) = ��3�	. +
 + C1 => V(x) = 3x + C1 
V(0) = 0 => 3 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0 
=> V(x) = 3x (OK) 
 
V(0) = 0 
V(2) = 3 . 2 = 6 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C2 => M(x) = ��3x�. +
 + C2 => M(x) = 1,5 x² + C2 
M(0) = - 12 => 1,5 (0)² + C2 = - 12 => C2 = - 12 => M(x) = 1,5 x² - 12 
 
Ou 
 
12 - 3x . 
�
� + M(x) = 0 => M(x) = 1,5 x² - 12 (OK) 
 
M(0) = - 12 kN.m 
M(2) = 1,5 . (2)² - 12 => M(2) = - 6 kN.m 
 
Para 2 ≤ x < 5: 
 
3 . 2 + 5,5 – 5(x – 2) - V(x) = 0 => V(x) = - 5x + 21,5 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C3 => V(x) = - ��5�	. +
 + C3 => V(x) = - 5x + C3 
V(2) = 6 + 5,5 = 11,5 kN => - 5 . 2 + C3 = 11,5 => C3 = 21,5 
=> V(x) = - 5x + 21,5 (OK) 
Adriano Alberto 
 
17 
V(2) = 11,5 kN 
V(5) = - 5 . 5 + 21,5 => V(5) = - 3,5 kN 
 
Para V(x) = 0 => - 5x + 21,5 = 0 => x = 4,3 m 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C4 => M(x) = ���5x � 21,5�. +
 + C4 
=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x + C4 
M(2) = - 6 kN.m => - 2,5 (2)² + 21,5 . 2 + C4 = - 6 => C4 = - 39 
=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x – 39 
 
Ou 
 
12 – 3 . 2 . (x – 1) – 5,5(x – 2) + 5(x – 2) . ��:��� + M(x) = 0 
=> 12 – 6x + 6 – 5,5x + 11 + 2,5(x² - 4x + 4) + M(x) = 0 
=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x – 39 (OK) 
 
M(2) = - 6 kN.m 
M(5) = - 2,5 (5)² + 21,5 . 5 - 39
 
=> M(5) = 6 kN.m 
Mf,máx = M(4,3) = - 2,5 . (4,3)² + 21,5 . 4,3 - 39 => Mf,máx = 7,225 kN.m 
 
Para 5 ≤ x < 7: 
 
3 . 2 + 5,5 – 5 . 3 - 3 - V(x) = 0 => V(x) = - 6,5 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C5 => M(x) = ���	6,5�. +
 + C5 
=> M(x) = - 6,5x + C5 
M(5) = 6 kN.m => - 6,5 . 5 + C5 = 6 => C5 = 38,5 
=> M(x) = - 6,5x + 38,5 
Adriano Alberto 
 
18 
Ou 
 
12 – 3 . 2 . (x – 1) – 5,5(x – 2) + 5 . 3 . (x – 3,5) + 3(x – 5) + M(x) = 0 
=> 12 – 6x + 6 – 5,5x + 11 + 15x – 52,5 + 3x – 15 + M(x) = 0 
=> M(x) = - 6,5x + 38,5 (OK) 
 
M(5) = 6 kN.m 
M(7) = - 6,5 . 7 + 38,5 => M(7) = - 7 kN.m 
 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Alberto 
19 
 
Adriano Alberto 
 
20 
7) 
 
 
 
Para 0 ≤ x < 2: 
- 3x - V(x) = 0 => V(x) = - 3x 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C1 => V(x) = - ��3�	. +
 + C1 => V(x) = - 3x + C1 
V(0) = 0 => - 3 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0 
=> V(x) = - 3x (OK) 
 
V(0) = 0 
V(2) = - 3 . 2 = - 6 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C2 => M(x) = ���	3x�. +
 + C2 => M(x) = - 1,5 x² + C2 
M(0) = 4 => - 1,5 (0)² + C2 = 4 => C2 = 4 => M(x) = - 1,5 x² + 4 
 
Ou 
 
- 4 + 3x . 
�
� + M(x) = 0 => M(x) = - 1,5 x² + 4 (OK) 
 
M(0) = 4 kN.m 
M(2) = - 1,5 . (2)² + 4 => M(2) = - 2 kN.m 
 
Adriano Alberto 
 
21 
Para 2 ≤ x < 4,5: 
 
- 3 . 2 + 16 - V(x) = 0 => V(x) = 10 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C3 => M(x) = ��10�. +
 + C3 => M(x) = 10x + C3 
M(2) = - 2 kN.m => 10 . 2 + C3 = -2 => C3 = - 22 
=> M(x) = 10x - 22 
Ou 
 
- 4 + 3 . 2 . (x – 1) – 16(x – 2) + M(x) = 0 => M(x) = 10x – 22 (OK) 
 
M(2) = - 2 kN.m 
M(4,5) = 10 . 4,5 – 22 => M(4,5) = 23 kN.m 
 
Para 4,5 ≤ x < 7: 
 
- 3 . 2 + 16 – 4(x – 4,5) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 28 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C4 => V(x) = - ��4�	. +
 + C4 => V(x) = - 4x + C4 
V(4,5) = 10 kN => - 4 . 4,5 + C4 = 10 => C4 = 28 
=> V(x) = - 4x + 28 (OK) 
 
V(4,5) = 10 kN 
V(7) = - 4 . 7 + 28 => V(7) = 0 
Para V(x) = 0 => - 4x + 28 = 0 => x = 7 m 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C5 => M(x) = ���	4x � 28�. +
 + C5 => M(x) = - 2x² + 28x + C5 
M(4,5) = 23 - 8 = 15 kN.m => - 2(4,5)² + 28 . 4,5 + C5 = 15 => C5 = - 70,5 
Adriano Alberto 
 
22 
=> M(x) = - 2x² + 28x – 70,5
 
 
Ou 
 
- 4 + 3 . 2 . (x – 1) – 16(x – 2) + 8 + 4(x – 4,5) . ��:),=�� + M(x) = 0 
=> - 4 + 6x – 6 – 16x + 32 + 8 + 2(x² - 9x + 20,25) + M(x) = 0 
=> M(x) = - 2x² + 28x – 70,5 (OK) 
 
M(4,5) = 15 kN.m 
M(7) = - 2(7)² + 28 . 7 – 70,5 => M(7) = 27,5 kN.m 
 
Para 7 ≤ x < 9,5: 
 
- 3 . 2 + 16 – 4 . 2,5 – 6 - 4(x – 7) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 22 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C6 => V(x) = - ��4�	. +
 + C6 => V(x) = - 4x + C6 
V(7) = 0 – 6 = - 6 kN => - 4 . 7 + C6 = - 6 => C6 = 22 
=> V(x) = - 4x + 22 (OK) 
 
V(7) = - 6 kN 
V(9,5) = - 4 . 9,5 + 22 => V(9,5) = - 16 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C7 => M(x) = ���	4x � 22�. +
 + C7 => M(x) = - 2x² + 22x + C7 
M(7) = 27,5 kN.m => - 2(7)² + 22 . 7 + C7 = 27,5 => C7 = - 28,5 
=> M(x) = - 2x² + 22x – 28,5
 
 
Ou 
 
Adriano Alberto 
 
23 
- 4 + 3 . 2 . (x – 1) – 16(x – 2) + 8 + 4 . 2,5 . (x – 5,75) + 6(x – 7) + 4(x – 7). ��:>�� + M(x) = 0 
=> - 4 + 6x – 6 – 16x + 32 + 8 + 10x – 57,5 + 6x – 42 + 2(x² - 14x + 49) + M(x) = 0 
=> M(x) = - 2x² + 22x – 28,5 (OK) 
 
M(7) = 27,5 kN.m 
M(9,5) = - 2(9,5)² + 22 . 9,5 – 28,5 => M(9,5) = 0 
 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Alberto 
24 
 
Adriano Alberto 
 
25 
8) 
 
 
 
 
Para 0 ≤ x < 1,5: 
- 4x - V(x) = 0 => V(x) = - 4x 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C1 => V(x) = - ��4�	. +
 + C1 => V(x) = - 4x + C1 
V(0) = 0 => - 4 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0 
=> V(x) = - 4x (OK) 
 
V(0) = 0 
V(1,5) = - 4 . 1,5 = - 6 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C2 => M(x) = ���	4x�. +
 + C2 => M(x) = - 2x² + C2 
M(0) = - 3 kN.m => - 2 (0)² + C2 = - 3 => C2 = - 3 => M(x) = - 2x² - 3 
 
Ou 
 
3 + 4x . 
�
� + M(x) = 0 => M(x) = - 2x² - 3 (OK) 
 
M(0) = - 3 kN.m 
Adriano Alberto 
 
26 
M(1,5) = - 2 . (1,5)² - 3 => M(1,5) = - 7,5 kN.m 
 
Para 1,5 ≤ x < 2,5: 
- 4 . 1,5 + 18 – 4(x – 1,5) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 18 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C3 => V(x) = - ��4�	. +
 + C3 => V(x) = - 4x + C3 
V(1,5) = - 6 + 18 = 12 kN => - 4 . 1,5 + C3 = 12 => C3 = 18 
=> V(x) = - 4x + 18 (OK) 
 
V(1,5) = 12 kN 
V(2,5) = - 4 . 2,5 + 18 => V(4,5) = 8 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C4 => M(x) = ���	4x � 18�. +
 + C4 => M(x) = - 2x² + 18x + C4 
M(1,5) = - 7,5 kN.m => - 2(1,5)² + 18 . 1,5 + C4 = - 7,5 => C4 = - 30 
=> M(x) = - 2x² + 18x - 30
 
Ou 
 
3 + 4 . 1,5 . (x – 0,75) - 18(x – 1,5) + 4(x – 1,5) . ��	:',=�� + M(x) = 0 
=> 3 + 6x – 4,5 - 18x + 27 + 2(x² - 3x + 2,25) + M(x) = 0 
=> M(x) = - 2x² + 18x - 30 (OK) 
 
M(1,5) = - 7,5 kN.m 
M(2,5) = - 2 . (2,5)² + 18 . 2,5 - 30 => M(2,5) = 2,5 kN.m 
 
Para 2,5 ≤ x < 4,5: 
- 4 . 1,5 + 18 – 4 . 1 – 4(x – 2,5) - V(x) = 0 => V(x) = - 4x + 18 
Ou 
V(x) = - �
. +
 + C5 => V(x) = - ��4�	. +
 + C5 => V(x) = - 4x + C5 
Adriano Alberto 
 
27 
V(2,5) = 8 kN => - 4 . 2,5 + C5 = 8 => C5 = 18 
=> V(x) = - 4x + 18 (OK) 
 
V(2,5) = 8 kN 
V(4,5) = - 4 . 4,5 + 18 => V(4,5) = 0 
 
Para V(x) = 0: 
- 4x + 18 = 0 => x = 4,5 m 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C6 => M(x) = ���	4x � 18�. +
 + C6 => M(x)= - 2x² + 18x + C6 
M(2,5) = 2,5 – 6 = - 3,5 kN.m => - 2(2,5)² + 18 . 2,5 + C6 = - 3,5 => C6 = - 36 
=> M(x) = - 2x² + 18x - 36
 
 
Ou 
3 + 4 . 1,5 . (x – 0,75) - 18(x – 1,5) + 4 . 1 . (x – 2) + 6 + 4(x – 2,5) . ��	:�,=�� + M(x) = 0 
=> 3 + 6x – 4,5 - 18x + 27 + 4x – 8 + 6 + 2(x² - 5x + 6,25) + M(x) = 0 
=> M(x) = - 2x² + 18x - 36 (OK) 
 
M(2,5) = - 3,5 kN.m 
M(4,5) = - 2 . (4,5)² + 18 . 4,5 - 36 => M(4,5) = 4,5 kN.m 
 
Para 4,5 ≤ x < 6: 
- 4 . 1,5 + 18 – 4 . 1 – 4 . 2 - 3 - V(x) = 0 => V(x) = - 3 kN 
 
M(x) = �.�
�. +
 + C7 => M(x) = ���	3�. +
 + C7 => M(x) = - 3x + C7 
M(4,5) = 4,5 kN.m => - 3 . 4,5 + C7 = 4,5 => C7 = 18 
=> M(x) = - 3x + 18 
 
Adriano Alberto 
 
28 
Ou 
3 + 4 . 1,5 . (x – 0,75) - 18(x – 1,5) + 4 . 1 . (x – 2) + 6 + 4 . 2 .(x – 3,5) + 3(x – 4,5) + M(x) = 0 
=> 3 + 6x – 4,5 - 18x + 27 + 4x – 8 + 6 + 8x – 28 + 3x – 13,5 + M(x) = 0 
=> M(x) = - 3x + 18 (OK) 
 
M(4,5) = 4,5 kN.m 
M(6) = - 3 . 6 + 18 => M(6) = 0 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
9 a 13) Para as vigas a seguir, pede
fletor utilizando as relações diferenciais entre carregamento, cortante e momento fletor; b) 
indicar os valores máximos de 
 
9 a 13) Para as vigas a seguir, pede-se: a) traçar os diagramas de esforço cortante e momento 
fletor utilizando as relações diferenciais entre carregamento, cortante e momento fletor; b) 
os de V e M e onde eles ocorrem. 
Adriano Alberto 
29 
 
se: a) traçar os diagramas de esforço cortante e momento 
fletor utilizando as relações diferenciais entre carregamento, cortante e momento fletor; b) 
Adriano Alberto 
 
30 
9) 
 
 
 
- 80 . 1,5 + RB – 40 . 2 + RC - RD + RE - 
',=	.		)?
� = 0 => RB + RC + RE = 230 (I) 
∑%@ = 0 => RD . 1,5 - ',=	.		)?� . A1,5 �
',=
( B = 0 => RD = 
(?
',= = 20 kN 
∑%C = 0 => RD . 1 – RB . 2 + 80 . 1,5 . 2,75 + 40 . 2 . 1 = 0 => 20 – RB . 2 + 330 + 80 = 0 
=> RB = 215 kN 
∑%D = 0 => 80 . 1,5 . 0,75 - 40 . 2 . 1 + RC . 2 + RD . 3= 0 => 90 – 80 + RC . 2 + 20 . 3 = 0 
=> RC = - 35 kN 
 
Substituíndo os valores em (I): 
 
=> 215
 
 - 35 
 
+ RE = 230 => RE = 50 kN 
 
Para 0 ≤ x < 1,5: 
 
V(0) = 0 
V(1,5) = 0 - 80 . 1,5 = - 120 kN 
 
Para 1,5 ≤ x < 3,5: 
V(1,5) = - 120 + RB = - 120 + 215 = 95 kN 
V(3,5) = 95 – 40 . 2 = 15 kN 
Adriano Alberto 
 
31 
Para 3,5 ≤ x < 6: 
V(3,5) = 15 + RC = 15 – 35 => V(3,5) = - 20 kN.m 
V(6) = - 20 kN 
 
Para 6 ≤ x < 7,5: 
 
V(6) = - 20 + RE = - 20 + 50 => V(6) = 30 kN 
V(7,5) = 30 
 
- 
',=	.		)?
� => V(7,5) = 0 
V(x) = - 120 + 215 – 80 – 35 + 50 – q(x) . ��:;�� 
Semelhança de triângulos: 
)?
',= = 
����
��:;� => q(x) = 26,66666667 . (x – 6) 
 
V(x) = 30 – �;,;;;;;;;>� . (x – 6)² => V(x) = 30 – 13,33333333 . (x² - 12x + 36) 
=> V(x) = 30 – 13,33333333 . x² + 160x – 480 => V(x) = – 13,33333333 . x² + 160x – 450 
 
�E���
�� = - 26,66666667 . x + 160 
 
Para �E����� = 0 => x = 6 (ponto de máxima da parábola) 
 
Area = � .�
�+
	>,=; = � �– 	13,33333333	.		x²	 � 	160x	– 	450�+
	
>,=
; 
=> Area = A:	'(,((((((((	.		�
H
( 	� 	80
� 	� 	450xB I>,=; 9 = - 750 – (– 780) 
=> Area = 30 kN.m (OK) 
 
 
 
 
 
Diagrama: 
 
Adriano Alberto 
32 
 
Adriano Alberto 
 
33 
10) 
 
 
 
- 24 + RB – 18 . 3 + RE – 24 . 1,5 . 0,5= 0 => RB + RE = 96 kN (I) 
∑%D = 0 => 12 + 24 . 1 – 18 . 3 . 3 + 6 . RE – 24 . 1,5 . 0,5 . 7 = 0 
=> 6 . RE = 252 => RE = 42 kN 
Substituíndo em (I): 
RB + 42 = 96 => RB = 54 kN 
 
Para 2,5 ≤ x < 3: 
V(x) = - 24 + 54 – 18(x – 2,5) => V(x) = - 18x + 75 
Para V(x) = 0 => x = 4,166666667 m 
 
Para 7 ≤ x < 8,5: 
V(x) = - 24 + 54 – 54 + 42 – q(x) . ��:>�� 
Semelhança de triângulos: 
�)
',= = 
����
��:>� => q(x) = 16(x – 7) 
 
V(x) = 18 – 8(x – 7)² => V(x) = 18 – 8(x² - 14x + 49) => V(x) = - 8x² + 112x - 374 
�E���
�� = - 16x + 112 
 
Para �E����� = 0 => x = 7 (ponto de máxima da parábola) 
Adriano Alberto 
 
34 
Area = � .�
�+
	*,=> = � ��	8x²	 � 	112x	 � 	374�+
	
>,=
; 
=> Area = A:	*	.		�
H
( 	� 	56
� 	� 	374xB I*,=> 9 = - 770,6666667 – (– 788,6666667) 
=> Area = 18 kN.m (OK) 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Alberto 
35 
 
Adriano Alberto 
 
36 
11) 
 
 
 
 
- 8 + RB – 6 . 4 – 12 + RD – 6 = 0 => RB + RD = 50 kN (I) 
 
∑%D = 0 => - 8 . 2 + 8 . 2 – 6 . 4 . 2 + 12 . 2 - 12 . 4 + RD . 6 – 6 . 8 = 0 => 6 . RD = 120 
=> RD = 
'�?
; ≅ 20 kN 
Substituíndo em (I): 
 
RB = 50 - 20 => RB = 30 kN 
 
Para 2 ≤ x < 6: 
V(x) = - 8 + 30 – 6(x – 2) => V(x) = - 6x + 34 
Para V(x) = 0 => x = (); ≅ 5,666666667 m 
 
Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante: 
 
(16) - (16) + (3,666666667 . ��� ) – (0,333333333 . 
�
�) - (12 . 2) – (14 . 2) + (2 . 6) = 0 (OK) 
 
 
 
 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Alberto 
37 
 
Adriano Alberto 
 
38 
12) 
 
 
 
 
 
RA – 4 + 12 – 16 + RE = 0 => RA + RE = 8 kN (I) 
 
∑%& = 0 => 2 – 4 . 4 + 12 + 12 . 6 + 10 . RE – 16 . 8 – 2 = 0 => RE = ;?'? => RE = 6 kN 
 
Substituíndo em (I): 
 
RA + 6 = 8 kN => RA = 2 kN 
 
 
Para 3 ≤ x < 5: 
V(x) = 2 – 2(x – 3) => V(x) = - 2x + 8 
Para V(x) = 0 => x = 4 m 
 
Para 6 ≤ x < 10: 
V(x) = 2 – 4 + 12 - 4(x – 6) => V(x) = - 4x + 34 
Para V(x) = 0 => x = 8,5 m 
 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Alberto 
39 
Adriano Alberto 
 
40 
13) 
 
 
 
 
 
 
RA – 7 . 2 – 7 – 14 . 2 + RD – 7 . 2 = 0 => RA + RD = 63 kN (I) 
 
∑%& = 0 => 25 – 7 . 2 . 1 – 7 . 2 – 14 . 2 . 3 – 11 + 7 . RD – 7 . 2 . 8 = 0 
 
=> RD = 
�'?
> = 30 kN 
 
Substituíndo em (I): 
 
RA + 30 = 63 => RA = 33 kN 
 
 
Para 2 ≤ x < 4: 
V(x) = 33 – 7 . 2 – 7 – 14(x – 2) => V(x) = - 14x + 40 
Para V(x) = 0 => x = 2,857142857 m 
 
Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante: 
 
(- 25) + (14 + 38) + (0,857142857 . '�� ) – (1,142857143 . 
';
� ) + (11) – (16 . 3) + (14) = 0 (OK) 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Alberto 
41 
 
Adriano Alberto 
 
42 
14) 
 
O cortante e o momento fletor na extremidade A do segmento da viga (em equilíbrio) da figura 
ao lado são + 3 kN e – 2 kN.m, respectivamente, e o cortante e o momento fletor na 
extremidade D são desconhecidos. Desenhe os diagramas completos de cortante e de momento 
fletor para o segmento da viga, e escreva a equação de momento no intervalo CD. 
 
 
 
 
 
 
 
3 – 3 – 3 . 2 + RD = 0 => RD = 6 kN 
 
 
∑%& = 0 => 2 - 1,5 – 3 . 2 – 3 . 2 . 3 + 4 . 6 + MD = 0 => MD = - 0,5 kN.m 
 
 
Para 2 ≤ x < 4: 
2 – 3x - 1,5 + 3(x – 2) + 3(x – 2) . ��:��� + M(x) = 0 
 
=> 2 – 3x – 1,5 + 3x – 6 + 1,5 . (x² - 4x + 4) + M(x) = 0 => M(x) = - 1,5 . x² + 6x – 0,5 
 
 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Alberto 
43 
 
 
15) 
 
A figura ilustra o diagrama do cortante para uma viga com momento fletor nulo na 
extremidade esquerda e sem momento externo aplicado
diagramas de: 
 
a) carregamento; 
b) momento fletor. 
 
 
 
Opção 1: 
 
A figura ilustra o diagrama do cortante para uma viga com momento fletor nulo na 
esquerda e sem momento externo aplicado entre os extremos. Desenhe os 
 
Adriano Alberto 
44 
A figura ilustra o diagrama do cortante para uma vigacom momento fletor nulo na 
entre os extremos. Desenhe os 
 
Opção 2: 
 
 
 
 
 
∑LM = 0 => 16 . 2 – 80 + 4,25 . 16 
 
∑%D = 0 => - 32 . 1 + 68 . 2,125 
 
 
Para 2 ≤ x < 6,25: 
V(x) = 16 . 2 – 80 + 16(x – 2) => V(x) = 16x 
Para V(x) = 0 => x = 5 m = C
 
80 + 4,25 . 16 – 20 = 0 (OK) 
32 . 1 + 68 . 2,125 – 20 . 4,25 + M = 0 => M = - 27,5 kN.m 
2) => V(x) = 16x – 80 
= C 
Adriano Alberto 
45 
Adriano Alberto 
 
46 
16) 
 
 
A figura mostra o diagrama do cortante para uma viga engastada na extremidade direita. 
Não há momentos externos aplicados em nenhum ponto ao longo da viga. Desenhe os 
diagramas de: 
 
a) carregamento; 
b) momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
∑LM = 0 => 0 – 30 + 75 – 20 – 15 – 35 + RE = 0 => RE = 25 kN (OK) 
 
 
Diagrama: 
 
 
 
 
 
∑%D = 0 => 10 . 3 . 1,5 – 10 . 2 . 1 
 
 
 
10 . 2 . 1 – 15 . 2 – 35 . 4 + 25 . 8 + M = 0 => M = -
Adriano Alberto 
47 
- 55 kN.m 
 
17 e 18) A figura ilustra o diagrama de momento fletor para uma viga. Desenhe os 
diagramas de esforço cortante e de carregamento para a viga.
 
 
17) 
 
 
 
 
 
∑LM = 0 => 6,6 – 12,2 + 1,2 + 4,4 = 0 
 
 
∑%& = 0 => - 12,2 . 3 + 1,2 . 5,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) A figura ilustra o diagrama de momento fletor para uma viga. Desenhe os 
cortante e de carregamento para a viga. 
 
12,2 + 1,2 + 4,4 = 0 (OK) 
12,2 . 3 + 1,2 . 5,5 – 3 + 4,4 . 7,5 = 0 (OK) 
Adriano Alberto 
48 
18) A figura ilustra o diagrama de momento fletor para uma viga. Desenhe os 
 
18) 
 
 
 
 
 
A(Triângulo CDh1) = 
(,;	.		NO
� = 32,4 => 
 
A(Triângulo DEh2) = 
�,)	.		N�
� = 14,4 => 
 
∑LM = 0 => - 10 + 28 – 30 + 12 = 0 
∑%C = 0 => 10 . 5 – 28 . 2 – 
 
 
= 32,4 => h1 = 18 
= 14,4 => h2 = 12 
30 + 12 = 0 (OK) 
 5 . 6 . 3 + 12 . 8 = 0 (OK) 
Adriano Alberto 
49 
Adriano Alberto 
 
50 
PROBLEMAS ENVOLVENDO CONCEITO DE TENSÃO, DEFORMAÇÃO E 
SEGURANÇA 
 
 
19) Duas barras circulares maciças são soldadas no ponto B, como mostra a figura. Trace 
o diagrama de esforço normal e determine a tensão normal no ponto médio de cada barra. 
 
 
 
 
 
Para 0 ≤ x < 0,8: 
- 30 + N = 0 => N = 30 kN 
Para 0,8 ≤ x < 2: 
- 30 – 50 + N = 0 => N = 80 kN 
 
 
 
P = Q& = 
�
& 
PAB = �&RS = 
(?	???
T	.		�?,?'?�� = 95 492 965,86 Pa 
PBC = �&RS = 
(?	???	U	=?	???
T	.		�?,?'=�� = 113 176 848,4 Pa