LISTA 02 Calculo 2

Prévia do material em texto

INSTITUTO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS E EXATAS 
ENGENHARIAS 
 Lista 02 – Cálculo Diferencial e Integral II 
Profa.: LIDIANE SARTINI 
 
EXTREMOS DE FUNÇÕES COM MAIS DE UMA VARIÁVEL, MULTIPLICADORES DE 
LAGRANGE, INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
1. Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver: 
a) 
  2, 3 2 3f x y y xy y x    
 
b) 
  2 2, 3f x y x xy y x   
 
c) 
  2 4, 2 8f x y x xy y  
 
d) 
  2 2, 4f x y x y  
 
e) 
  2 2, 2 2 5f x y x x y y    
 
f) 
  2 3, 3 3f x y xy x x  
 
g) 
  3 3, 2 2 6 6f x y x y x y   
 
h) 
  2 2, 3 3 4f x y x xy y x y     
 
i) 
  2 2, 2 3 4 5 2f x y x xy y x y    
 
j) 
  3 2, 3 15 12f x y x xy x y   
 
k) 
  2 2, 4 3 12 2 1f x y x xy y x y     
 
l) 
  4 5 3
1 1
, 15
5 3
f x y x y x y    
 
2. Ache os extremos relativos da função f se 
( , , )f x y z xz yz 
 e se o ponto na interseção das 
superfícies 
2 2 2 e 2x z yz  
. 
3. Encontre os valores máximo e mínimo da função 
( , ) 3 4f x y x y 
 na circunferência 
2 2 1x y 
. 
4. O plano 
1x y z  
corta o cilindro 
2 2 1x y 
 em uma elipse. Encontre os pontos na elipse que 
estão o mais próximo e o mais distante da origem. (Obs.: O plano intercepta o cilindro no eixo x 
no ponto (1, 0, 0) e no eixo y no ponto (0, 1, 0)). 
5. Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, com área 
lateral igual a 5 cm2. 
6. Determinar os pontos de máximo e/ou mínimo das funções dadas, sujeita às restrições indicadas: 
a) 
2 24 2 3 ; 1z x y x y    
 b) 
2 2 2( , , ) ; 9f x y z x y z x y z     
 
 
7. Calcular a integral 
( )
R
I x y dA 
 onde R é a região limitada por 
2 e 2y x y x 
. 
8. Calcular 
( , )
R
f x y dxdy
, onde: 
a) 
( , ) xyf x y xe
; R é o retângulo 
1 3 0 1x e y   
. 
b) 
( , ) cosf x y x xy
; R é o retângulo 
0 2 0
2
x e y

   
 
 
9. Calcular as seguintes integrais iteradas: 
a) 1 2
0
(2 4 )
x
x
x y dydx 
 
b) 2
2
0
( )
y
y
xy x dxdy

 
 
c) 1
1 ln
e
x
xdydx 
 
d) 
0 0
senx
y dydx

 
 
e) 211
0 0
y
xdxdy

 
 
f) 2
1 0
ln
x
y xdydx 
 
10. Calcular a integral 
2( )
S
y x zdV
, onde S é o paralelepípedo retângulo 
1 2; 0 1 3 5x y e z      
. 
11. Calcular as seguintes integrais iteradas: 
a) 1 11
0 0 0
y x y
dzdxdy
  
  
 
b) 
2
21
0 0
x yx
x
xdzdydx
 
  
 
c) 22
0 0 0
yx
y dzdydx  
 
d) 2 2
1 0
x yx
x
z dzdydx

  
 
e) 2 12
2 2
1 0 0
x x
x y z dzdydx  
 
f) 2 2 2
2 22
9 3 33
3 4 4 99
y x y
x yy
dzdxdy
 
   
  
 
12. Usando as coordenadas polares, calcular: 
a) 244
2 2
0 0
( )
y y
x y dxdy

 
 b) 21 1
1 0
x
y dydx


 
 
c) 21
0 0
y y
y dxdy

 
 d) 22 2
0 0
x x
xdydx

 
 
 
13. Calcular as integrais em coordenadas cilíndricas: 
a) 22 1 2
0 0
r
r
dz rdr d



  
 b) 22 3 242
0 0 0
r
dz rdr d

 


  
 
 
14. Calcular as integrais em coordenadas esféricas: 
a) 2
2
0 0 0
sen
sen d d d
 
      
 b) (1 cos )2 2
2
0 0 0
sen d d d

 
    

  
 
 
15. Pausa para o lanche!!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAL 
1. 
a) (1,-2) Ponto de sela b) (2,-1) Mínimo relativo 
c) (0,0) Ponto de sela; (-4,2) e (4,-2) Mínimos relativos 
d) (0,0) Máximo relativo 
e) (1,1) Mínimo relativo 
f) (0,1) e (0,-1) pontos de sela, (1,0) mínimo local e (-1,0) máximo 
g) (1,-1) e (-1,1) pontos de sela, (1,1) mínimo local e (-1,-1) máximo 
h) (-3,3) mínimo local 
i) (2,-1) mínimo local. 
j) (2,1) mínimo local, (-2,-1) máximo local; (1,2) e (-1,-2) pontos de sela. 
k) 
18 20
,
7 7
 
 
 
mínimo local. 
l) 
3
1
,0
4
 
  
 
 não é possível classificar. 
 
2. 
4 4 4
, ,
3 3 3
 
   
 
 
3. 
3 4
,
5 5
 
 
 
máximo e 
3 4
,
5 5
 
  
 
mínimo 
4. 
1 2
2 2 2 2
, ,1 2 , ,1 2
2 2 2 2
P e P
   
         
   
 máximos locais. E o ponto P2 é o que esta mais 
distante da origem. 
5. 
5 5 5
, ,
3 3 2 3
 
6. a) 
2 3
,
13 13
 
 
 
ponto de mínimo e 
2 3
,
13 13
 
  
 
ponto de máximo. 
7. 
52
15
I 
 
8. a) 
3 2e e 
 b) 
4

 
9. a) 8
3
 b) 0 c) 2 3
4 4
e

 d) 
1
4

 e) 
1
3
 f) 
4ln 2 7
3 18

 
10. 
68
3
 
11. a) 
1
6
 b) 
31
120
 c) 
128
21
 d) 
95
8
 e) 
127
42
 f) 
81
2

 
12. a) 
12
 b) 
2
3
 c) 
16

 d) 
2

 
13. a)  4 2 1
3
  b) 
17
5

 
14. a) 
2
 b) 
3
