Teoria Complementar probabilidade e estatistica

Prévia do material em texto

1.4 - Eventos independentes e probabilidade condicional 
 
Outro conceito importante da teoria de probabilidade é o de independência entre dois 
eventos. Na prática, dois eventos são independentes quando a ocorrência de um evento não 
influência a ocorrência do outro evento. Do ponto de vista probabilístico temos a seguinte 
definição: 
Definição 1.4.1: Dois eventos e são ditos independentes se 
 
 
Exemplo 1.4.1: Um lote contém peças, sendo boas ( ) e defeituosas ( ). Retiramos 
duas peças, ao acaso e com reposição, para inspeção. Qual a probabilidade de se obter duas 
peças defeituosas? 
O experimento de realizar a primeira retirada tem como espaço amostral e 
a segunda retirada tem como espaço amostral , em que significa que 
retiramos uma peça defeituosa na i-ésima retirada e significa que retiramos uma peça boa 
na i-ésima retirada, para . Como as duas peças são retiradas ao acaso e com reposição, 
isto é, após retirarmos a primeira peça esta é colocada novamente no lote para que possamos 
efetuar a segunda retirada, temos que 
 
 
Associamos ao experimento de retirar duas peças ao acaso e com reposição o seguinte espaço 
amostral 
 
Queremos encontrar a probabilidade de se obter duas peças defeituosas, ou seja, a 
probabilidade das peças na primeira retirada e na segunda retirada serem defeituosas. Assim, 
desde que a primeira e a segunda retirada sejam executadas de forma independente, temos 
que 
 
 
Vamos examinar melhor a diferença entre extrair uma peça de um lote, ao acaso, com ou sem 
reposição. Como vimos neste exemplo, se a retirada for feita com reposição, então 
 
 
pois cada vez que extraímos peças do lote, sempre existirão peças defeituosas e peças boas 
num total de . No entanto, se estivermos extraindo sem reposição, o resultado é diferente. É 
ainda verdade, naturalmente, que 
 
 
mas as probabilidades de sair uma peça defeituosa ou de sair uma peça boa na segunda 
retirada não serão as mesmas. Para calcularmos essas probabilidades devemos conhecer a 
composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Por exemplo, para calcularmos 
a probabilidade de extrairmos uma peça defeituosa na segunda retirada, D2, temos que saber 
se ocorreu ou . Caso tenha ocorrido , 
 
 
e, se ocorreu B1, 
 
 
Este exemplo nos mostra a necessidade de introduzirmos a definição de probabilidade 
condicional. 
Proposição 1.4.1: Um evento é independente dele mesmo se, e só se, ou . 
 
Suponha que , com . Sabemos que , para 
qualquer , entretanto , se ou . Logo 
se ou então ele é independente de si mesmo. Caso contrário, ele não será 
independe de si mesmo. Suponha agora que seja independente de si mesmo, 
portanto , ou seja, mas isto é válido se, e somente 
se, ou . 
 
Definição 1.4.2: A probabilidade de ocorrer um evento dado que ocorreu um evento é 
dada por 
 
 
Dessa relação sai a Regra do Produto que é dada no teorema a seguir. 
 
Teorema 1.4.1: Considere um conjunto finito um conjunto de eventos tais que 
os eventos condicionais tenham probabilidades positivas. Então temos 
que 
 
 
Para demonstrar este teorema escrevemos 
 
 
e usando a definição de probabilidade condicional, podemos reescrever o lado direito da 
igualdade acima como 
 
Com caso particular temos que, dados dois eventos e , concluímos que a probabilidade de 
ocorrência simultânea dos eventos e é igual a probabilidade de ocorrência do 
evento (ou ) vezes a probabilidade de ocorrência do evento (ou ) dado que ocorreu o 
evento (ou ), ou seja 
 
 
Exemplo 1.4.2: Considere o Exemplo 1.4.1, mas agora as retiradas serão feitas sem reposição, 
isto é, a primeira peça retirada não volta ao lote para retirarmos a segunda peça. Qual a 
probabilidade de se retirar duas peças defeituosas? 
A probabilidade de sair uma peça defeituosa na primeira retirada é . Além 
disso, . Assim, 
 
 
A seguir, apresentamos o teorema da probabilidade total que é usado com frequência para 
calcular a probabilidade de vários eventos. 
 
Teorema 1.4.2: (Teorema da probabilidade total) Sejam eventos dois a dois 
disjuntos que formam uma partição do espaço amostral, isto é, 
 
 
e assuma que para . Então, para qualquer evento , temos que 
 
 
Para demonstrarmos esse teorema basta observarmos que como a sequência formam 
uma partição então para qualquer , temos que . E como os são 
disjuntos dois a dois temos que também são disjuntos e pelo axioma 3 e pelo teorema 
1.4.1 temos que 
 
 
 
Exemplo 1.4.3: Suponha que um jogador participa de um torneio de xadrez onde sua 
probabilidade de vitória é contra metade dos jogadores (chame-os do tipo ), contra 
um quarto dos jogadores (chame-os do tipo ) e contra o um quarto dos jogadores 
restantes (chame-os do tipo ). O jogador disputa uma partida contra um oponente selecionado 
aleatoriamente. Qual é a probabilidade dele vencer? 
Seja o evento de jogar com um oponente do tipo . Temos então que 
 
Seja o evento vitória. Então temos 
 
Assim, pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade de vitória é 
 
Ou seja, a probabilidade do jogador vencer a partida é de . O teorema da probabilidade 
total com frequência é usado em conjunto com o seguinte teorema, chamado de Teorema de 
Bayes, que relaciona probabilidades condicionais da forma com probabilidades 
condicionais da forma , em que a ordem da condicionalidade é reversa. 
 
Teorema 1.4.3: Sejam eventos que formam uma partição do espaço amostral, e 
assuma que para todo . Então, para qualquer evento tal que , temos que 
 
 
Para verificar o teorema de Bayes, basta notar que já que ambos 
são iguais a , o que garante a primeira igualdade. A segunda igualdade segue da 
aplicação do teorema da probabilidade total para . 
 
Teorema 1.4.4: A probabilidade condicional também é uma probabilidade ( , para um 
subconjunto fixo de ), ou seja a probabilidade condicional satisfaz os três axiomas de 
probabilidade. 
Mostremos primeiramente que e que . De fato, note que 
 
 
e que 
 
 
o que demonstra o primeiro axioma. 
O segundo axioma diz que , para qualquer . Observe que 
, e como . Temos que por P4 que , o que implica 
que 
O terceiro e último axioma diz que para qualquer sequência de eventos mutuamente 
exclusivos , temos que 
 
 
Observamos que: 
 
 
Logo, a probabilidade condicional satisfaz todos os axiomas da probabilidade, o que implica 
que a probabilidade condicional também é uma probabilidade. Assim sendo, todas as 
propriedades de probabilidade também são válidas. 
 
Exemplo 1.4.4: Considere novamente o Exemplo 1.4.3 onde é o evento de ter um 
adversário do tipo e 
 
Além disso, é evento vencer uma partida e 
 
Suponha que o jogador disputou uma partida e venceu. Qual a probabilidade dele ter 
jogado contra um adversário do tipo ? 
Usando o teorema de Bayes, temos que 
 
 
Ou seja, a probabilidade do jogador ter disputado uma partida contra um adversário do tipo , 
dado que ele venceu a partida é de . 
 
Exemplo 1.4.5: Suponha que uma pessoa está participando de um programa de televisão e lhe 
é fornecida a possibilidade de escolher entre portas. Atrás de uma das portas existe um carro 
e atrás das demais não existe prêmio algum. O participante escolhe uma porta, digamos a 
porta e o apresentador abre outra porta, digamos a porta , revelando que não há nada atrás 
dela e então oferece ao participante a oportunidade de trocar de porta. O que é mais 
vantajoso, trocar ou não a porta escolhida? 
Este é um problema clássico, conhecido como paradoxo de MontyHall. A resposta intuitiva ao 
problema, porém errada, é a de que quando o apresentador revelou uma porta não premiada, 
o concorrente teria à frente um novo dilema com apenas duas portas e um prêmio, portanto as 
chances de que o prêmio esteja em qualquer uma das duas portas seriam de 50%. O 
apresentador teria nos ajudado, já que nossas chances subiram de para , mas realmente 
não faria diferença trocar ou não de porta uma vez que ambas teriam as mesmas chances de 
possuírem o prêmio. No entanto, esta resposta está errada, pois a porta que o apresentador 
abre depende da porta que o concorrente escolher inicialmente. 
Na verdade, é mais vantajoso trocar de porta e, ao fazê-lo a chance do participante ganhar o 
carro é de . Resolveremos este problema de duas formas diferentes. A primeira apenas 
descrevendo o problema e a segunda, utilizando o diagrama de árvores e probabilidades 
condicionais. 
Primeiramente, consideremos duas estratégias para o participante do programa: a estratégia , 
onde o participante seleciona uma porta e, se lhe é fornecida a oportunidade de trocar de 
porta, ele recusa e a estratégia , na qual o participante sempre troca a porta escolhida. Desta 
forma, utilizando a estratégia , o participante ganhará o carro com probabilidade , já que 
em das vezes a porta que ele escolhe terá o carro com o prêmio. Utilizando a estratégia , 
o participante somente ganhará o carro se, a princípio escolhe uma porta que não contém o 
carro como prêmio, o que ocorre em das vezes, ou seja, a probabilidade de ganhar com a 
estratégia é de e, portnato, duas vezes maior do que utilizando a estratégia . 
Podemos também, resolver este problema utilizando os conceitos de probabilidade 
condicional. Para isto, consideramos vários estágios. O carro é colocado atrás de uma porta, o 
participante escolhe uma porta e, finalmente, o apresentador abre uma porta. Então é natural 
analisar o problema através de um diagrama de árvore. Assumimos que se o apresentador pode 
escolher entre as portas (ou seja, o participante escolheu a porta com o carro), então ele 
escolhe cada porta com probabilidade . A árvore resultante é mostrada na figura a seguir 
 
Agora, supondo que o participante tenha escolhido a porta e o apresentador a porta , então 
existem apenas dois caminhos possíveis através da árvore. Para um dos caminhos, o carro está 
atrás da porta e para o outro, está atrás da porta . O caminho com o carro atrás da porta 2 é 
duas vezes mais provável que o caminho com o carro atrás da porta . Assim, a probabilidade 
condicional do carro estar atrás da porta é e a probabilidade do carro estar atrás da 
porta é , ou seja, se o participante trocar de porta, ele tem de chances de ganhar o 
carro. 
 
Exemplo1.4.6: Um teste de laboratório detecta uma doença quando ela está presente 
em dos casos. No entanto, o teste também fornece um resultado "falso positivo" para das 
pessoas saudáveis testadas. (Isto é, se uma pessoa saudável faz o teste, então, com 
probabilidade , o resultado do teste dirá que ela possui a doença.) Se da população 
tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o resultado do 
teste é positivo? 
Para resolver este problema, consideramos o evento de a pessoa testada ter a doença e o 
evento de que o resultado do teste é positivo. Então, a probabilidade desejada é obtida 
por 
 
 
ou seja, 
 
 
Assim, apenas das pessoas cujos resultados do teste deram positivo realmente possuem a 
doença. 
 
Exemplo 1.4.7: Em um teste de múltipla escolha, ou um estudante sabe a resposta ou arrisca 
uma das alternativas. Seja a probabilidade do estudante saber a resposta e a 
probabilidade do estudante arriscar adivinhá-la. Assuma que um estudante que arrisca a 
resposta acerta a resposta correta com probabilidade , onde é o número de alternativas 
de múltipla escolha. Qual é a probabilidade condicional de que um estudante soubesse a 
resposta da questão, dado que ele ou ela respondeu corretamente? 
Seja o evento de que o estudante responde a questão corretamente e o evento de que ele 
saiba a resposta. Então 
 
 
ou seja, 
 
 
Por exemplo, se e , então a probabilidade de que um estudante saber a resposta 
de uma questão que ele respondeu corretamente é . 
 
Exemplo 1.4.8: Uma companhia de seguros acredita que as pessoas possam ser divididas em 
duas classes: aquelas que são propícias a sofrerem acidentes e as que não são. Suas estatísticas 
mostram que uma pessoa propícia a acidentes terá um acidente em algum momento dentro do 
período de um ano com probabilidade , enquanto esta probabilidade diminui para para 
pessoas não propícias a acidentes. Supondo que da população é propícia a sofrer 
acidentes, qual é a probabilidade de que um novo segurado sofra um acidente durante um ano 
em que comprou uma apólice? 
Obteremos a probabilidade desejada ao condicionar se o segurado é ou não uma pessoa 
propícia a sofrer um acidente. Seja o evento de que um segurado sofra um acidente durante 
um ano em que comprou a apólice e o evento de que o segurado seja uma pessoa propícia a 
sofrer um acidente. Então a probabilidade desejada, , é dada por 
 
Exemplo 1.4.9: Suponha que você deseja enviar uma carta para sua namorada pelo correio, 
para isto você resolve pedir para um amigo coloca-la para você, entretanto ele pode esquecer-
se de envia-la com uma probabilidade de . Caso ele não se esqueça de envia-la, a 
probabilidade que o correio extravie a carta é de . E ainda caso o correio a envie a 
probabilidade de que o carteiro não a entregue é também é de . Sabendo que sua namorada 
não recebeu sua carta qual é a probabilidade de seu amigo ter esquecido de coloca-la no 
correio? 
Esta é uma questão clássica em probabilidade. Vamos começar definindo os eventos 
definamos 
; e . Pelos dados do 
problema temos que: 
 
O nosso problema consiste em encontrar , utilizando o teorema 1.4.3, concluímos que: 
 
 
Note que , pois dado que o amigo não enviou a carta o carteiro não vai entrega-la 
com probabilidade 1. Então vamos calcular a probabilidade de . 
 
Sendo assim, precisamos encontrar . Observe que: 
 
 
Da mesma forma obtemos 
 
Substituindo os valores encontrados na formula acima obtemos que 
 
Finalmente substituindo os valores encontrados na formula acima obtemos que 
 
 
E, portanto, a probabilidade de que o amigo não tenha colocado a carta no correio sabendo 
que a namorada não recebeu a carta é de, aproximadamente, . 
Exemplo 1.4.10: Vamos supor que vamos selecionar cartas em um baralho comum (com cartas) ao 
acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos reis? 
Vamos definir o evento , onde . Queremos encontrar a 
probabilidade pelo teorema 1.4.1 temos que: 
 
 
Exemplo 1.4.11: Suponha que a ocorrência de chuva (ou não) dependa de das condições do tempo no dia 
imediatamente anterior. Admitamos que se chova hoje, choverá amanhã com probabilidade de e que se 
não chove hoje, então choverá amanhã com probabilidade de . Sabendo que choveu hoje, calcule a 
probabilidade de chover depois de amanhã. 
Consideremos nosso espaço amostral . Seja o 
evento , e . Queremos 
encontrar , mas 
 
Ou seja, sabendo que choveu hoje, a probabilidade de chover depois de amanhã é de . 
Exemplo 1.4.12: Em um jogo de dados são jogados dois dados honestos simultaneamente, de forma 
independente. Considerando que o número da face voltada para cima dos dois dados os números sejam 
diferentes, qual é a probabilidade de que a soma seja ? Primeiramente vamos analisar o nosso espaço 
amostral. A tabela abaixo mostra todo o espaço amostral: 
 
 
Seja e . Observem na tabelacima que existem possibilidades das 36 para as quais os dois números são distintos. E dentre as 
possibilidades para os quais a soma é , existem possibilidade para os quais os números são distintos. 
Assim a probabilidade é dada por 
 
 
Fonte: http://www.portalaction.com.br